Đang tải... (xem toàn văn)
2. 4 Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang, AB là đáy lớn. 5 Cho tứ diện ABCD. 6 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF chứa trong hai mp khác nhau. ABCD đáy là hình bình hành.. Xét h[r]
(1)ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ
CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC § 1 CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. Tóm tắt lý thuyết:
1. Hàm số y = sinx
* Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng số thực x với sin
góc có số đo radian x gọi hàm số sin, kí hiệu y = sinx.
* Tính chất:
+ Tập xác định: R.
+ Tập giá trị: [-1;1].
+ Hàm số lẻ.
+ Hàm số tuần hoàn với chu kì 2π .
+ Sự biến thiên: Tăng khoảng.
+ k k k∈ Z
− π + π π + 2π
2 ;
2 .
+ Và giảm khoảng.
+ k k k∈ Z
π + π π + 2π
2 ;
2 .
+ Đồ thị đường hình sin.
2. Hàm số y = cosx.
* Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng số thực x với cos góc lượng giác có số đo radian x gọi hàm số cosin, kí hiệu y = cosx.
* Tính chất:
+ Tâp xác định: R.
+ Tập giá trị: [-1;1].
+ Hàm số chẵn.
+ Hàm số tuần hồn với chu kì 2π .
+ Sự biến thiên: Tăng khoảng.
+ (− π + k2π ;k2π )k∈ Z .
+ Và giảm khoảng.
+ (k2π ;π + k2π )k∈ Z .
+ Đồ thị đường hình sin.
3. Hàm số y = tanx
* Định nghĩa: Đặt
+ ∈
= R k k Z
D |
2 \
1 π
π
Quy tắc đặt tương ứng số thựcx∈ D1 với
tang góc lượng giác có số đo radian x gọi hàm số tang, kí hiệu y=tanx. * Tính chất:
(2)+ Tập xác định:
+ ∈
= R k k Z
D |
2 \
1 π
π
.
+ Tập giá trị: R.
+ Hàm số lẻ.
+ Hàm số tuần hoàn với chu kì π .
+ Sự biến thiên: Tăng khoảng.
+ k k k∈ Z
− π + π π + π
2 ;
2 .
+ Đồ thị nhận đường thẳngx= + k ,k∈ Z
2 π
π
làm đường tiệm cận.
4. Hàm số y = cotx:
* Định nghĩa: Đặt D2 = R\{kπ |k∈ Z} Quy tắc đặt tương ứng số thựcx∈ D2 với cotang
của góc lượng giác có số đo radian x gọi hàm số cotang, kí hiệu y=cotx. * Tính chất:
Tập xác định: D2 = R\{kπ |k∈ Z}. Tập giá trị: R.
Hàm số lẻ.
Hàm số tuần hoàn với chu kì π . Sự biến thiên: giảm khoảng.
(kπ ;π + kπ )k∈ Z.
Đồ thị nhận đường thẳngx= kπ ,k∈ Z làm đường tiệm cận.
5 Khái niệm hàm số tuần hoàn
Hàm số y=f(x) xác định tập hợp D gọi hàm số tuần hồn có số T ≠ 0 sao cho với x∈ D ta có x+ T∈ D;c− T∈ Dvà f(x+T) = f(x).
Nếu có số dương T nhỏ thỏa mãn điều kiện hàm số gọi hàm số tuần hồn với chu kì T.
B. Phần tập:
1 1 Tìm tập xác định hàm số:
a)
x x y
cos sin 1− =
b)
+ =
3 cot x π y
c)
x x y
sin
sin
+ − =
d)
−
=
6 tan x π y
e) y= 3− sinx
f)
+
=
6 tan x π y
1 2 Khảo sát tính chẵn, lẻ hàm số:
a) y = tanx + sinx
b) y = sinx – cosx c)
+ =
4 sin x π y
d) y= tan|x|
1 3 Xét tăng giảm hàm số:
a)
2 cosx
(3)c) + = cos x π
y d)
2 sinx y=
1 4 Cho hàm số f(x) = sinx, g(x) = cosx, h(x) = tanx khoảng:
− − = = − = = 601 ; 452 ; 33 ; 31 ; ; ; ; π π π π π π π
π B C D
A .
Hỏi: Hàm số ba hàm số đồng biến khoảng A? Trên khoảng B? Trên khoảng C? Trên khoảng D? (Nên lập bảng)
1 5 Cho hàm số y = f(x) = 2sin2x.
a) Chứng minh rằng: Với số ngun k tùy ý ta ln có: f(x+ kπ )= f( )x với x.
b) Lập bảng biến thiên hàm số: y = 2sin2x đoạn − ;2
π π
.
c) Vẽ đồ thị hàm số đó.
1 6 Từ đồ thị hàm số y = sinx, suy đồ thị hàm số sau vẽ đồ thị hàm số đó:
a) y = - sinx b) y=|sinx| c) y= sin|x|
1 7 Trong hàm số sau đây, hàm số hàm số tuần hoàn?
a) y = sinx
b) y = x2
c) y = x+1
d) + − = x x y
1 8 Tìm chu kì hàm số:
a) y = cos(ax+b)
b) y = sin(ax+b)
c) y= sinx + cosx
d) y x cosx
2 sin + =
e) y = sin2x + cos3x
f) y = xin2x
1 9 Chứng minh rằng:
a) Sinx < cosx
4 0< x< π
b) Sinx > cosx
2
π π < x<
1 10 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số:
a)
3 cos
2 −
−
= x π
y
b) y sinxcosx
2 5+ = c) 4 sin
3 −
−
= x π
y
d) y= 3cosx− sinx
(4)§ 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Phương pháp:
: Nhận dạng hay đưa phương trình giả thiết phương trình lượng giác sau đây. Z k k x k x
x ∈
+ − = + = ⇔ = , 2 sin sin π α π π α α Z k k x
x= cos ⇔ = ± + , ∈
cos α α π
* tanx= tanα ⇔ x= α + kπ ; (với α ≠ π + kπ
2 ).
* cotx= cotα ⇔ x= α + kπ ; (với α ≠ kπ ). : Một số trường hợp đặc biệt:
Z k k x x Z k k x x Z k k x coxx Z k k x x Z k k x x Z k k x x ∈ + = ⇔ − = ∈ = ⇔ = ∈ + = ⇔ = ∈ + − = ⇔ − = ∈ + = ⇔ = ∈ = ⇔ = ; cos ; cos ; ; 2 sin ; 2 sin ; sin π π π π π π π π π π
Phần tập:
2 1 Giải phương trình:
a) cos ; cos ; cos ;
sinx= x= x= x= −
b) 3 cot ; 3 tan ; cot ;
tanx= x= − x+ = x= −
2 2 Giải phương trình:
a) x sinx
6
sin =
− π b) 2
sin =
+ πx
c) − =
2 3 cos x π
d) x sinx
4
cos =
− π
e) 2sinx – = 0
f) 8cos2x – 12 = 0
2 3 Tìm nghiệm phương trình sau khoảng cho:
a) ;
2
sin x= − với 0< x< π .
b) ( )
2
cos x− = ; với −π < x< π
c) tan(2x−150)=
(5)d)
3
cot x= − ; với < <
− π x
2 4 Giải phương trình:
a)
3
tan =
− πx
b) tanx = cot2x
c) 3tanx+ 3=
d)
3 cot
3 − =
− πx
e) sin(x− 500)= cos(x+1200)
f) cot
5
tan + =
−x π x
g) sin(x+ 240)+ sin(x+1440)= cos200
h)
( 0) 2( 0) ( 0)
2 30 sin 30 sin 60
cos x− − x− = x+
2 5 Giải biện luận phương trình sau:
a) Msinx – 2m + = 0 b) (m+1)tanx=m2
2 6 Giải phương trình:
a) ( )
2 sin
cos x = b) cos( )x2 = 21
§ 3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HSLG Phương pháp:
Dạng 1: ( )
0 , sin sin cos cos 2 ≠ = + + = + + a c x b x a hay c x b x a
: Đặt t = cosx (hay t = sinx) ⇒ −1≤ t≤ 1. : Giải phương trình:
= + + ≤ ≤ − 1
2 bt c
at t
: Giải phương trình: [ ][ ]
− ∈ = − ∈ = ; sin ; cos , , t x t x
Dạng 2:
≠ + = +
+ b x c x π kπ
x a , tan tan2 hay:
(x kπ )
c x b x
acot2 + cot + = 0, ≠
: Đặt t = tanx ( t = cotx).
: Giải phương trình: At2 + Bt + C = Phần tập:
3 1: Giải phương trình:
a) 2cos2 x− 3cosx+ 1=
b) 4sin2x+ 4sinx− 3=
c) sin22x−13sin2x+ 5=
d) tan2 x+ ( 3− 1)tanx− 3=
e) 4cos2 x− 2(1+ 3)cosx+ 3=
f) cot2 x+ 4cotx+ 3=
3 2: Giải phương trình:
a) Cos2x – 3sinx + = 0
(6)b) sin2x− cosx+ 1=
c) 4sin22x− 8cos2x+ 3=
d) tanx – cotx = 3/2
e) cot
sin
2x = x+
f) sin
4 sin cos
sin4x+ 4x− x+ x=
g) cos5x.cosx= cos4x.cos2x+ 3cos2 x+
h) sin3x+ 3sin2x+ 2sinx=
i) cos
cos2 =
− +
+π x π x
j) cos2x+ sinx+ 1=
k) sin3x+ 3sinx− 6cos2 x+ 2=
3 3: Giải biện luận phương trình:
a) (m− 3)sin2x− 2(m−1)sinx+ m−1=
b) 3(m−1)cos2 x+ 2mcosx− m=
§ 4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX, COSX Phương pháp:
: Kiểm tra điều kiện có nghiệm: a2 + b2 ≥ c2
: Cách 1: Chia vế phương trình (1) cho a2 + b2 đưa công thức cộng.
(1) 2 2 sin 2 2 cos 2 2
b a c x b a b x b a a + = + + + ⇔
Đặt: 2 2
2 2 cos cos sin b a c và b a b b a a + = + = + = θ ϕ ϕ
ta có pt dạng: cos(x± ϕ )= ± cosθ . Hay: + = + = + = 2 2 2 sin , sin cos b b b a c a a a a θ ϕ ϕ
ta có pt dạng: sin(x± ϕ )= ± sinθ .
: Cách 2: Chia vế cho a đưa công thức cộng. :Cách 3: Đặt x = t
2
tan áp dụng công thức học a = t
2
tan ( Cách khắc phục
(7)Phần tập:
4 1 Giải phương trình:
a) cosx+ 3sinx=
b) 2sinx – 5cosx = 4
c) 3sinx− cosx=
d) Sinx – cosx = 1
e)
2 cos
sinx+ x=
f) 13sinx + 15cosx = 1
4 2 Giải phương trình:
a) sin8x− cos6x= 3(sin6x+ cos8x)
b) sinx+ cosx= 2sinxcosx
c) 2 sin sin
2 =
− +
+π x x π
d) 2sin2x+ 3sin2x=
e) sin cos sin cos = − − + − x x x x
4 3 Tìm điều kiện m để pt sau có nghiệm:
a) Cosx + sinx = m
b) ( )
2 cos sin + − = + m m x x
4 4 Giải biện luận phương trình sau:
a) 2cosx+ msinx= 3;(m≥ 5)
b)
6 cos
cos − =
− +
+π x m x π
§ 5 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG CẤP BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX Dạng:
( , , 0)
, cos
cos sin
sin2x+ b x x+ c x= d a b c≠
a
Phương pháp 1: : Biến đổi:
x x x x x x
x sin2
2 cos sin ; 2 cos cos ; 2 cos
sin2 = − = + =
: Giải pt cổ điển tương đương:
bsin2x + ( - a ) cos2x = 2d – a – c. Phương pháp 2:
Viết phương trình: ⇔ asin2x+ bsinxcosx+ ccos2 x= d(sin2x+ cos2 x) : Kiểm tra cosx = có phải nghiệm phương trình hay khơng? : Sau chia hai vế cho cos2 x.
