Bai tap on tap so phuc

[r]

CÁC DẠNG BÀI TẬP SỐ PHỨC  Dạng 1: Các phép tính số phức Bài 1: Thực phép tính ghi kết dạng a + bi

) (3 )(2 ) ) ( )(4 ) ) (3 )2

a z i i

b z i i

c z i i

  

   

 

Bài 2: Thực phép tính ghi kết dạng a + bi

1 )

2 )

1 )

2 )

3

i a z

i i b z

i i c z

i i d z

i

 

  

 

  

Bài 3: Thực phép tính ghi kết dạng a + bi

3

) (2 ) (1 ) (3 )(2 )

1

)

1

2 (2 ) (1 ) )

2(1 ) 3(1 )

a z i i i i

i i i

b z

i i i

i i

c z

i i

      

  

  

  

 



  

Bài 4: Thực phép tính ghi kết dạng a + bi

5 (2 )

) ;

3 (1 )

6 (1 ) )

5 (2 )

i a

i i b

i

 

 

16

1

)

1

i i

c

i i

   

   

   

 



 

d)(1i)15

Bài 5: Thực phép tính ghi kết dạng a + bi

1 2

) ;

5 3

10 (7 ) )

11 (8 )

i i

a z

i i

i b z

i

 

 

 

 



3

) (2 ) (2 )

4

) (1 ) (1 )

4

(3 ) (3 )

)

3

(2 ) (2 )

a z i i

b z i i

i i

c z

i i

   

   

  



  

13 (1 ) )

12 (2 )

5

(2 ) (3 ) )

7 (3 )

i d z

i

i i

e

i

 



 



) (2 )8 (5 )9

7

(3 ) (4 )

i i

f z

i i

 

 

 

Bài 7: Cho số phức z biết

2

z  i

Tính số phức: z z; 2;( ) ;1z  z z2

Bài 8: a) Tính tổng 1 i i2i3 i2012

b) Cho hai số phức z z1, thỏa mãn điều kiện

1;

1 2

z  z  z z  Tính

1

z z

Bài 9: Tính biểu thức: 2012

4 2013

i i i

A

i i i

  



  

B 1 (1i)2 (1 i)4  (1i)10 C (1i)100

Bài 10: a) Cho số phức 1

i z

i

 

 Tính 2012z

b) Chứng minh rằng: 2010 2008 2006 3(1i) 4 (1i i) 4(1i) Bài 11: Tính 105 23 20 34

i i i i

Bài 12: Cho số phức ; ;

1

z   i z    i z  i.Tính: a)

1

z z z ; b)

1 2 3

z z z z z z ; c)

1

z z z

d) 2

1

z z z ; e)

2

z

z z

z  z  z ; f)

2

1

2

2

z z

z z

  Bài 13: Cho ba số phức: ; ;

1

z   i z  i z   i.Tính: a)

1

z  z z ; b)

1 2

z z z z ; c) 2 3

z z z z z

) (2 ) (3 )

3

) ( ) (2 ) 2012 (1 ) )

(1 )

a z i i i

b z i i

i c z

i

    

   

 



Bài 2: Tìm mR để:

a) Số phứcz 1 (1mi) (1 mi)2 số ảo b) Số phức 2( 1)

1

m m i

z

mi

  



 số thực

Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn : 1 z z



 số thực.Chứng minh z số thực

Bài 4: Cho z x yi x y( , R).Tìm điều kiện x y để: a)

z số thực ; b)

z số ảo

Bài 5: Tìm phần thực phần ảo số phức : (1i)2011

Bài 6: Tìm phần thực phần ảo số phức z biết: z 2i 2 1 2i

Bài 7: Tìm phần thực phần ảo số phức z biết:     2 3 i z 4i z  (1 )i Bài 8: Tìm phần thực phần ảo số phức z (1i) ,n nN thỏa mãn phương trình log (4 n3) log ( n9)3

Dạng Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 1: Tìm số phức z biết : | z | = z2 ảo

Bài 2 :Tìm số phức z thoả mãn z (2 i)   10 zz 25

Bài 3 : Cho hai số phức z1 z2 thoả mãn | z1 | = 3; | z2 | = ; | z1 – z2| = 37 Tìm số phức

