Đang tải... (xem toàn văn)
Gọi R 1 và R 2 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABM và ACM.. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F..[r]
(1)sở giáo dục đào tạo quảng ninh
- -
kú thi häc sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 thpt năm học 2010-2011
Đề thi thức
môn : Toán ( bảngB )
Họ tên, chữ ký giám thị số
Ngày thi : 26/10/2010 ………
Thêi gian lµm bµi : 180 phót
(khơng kể thời gian giao đề) ………
(Đề thi có 01 trang)
Bài (3 ®iĨm): Tính giới hạn:
3
x
x x
lim
x
Bài (3 điểm):
Chng minh: cotx tanx = 2cot2x p dng, tính giá trị biÓu thøc sau :
31
A tan tan tan tan tan
64 16 32 64
Bài (4 điểm):
Tìm cỏc nghiệm thực ph-ơng trình: x = x Bài (7 điểm):
1 Hình chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuông ABCD c định, đỉnh S thay đổi thoả mãn điều kiện: ASB = ASD =90
Chứng minh S ln thuộc đ-ờng trịn cố định
2 Cho tam giác ABC Giả sử điểm M thay đổi đường thẳng BC Gọi R1 R2 bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABM ACM
Chứng minh : R1+R2 đạt giá trị nhỏ M hình chiếu vng góc ca A
trờn BC
Bài (3 điểm):
Xét biểu thức F =
2
2
x y xy
x y xy vi x, y số thực dng tu ý
Tìm giá trị nhỏ biểu thức F
- HÕt -
(2)sở giáo dục đào tạo quảng ninh
h-ớng dẫn chấm thi chọn hsg lớp 12 năm học 2010-2011 mơn tốn bảng B đề thức
Bài Sơ l-ợc lời giải Cho
điểm Bài
3 điểm Ta có:
3
x x
x =
3
x 1 x 1
x =
x 1
x +
3
x 1
x
= x
x x 1 + 3
x
x( (x 1) x 1)=
1
x 1+ 3
1
(x 1) x 1
Do: limx 0
x 1=
1
2 x 3
1 lim
(x 1) x 1=
1 nên
3
x
x x
lim x = + 3= 1,0 1,0 0,75 0,25 Bài
3 điểm Ta có:
2
cosx sinx cos x sin x 2cos2x
cotx tanx = =2cot2x
sinx cosx sinx.cosx sin2x (đpcm!) Do:tan31
64 =co t64 nên
31
A tan tan tan tan tan
64 16 32 64
(co t tan ) tan tan tan
64 64 32 16
2(co t tan ) tan tan
32 32 16 4(co t16 tan16) tan 8(co t tan )
8 16co t 16 Vậy A = 16
1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 Bµi
4 ®iÓm Điều kiện: x≥1 Đặt: u =
3 2 x
; v = x 1=> v ≥ 0, biến đổi hệ phương trình:
u v
u v (I)
giải hệ (I): có (I) <=>
u v
(1 v) v 1<=>
u v
v 4v 3v (*)
giải phương trình (*) được: v = 0; v = 1; v = - thoả mãn điều kiện v ≥ Từ tìm được: x = 1; x = 2; x = 10
Vậy phương trình cho có nghiệm là: x = 1; x = 2; x = 10
(3)Bµi Sơ l-ợc lời giải Cho điểm Bài 4.1 4 điểm Hỡnh v: O D B A C S
Gọi O tâm hình vng ABCD
Do SA SB SA SD SA (BSD) SA SO SA BD
Lại AC BD (ABCD vu«ng) nên với SA BD BD (SAC) => mặt phẳng (SAC) cố định (là mặt phẳng qua AC, vng góc với BD)
Từ suy S thuộcđường trịn ®-êng kÝnh AO nằm trênmặt phẳng (SAC) - đường trịn cố định A, O mặt phẳng (SAC) cố định (đpcm ! )
1,0 0,75 0,75 0,75 0,75 Bài 4.2
3 điểm Áp dụng định lý hàm số sin, ta được: R1=
AB
2 sin AMB ; R2=
AC sin AMC
do sinAMB = sinAMC nên R1+R2 =
AB AC
2 sin AMB
lại 0< sinAMB ≤1 nên R1+ R2 ≥
AB AC
2 = const,
dấu "=" có <=> sinAMB=1 M hình chiếu vng góc A BC R1+R2 nhỏ
AB AC
2 , đạt M hình chiếu vng góc
A BC (đpcm !)
0,75 0,75 0,5 0,5 0,5 Bµi
3 ®iĨm Chia tư mÉu A cho y
2
đặt t = x
y ta đ-ợc F =
2
1
t t
t t víi t > 0,75
XÐt hàm sè f(t) =
2
2
1
t t
t t (0;+ ),
Lpc bảng biÕn thiªn, suy ra:
1 ( )
3
f t víi mäi t >
ta cã : f ’(t) = 2 2( 1) ( 1) t t t t
t + f ’(t) – +
f(t)
1
3
0,75
1,0 từ có: F = 22 22
3
x y xy
x y xy với x,y > 0; dÊu b»ng x¶y <=> t =1 <=> x = y
Vậy với x, y số thực dng, F =
3
(4)C¸c chó ý chÊm:
1 H-íng dÉn chÊm nµy chØ trình bày sơ l-ợc cách giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán xác đ-ợc điểm tối đa
2 Các cách giải khác cho điểm Tổ chấm trao đổi thống điểm chi tiết nh-ng không đ-ợc v-ợt số điểm dành cho câu, phần ú
3 Có thể chia điểm phần nh-ng không d-ới 0,25 đ phải thống tæ chÊm