HSG de dap an

[r]

đề thi học sinh giỏi cấp huyện

Mơn :

Tốn

Thời gian : 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu 1: (4,5 điểm) : Giải phơng trình sau:

1) 2

    

 X X X

X 2)

X X

X

X    ( 1)(2

9

1

C©u 2: (4 ®iĨm)

1) Chøng minh r»ng:

2 2006 2007

1

3

1

1

 

  

2) Chøng minh r»ng nÕu a, b, c chiều dài cạnh tam giác th×: ab + bc  a2 + b2 + c2 < (ab + bc + ca)

C©u 3: (4 điểm)

1) Tìm x, y, z biết:

z y x y x

z z

x y z

y x

         



2) T×m GTLN cđa biĨu thøc :

4 3 

 y

x biÕt x + y = 8

Câu 4: (5,5 điểm):

Cho đờng trịn tâm (O) đờng kính AB, xy tiếp tuyến B với đờng tròn, CD đờng kính Gọi giao điểm AC AD với xy theo thứ tự M, N

a) Chứng minh rằng: MCDN tứ giác nội tiếp đờng tròn b) Chứng minh rằng: AC.AM = AD.AN

c) Gọi I đờng tâm tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN Khi đờng kính CD quay quanh tâm O điểm I di chuyển đờng trịn no ?

Câu 5: (2 điểm):

Cho M thuộc cạnh CD hình vuông ABCD Tia phân giác cđa gãc ABM c¾t AD ë I Chøng minh r»ng: BI 2MI

Đáp án chấm điểm thi HS giỏi cấp huyện

Môn :

Toán

Câu I : (4,5 điểm)

1 (2,5đ) : - Đa dạng x 1x (0,5đ)

- KÕt luËn nghiÖm :         ; S (0,5đ)

2 (2đ) : - ĐKXĐ : x - x (0,5đ) - Đa dạng : 2x + = (1đ)

- KÕt ln : TËp nghiƯp cđa PT S = (0,5đ) Câu II : (4 điểm)

1 (2®) : Víi k ≥ Ta cã :

                           1 1 1 1 1 ( k k k k k k k k k

k (0,5®)

                    1 1 k k k k k k (0,5đ) Cho k giá trị từ đến 2007 Ta có :

                2 1 2         2007 2006 2006 2007 2007 1 2004 2005               (0,5®)

2 (2đ) : Với a, b, c cạnh cña mét ∆ a2 < ab + ac

b2 < ab + bc

c2 < ac + bc

=> a2 + b2 + c2 < (ab + ac + bc) (1đ)

Mặt khác : a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac

     

1

1

1 2

     

 a b a c b c

VËy ab + bc + ac ≤ a2 + b2 + c2 < (ab + ac + bc) (1®)

Câu III : (4 điểm)

1 (2đ) : y xz 1 x zy 2 x zy 3 2(xx yy zz)

             (0,5®)

+ NÕu x + y + z o th× x + y + z

2



Tìm đợc : x

2

 ; y

5

 ; z

6



 (0,5®)

KL : x = o; y = o; z = o vµ x

2

 ; y

6

 ; z

6



 (0,5®)

2 (2đ) : áp dụng bất đẳng thức Bu- nhi - a - cốp - xki với cặp số a,b x,y



a2 b2



x2 y2



ax by2    

Dấu đẳng thức xảy ay = bx (1đ)

Đặt A x y ta có :

A2



3 4



2 12 12 3 4

       

 x y x y

 7

2  

 x y

 (vì x + Y = (0,5đ)

=> A 

KL : May A  x 3 y

=> x = 3,5 y = 4,5 (0,5đ)

Câu IV : (5,5 ®iĨm)

Viết giả thiết, KL, vẽ hình cân đối (0,5đ) a) ∆ ABM vuông B

=> gãc BMA + gãc BAM = 900

0AC cân

=> góc ACD = gãc BAM

=> gãc BMA + gãc ACD = 900 (0,5đ)

ADC vuông A

=> gãc ADC + gãc ACD = 900

=> gãc BMA = gãc ADC (0,5®) gãc ADC + gãc NDC = 1800

=> ∆ MCDN có góc NMC + góc NDC = 1800 nên nội tiếp ng trũn (0,5)

b) ABM vuông B BC  AM

=> AB2 = AC AM (1) (0,5đ)

ABN vuông B BD AN

Từ (1) (2) => AC.AM = AD.AN (0,5đ) c) Chỉ đợc :

KÓ tõ IH  xy => IH // OA (1) (0,25đ) HN = HM = AH ( AMN vuông A; HN = HM)

=> góc NAH = góc ANH (0,25đ)

Theo câu a : gãc ADC = gãc AMN mµ gãc ANH + gãc AMN = 900

=> gãc NAH + gãc ADC = 900

=> AH  CD (0,25®)

Mặt khác IO CD (OC = OD; IO b¸n kÝnh) = AH // IO (2)

Từ (1) (2) => AHIO hình bình hành (0,5đ) => IH = OA = R (R bán kính đờng tròn (0))

Vậy CD quanh quanh tâm I chuyển động đờng thẳng d//xy cách xy khoảng R (0,5đ)

C©u V : (2 ®iĨm)

- Vẽ hình cân đối, viết giả thiết KL gọn cho (0,5đ)

- VÏ MH  BI; MH

∩

AB = {E} Ta cã : ME = 2MH ≤ 2MI (1) (0,5®) - VÏ MK  AB :

∆ MKE = ∆ BAI (g - c - g)