Viết pt ⇔ (a− d)tan2x+ btanx+ c=
(8)Phần tập:
5 1 Giải phương trình:
a) 3sin2x+ 8sinxcosx+ 4cos2 x=
b) sin2x− 8sinxcosx+ 7cos2x=
c) 3sin2x+ sin2x− 3cos2x=
d) 2sin2 x− 3sin2x=
e) 3sin2x+ 5cos2x+ 2cos2x− 4sin2x=
f) cos2x− cosxsinx= 3sinx(cosx− sinx)
5 2 Cho phương trình:
(2sinx−1)(2cos2x+ 2sinx+ m)= 3− 4cos2 x
Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện 0≤ x≤ π
5 3 Giải phương trình:
a) 3cos2 x− sinxcosx+ 3− m=
b) m2cos2x− 4msinxcosx+ 3= 2sin2x
c) (m+ 3)sin2x+ (m+ 3)sinxcosx+ cos2x=
d) msin2x+ sin2x− cos2x=
§ 6 PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ PHẢN XỨNG Dạng: a(cosx± sinx)+ bsinxcosx+ c=
Phương pháp:
I. Phương trình đối xứng:
Dạng: a(cosx+ sinx)+ bsinxcosx+ c= 0 (1). Cách giải:
: Đặt |, |
4 cos sin
cos ≤
− =
+
= x x x t
t π
ta có:
2 cos
sinx x= t2−
: Phương trình (1) trở thành pt bh theo t, giải pt chọn t = to thỏa điều kiện|t|≤ sau giải pt:
− =
4 cos
0
π x
t ta tìm x.
II. Phương trình phản xứng:
Dạng: a(cosx− sinx)+ bsinxcosx+ c= 0 (2). Cách giải:
: Đặt |, |
4 cos sin
cos ≤
− =
−
= x x x t
t π
ta có:
2 cos sin
2
t x
(9) :Phương trình (2) trở thành pt bh theo t, giải pt chọn t = to thỏa điều kiện|t|≤ sau giải pt:
− =
4 cos
0
π x
t ta tìm x.
Phần tập:
6 1 Giải phương trình:
a) 2(sinx+ cosx)+ 6sinxcosx− 2=
b) Sinx + cosx – sinxcosx – =0
c) sinxcosx− 2(sinx+ cosx)+1=
d) Sinxcosx = 6(sinx – cosx) – 1
e) sinx− cosx= 6sinxcosx
f) 2(sinx− cosx)= 3− sin2x
g) 2sin2x+ 3(sinx+ cosx)+ 8=
h) (1− 2)(1+ sinx− cosx)= sin2x
i) (1+ 2)(sinx+ cosx)− 2sinxcosx−1− 2= 6 2 Giải phương trinh:
a) 2
cos sin
1
= +
x x
b) x x cosx
2 sin
sin − = −
c)
− =
+
4 sin 2
sin x x π
d) 2sin2x− 6|sinx+ cosx|+8=
e)
− =
+ +
4 cos cos sin
1 x x x π
6 3 Biện luận theo m, số nghiệm phương trình: 3(sinx + cosx) = 4msinxcosx.
(10)§ 7 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC Phương pháp: biến đổi:
:Đưa dạng tích.
:Sử dụng logic:
= = = ⇔ = + + +
0 0
0
1
2 2
n n
A A A A
A A
:Sử dụng phương pháp đối lập ( chặn chặn hai vế) Sử dụng logic:
= = ⇔
= ≤ ≥
M B
M A B
A M B
M A
:Sử dụng đẳng thức:
= = ⇔
+ = + ≤ ≤
1 1
1 1
B B
A A B
A B A
B B
A A
Phần tập:
7 1 Giải phương trình sau: (dạng tích)
a) Sinx + sin2x + sin3x = 0
b) sinx+ sin2x+ sin3x= 3(cosx+ cos2x+ cos3x)
c) Cosx + cos3x + cos5x = 0
d) 1+ 2sinx + cos3x = 2cosx.cos2x
e) Cos2x – cos8x + cos6x = 1
f) 2sinxcos2x + 2cos2x = + sinx.
g) (2sinx−1)(2cos2x+ 2sinx+ 1)= 3− 4cos2 x
h) Sin2x + tanx =
i) sinx(1+ cosx)= 1+ cosx+ cos2x
j) Cos7x + sin8x = cos3x – sin2x
k) 1+ 2sinxcos2x = sinx + 2cos2x
l) cos3x – cos8x + cos5x = 1
7 2 Giải phương trình sau: ( hạ bậc)
a)
2 sin sin
sin2x− x+ x=
b) cos
3
sin4x+ 4x=
c) sin2x− sin22x+ sin23x+ sin24x=
d) 2sin6x+ cos4 x− cos2x=
(11)f) tan
sinx+ + x=
g) Sin2x + cos 2x + tanx = 2
h) 2cos6 x+ sin4 x+ cos2x=
i)
2 cot sinx+ x=
7 3 Giải phương trình sau: ( dạng đặc biệt)
a)
3 sin
2 x = x2− x+
b) 3cos2 x+ 1= sin210x
c) Sinx + 2sin2x = + sin3x
d) cos cos cos
cos2 2 +
− = + x x x x
e) x sin 3x sinx.sin 3x
4
sin2 + =
f)
sin sin
sin
sin2 + 2 + + + =
x x
x x
g) (cos4x− cos2x)2 = 4+ cos23x
MỘT SỐ ĐỀ THI VÀO ĐẠI HỌC – CĐ Đề 1 ( ĐH khối A – 2010) Giải phương trình:
( ) cos tan sin cos sin x x x x x = + + + + π
Đề 2 ( ĐH khối B – 2010) Giải phương trình:
(sin2x+ cos2x)cosx+ 2cos2x− sinx=
Đề 3 ( ĐH khối D – 2010) Giải phương trình: Sin2x – cos2x + 3sinx – cosx – = 0
Đề 4 ( ĐH khối A, B, D – 2010) Giải phương trình:
(8sin 1)cos
2 cos cos
4 x x+ x− x=
Đề 5 ( ĐH khối A – 2009) Giải phương trình:
( )
(1 2sin )(1 sin )
cos sin = − + − x x x x
Đề 6 ( ĐH khối B – 2009) Giải phương trình: (cos4 sin ) cos sin cos
sinx+ x x+ x= x+ 3x
Đề 7 ( ĐH khối D – 2009) Giải phương trình: sin cos sin cos
3 x− x x− x=
Đề 8 ( ĐH khối A – 2009) Giải phương trình:
(12)(1+ 2sinx)2cosx= 1+ sinx+ cosx
Đề 9 ( ĐH khối A – 2008) Giải phương trình: sin sin sin − = − + x x x π π
Đề 10 ( ĐH khối B – 2008) Giải phương trình: cos sin cos sin cos
sin3x− 3x= x x− 2x x
Đề 11 ( CĐ khối A – 2008) Giải phương trình: sin cos 3
sin x− x= x
Đề 12 ( ĐH khối A – 2007) Giải phương trình: (1+ sin2 x)cosx+ (1+ cos2xsinx)=1+ sin2x
Đề 13 ( ĐH khối B – 2007) Giải phương trình: sin sin sin
2 x+ x− = x
Đề 14 ( ĐH khối D – 2007) Giải phương trình: cos cos sin = +
x+ x x
Đề 15 ( CĐKT TpHCM – 2007) Giải phương trình: cos cos cos sin
sin x x+ x x= + x
Đề 16 ( ĐH khối A – 2006) Giải phương trình:
− = − x x x sin sin 2 tan
3 π
Đề 17 ( ĐH khối A – 2006) Giải phương trình:
( ) 0
sin 2 cos sin sin cos
2 6
= − − + x x x x x
Đề 18 ( ĐH khối B – 2006) Giải phương trình: tan tan sin
cot =
+
+ x x x
x
Đề 19 ( ĐH khối D – 2006) Giải phương trình: Cos3x + cos2x – cosx – =
Đề 20 ( CĐSP TpHCM khối A – 2006) Giải phương trình: sin cos 2
sin + =
+ +
+ x x π
x
Đề 21 (C ĐBCHS khối A – 2006) Giải phương trình: cos sin cos sin cos
sin x x+ x x+ x x=
Đề 22 (C ĐBCHS khối D – 2006) Giải phương trình:
2 cos sin
cos4x+ 4x= x
(13)
+ + = −
4 sin
2
2 sin
sin
2 sin cos
2
4
π x
x x
x x
Đề 24 ( CĐKT – KT CN1 khối A – 2006) Giải phương trình:
6 cos 3 cos
2 cos
cos2 π π π = π
−
+
+
+
+x x x
Chương TỔ HỢP VÀ XÁC XUẤT § 1 QUY TẮC CỘNG - QUY TẮC NHÂN A. Tóm tắt lý thuyết:
*Quy tắc cộng: giả sử công việc tiến hành theo m phương án. Phương án thực n1 cách.
Phương án thực n2 cách. ……
Phương án m xó thể thực nm cách.
Khi cơng việc thực n1+ n2+ …+ nm cách.
* Quy tắc nhân: Nếu phép chọn thực qua n bước liên tiếp: bước có m1 cách chọn.
bước có m2 cách chọn. …… bước n có mn cách chọn.
Thì phép chọn có : m1+m2+…+mn cách chọn. B. Phần tập:
1/ Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số:
2/ Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập
số có chữ sơ?
3/ Có số tự nhiên gồm chữ số khác
nhau?
4/ Từ chữ số 1,2,3,4,5,6 lập bao
nhiêu số tự nhiên chẵn có chữ số?
5/ Có số tự nhiên có chữ số khác
đôi một, biết:
a) Các số tự nhiên số chẵn.
b) Các số tự nhiên số lẻ.
c) Các số tự nhiên chia hết cho 5.
d) Các số tự nhiên chia hết cho 10.
6/ Từ chữ số 0,1,2,3,4,5 lập bao
nhiêu số gồm chữ số đôi khác không chia hết cho 9?
(14)7/ Có số có chữ số mà chữ số số chẵn?
8/ Một hội đồng nhân dân có 15 người, cần bầu
chủ tịch, phó chủ tịch, ủy ban thư ký không bầu người vào hay chức vụ Hỏi có cách?
9/ Tìm số máy điện thoại( có):
a) Có chữ số.
b) Có chữ số khác đơi một.
c) Có chữ số với chữ số 9.
10/ Có số có chữ số, chữ số
cách chữ số đứng giống nhau?
§ 2. HỐN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP Tóm tắt lý thuyết::
* Hoán vị:
a) Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử(n≥ 1) Mỗi cách thứ tự n phần tử tập hợp A gọi hốn vị n phần tử đó.
b) Số hoán vị n phần tử: ( −1)( −2)3.2.1
=nn n
Pn * Chỉnh hợp:
a) Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử, cách thứ tự k phần tử tập A
(0< k≤ n) gọi chỉnh hợp chập k n phần tử A.
b) Số chỉnh hợp chập k n phần tử: ( )( ) ( ) ( )
! !
2
k n
n k
n n
n n Ak
n = + − − + = −
Phần tập:
1/ Từ chữ số 1,2,3,4 lập số có chữ số khác
đơi một.
2/ Có cách xếp chỗ ngồi cho hs vào ghế xếp thành dãy.
3/ Từ chữ số 1,2,3,4,5,5,6,7 lập số có chữ số khác
nhau đôi một.
4/ Với chữ số 0,1,2,3,4,5,6 lập số tự nhiên có bốn
chữ số khác đôi một.
5/ Với chữ số 1,2,3,4,5,6 lập số có chữ số đôi khác
nhau lớn 300.000?
6/ Với chữ số 1,2,3,4,5 lập bao nhiêu:
a) Số lẻ gồm chữ số khác nhau?
b) Số chẵn gồm chữ số khác nhau?
7/ Xét số gồm chữ số đôi khác lập từ 1,2,3,4,5 Hỏi có bao
nhiêu số:
(15)b) Bắt đầu chữ số 5.
c) Không bắt đầu 1.
d) Là số lẻ.
e) Là số chẵn.
8/ Với chữ số: 5,6,7,8,9 Hãy viết số tự nhiên có chữ số khác nhau:
a) Bắt đầu chữ số 5.
b) Bắt đầu chữ số 56.
c) Bắt đầu chữ số 567.
9/ Có số có chữ số thỏa:
a) Các số đôi khác nhau?
b) Các số đơi khác nhau? Và số số lẻ?
10/ Có số lẻ có chữ số đôi khác không bắt đầu
123.
11/ Dùng chữ số 1,2,3,4,5,6,7 để viết số tự nhiên gồm chữ số khác
Hỏi:
a) Có số tự nhiên vậy?
b) Có số tự nhiên bắt đầu
chữ số Suy số tự nhiên không bắt đầu chữ số 1.
12/ Có tem thư khác bì thư khác Hỏi có cách dán
tem thư vào bì thư?