2

z z

z



Bài 4 : Tìm số phức z thoả mãn :

12

1 z z i z z

      



 

  

Bài 5 : Tìm số phức z thoả mãn: z3 = 18+26i Bài 6: Tìm số phức z thoả mãn :(2 ) i z z

Bài 7: Tìm số phức z thoả mãn z2 2z z z2 8 z z

Bài 8: Tìm số phức z thoả mãn: z i 2 2 phần thực lớn phần ảo đơn vị

Bài 9: Tìm số phức z thoả mãn: z1 ( z2 )i số thực z 1 Bài 10: Tìm số phức z thoả mãn : zz1izz2 3 i 4 i Bài 11: Tìm số phức z thoả mãn: ( )

1 2 z z i z z

i

i i

 

  

 

Bài 12: Tìm số phức z thoả mãn: 2 z  z Bài 13: Tìm số phức z thoả mãn: 2

1 z  z   Bài 14: Tìm số phức z thoả mãn:

0

Bài 15: Tìm số phức z thoả mãn:

1 z i

i z

  

Dạng 4: Chứng minh đẳng thức bất đẳng thức số phức Bài 1 Chứng minh z z1, 2C ,ta có:

a) z z1  z z1 (Mở rộng cho n số phức) b) 1

2

;

z z z  z

c) z1z1z1z2(Mở rộng cho n số phức) d) z z1 z z1 2(Mở rộng cho n số phức) e) 1

2

z z

z z

      

Bài 2: Chứng minh z z1, 2C a)  z1 Re( ), Im( )z1 z1  z1

b) z1  z2  z1z2  z1  z2

Bài 3: Chứng minh số phức z thỏa mãn điều kiện 3

9 z

z

  z z

  Bài 4:Chứng minh với số phức z hai bất đẳng thức sau xảy ra: 1

2

z 

1 z  

Bài 5: Chứng minh z z1, 2C z z1 2z z1 số thực Bài 6: Chứng minh số sau số thực :

  7 7

*

2 5

19 20 ,

9

n n

i i

i i

n N

i i

  

 

   

 

   

 

   

Bài 7: Cho hai số phức z z1, thỏa mãn: 2 2

z z z z z1  z2  z1z2 Bài 8: Cho hai số phức z z1, 2.Chứng minh rằng:

1

2

0

0

z z z

z     

 

Bài 9: Cho ba số phức z z z1, 2, có mơđun 1.Chứng minh rằng: z1z2z3  z z1 2z z2 3z z3

Bài 10: Cho số phức z mà z 1.Chứng minh rằng: 1

z iz

  

Dạng 5: Môđun số phức Bài 1: Tìm mơđun số phức

a) z 3 4i

b) z(2 )(4 i i) c)

1 i z

i

 



d) (2 )(3 )

i i

z

i

 



Bài 2: Cho số phức (1 )

1 i z

i

 

 Tìm mơđun số phức ziz Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn:

11

1

1

i i

i z

i i



   

   

 

    Tìm mơđun số phức w z iz

Bài 4: Biết số phức z thỏa mãn điều kiện u(z 3 i z)(  1 )i số thực Tìm giá trị nhỏ z

Bài 5: Biết số phức z thỏa mãn 2

z i

z i

  

  Tìm GTLN,GTNN z Bài 6: Biết số phức z thỏa mãn

1

z i

z i

  

  Tìm GTLN,GTNN z Bài 7: Biết số phức z thỏa mãn z 1 2i 2 Tìm GTNN z

Bài 8: Biết số phức z thỏa mãn z 2 4i  z2i Tìm GTNN z Bài 8: Cho ,

1 ( ) m

z m R

m m i



 

  Tìm GTLN z

Dạng 6: Biểu diễn hình học số phức

Bài 1: Trong mặt phẳng phức ,cho ba điểm A,B,C không thẳng biễu diễn số phức a,b,c Gọi M trung điểm AB,G trọng tâm tam giác ABC D điểm đối xứng A qua G.Các điểm M,G,D điểm biễu diễn số phức m,g,d a) Tính số phức m,g,d theo a,b,c

b) Nếu thêm giả thiết a  b  c ,chứng minh tam giác ABC tam giác a + b + c =

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD.Ba đỉnh A,B,C biểu diễn số phức: a 2 ;i b  1 i c;  5 mi m( R)

a) Tìm số phức d biểu diễn điểm D

b) Định m cho ABCD hình chữ nhật

Bài 3: Trong mặt phẳng phức,cho ba điểm M,A,B biểu diễn số phức ; 3 ;

