Gäi I lµ trung ®iÓm cña AC... Gäi I lµ trung ®iÓm cña AC.[r]
(1)§Ị thi häc sinh giái líp 9
Môn thi: ToánThi gian: 150 phỳt (khụng k thi gian giao )
Câu I: (4,0 điểm)
Câu 1: (1,0 điểm) Giải phơng trình:
1 12
x x
x
Câu 2: (3,0 điểm) Giải biện luận phơng trình theo tham số a: 1 1 x a a x x a x a x a
Câu II: (3,0 điểm)
Câu 1: Cho biÕt: ax + by + cz = Vµ a + b + c =
2006
Chøng minh r»ng: 2006
) ( ) ( )
( 2
2 2 y x ab z x ac z y bc cz by ax
C©u 2: Cho sè a, b, c tho· mÃn điều kiện: abc = 2006 Tính giá trị biÓu thøc:
1 2006 2006 2006 2006 c ac c b bc b a ab a P
C©u III: (4,0 điểm)
Câu 1: Cho x, y hai số dơng thoà mÃn: xy1
Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc
xy y x
A 2 2
C©u 2: Rót gän biĨu thøc sau:
n n A 1 3 2 1 Câu IV: (5,0 điểm)
Cho tứ giác ABCD có B = D = 900 Trên đờng chéo AC lấy điểm E
cho ABE = DBC Gọi I trung điểm AC BiÕt: BAC = BDC; CBD = CAD C©u 1: Chøng minh CIB = BDC
C©u 2: ABE
~
DBCC©u 3: AC.BD = AB.DC + AD.BC
Câu V: (2,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác SABCD có độ dài cạnh đáy 12 cm, độ dài cạnh bên 18 cm
a) TÝnh diƯn tÝch xung quanh cđa h×nh chãp b) Tính diện tích toàn phần hình chóp Câu VI: (2,0 ®iĨm) Cho biĨu thøc:
(2)Tìm số nguyên a để M số nguyên
H
ớng dẫn chấm môn toán
(3)Đa phơng trình dạng: 2x x 0,25 đ
Giải phơng trình trờng hợp 0,5 đ
Kết luận nghiệm phơng trình 0,25 đ
Câu 2: (3,0 điểm)
Tp xác định = x/xQ;xa;x1 0,25 đ
Biến đổi đa phơng trình dạng:
(a-1)x = a2 + 1 0,5 đ
Nếu a
1 a a
x 0,25 đ
Giá trị nghiệm phơng trình nÕu:
a a a 1
vµ
1 a
a 0,75 ®
Giải điều kiện đợc a -1; a 1,0 đ
(mỗi điều kiện đối chiếu điều kiện kết luận nghiệm) 0,5 đ Câu II: (4,0 điểm).
C©u 1: (2,0 ®iĨm)
Tõ (ax + by + cz)2 = =>
a2x2 + b2y2 + c2z2 = -2(abxy + bcyz + caxz) 0,5 ®
Biến đổi mẫu số = (ax2 + by2 + cz2)(c + b + a) 1,0 đ
=> 2006
) )( ( ) ( ) ( )
( 2
2 2 2 2 2 c b a c b a cz by ax cz by ax y x ab z x ac z y bc cz by ax 0,5 đ Câu 2: (1,0 điểm)
Tõ: abc = 2006 => c ac c abc b bc b abc a abc ab a abc
P 0,5 ®
Biếnđổi => P = Câu III: (4,0 điểm). Câu 1: (2,0 điểm)
Biến đổi để có 10
) ( 10 y x
A 1,5 ®
Tìm đợc Amin = 10
2
y
x 0,5 ®
(4)1
1
1
2
n n
A 1,0 ®
=> A n 1,0 đ
Câu IV: (5,0 điểm).
Cho tứ giác ABCD có B = D = 900 Trên đờng chéo AC lấy điểm E sao
cho ABE = DBC Gọi I trung điểm AC BiÕt: BAC = BDC; CBD = CAD
C©u 1: Chøng minh BIC = 2BDC C©u 2: ABE
~
DBCC©u 3: AC.BD = AB.DC + AD.BC
Chøng minh:
Vẽ hình đúng, cân đối, ghi đủ GT, KL Câu 1: (1,5 điểm)
Sử dụng tính chất đờng trung tuyển tam giác vng tính chất góc ngồi tam giác chứng minh đợc CIB = BDC
C©u 2: (1,0 ®iĨm)
Chøng minh: ABE
~
DBC (g.g) C©u 3: (2,0 điểm)Vì ABE
~
DBCDC AE DB
AB
0,5 ®
AB.DC AE.DB (1)
BEC góc ngồi đỉnh E AEB nên BEC = EAB + EBA Mà: EBA = BDC = CAD Do BEC = EAB + EAD = BAD
ABD = ABE + EBD = EBD + DBC = EBC 0,5 ®
BEC
~
AD EC BD BC BAD
=> BC AD = EC BD (2) 0,5 ®
Cộng (1) (2) theo vế ta đợc:
AB DC + BC AD = AE DB + EC BD => AB DC + BC AD = (AE +EC) BD
=> AB DC + BC AD = AC BD 0,5 đ
Câu V: (2,0 điểm)
Vẽ hình đúng, cân đối, ghi đủgọn GT, KL: 0,25 đ
Tính đợc trung đoạn
SH = 180 cm 0,5 ®
S
D C
B
A D
C
(5)Tính đợc: Sxq= p.d
Sxq= 4.12 180
2
180 24
cm2
0,75 ®
Tính đợc: Diện tích tồn phần hình chóp: STP =Sxq +Sct
Stp = 24 180+122 = 24 180 + 144(cm2) 0,5 đ
Câu VI: (2,0 điểm) Ta cã:
1
a
M 0,25 đ
Để M số nguyên
1
a phải số nguyên 0,5 đ
Để
1
a số nguyên a số vô tỉ
Do ú a số ngun 0,5 đ
a+1 lµ íc tù nhiên 0,25 đ
a+1
a
A 16
M