13/ Cho đa giác có đỉnh Tìm số hình chữ nhật có đỉnh
đỉnh đa giác.
14/ Cho đa giác có 2n đỉnh Tìm số hình chữ nhật có đỉnh 2n
đỉnh đa giác.
15/ Cho đa giác A1,A2,A3,,A2n (n≥ 2, n nguyên) nội tiếp đường tròn (O)
Biết số tam giác có đỉnh 2n điểm A1,A2,A3,,A2n nhiều gấp 20 lần số
hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm A1,A2,A3,,A2n Tìm n.
16/ Cho hai đường thẳng d1 // d2 Trên đường thẳng d1 có 10 điểm Trên đường thẳng d2 có 20 điểm Hỏi có tam giác chon điểm cho?
17/ Một tổ học sinh gồm nam nữ Cần chọn em để lập thành đội
văn nghệ Hỏi có cách chọn cách:
a) Có nữ.
b) Có nhiều nữ.
18/ Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên có
chữ số khác đôi thiết phải có mặt chữ số 1.
19/ Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên có 10 chữ số chữ số diện lần, chữ số diện lần, chữ số lại diện lần.
20/ Có số gồm chữ số đơi khác phải có mặt 0, 1,
2?
21/ Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên có
chữ số chữ số lặp lại lần, chữ số khác có mặt lần. 22/ Cho tập hợp X = {1,2,3,4,5}.
(16)a) X có tập gồm phần tử?
b) Có số tự nhiên có chữ số
khác đơi lấy từ X Trong có chữ số đứng cạnh nhau.
§ 3. NHỊ THỨC NEWTON
* Tóm tắt lý thuyết:
: Công thức nhị thức Newton:
( ) n n
n k n k n n n o n o n
n C a b C a b C a b C b b
a+ = + −1 + + − + +
Hay: ( ) ∑
= − = + n k k k n k n n C a b b
a
0
: Các tính chất cơng thức nhị thức Newton:
+ Số số hạng công thức n+1.
+ Tổng số mũ a b số hạng số mũ nhị thức.
+ Số hạng thứ k+1 khai triển: Tk+1= Cnkan−kbn.
+ Các hệ số cách số hạng đầu cuối ( nn k
k n C C = − )
+ ( ) n
n k n n o n n
n = + = C + C + + C + C
1
1
+ ( ) ( ) ( ) n
n n k n k n n n C C C
C 1
1
0= − = 0− 1+ + − + + −
: Tam giác Pascal:
n = 0: 1
n = 1: 1 1
n = 2: 1 2 1
n = 3: 1 3 3 1
n = 4: 1 4 6 4 1
n = 5: 1 5 10 10 5 1
……….
Lưu ý: Trong tam giác Pascal ta từ số Mỗi số tam giác số bên cộng với số bên trái.
Phần tập:
1/ Khái triển:
a)
( )8
1+ x .
b)
( )5
2 1− x .
c)
( )6
2
−
x .
d)
( )n
x+1 .
2/ Tìm số hạng khơng chứa ẩn x khai triển nhị thức Newton:
a) 12
+ x
x
b)
18
3
(17)e)
12
1
+ x
x
f)
( 0)
1 17
3 ≠
+ x x
x
3/ Viết số hạng theo lũy thừa tăng dần x đa thức:
a)
(2− 3x)13
b)
(1− 5x)9
c)
20
5
1
− x
d)
(3− 5x)8
4/ Tìm:
a) Số hạng thứ khai triển
(1− 3x)12
b) Số hạng thứ khai triển
10
2
2
− x
c) Số hạng thứ 12 khai triển
( )15
3− x
( số hạng xếp theo thứ tự lũy thừa tăng dần x).
5/ Tìm số hạng thứ sáu khai triển:
a)
15
1
+
x x
b)
(1− 2x)21
c)
(1+ 2x)12
6/ Tìm:
a) Hệ số khai triển
5
3
3
−
x x
b) Hệ số khai triển
( 2 )10
2x x −
c) Hệ số khai triển
12
3
+ x
x
d) Số hạng không chứa x khai triển
20
2
−
x
x .
7/ Tìm hệ số của:
a) a2b4c Trong khai triển ( )7
c b a+ + .
(18)b) x4y2z
Trong khai triển
( )7
2x− y+ z .
c) x4 Trong khai triển (x2+1+ x)10.
d) x2 Trong khai triển
10
3 1 1
+ + x x .
8/ Tìm hệ số xtrong khai triển:
( ) ( ) (4 ) (5 ) (6 )7
1 2
2 + + + + + + +
= x x x x
x A
9/ Rút gọn biểu thức sau:
a) n
n n n
n
n C C C
C A 2 2 2
2 + + + +
= . b) n n n n n
n C C C
C B 2 4 2
2 + + + +
= .
c)
2 5 3
2 5
5 + + + + − −
= n
n n n
n
n C C C
C
C .
10/ Chứng minh rằng:
a) n n
n n
n
n C C C
C0+ 1+ 2++ =
b) 1 2 2 2 2
2n + C n+ + C nn = C n + C n+ + C nn− = 2n−
C .
11/ Khai triển ( ) 17
17
17
4
3x− = ao + ax+ a x Tính tổng S = ao+ a1+ a17.
12/ Biết tổng hệ số khai triển ( )n
x2 +1 1024 Hãy tìm hệ số x12 trong khai triển (x2+ 1)n.
13/ Cho khai triển nhị thức:(2 2 ) (, *)
+
− ∈
+ x n n Z
x Biết khai triển đó:
1
3 5
n n C
C = số hạng thứ tư 10n Tìm n x.
14/ Tìm hệ số số hạng chữa x8 khai triển nhị thức Newton
n x
x
+
3
1
, biết: 3 7( 3)
4− + = +
+
+ C n
C n
n n
n .
15/ Cho khai triển nhị thức:
n x n n x n x n n x n n x x C C C + + + = + − − − − − − − 3 1 2 2 2
Với n số nguyên dương Biết khai triển đó 5
n n C
C = số hạng thứ tư
20n Hãy tìm n x
16/ Trong khai triển nhị thức
n x x x
+ − 28
3 tìm số hạng không chứa x biết
rằng + −1+ n−2 = 79 n
n n n
n C C
C .
17/ Khai triển: ( )
15 2
1+ x+ x + x = ao+ ax+ a x + + a x Tính:
a) Hệ số a10.
b) Tổng T = a0+ a1+ a2+ + a15.
15
1
0 a a a
a
S = + + + + .
(19)2008 4016
2008 2008 2008 2006
2008
2008 2007
2008 2008 2008 2008
2008 C C C C C C C C
C + + + + + + = .
§ 4. BIẾN CỐ VÀ XÁC XUẤT CỦA BIẾN CỐ * Tóm tắt lý thuyết:
I Biến cố:
1) Phép thử ngẫu nhiên không gian mẫu:
Một phép thử ngẫu nhiên ( gọi tắt la phép thử) thí nghiệm hay hành động mà:
ª Có thể lặp lại nhiều lần điều kiện giống nhau.
ª Kết khơng dự đốn được.
ª Có thể xác định tập hợp tất kết xảy
phép thử đó.
Phép thử thường kí hiệu chữ T.
Tập hợp tất kết xảy phép thử gọi khơng gian mẫu có kí hiệu bởi chữ Ω .
2) Biến cố:
Một biến cố liên quan đến phép thử T mà biến cố mà việc xảy A tùy thuộc vào kết của T Mỗi kết phép thử T làm cho A xảy ra, gọi kết thuận lợi cho A. Tập hợp kết thuận lợi cho A ký hiệu làΩ A Khi người ta nói biến cố A
mô tả tập Ω A.
II Xác suất biến cố:
* Định nghĩa cổ điển xác suất:
Giả sử phép thử T có khơng gian mẫuΩ tập hữu hạn kết T đồng khả năng.
Nếu A biến cố liên quan đến phép thử T va Ω A tập hợp kết thuận lợi cho A
xác suất A số, kí hiệu P(A), xác định cơng thức: ( )
| |
| |
Ω Ω = A
A
P .
* Định nghĩa thống kê xác suất:
Xét phép thử T biến cố A liên quan đến phép thử đó.
+ Số lần xuất biến cố A gọi tần số A N lần thực phép thử T.
+ Tỉ số tần số A với số N gọi tần suất A N lần thực phép thử T. Khi số lần thử N lớn tần suất A gần với số xác định, số gọi xác suất A theo nghĩa thống kê.
Trong khoa học thực nghiệm, người ta lấy tần suất xác suất Vì tần suất cịn gọi là xác suất thực nghiệm.
Phần tập:
2/ Chọn ngẫu nhiên số nguyên dương không lớn 40.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Gọi A biến cố “ Số chọn số
chẵn” Hãy liệt kê kết thuận lợi cho A.
3/ Chọn ngẫu nhiên số nguyên dương nhỏ 15.
a) Số chọn số nguyên tố.
(20)b) Số chọn chia hết cho 3.
4/ Gieo đồng tiền ba lần Gọi A biến cố “ mặt ngữa xuất
một lần”.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Xác định biến cố A.
c) Tính xác suất biến cố A.
5/ Chọn ngẫu nhiên quân cỗ tú lơ khơ ta xấp
Tính xác suât để xấp chứa hai đôi ( tức có hai thuộc bộ, hai thuộc thứ hai, thứ thuộc khác).
6/ Ba quân rút từ 13 quân chất rô ( – - … - 10 – J – Q – K –
A).
a) Tính xác suất ba quân để
khơng có Q K.
b) Tính xác suất ba qn
được K Q.
7/ Gieo súc sắc cân đối đồng Tính xác suất biến cố
sau:
a) A: “Xuất mặt chẵn”.
b) B: “Xuất mặt có số chấm chia hết
cho 3”.
c) C: “Xuất mặt có số chấm khơng
nhỏ 3”.
8/ Gieo hai súc sắc cân đối đồng nhất:
a) Mô tả khơng gian mẫuΩ Tính N ( )Ω .
b) Tính xác suất biến cố sau:
B: “Tổng số chấm mặt xuất hai súc sắc nhỏ 6”.
9/ Một hộp đựng thẻ đánh số 1, 2, …, Rút ngẫu nhiên hai thẻ
nhân hai số ghi hai thẻ với Tính xác suất để:
a) Tích nhận số lẻ.
b) Tích nhận số chẵn.
10/ Một hộp có 10 viên bi màu trắng viên bi màu đỏ Lấy ngẫu nhiên đồng
thời viên bi Tìm xác suất để lấy viên bi màu trắng viên bi màu đỏ.
11/ Chọn ngẫu nhiên số từ tập {1,2,…,10}.
a) Tính xác suất để tổng ba số chọn
là 10.
b) Tính xác suất để tổng ba số chọn
là số lẻ.
12/ Một bình đựng viên bi khác màu: xanh, vàng, đỏ Lấy
ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để được:
a) Hai viên bi vàng.
(21)13/ Xếp ngẫu nhiên 10 người có hại bạn Tú Tài xung quanh bàn tròn; (hai cách xếp xem cách nhận từ cách cách xoay bàn góc đó) Tính xác suất để hai bạn Tú Tài ngồi cạnh nhau.
§ 5. CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC XUẤT * Tóm tắt lý thuyết:
I Quy tắc cộng xác suất:
a) Biến cố hợp: cho hai biến cố A B Biến cố “A B xảy ra”, ký hiệu làA∪ B , gọi là hợp hai biến cố A B.
Nếu Ω AvàΩ B tập hợp kết thuận lợi cho A B tập hợp kết
thuận lợi cho A Ω A∪ Ω B.
b) Biến cố xung khắc: Cho hai biến cố A B Hai biến cố A B gọi xung khắc biến cố xảy biến cố không xảy ra.
Hai biến cố A B hai biến cố xung khắc nếuΩ A∪ Ω B = φ ( vớiΩ A vàΩ B lần
lượt tập hợp kết thuận lợi cho A B). c) Quy tắc cộng xác suất:
* Nếu hai biến cố A B xung khắc xác suất để A B xảy
ra là: P(A∪ B)= P( ) ( )A + P B .
* Qt cộng xác suất cho nhiều biến cố: cho k biến cố đội xung
khắc Khi đó:
(A1 A2 Ak) P( ) ( )A1 P A2 P( )Ak
P ∪ ∪ ∪ = + ++
d) Biến cố đối: cho A biến cố Khi biến cố “ Không xảy A”, ký hiệu làA,
gọi biến cố đối A.