3

i i

z   z z

 

 

a) Chứng minh  z C,tam giác OMA vuông M

b) Chứng minh  z C,tam giác MAB tam giác vuông c) Chứng minh  z C,tứ giác OMAB hình chữ nhật

Bài 4: Gọi A,B,C ba điểm điểm biểu diễn số phức a  1 i b; i c;  1 ki k( R)

a) Định k để ba điểm A,B,C thẳng hàng; b) Xét hàm số

w f z( )z Đặt a’ = f(a),b’ = f(b),c’ = f(c).Tính a’,b’,c’

c) Gọi A’,B’,C’ điểm biểu diễn số phức a’,b’,c’.Xác định k để A’,B’,C’ ba điểm thẳng hàng

d) Nếu u v , biểu diễn số phức z,z’.Chứng minh

'

z u v

z  

 

Bài 5: Cho ba điểm A,B,C ba điểm biểu diễn số phức:

1; ; a b  i cb

a) Xác định số phức biễu diễn vecto   AB AC BC, , ;

b) Xác định  cho A,B,C ba đỉnh tam giác

c) Với điều kiện câu b),hãy chứng minh ABC tam giác vuông; d) Tìm số phức d biểu diễn điểm D cho ABCD hình chữ nhật

Bài 6: Cho ba điểm A,B,C biểu diễn số phức

1 ; ; ( )

a i ba cx i x R Tìm x saocho:

a) tam giác ABC vuông B; b) Tam giác ABC cân C

Bài 7: Xét điểm A,B,C mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức: ; (1 );2

1

i i

i

i i

 

 

1) Chứng minh tam giác ABC vng cân

2) Tìm số phức z có điểm biểu diễn D saocho ABCD hình vuông

Bài 8: cho ba điểm M M M1, 2, tương ứng với số phức z z z1, 2, 3.Chứng minh

1, 2,

M M M thẳng hàng tỉ số z z z z



 số thực

Bài 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho hai điểm A B hai điểm biểu diễn hai nghiệm phương trình

6

z  z  Chứng minh tam giác OAB vuông cân

Bài 10: Giả sử z z1, số phức khác thỏa mãn:

2

1 2

z z z z  Gọi A B điểm biểu diễn tương ứng z z1, 2.Chứng minh tam giác OAB

Dạng 7: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức

Bài 1: Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z trường hợp sau: a) z i z i ; b)

1

z i

z i

    

c) z  2 i 5; d) z 1 z 1

e)

1

z z



 số ảo ,z1; f)

1

z z i



 số thực ,z2i g) z z0 z z0  1 với z0  1 i

Bài 2: Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn: a) z(2i) 1; b) i 4

z



  ; c) z  1 i z(3i) ; d) z4  z4 4 e) (1i z) 4 2

Bài 3: Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z trường hợp sau: a)

2 w

1 z z



 số thực

b)

2 w z

z i



 số ảo

c) w z i

z i   

d) w z i

z i   

 số ảo

Bài 4: Gọi M M’ điểm biểu diễn số phức z z'

z

 (z0) Đặt z x yi z; 'x'y i x y x y' , ( , , ', 'R)

a) Tính x’,y’ theo x , y;Tính x,y theo x’, y’

b) Cho điểm M di động đường tròn (C) tâm A( 1;1) bán kính R Tìm tập hợp điểm M’

c) Cho M di động đường thẳng y = x + 1,tìm tập hợp điểm M’

Bài 5: Gọi M P điểm biểu diễn số phức z = x + yi (x y, R)

wz Tìm tập hợp điểm P trường hợp sau đây: a) M thuộc đường thẳng d: y = 2x;

b) M thuộc đường thẳng d: y = x + 1;

c) Chứng minh rằng: z z, 'C,ta có z z '  z z' từ suy 2 z  z d) Tìm tập hợp điểm P M thuộc đường tròn (C): 2