Ta nói A vàA hai biến cố đối nhau.
* Chú ý: Cho biến cố A Xác suất biến cố A là:
( )A P( )A P = 1−
II Quy tắc nhân xác suất:
a) Biến cố giao: cho hai biến cố A B Biến cố “ Cả A B xảy ra”, ký hiệu AB, được gọi giao hai biến cố A B.
Nếu Ω AvàΩ B tập hợp kết thuận lợi cho A B tập hợp kết
thuận lợi cho AB Ω A∩ Ω B.
b) Biến cố độc lập : Hai biến cố A B gọi biến cố độc lập với việc xảy ra hay không xảy biến cố không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy biến cố kia.
* Nhận xét: Nếu hai biến cố A, B độc lập với A B; A B; AvàB độc
lập với
c) Quy tắc nhân xác suất: Nếu hai biến cố A B độc lập với P( ) ( ) ( )AB = P A P B . * Nhận xét: P( )AB ≠ P( ) ( )A P B hai biến cố A B không độc lập với nhau.
Phần tập:
2/ Tính xác suất để gieo súc sắc lần độc lập, không lần xuất
mặt có số chấm số chẵn.
(22)3/ Một hộp có thẻ đánh số từ đến Rút ngẫu nhiên hai thẻ nhân hai số thẻ với Tính xác suất để tích nhận la số chẵn.
4/ Có ba bình A, B, C bình chứa ba cầu trắng, ba cầu xanh ba
quả cầu đỏ Từ bình lấy ngẫu nhiên cầu Tính xác suất để:
a) 3 cầu có màu đơi khác nhau.
b) 3 cầu có màu giống nhau.
c) Hai màu khác
màu.
5/ Một hộp đựng viên bi màu xanh, viên bi màu đỏ viên bi màu vàng
Chọn ngẫu nhiên viên bi:
a) Tính xác suất để chọn viên bi
cùng màu.
b) Tính xác suất để chọn viên bi
khác màu.
6/ Từ bình chứa cầu đỏ, cầu xanh, lấy ngẫu nhiên cầu
Hãy tính xác suất cho cầu đó:
a) Khác màu.
b) Cùng màu.
7/ Gieo ba đồng xu cân đối cách độc lập Tính xác suất để:
a) Cả ba đồng xu sấp.
b) Có đồng xu sấp.
c) Có đồng xu sấp.
8/ Ba người bắn vào bia Xác suất để người thứ nhất, thứ hai, thứ ba
bắn trúng đích 0,3; 0,2; 0,6 Tính xác suất để có hai người bắn trúng đích.
9/ Xác suất bắn trúng hồng tâm người bắn cung 0,2 Tính xác suất
để lần bắn độc lập người bắn trúng hồng tâm lần.
10/ Một người say rượu bước bốn bước Mỗi bước tiến lên phía trước
nửa mét lùi lại phía sau nửa mét với xác suất Tính xác suất để sau bốn bước trở lại điểm xuất phát.
11/ Gieo hai đồng xu A B cách độc lập Đồng xu A chế tạo cân đối
Đồng xu B chế tạo không cân đối nên xác suất xuất mặt sấp gấp ba lần xác suất xuất hiện mặt ngửa Tính xác suất để:
a) Khi gieo hai đồng xu lần hai
đồng xu ngửa.
b) Khi gieo hai đồng xu hai lần hai
đồng xu ngửa.
12/ Một máy có hai động I II hoạt động độc lập với Xác suất
để động I động II chạy tốt 0,8 0,7 Hãy tính xác suất để:
a) Cả hai động chạy tốt.
b) Cả hai động khơng chạy tốt.
(23)§ 6. BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC * Tóm tắt lý thuyết:
1) Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc:
Đại lượng X gọi biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị số thuộc một tập hữu hạn giá trị ngẫu nhiên, khơng dự đốn trước được.
2) Kỳ vọng:
* Định nghĩa: cho X biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị {x1,x2,,xn} Kỳ vọng
X, ký hiệu E(X), số tính theo cơng thức:
( ) ∑
=
= +
+ +
= n
i i i n
np x p x
p x p x X E
1
2
1 pi= P(X = xi) (; i=1,2,,n)
* Ý nghĩa: E(X) số cho ta ý niệm độ lớn trung bình X Vì kì vọng E(X) cịn gọi giá trị trung bình X.
3) Phương sai độ lệch chuẩn: a) Phương sai:
* Định nghĩa: cho X biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị {x1,x2,,xn} Phương sai
của X, ký hiệu V(X), số tính theo cơng thức:
( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ( )
=
− =
− + + −
+ −
= n
i
i i
n
n p x p
x p
x p x
X v
1
2
2 2
1 µ µ µ µ
ở đó: pi = P(X = xi) (; i= 1,2,3,,n)vൠ= E( )X
* Ý nghĩa: Phương sai số khơng âm Nó cho ta ý niệm mức độ phân tán giá trị X xung quanh giá trị trung bình Phương sai lớn độ phân tán lớn. b) Độ lệch chuẩn:
* Căn bậc hai phương sai, ký hiệu làσX , gọi độ lệch chuẩn X, nghĩa là:
( )X = V( )X
σ .
* Chú ý: Trong thực hành ta thường dùng công thức sau để tính phương sai:
( ) ∑
=
− = n
i i i p x X
V
1
2
2 µ
Phần tập:
1/ Gieo súc sắc cân đối ba lần Gọi X số lần súc sắc lên
mặt chấm.
a) Lập bảng phân phối xác suất X.
b) Tính E(X) V(X).
2/ Một đồng tiền cân đối đồng gieo ba lần.
a) Hãy mô tả không gian chuẩn.
b) Ký hiệu X số lần xuất mặt sấp lần Hãy tìm tập giá trị X Xác định biến cố (X=1) Lập bảng phân bố xác suất X.
3/ Chọn ngẫu nhiên gia đình số gia đình có ba Gọi X số
con trai gia đình Giả sử xác suất sinh trai 0,5.
a) Hãy mô tả khơng gian mẫu.
b) Tìm tập giá trị X.
(24)c) Lập bảng phân bố xác suất X.
d) Tính kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên rời rạc X ( Tính chính xác đến hàng phần trăm).
4/ Một hộp đựng viên bi đỏ viên bi xanh Chọn ngẫu nhiên viên bi
Gọi X số viên bi xanh viên bị chọn ra.
a) Tìm tập giá trị X.
b) Lập bảng phân bố xác suất X.
5/ Xác suất bắn trúng vòng 10 An 0,4 An bắn lần Gọi X số lần
trúng vòng 10.
a) Lập bảng phân bố xác suất X.
b) Tính E(X) V(X) (Tính xác đến hàng phần trăm).
6/ Một máy bay có động Xác suất để động gặp cố bay
0,1 Máy bay thực chuyến bay an tồn có nhiều số động gặp cố Tính xác suất để máy bay thực chuyến bay an toàn.
7/ Một đồng tiền cân đối đồng chất gieo lần Ký hiệu X số lần
xuất mặt sấp lần gieo đó.
a) Hãy mơ tả khơng gian mẫu lập bảng phân bố xác suất:
b) Tính kỳ vọng, phương sai độ lệch chuẩn X.
8/ Cho biến ngẫu nhiên X với bảng phân bố xác suất:
X
P 12
4 12
7 12
1 12
3
Tính kỳ vọng, phương sai độ lệch chuẩn X. (Tính xác đến hàng phần trăm).
9/ Chiều cao 40 học sinh (đơn vị: cm) lớp 10 trường THPT NK cho
mẫu số liệu sau:
Chọn ngẫu nhiên học sinh từ 40 học sinh Ký hiệu X chiều cao học sinh đó.
165 162 161 171
172 173 172 170
172 171 170 169
167 166 165 164
162 162 161 160
173 174 173
168 168 167
165 164 163
172 169 166
150 173 172 174
185 178 171 173
a) Lập bảng phân bố xác suất X.
b) Tính kỳ vọng, phương sai độ lệch chuẩn X. (Tính xác đến hàng phần trăm).
10/ Hai xạ thủ độc lập với bắn vào bia Mỗi người bắn
(25)Chương DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN § 1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC
* Tóm tắt lý thuyết:
Để chứng minh mệnh đề P(n) phụ thuộc vào số tự nhiên n với n≥ p (p số tự
nhiên cho trước), ta thực sau: Kiểm tra mệnh đề với n = p.
Giả thiết mệnh đề n = k ,(k≥ p) ta phải chứng minh mệnh đề n = k+1.
Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta kết luận P(n) với số tự nhiênn≥ p
Lưu ý: ta thường gặp p = 1. Phần tập:
1/ Chứng minh tổng n số lẻ n2.
2/ Chứng minh với mọin∈ N* , ta có đẳng
thức:
( )
( )( )
( )
( )2 ( 1)(2 1)3
4 ) ) ) ) 2 2 3 3 2 2 + + = + + + + = + + + + + = + + + + + = + + + + n n n n d n n n c n n n n b n n n a
3/ Chứng minh rằng:
( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )( )
(3 1) ( 1)
10 ) 2 ) 1 2 ) 1 2 1 ) + = + + + + + + + + = + + + + + + + = + + + + + = + + + + n n n n d n n n n n n n c n n n n n b n n n n a
4/ Chứng minh rằng:
( )
( )( )
[ ]
(3 )
) ) ) 2 + + + + + + n n c n n n b n n a
5/ Chứng minh với số nguyên dương n, ta
có: 1 1 1 2 n n n + = − − − .
(26)6/ Chứng minh vớimọin≥ 3,n∈ N , ta có
2 2n > n+ .
7/ Chứng minh rằng:
*
N n∈
∀ , ta có: – + – +…- 2n + (2n+1) = n+1.
§ 2 DÃY SỐ
1/ Tìm số hạng dãy sau:
a) Dãy số với (un) với
n n un = 2+ 1.
b) Dãy số với (un) với
3 cos
sin2nπ nπ
un = + .
c) Dãy số với (un) với un = 2n− 3n.
d) Dãy số với (un) với 2
2 n u
n n = .
2/ Tìm số hạng thứ 3, số hạng thứ 5, số hạng thứ
7 dãy số sau:
a) Dãy số (un) xác định bởi:u1 = 1 un+1 = 3n+10 với n≥ 1.
b) Dãy số (un) xác định bởi:u1= 5,u2 = 0,un+2= un+1+ 6un,Với mọin≥ 1.
3/ Cho dãy số (un) với
1
2+
= n
n
un .
a) Viết số hạng dãy.
b) Số
82 27
số hạng thứ dãy.
4/ Viết bốn số hạng đầu tìm số hạng tổng quát
(un) dãy số sau:
( )
( 1)
, ;
3 )
1 , ;
1 )
1
1
≥ =
=
≥ + = =
+ +
n u u
u b
n u
u u a
n n
n n
5/ Cho dãy số (un) xác định bởi:u1= 1,un= 2un−1+
với∀n≥ 2 Bằng quy nạp, chứng minh rằng:∀n≥1 ta có: = 2n+1− n
u .
6/ Cho dãy số (un) với: un = 5.4n−1+ 3 Chứng minh
rằng: un+1= 4u1− 9,∀n≥
7/ Xét tính tăng giảm dãy số sau:
a) Dãy số với (un) với un = 2n3− 5n+ 1.
b) Dãy số với (un) với un = 3n− n.
c) Dãy số với (un) với n n
n u
2
+
= .
(27)8/ Cho dãy số (un) xác định bởi:u1 =1,un+1= un+ 4 với
≥ ∀n .
a) Hãy tính u2,u4,u6.
b) Chứng minh rằng: un = 4n− 3,∀n≥ 1.
9/ Chứng minh dãy số (un) với:
3
1
+ + =
n n
un là
một dãy số giảm bị chặn.
10/ Chứng minh dãy số (un) với:
3
1
2
− + =
n n
un là
một dãy số bị chặn.
11/ Chứng minh dãy số (un) với:
( )
∈ + = =
+ 2 *
1
1
N n u u u
n n
dãy số giảm bị chặn dưới.
12/ Cho dãy số (un) với:
3
2+ +
=
n n
un dãy số (Sn) định bởi:
∈ ∀ + = =
+
+ S u n N
S u S
n n n 1,
1
Xác định công thức Sn theo n. § 3 CẤP SỐ CỘNG
* Tóm tắt lý thuyết:
I Định nghĩa: cấp số cộng dãy số ( hữu hạn hay vơ hạn), đó, kể từ số hạng thứ hai, số hạng tổng số hạng đứng trước với số khơng đổi gọi công sai.
* Gọi d cơng sai, ta có: un+1= un + d; (n = 1, 2, 3, …)
II Số hạng tổng quát: un = u1+ (n−1)d
III Tính chất số hạng cấp số cộng: ;
1
1+ ≥
= u − u + k
u k k
k
IV Tổng n số hạng đầu cấp số cộng: [ n]
n u u n S = 1+
2 hay: [ u (n )d]
n
Sn
2 1+ −
=
V Lưu ý: thực hành ta thường làm sau: a, b, c CSC⇔ a+c=2b.
Phần tập:
1/ Trong dãy số (un) sau đây, dãy số cấp
số cộng? Khi cho biết số hạng đầu cơng sai
a) un = 4− 3n.
b)
2−
= n
un . c) un = n2.
(28)d)
2
5 n
un − . e)
1 + − = n n
un . f) un = ( )−1n+ 2n.
2/ Cho cấp số cộng(un) có u1 = 1; u2= 7.
a) Tìm cơng sai d cấp số cộng cho.
b) Tính u3,u4,u5,u6.
3/ Tìm cơng sai d cấp số cộng biết số hạng đầu
u1 = số hạng cuối u15 = 43.
4/ Xác định số hạng đầu công sai cấp số
cộng, biết: a) = = 35 19 u u . b) = + = + 1170 60 12 15 u u u u c) = + = + − 17 10 u u u u u d) = = + 3 u u u u e) = = + 129 14 12 S u u f) = + + + = 34 52 5 u u u u u u
5/ Tìm số hạng cơng sai cấp số
cộng, biết số hạng thứ 19 số hạng thứ 35 Tính số hạng thứ 15.
6/ Viết số xen số -3 37 để
cấp số cộng có 11 số hạng.
7/ Một cấp số cộng có số hạng, số hạng đầu 35
số hạng cuối 112 Tìm số hạng cịn lại.
8/ Cho cấp số cộng có a1 = 10, d = - Tính a1o
S10.
9/ Cho cấp số cộng có a2 = 17, d = - Tính a2o
S20.
10/ Xác định số biết chúng lập thành cấp số cộng có
tổng số 15 tổng bình phương số 85.
11/ Xác định số biết chúng lập thành cấp số cộng có
tổng số – 10 tổng bình phương số 70.
12/ Cho cấp số cộng (un) có u20= -52 u52= -145
Hãy tìm số hạng tổng quát cấp số cộng đó.
13/ Ba góc tam giác vuông lập thành cấp
số cộng Tìm ba góc đó.
14/ Tính tổng 10 số hạng CSC sau
đây biết:
15/ Tổng n số hạng cấp số cộng 330
Tính n, biếtu4 + u7 − u3 = 22 vàu1+ u6 = 17.
16/ Tìm số lập thành cấp số cộng biết công sai d =
4, tích số 1680.
17/ Cho cấp số cộng có u6 = 17;u11= −1 Tính cơng sai
(29)18/ Định x để số 10 – 3x; 2x2 + 3; – 4x lập thành cấp số cộng.
19/ Cho số 35 Hãy đặt thêm số vào
để cấp số cộng.
20/ Cho cấp số cộng(un) có cơng sai d > 0,
11
34 31+ u =
u ( ) ( )2 101
34
31 + u =
u Hãy tìm số hạng tổng quát cấp số cộng đó.
21/ Cho cấp số cộng(un) có u5+ u19= 90 Hãy tính
tổng 23 số hạng (un) .
22/ CMR: Để số a, b, c ba số hạng liên tiếp
một cấp số cộng điều kiện cần đủ 2b = a + c.
23/ CMR: số a2,b2,c2
lập thành cấp số cộng khi số :
b a a c c
b+ + +
1 ' '
lập thành cấp số cộng.
24/ Giả sử a, b, c ba số hạng lieen tiếp cấp
số cộng Chứng minh: a2 + 8bc= (2b+ c)2
25/ Một cấp số cộng có 11 số hạng Tổng số hạng
là 176 Hiệu số hạng cuối số hạng đầu 30 Tìm cấp số đó.
26/ Bốn số lập thành cấp số cộng tổng chúng
bằng 22 Tổng bình phương chúng 166 Tìm số đó.
(30)HÌNH HỌC
Chương PHÉP DỜI HÌNH a1 VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG
1/ 1 §.2 MỞ ĐẦU VỀ PHÉP BIẾN HÌNH PHÉP
TỊNH TIẾN VÀ PHÉP DỜI HÌNH Tóm tắt lý thuyết:
1) Phép biến hình quy tắc để với điểm M mặt phẳng
xác định điểm M’ thuộc mặt phẳng
* Nếu kí hiệu phép biến hình f ta viết: f(M) = M’ hay M’ = f(M)
và gọi điểm M’ ảnh M qua phép biến hình f.
* Phép biến hình biến điểm M mặt phẳng thành
được gọi phép đồng nhất.
* Nếu H hình mặt phẳng ta kí hiệu H’ =f(H)
là tập hợp điểm M’ = f(M) với M thuộc H Khi ta nói f biến hình H thành hình H’, hay H’ ảnh hình H qua phép biến hình f.
2) Phép tịnh tiến theo vectơ u phép biến hình biến điểm M thành điểm M’
sao cho MM'= u.
* Tính chất phép tịnh tiến: phép tịnh tiến không làm thay
đổi khoảng cách hai điểm bất kì.
* Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hay
trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, biến đường trịn thành đường trịn bán kính.
3) Phép dời hình: phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách
hai điểm Phép tịnh tiến phép dời hình.
4) Phép dời hình có tính chất: biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm
thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó, biến đường thẳng thành đường thẳng, đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tia thành tia, tam giác thành tam giác nó, biến góc thành góc nó, biến đường trịn thành đường trịn có bán kính.
5) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v= (a;b) Với điểm M(x;y) ta
có M’(x’;y’) ảnh M qua phép tịnh tiến theo v= (a;b) Khi ta có:
+ =
+ =
b y y
a x x
' '
Biểu thức gọi biểu thức tọa độ phép tịnh tiến. * Phần tập:
1. Cho đường trịn (O) với đường kính AB cố định, đường
kính MN thay đổi Các đường thẳng AM AN cắt tiếp tuyến B P Q Tìm quỹ tích trực tâm tam giác MPQ NPQ
2. Cho hai đường trịn khơng đồng tâm (O;R) (O1;R1)
(31)3. Cho hai véctơ v1 v2 Phép tịnh tiến Tv1 biến điểm M thành
điểm M1 phép tịnh tiến Tv2 biến điểm M1 thành điểm M2 Tìm véctơ để Tv( )M = M2.
4. Trong mptđ Oxy, tìm tọa độ ảnh M’ điểm M(5;-3) qua phép
tịnh tiến theo vectơ v= ( )2;3 .
5. Trong mptđ Oxy, tìm tọa độ điểm M biết ảnh qua phép
tịnh tiến theo vectơ v= (− 2;7) M’(4;-5).
6. Viết phương trình đường thẳng (D’) ảnh đường
thẳng (D): 2x +y – = qua phép tịnh tiến vectơ v= ( )4;3 .
7. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O;R) , AD =
R Dựng hình bình hành DABM DACN Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DNM nằm (O;R)
8. Cho hai đường tròn không đồng tâm (O;R) (O’;R’) .A
một điểm (O;R) Tìm điểm M (O;R) điểm N (O’;R’) cho AOMN là hình bình hành.
9. Trong mptđ Oxy, cho đương tròn (C):
(x+ 3) (2 + y− 7)2= 9 Tìm ảnh đường trịn qua phép tịnh tiến theo vectơ v= ( )2;4 .
10. Trong mptđ Oxy, cho parabol (P): y= 4x2
Tìm ảnh (P’) (P) qua phép tịnh tiến theo vectơ v= (− 3;2).
11. Trong mptđ Oxy, cho phép biến hình F biến điểm M(x;y)
thành điểm M’(x’; y’) cho:
+ + =
+ + =
q dy cx y
p by ax x
' '
Trong a2+ c2 = b2+ d2= 1;ab+ cd = Chứng tỏ F phép dời hình. 3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC Tóm tắt lý thuyết:
12. Định nghĩa:
* Điểm M’ gọi đối xứng M qua đường thẳng a a trung
trực MM’.
* Phép đối xứng qua đường thẳng a phép biến hình biến điểm
M thành điểm M’ đối xứng M qua đường thẳng a Kí hiệu Đa. Vậy: M’ = Đa(M)⇔ a trung trực MM”.
Đường thẳng a gọi trục đối xứng.
* Nhận xét:
+ Qua Đa, điểm đường thẳng a biến thành
chính nó
+ Nếu M’ = Đa(M) M= Đa(M’).
(32)2. Tính chất:
+ Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách điểm.
+ Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác nó, biến đường trịn thành đường trịn có bán kính.
3. Biểu thức tọa độ:
+ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, với điểm M(x;y) ta có M’(x’;y’) ảnh M qua phép đối xứng trục Ox Khi ta có:
− = =
y y
x x
' '
+ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, với điểm M(x;y) ta có M’(x’;y’) ảnh M qua phép đối xứng trục Ox Khi ta có:
= − =
y y
x x
' '
4. Trục đối xứng hình:
Đường thẳng d gọi trục đối xứng hình H Đd(H)=H. * Phần tập:
1/ Cho hai đoạn thẳng AB = A’B’ Chứng
minh tìm phép đối xứng trục biến A thành A’, B thành B’.
2/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(2;-5)
Tìm tọa độ điểm M’ ảnh M qua phép đối xứng trục Oy, tìm M’’ ảnh M’ qua phép đối xứng trục Ox.
3/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường trịn (C)
có phương trình:(x+ 3) (2+ y− 2)2 = 16 Viết phương trình đường tròn (C’) ảnh đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Ox.
4/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C)
có phương trình:(x− 5) (2+ y+ 7)2 = 36 Viết phương trình đường trịn (C’) ảnh đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Oy.
5/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng
(D) có phương trình:5x – 4y = Viết phương trình đường thẳng (D’) ảnh đường thẳng (D) qua phép đối xứng trục Ox
6/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng
(d) có phương trình:
5
4= +
− y
x
Viết phương trình đường thẳng (d’) ảnh đường thẳng (d) qua phép đối xứng trục Oy.
7/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M(4; -3),
đường thẳng (d): 4x + 3y – = đường tròn (C):x2+ y2− 2x+ 4y− 4= 0 Tìm ảnh M, (d), (C) qua phép đối xứng trục đường thẳng ∆ : 2x – y + = 0.
8/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng
(33)(C): x2+ y2+ 2ax+ 2by+ c=
a) Viết phương trình ảnh đường thẳng d qua phép đối xứng trục có trục đối
xứng Ox.
b) Viết pt ảnh đường trịn (C) qua phép đối xứng trục có trục đối xứng Oy.
c) Viết pt ảnh hai đường trịn (C) qua phép đối xứng trục có trục đường
thẳng bx – ay = 0.
9/ Gọi m đường phân giác A tam
giác ABC Chứng minh với điểm M m, chi vi tam giác MBC không nhỏ hơn chu vi tam giác ABC.
10/ Cho góc nhọn xOy điểm A nằm góc
đó Tìm B thuộc Ox C thuộc Oy cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất.
11/ Cho tam giác ABC có trực tâm H Chứng minh
các đường tròn ngoại tiếp tam giác HAB, HBC, HCA có bán kính nhau.
12/ Cho đường thẳng d đường tròn (O), (O’)
nằm hai phía d Hãy dựng hình vng ABCD có đỉnh A, C (O) (O’) , đỉnh B, D d.
4. PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM Tóm tắt lý thuyết:
6) Phép quay:
Định nghĩa: mp cho điểm O cố định góc lượng giác ϕ khơng đổi Phép biến hình biến điểm M thành M’ cho OM = OM’ (OM,OM’) = ϕ gọi phép quay tâm O với góc quay ϕ .
Kí hiệu Q hay Q(O; ϕ ) (hay Q(O;ϕ))
Vậy: M’ =Q(O;ϕ) (M) ⇔ ( )
= =
ϕ
' ;
' OM OM
OM OM
Nhận xét: Q(O;ϕ)(O) =O: O điểm bất động.
Tính chất:
Phép quay bảo tồn khoảng cách hai điểm. Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng.
Phép quay biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, biến đường trịn thành đường trịn có bán kính.