1; x y 

e) M thuộc hypebol (C): y 1x 0

x

 

f) z  2 i z 2 i

Bài 6: Tìm tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng số phức: (1i 3)z2 biết số phức z thỏa mãn z 1

Bài 7: Giả sử M điểm mặt phẳng biểu diễn số phức z.Tìm tập hợp điểm M trường hợp sau:

a) 2z  z2; b) 1 z  1 i

Bài 8: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z biết: z i

z i 

 số thực Bài 9: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z biết:  2

z  z Bài 10: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z biết:

2

z z



 có acgumen



Dạng 8: Căn bậc hai số phức , giải phương trình bậc hai

Bài 1:Tìm bậc hai số phức sau:

a) 12  i; b)8 6 i; c)33 56 i; d) 4  i Bài 2: Tìm bậc hai số phức sau:

)4 )

a i

b i

  

Bài 3: Tìm bậc hai số phức: a) 1 3i ; )

4

b i 

Bài 4: Tính bậc hai số phức sau: a) 15 8 i ; b) 3 i ; c)  5 12i

Bài 6: Tìm số phức z thỏa mãn:

4

1

1

z z i



 

 

 



 

Bài 7: Giải phương trình: a)

4

1

z z i



 



 



  ; b)

4

2

1

z z



 



 



 

Bài 8: Giải phương trình bậc hai sau đây: a)

4

z  z  ; b) 2z12 9 c)

8 16

z  z  i ; d) 25

3

4

z  z  Bài 9:Giải phương trình sau đây: a)

2

z  z  ; b)

0

z i z  c)

1

iz  z   ; d)

0 z  z Bài 10: Giải phương trình sau đây: a)

4 13 z  z 

b)

(5 ) 5 z   i z  i

Bài 11: Tìm phương trình bậc hai hệ số thực biết nghiệm – 2i Bài 12: Tìm số phức a b cho phương trình  

2i z az b 0 có hai nghiệm z1 3 i z;  1 2i

Bài 13: Giải phương trình sau: a)

(2 ) (2 )

z  i z   i z i biết nghiệm z1 i b)

4 (4 ) 3

z  z  i z  i biết nghiệm z1 i Bài 14:Giải phương trình

a) 4z 7i z 2i z i

 

  

b)  2  

4 12

z z  z z   c)

2

1

z

z z    z

Bài 15: Giải phương trình:

3 (2 ) 3 z  z  i z  z  i

Dạng Dạng lượng giác số phức ứng dụng Bài 1: Viết số phức sau dạng lượng giác:

a) 4; b) 2i; c) 1i 3; d) 3i ; e)

3 i ; f)

7  i Bài 2: Viết số phức sau dạng lượng giác:

a) (2i)(3i); b) 2

i i



 ; c)  22i 39 6 i; d) 1i1 32i

e)   3 i  i

   

 

; f) 2 i 

Bài 3: Viết số phức sau dạng lượng giác:

a) i

 ; b) 1 31 3i

Bài 5: Tính giá trị số phức sau viết kết dạng a + bi a b, R

a) os2 i sin2 os3 i sin3

7 14 14

Ac      c   

   ; b)

3 cos sin 5 cos sin 5 i B i                   

c) 5

cos sin 6 i C i          

; d)

10

5

2

2 cos sin cos sin

3 3

7

2 cos sin

6 i i D i                                           

Bài 6: Tính giá trị biểu thức sau:

9

1

2

i i

A     

    ;

7

1 3

2

i i

B     

   

   

C1i 361i51i51i 36;  

 

 

 

5

4

1 3

1 i i D i i      

Bài 7: Tính môđun acgumen số phức sau: a)

2 i z i  

 ; b)

18 i z i  

 ; c)

5 i z i       

  ; d)

3 3 i z i         

Bài 8: Tính mơđun acgumen số phức sau:

a) os i sin

4

z c    ; b) os i sin

3

z c    ; c) os2 i sin2

5

z c   

d) sin i sin

3

z      ; e) sin cos

6

z    i  ; f)  os i sin  os i sin

c c        

g) 1 ( os c i sin ) 1  cosi sin

Bài 9: Viết dạng lượng giác số phức z mà

3

z  acgumen

1

z i 

3



 Bài 10: Tìm số phức z cho z 3i

z i

 

 z + có acgumen