7) Phép đối xứng tâm:
a) Định nghĩa:
Điểm M’ gọi đối xứng M qua O : OM + OM'= O(hay O trung điểm MM’)
Phép đối xứng tâm O phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ đối xứng M qua O kí hiệu Đo.
Điểm I gọi tâm phép đối xứng. Nhận xét:
ĐI(I)=I
Nếu M’=ĐI(M)thì M=ĐI(M’).
(34)b) Tính chất:
* Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng
cách hai điểm.
* Phép đối xứng tâm biến đường
thẳng thành đường thẳng song song hay trùng với đường thẳng cho.
* Phép đối xứng tâm biến đoạn thẳng
thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, biến đường trịn thành đường trịn có bán kính.
c) Biểu thức tọa độ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, với điểm M(x;y) ta có M’(x’;y’) ảnh M qua phép đối xứng tâm I(a,b)
Khi ta có:
− =
− =
y b y
x a x
2 '
2 '
d) Tâm đối xứng hình:
Điểm I gọi tâm đối xứng hình H ĐI(H)=H. * Phần tập:
2/ Cho phép quay Q(O;ϕ) đường thẳng (d) Nêu
cách dựng ảnh (d) qua quay Q.
3/ Hãy phép quay:
a) Biến hình chữ nhật thành nó?
b) Biến ngũ giác thành nó?
c) Biến hình bình hành thành nó?
d) Biến hình lục giác thành nó?
4/ Cho đường trịn không đồng tâm
Hãy phép quay biến đường tròn thành đường tròn kia?
5/ Về phía ngồi tam giác ABC, vẽ hình
vng BCMN ACPQ có tâm O O’.
a) Chứng minh cố định A, B cho điểm C thay đổi đường thẳng NQ ln ln đi qua điểm cố định.
b) Gọi I trung điểm AB Chứng minh IOO’ tam giác vuông cân.
6/ Về phía ngồi hình bình hành ABCD, dựng
các hình vng có cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh bốn tâm hình vng đỉnh hình vng.
7/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(4;5) Tìm tọa
độ điểm A’ ảnh A qua phép quay tâm O, góc 90o.
8/ Tìm tọa độ ảnh điểm A(-5;6) qua phép đối
xứng tâm I(-2;7).
9/ Trong mpOxy cho đường trịn (C) có phương
trình:(x−1) (2 + y+ 2)2 = 49 Viết pt đường tròn (C’) ảnh đường tròn(C) qua phép đối xứng tâm I(1;2).
10/ Trong mpOxy cho đường thẳng (D) có phương
(35)11/ Cho điểm I, đường thẳng a đường tròn (O) Hãy dựng đường thẳng d qua I cắt (O) M cắt a N cho I trung điểm MN.
12/ Cho hình bình hành ABCD, tâm O Trên AB, CD
lấy E, F cho AE = CF Gọi I giao điểm AF, DE; J giao điểm BF CE Chứng minh O trung điểm IJ.
13/ Cho góc xOy điểm A thuộc miền góc
đó Hãy dựng đường thẳng d qua A cắt Ox, Oy theo thứ tự điểm M, N cho A là trung điểm MN.
14/ Trên đường tròn (O) cho điểm B, C cố định
một điểm A thay đổi Gọi H trực tâm tam giác ABC H’ điểm cho HBH’C hình bình hành Chứng minh H’ thuộc đường trịn (O) Từ suy quĩ tích điểm H.
15/ Tìm tâm đối xứng hình chữ nhật.
16/ Chứng minh gốc tọa độ tâm đối xứng
elip: (E) : 2
2 2
= +
b y a x
và hypebol (H) : 2
2 2
= −
b y a x
.
17/ Hãy tất phép dời hình biến hình
vng ABCD thành nó.
(36)5. HAI HÌNH BẰNG NHAU Tóm tắt lý thuyết:
* Nếu ABC A’B’C’ hai tam giác
bằng có phép dời hình biến tam giác thành tam giác kia.
* Hia hình H H’
có phép dời hình biến hình thành hình kia. * Phần tập:
1/ Chứng minh rằng: hai tứ giác lồi có cặp cạnh
tương ứng cặp đường chéo tương ứng nhau.
2/ Chứng minh rằng: hai tứ giác lồi có cặp cạnh
tương ứng cặp góc tương ứng nhau.
3/ Cho hai tam giác ABC A’B’C’ với đường cao
lần lượt AH A’H’ Hai tam giác có hay khơng nếu: AH = A’H’, AB = A’B’, AC = A’C’.
4/ Cho hình thang ABCD vng A D, hình
thang A’B’C’D’ vuông A’ D’ Giả sử AB < CD Kẻ BH⊥ CD B’H’⊥ C’D’, biết AB = A’B’, BC = B’C’ CD = C’D’
a) Chứng minh rằng: ∆BHC= ∆B'H'C'.
b) Chứng minh hai hình thang nhau.
5/ Cho hình (H1) gồm đường trịn (O1;r1), (O2;r2)
và(O3;r3) đơi tiếp xúc ngồi với Hình (H2) gồm đường trịn(I1;r1), (I2;r2) và(I3;r3) đơi tiếp xúc ngồi với nhau.
a) Chứng minh hai tam giác O1 O2 O3 I1 I2 I3bằng nhau.
b) Chứng tỏ hai hình(H1) và(H2) nhau.
6/ Cho hai tam giác ABC A’B’C’ vuông A, A’
Có BC = B’C’ hai đường cao AH A’H’ Chứng minh hai tam giác ABC A’B’C’ vuông nhau.
7/ Cho ba trung tuyến tam giác ABC
bằng ba trung tuyến tam giác A’B’C’ Gọi G G’ trọng tâm tam giác ABC A’B’C’ Lấy điểm D D’ cho ABCD A’B’C’D’ hình bình hành.
a) Chứng minh∆GCD= ∆G'C'D'
b) Chứng minh ∆ABC= ∆A'B'C'.
8/ Chứng minh ba trung tuyến tam
giác ABC ba trung tuyến tam giác A’B’C’thì hai tam giác nhau. 6 §.7 PHÉP VỊ TỰ - PHÉP ĐỒNG DẠNG
Tóm tắt lý thuyết:
* Phép vị tự V(o,k) với tâm O tỉ số k
(37)* Phép vị tự số k biến: đường thẳng thành đường thẳng song song (hoăc trùng) với đường thẳng đó, biến tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài nhân lên với k , biến tam giác thành tam giác
đồng dạng với tỉ số đồng dạng làk , biến góc thành góc nó.
* Phép vị tự biến đường trịn có bán
kính R thành đường trịn có bán kính k R.
* Tâm vị tự hai đường trịn:
tâm phép vị tự V biến đường tròn thành đường tròn Tâm gọi tâm vị tự ngồi hay tâm vị tự tùy theo tỉ số đồng dạng phép vị tự V dương hay âm.
+ Hai đường trịn có bán kính khác có tâm
vị tự ngồi tâm vị tự trong.
+ Hai đường trịn có bán kính ( tâm khác
nhau) có tâm vị tự trong, trung điểm đoạn thẳng nối tâm hai đường tròn
* Phép đồng dạng tỉ số k (k>0)
phép biến hình biến hai điểm tùy ý M, N cho M’N’ = kMN.
* Mọi phép đồng dạng F tỉ số k hợp
thành phép vị tự V tỉ số k phép dời hình D.
* Hai hình gọi đồng dạng với
nếu có phép đồng dạng biến hình thành hình kia. * Phần tập:
1/ Cho hình bình hành ABCD
Gọi I trung điểm cạnh AB Tìm ảnh hình bình hành qua phép vị tự tâm I tỉ số k = 0,5.
2/ Cho tam giác ABC với trọng
tâm G, trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp O Gọi A’, B’, C’ trung điểm các cạnh BC, CA, AB tam giác ABC.
a) Chứng minh O trực tâm tam giác ABC.
b) Xét phép vị tự V(G;-2 ) Hãy tìm ảnh tam giác A’B’C’ qua phép vị tự V(G;-2).
c) Qua phép vị tự V(G;-2)., điểm O biến thành điểm nào? Từ chứng minh G, H, O thẳng hàng?
d) Gọi O’ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’ Qua phép vị tự V(G;-2 ), điểm O’ biến thành điểm nào?
3/ Cho tam giác ABC với trọng
tâm G Gọi A1, B1, C1 trung điểm cạnh BC, CA, AB M điểm tam giác ABC; A’, B’, C’ điểm đối xứng M qua A1, B1, C1
a) Tìm phép vị tự biến tam giác ABC thành tam giác Az B1 C1.
b) Tìm phép vị tự biến tam giác Az B1 C1 thành tam giác A’B’C’.
4/ Xác định tâm vị tự
tâm vị tự ngồi ( vẽ hình trình bày cách vẽ) hai đường tròn trường hợp sau:
a) Hai đường trịn tiếp xúc ngồi với nhau.
(38)b) Hai đường tròn tiếp xúc với nhau.
c) Một đường tròn chứa đường tròn
5/ Cho đường tròn (O) dây
cung AB khác đường kính Hãy dựng dây cung CD đường trịn cho bán kính OA, OB cắt thành ba phần nhau.
6/ Chứng tỏ phép
đồng dạng F biến tam giác ABC A’B’C’ trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biến thành trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’.
7/ Chứng minh hai
tam giác có cạnh tương ứng tỉ lệ có phép đồng dạng biến tam giác thành tam giác kia.
8/ Chứng minh hai
tam giác có đường cao tương ứng nhau.
Chương ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG
§ 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Loại 1: TÌM GIAO TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG Tóm tắt lý thuyết:
* Phương pháp 1:
Muốn tìm giao tuyến hai mp ( )α β ta làm bước.
: Tìm hai điểm chung A, B ( )α ( thường dễ thấy).
: Đường thẳng AB giao tuyến hai mặt phẳng. * Phương pháp 2:
: Khi tìm điểm chung S (điểm thường dễ thấy, cịn khơng qua bước như đây).
: Lúc ta tìm hai mp ( )α vàβ thứ tự chứa hai đường thằng d1 d2 mà d1 cắt d2 I Ta có: I điểm chung thứ hai.
Vậy: SI giao tuyến cần tìm. * Phần tập:
1 1 Cho tam giác ABC vàS∉ (ABC) Trên SA, SB, SC lấy
điểm M, N, P cho MN không song song với AB.
a) Chứng minh SA BC không đồng phẳng.
b) Tìm giao tuyến (MNP) (ABC). c) Tìm giao tuyến (MNP) (SAC)
1 2 Trong mặt phẳng ( )α cho tứ giác ABCD AB cắt CD M, AC cắt
BD N Lấy S∉ ( )α .
a) Tìm(SAB) (∩ SCD) (; SAC) (∩ SBD)
b) Tìm (SMN) (∩ SAD) (; SMN) (∩ SBC)
1 3 Cho điểm A, B, C, D không nằm mặt phẳng Gọi I J
lần lượt trung điểm AD BC.
(39)c) Gọi M, N điểm nằm đoạn AB AC Tìm (IBC) (∩ DMN).
1 4 Cho tứ diện ABCD Gọi P, Q trung điểm AC BC R
là điểm cạnh BD cho RB = 2RD Tìm giao tuyến mp(PQR) với mp(ACD) mp(ABD).
1 5 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi I, J lần
lượt trung điểm SB SD K điểm SC cho SK > KC Tìm giao tuyến của mặt phẳng (IJK) với mặt phẳng: (SAC), (SAB), (SAD) (ABCD).
1 6 Cho tứ diện ABCD, M điểm thuộc miền tam giác BCD, N
là điểm AM.
a) Tìm (NCD) (∩ ABC) (; NCD) (∩ ABD). b) P Q điểm BC BD
Tìm: (PQN) (∩ ACD).
1 7 Cho tứ diện ABCD I J điểm thuộc miền tam
giác ABD tg ACD Tìm:
a) (AIJ) (∩ BCD) b) (DIJ) (∩ ABC)
1 8 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang, đáy lớn AB
Trên SD lấy điểm I. a) Tìm (IBC) (∩ SAC). b) Tìm (IBC) (∩ SAD).
1 9 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi G1; G2
lần lượt trọng tâm tam giác SAD, SBC Tìm giao tuyến cặp mp sau: a) (SG1G2)∩ (ABCD).
b) (CDG1G2) ∩ (SAB). c) (CDG2) ∩ (SBC).
Loại 2: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG *Phương pháp:
Muốn tìm giao điểm O đường thẳng mp( )α . Ta xét trường hợp:
Trường hợp ( )α chứa đường thẳng b cắt d (dễ thấy):
: Tìm O= d∩ b
⇒ O điểm cần tìm.
Trường hợp ( )α không thấy đường thẳng cắt d.
: Tìm mpβ ⊃ d α ∩ β = c.
: Tìm O= d∩ c
⇒ O điểm cần tìm. Phần tập:
(40)1 10 Cho tứ diện ABCD Trên AB AC lấy điểm M, N cho MN cắt BC Tìm giao điểm MN ới mp (BCD).
1 11 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AC BC Lấy K thuộc cạnh BD cho KB<KD Tìm giao điểm của:
a) CD với mp (MNK).
b) AD với mp (MNK).
1 12 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang, đáy lớn AB Gọi N, P trung điểm SA, SB M điểm tùy thuộc đoạn SD.
a) Tìm giao điểm MN (SBC). b) Tìm giao điểm SC (MNP).
1 13 Cho hình thang ABCD có hai đáy AD BC, S điểm không thuộc mp (ABCD) M điểm SB Xác định giao điểm SA mp(MDC).
1 14 Cho tứ diện ABCD Trên AC AD lấy điểm M, N Gọi P là điểm thuộc miền tam giác BCD Tìm giao điểm của:
a) MN với (ABP)
b) AP với (BMN).
1 15 Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M AC hai điểm N K thứ tự nằm miền tam giác BCD ACD Xác định giao điểm CD AD với mp(MNK).
1 16 Cho hình bình hành ABCD điểm S khơng thuộc (ABCD) Gọi M trung điểm SD.
a) Tìm giao điểm I BM với mp(SAC). b) Tìm giao điểm E mp(BCM) với SA.
c) Chứng minh BI = 2IM.
1 17 Cho tam giác ABC điểm S không thuộc mp (ABC) Trên SA, SB lần lượt lấy hai điểm M, N mp(ABC) ta lấy điểm O Xác định giao điểm mp(MNO) với đường thẳng: AB, BC, AC SC.
1 18 Cho N, P hai điểm thuộc miền tam giác ACD tam giác ABC tứ diện ABCD M điểm tùy ý cạnh DB Tìm giao điểm NP và (ACM)
Loại 3: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG Phương pháp:
: Ta chứng minh chúng điểm chung hai mặt phẳng phân biệt.(chúng nằm giao tuyến hai mp nên thẳng hàng).
(41)1 20 Cho hai tam giác ABC A’B’C’ không đồng phẳng có
K C B BC J C A AC I B A
AB∩ ' '= , ∩ ' '= , ∩ ' '= Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
1 21 Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB, AC, BD lấy điểm E, F, G bất kỳ.
a) Tìm: (EFG) (∩ BCD).
b) Tìm giao điểm R S DA DC với mặt phẳng (EFG). c) Chứng minh rằng: F, S, R thẳng hàng.
1 22 Cho hình thang ABCD, đáy lớn AB, S điểm không thuộc mặt phẳng (ABCD) Trên SA, SB lấy M, N cho MN không song song với AB Gọi
BD AC
O= ∩ .
a) Tìm giao điểm AB với mp(MNO).
b) Tìm giao tuyến mặt phẳng (MNO) với mp(SBC) mp(SAD). c) Gọi K giao hai giao tuyến trên.
BC AD
E= ∩ CMR: S, K, E thẳng hàng.
Loại 4: CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY Phương pháp:
: Ta chứng minh đương thứ qua giao điểm hai đường lại. Phần tập:
1 23 Cho tứ diện ABCD Gọi E, F, G điểm cạnh AB, AC, BD cho EF cắt BC I, EG cắt AD H Chứng minh CD, IG, HF đồng quy. 1 24 Cho hai tam giác ABC A’B’C’ cho AB cắt A’B’ E, AC cắt A’C’ F BC cắt B’C’ G.
a) Chứng minh điểm E, F, G thẳng hàng.
b) CMR: ba đường thẳng A’A’,BB’,CC’đồng quy.
1 25 Cho hình chóp S ABCD Gọi I, M, J điểm SA, SB, SC Gọi O giao điểm AC BD, giả sử đường thẳng SD cắt mặt phẳng (IJM) N Chứng minh: IJ, SO MN đồng quy.
1 26 Cho tứ diện ABCD Một mặt phẳng ( )α không chứa AB cắt cạnh AC, BC, DB, AD M, N, R, S Giả sử MN, RS, AB đôi không song song, chứng minh ba đường thẳng MN, RS, AB đồng quy.
1 27 Cho mặt phẳng (P) (Q) cắt theo giao tuyến d Lấy điểm A, B thuộc (P) không thuộc d điểm O không thuộc (P) (Q) Các đường OA, OB cắt (Q) A’, B’ Giả sử AB cắt d C Chứng minh điểm A’, B’, C thẳng hàng từ suy đường thẳng AB, A’B’ d đồng quy.s
Loại 5: THIẾT DIỆN
1 28 Cho tứ diện ABCD Gọi N P trung điểm cạnh AC BC Trong tam giác BCD lấy điểm Q cho hai đường thẳng PQ CD cắt tại I Tìm thiết diện tứ diện ABCD với mp(NPQ).
a) Trong trường hợp: I thuộc đoạn CD. b) Trong trường hợp: I đoạn CD.
(42)1 29 Cho hình chóp S ABCD Gọi M điểm thuộc miền tam giác SCB Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (ADM).
1 30 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N, P trung điểm củaSA, BC CD.
a) Xác định thiết diện hình chóp S ABCD với mp(MNP). b) Xác định thiết diện hình chóp S ABC với mp(MNP). c) Xác định thiết diện hình chóp S ABD với mp(MNP).
1 31 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang, đáy lớn AD Gọi M, N trung điểm SA, SB.
a) Tìm giao điểm SC với mp (DMN).
b) Tìm thiết diện hình chóp S ABCD với mặt phẳng (DMN). BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1: Cho tứ giác ABCD có AB∩ CD = E, AD∩ BC= KS∉ mp (ABCD) Gọi M, N, P trung điểm SA, SB, SC.
a) Tìm giao tuyến (SAC) (SBD). b) Tìm giao tuyến (MNP) (SBD). c) Tìm giao điểm Q SD (MNP).
d) Gọi H = MN∩ PQ CMR: S, H, E thẳng hàng. e) Chứng minh rằng: SK, QM NP đồng quy.
Bài 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang, đáy lớn AB Gọi M, N trung điểm SA, SB; P điểm tùy ý cạnh SC.
a) Tìm giao tuyến (SAD) (SBC).
b) Dựng Q= SD∩ (MNP) Tìm thiết diện mp (MNP) với hình chóp S ABCD. c) Gọi Tìm tập hợp I P chạy SC.
Bài 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang, đáy lớn AD Gọi M, N trung điểm SA, SB.
a) Tìm giao điểm SC với mp (DMN).
b) Tìm thiết diện hìh chóp S ABCD với (DMN).
Bài 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N lần lượt trung điểm BC CD, Q SA.
a) Tìm:(MNQ) (∩ SAB) (; MNQ) (∩ SDA)
b) Tìm giao điểm P R SD, SB với mp (MNQ). c) Tìm thiết diện hình chóp với mp (MNQ).
d) Tìm quỹ tích giao điểmI = MP∩ NR Q di động.
Bài 5: Cho hình chóp S ABCD Lấy điểm M thuộc miền tam giác SBC Lấy điểm N thuộc miền tam giác SCD.
a) Tìm giao điểm MN với ( SAC). b) Tìm giao điểm SC với (AMN).
c) Tìm thiết diện hình chóp S ABCD với (AMN).
(43)b) Gọi P điểm cạnh AB, Q điểm cạnh AC Tìm giao tuyến của mp (RBC) mp (DPQ).
Bài 7: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trung điểm AC BC Trên cạnh BD ta lấy điểm K cho BK = KD.
a) Tìm giao điểm E đường thẳng CD với mp (IJK) Chứng minh rằng: DE =
DC.
b) Tìm giao điểm F đường thẳng AD với mp(IJK) Chứng minh rằng: FA =
2FD.
c) Chứng minh FK//IJ.
d) Gọi M N hai điểm nằm hai cạnh AB CD Tìm giao điểm đường thẳng MN với mp(IJK).
Bài 8: Cho tứ diện ABCD O điểm bên tam giác BCD M điểm AO.
a) Timg giao tuyến mp (MCD) với mp(ABC) mp(ABD).
b) I, J hai điểm BC BD Tìm giao tuyến (IJM) (ACD).
Bài 9: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang, đáy lớn AB Gọi I, J, K SA, AB, BC.
a) Tìm giao điểm KI với mp(SBD).
b) Tìm giao điểm mp (IJK)với SD SC.
Bài 10: Cho tứ diện ABCD Gọi I, K trung điểm AB CD.Trên đoạn AD lấy điểm J cho AD = 3JD.
a) Xác định giao điểm F IJ mp (BCD).
b) Xác định giao tuyến (d) hai mp(IJK) (ABC).
Bài 11: Cho tứ diện SABC với I trung điểm SA, J trung điểm BC Gọi M là điểm di động IJ N điểm di động SC
a) Xác định giao điểm P MC (SAB). b) Tìm giao tuyến (SMP) (ABC). c) Tìm giao điểm E MN (ABC).
d) GọiF = IN∩ AC Chứng minh rằng: EF qua điểm cố định M, N di động.
§ 2 HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Loại 1: Chứng minh hai đường thẳng song song Phương pháp:
Có thể sử dụng cách sau:
: Chứng minh đườn thẳng đồng phẳng, áp dụng phương pháp chứng minh song
song như: tính chất đường trung bình, định lý đảo định lý Talet, …
: Chứng minh hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba.
: Áp dụng định lý giao tuyến.
2 1 Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trọng tâm tam giác ABC
ABD Chứng minh rằng: IJ // CD.
2 2 Cho hình chóp đỉnh S, đáy hình thang ABCD với AB // CD Mặt
(44)2 3 Cho tứ diện ABCD, gọi M, N, P, Q trung điểm đoạn AC, BC, BD, AD Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành.
2 4 Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thang, AB đáy lớn Gọi
M, N trung điểm đoạn SA, SB. a) Chứng minh: MN / / CD.
b) Tìm giao điểm P C mp (AND).
c) Kéo dài AN DP cắt I Chứng minh: SI // AB // CD Tứ giác SABI hình gì?
2 5 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P, Q, R, S trung điểm
AB, CD, BC, AD, AC, BD.
a) Chứng minh MNPQ hình bình hành.
b) Từ suy đoạn MN, PQ, RS cắt trung điểm đoạn.
2 6 Cho hai hình bình hành ABCD ABEF chứa hai mp khác
Trên đường chéo AC, BF lấy hai điểm M, N cho
3
= =
BF BN AC AM
Chứng minh MN // DE.
2 7 Cho hình chóp S ABCD đáy hình bình hành Gọi M, N, P, Q
điểm BC, SC, SD, AD cho MN// BS, NP // CD, MQ // CD. a) Chứng minh: PQ // SA.
b) GọiK = MN∩ PQ Chứng minh:SK // AD // BC.
Loại 2: Tìm giao tuyến hai mp – thiết diện qua đường thẳng song song với đường thẳng cho trước.
Phương pháp:
: Khi tìm điểm chung S.
: Lúc ta có hai trường hợp.
a) Hai mp ( )α β thứ tự chứa hai đường thẳng d1, d2 mà d1 cắt d2 I Ta có: I là điểm chung thứ hai Vậy SI giao tuyến cần tìm.
b) Hai mặt phẳng ( )α β thứ tự chứa hai đường thẳng d1, d2 mà d1// d2 Dựng Sx song song với d1 hay d2⇒ Sx giao tuyến cần tìm.
2 8 Cho hình chóp S ABCD có AB // CD Tìm giao tuyến hai mp
(SAB) ( SCD).
2 9 cho hình chóp S ABCD có ABCD hình bình hành.
a) Tìm giao tuyến hai mp (SAB) mp (SCD). b) Tìm giao tuyến hai mp (SAD) mp (SBC).
c) Lấy điểm M tùy ý cạnh SC Gọi N = SD ∩ (ABM) Tứ giác ABMN hình gì?
2 10 Cho tứ diện ABCD, gọi I trung điểm BD, M điểm cạnh DC, mặt phẳng ( )α qua M song song với BC AI Tìm giao tuyến hai mặt phẳng:
a) Mặt phẳng ( )α mặt phẳng (BCD). b) Mặt phẳng ( )α mặt phẳng (AID).
(45)2 12 Cho hình chóp S ABCD; gọi M điểm cạnh AB; ( )α mặt phẳng qua M song song với SA BC Tìm giao tuyến của.
a) Mặt phẳng ( )α với mặt phẳng (SAB). b) Mặt phẳng ( )α với mặt phẳng (ABCD). c) Mặt phẳng ( )α với mặt phẳng (SBC).
2 13 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AB, BC, CD. a) Tìm giao tuyến (MNP) (ABD).
b) Gọi Q= AD∩ (MNP) Hãy dựng Q chứng minh rằng: MNPQ hình bình hành.
2 14 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD la hình vng cạnh 2a, tgABS vng A, SA = a Trên BC, AD SD lấy M, N, P cho
SD SP AD AN BC
BM = =
. a) Tìm giao tuyến (MNP) (SDC)
b) Gọi Q = SC∩ (MNP) Xét hình tính MNPQ. Tính diện tích MNPQ theo a x = BM
c) Tìm quỹ tích giao điểm I MQ NP. d) Chứng minh rằng: SB // MQ.
2 15 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang với cạnh đáy là AB CD Gọi I J trung điểm AD BC G trọng tâm tam giác SAB.
a) Tìm giao tuyến (SAB) (IJK).
b) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (IJK) Thiết diện hình gì? 2 16 Cho tứ diện ABCD cạnh a Lấy I, J trung điểm AC, BC Gọi K điểm cạnh BD với KB = 2KD.
a) xác định thiết diện tứ diện với mặt phẳng (IJK) Chứng minh thiết diện hình thang cân.
b) Tính diện tích thiết diện theo a.
2 17 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi I, J lần lượt trọng tâm tam giác SAB SAD M trung điểm CD Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (IJK).
2 18 Cho tứ diện ABCD ba điểm P, Q, R lấy ba cạnh AB, CD, BC Hãy xác định giao điểm S mặt phẳng ( PQR) với cạnh bên AD nếu:
a) PR//AC. b) PR cắt AC.
§ 3 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNG
Loại 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng. Phương pháp:
: Chứng minh đường thẳng a không nằm ( )α song song với đường thẳng b chứa trong a.
(46)3 1 Cho hình chóp S.ABCD, cạnh SA SC lấy hai điểm E F cho
SC SF SA SE =
chứng minh rằng: EF //mp (ABCD).
3 2 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình bình hành Gọi M, N
là trung điểm AB CD.
a) Chứng minh: MN // (SBC) MN // (SAD)
b) Gọi P trung điểm SA Chứng minh rằng: SB SC song song với
mp(MNP).
3 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Trên SA, SB AD
lần lượt lấy M, N, K cho
AD DK SB SN SA
SM = =
Chứng minh:
a) MN // (ABCD).
b) SD // (MNK). c) NK //(SAC).
3 4 Cho tứ diện SABC Gọi I, J trung điểm AB BC H, K
lần lượt trọng tâm tam giác SAB SBC. a) Chứng minh rằng: AC//(SIJ). b) Chứng minh rằng: HK//(SAC). c) Tìm giao tuyến (BKH) (ABC)
3 5 Cho tam giác SAB hình bình hành ABCD khơng nằm
một mặt phẳng.Gọi G trọng tâm tam giác SAB; N điểm đoạn AC cho
3
= AC AN
.
Chứng minh: GN//(SCD)
3 6 Tứ diện ABCD, gọi E trung điểm cạnh BD I J
trung điểm đoạn CE CA. Chứng minh đường thẳng IJ // (ABD).
3 7 Cho tứ diện ABCD G trọng tâm tam giác ABD, M điểm
cạnh BC cho MB = 2MC. Chứng minh: MG // (ACD).
3 8 Cho hai hình bình hành ABCD ABEF khơng nằm
mặt phẳng.
a) Gọi O O’ tâm ABCD ABEF. Chứng minh: OO’ // (ADF) OO’ // (BCE)
b) Gọi M, N trọng tâm tam giác ABD, ABE Chứng minh đường thẳng MN song song với mp (CEF).
3 9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang với AB // CD; gọi G1, G2
lần lượt trọng tâm tam giác SAD, SBC Chứng minh: G1G2 // (SAB).
Loại 2: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng – Thiết diện song song với đường thẳng cho trước – Toán tổng hợp.
(47) : Tìm phương giao tuyến định lý 2:
Cho đường thẳng d //α Nếu mp β đi qua d cắt mặt phẳngα giao tuyến α vàβ song song với d
= ∩ ⊃
b d d
α β β
α
//
⇒ d//b
3 10 Cho hình chóp S.ABCD M, N điểm AB, CD, (α ) mặt phẳng qua MN song song với SA.
a) Tìm giao tuyến ( )α với mp (SAB) (SAC). b) Xác định thiết diện hình chóp với mp ( )α .
3 11 Cho hình chóp S.ABCD.Lấy M, N hai điểm SB CD
( )α mặt phẳng qua MN song song với SC.
a) Tìm giao tuyến ( )α với mặt phẳng ( SBC), (SCD) (SAC). b) Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD với mặt phẳng ( )α
3 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang đáy lớn AB goijM điểm cạnh AB Là ( )α mặt phẳng qua M song song với AD SB Mp
( )α cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện hình gì?
3 13 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thoi cạnh a SA=SB= a, SC = SD =a 3 Gọi E, F trung điểm cạnh SA, SB; M điểm cạnh BC.
a) Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (MEF) Thiết diện hình gì?
b) Đặt BM = x (0≤ x≤ a) Tính FM diện tích thiết diện theo a.
3 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Tam giác SAB vuông A SA = 2a Trên AD lấy M đặt DM = x mp ( )α qua M songsong với SA, CD.
a) Tìm giao tuyến mặt phẳng ( )α với mp (ABCD), với mp (SAD), mp (SCD). b) Gọi giao điểm mp ( )α với BC, SC SD N, P, Q Tứ giác
MNPQ hình gì? c) Gọi I = NP∩ MQ.
Chứng minh I di động đường cố định.
3 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Tam giác SAB Một điểm M di động BC với BM = x Lấy K SA cho AK = MB.
a) Chứng minh rằng: KM // (SDC).
b) Mặt phẳng ( )α qua M song song với (SAB) cắt SC, SD, AD N, P, Q Xác định hình tính tứ giác MNPQ.
c) Tính diện tích MNPQ theo a x.
(48)d) Tính x để KN // (ABCD).
§ 4 HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Loại 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song: Phương pháp:
Chứng minh hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt song song với mặt phẳng kia.
Hoặc:
Chứng minh hai mặt phẳng phân biệt mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt song song với hai đường thẳng chứa trong mặt phẳng kia.
4 1 Cho hình chóp S ABCD, đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N lần
lượt trung điểm SA, SD.
a) Chứng minh rằng: (MNO) // (SBC).
b) Gọi P Q trung điểm AB ON Chứng minh rằng: PQ // (SBC).
4 2 Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không nằm
mặt phẳng M, N, P, Q trung điểm AB, DC, EF, BC Chứng minh rằng:
a) (BEC)//(DAF).
b) (BNE) // (DMP). c) PQ // (ACF). d) BP //(NEQ).
4 3 Trong mặt phẳng ( )α cho hình bình hành ABCD Ta dựng nửa
đường thẳng song song với nằm phía ( )α đị qua điểm A, B, C, D Một mặt phẳng ( )α cắt bốn nửa đường thẳng nói A’, B’, C’, D’.
a) CMR: mp (AA’, BB’) // mp (CC’, DD’). b) CMR: A’B’C’D’ hình bình hành.
c) CMR: AA’ + CC’ = BB’ + DD’.
4 4 Cho hình chóp S ABCD, đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N lần
lượt trung điểm SA, SD.
a) Chứng minh rằng: (MNO) // (SBC).
b) Gọi I trung điểm SC, J điểm (ABCD) cách AB CD Chứng minh IJ song song với (SAB).
Loại 2: Tìm giao tuyến mặt phẳng – Thiết diện cắt mp song song với một mặt phẳng cho trước – Toán tổng hợp.
Phương pháp:
(49)4 5 Cho hình chóp S ABCD, đáy hình bình hành tâm O Tam giác SBD là tam giác Một mặt phẳng ( )α di động song song với mp (SBD) qua điểm I đoạn AC Xác định thiết diện hình chóp với mp ( )α .
4 6 Cho hình bình hành ABCD Dựng nửa đường thẳng Ax, By, Cz, Dt
song song chiều không nằm mp(ABCD) Lấy M N tùy ý Ax, By.
a) CMR: (BCN) // (AMD).
b) CMR: MN//mp(Dt;Cz).
c) P∈ CzTìm giao tuyến (MNP) (Cz,Dt).
4 7 Cho hai mặt phẳng ( )α ( )β song song với ABC tam giác
nằm ( )α MN đoạn thẳng nằm trong( )β . a) Tìm giao tuyến (MAB) ( )β .
b) Tìm giao tuyến (NAC) ( )β . c) Tìm giao tuyến (MAB) (NAC).
4 8 Cho tứ diện ABCD Gọi G1, G2, G3 trọng tâm tam
giác ABC, ACD, ADB
a) Chứng minh: (G1, G2, G3)//(BCD).
b) Tìm thiết diện tứ diện ABCD với mp (G1, G2, G3). Loại 3: Hình lăng trụ hình hộp.
4 9 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi H trung điểm A’B’.
a) Chứng minh CB’ // (AHC’).
b) Tìm giao điểm AC’ với mp (BCH).
c) Mặt phẳng ( )α qua trung điểm CC’ song song với AH CB’ Xác định thiết diện mp ( )α và hình lăng trụ.
4 10 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’.Gọi M, M’ trung điểm cá cạnh BC, BC’.
a) Chứng minh: AM // A’M’.
b) Tìm giao điểm A’M’ với mp (A’B’C’). c) Tìm giao tuyến hai mp (AB’C’) (BA’C’).
d) Tìm giao điểm G d với (AMA’) Chứng minh G trọng tâm tam giác AB’C’.
4 11 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.Có cạnh bên AA’, BB’, CC’, DD’:
a) Chứng minh (BDA’) // (B’D’C).
b) Chứng minh đường chéo AC’ qua trọng tậm G1 G2 hai tg BDA’ B’D’C.
c) Chứng minh : G1 G2 chia đoạn AC’ thành ba phần nhau.
d) Gọi O, I tâm hình bình hành ABCD AA’C’C Xác định thiết diện mp (A’IO) với hình hộp cho.
4 12 Chứng minh tổng bình phương tất đường chéo hình hộp tổng bình phương tất cạnh hình hộp đó.
4 13 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi H trung điểm A’B’. a) Chứng minh CB’ // (AHC’).
b) Tìm giao tuyến d hai mp (AB’C) (A’BC).
(50)Chứng minh d // mp (BB’C’C)
c) Xác định thiết diện mp (H, d) với hình lăng trụ ABC.A’B’C’ cho.
4 14 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Hai điểm M, N nằm cạnh AD CC’ cho
' CC CN AD AM
=
a) Chứng minh: MN // (ACB’).
b) Xác định thiết diện hình hộp với mp ( )α qua MN mp ( )α // mp (ACB’)
Loại 4: Hình chóp cụt.
4 15 Cho hình chóp cụt tam giác ABC.A’B’C’ ABC đáy lớn Gọi S điểm đồng quy đường thẳng AA’, BB’, CC’ CMR:
SC SC SB SB SA
SA' = ' = '
4 16 Cho hình chóp cụt ABC.A’B’C’ có cạnh bên AA’, BB’, CC’ ABC đáy lớn Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, B, CA M’, N’, P’ trung điểm cạnh A’B’, B’C’, C’A’.
Chứng minh rằng: đường thẳng MM’, NN’, PP’, đồng quy M’N’//MN; N’P’//NP;P’M’//PM.
§ 5 PHÉP CHIẾU SONG SONG
5 1 Tìm mệnh đề mệnh đề sau:
a) Hình chiếu song song hai đường thẳng cắt song song với nhau. b) Hình chiếu song song hai đường thẳng cắt cắt nhau
c) Hình chiếu song song hai đường thẳng cắt trùng nhau. d) Một đt song song với hình chiếu nó.
e) Một đường thẳng ln cắt hình chiếu nó.
5 2 Vẽ hình biểu diễn tam giác vuông nội tiếp đường trịn.
5 3 Vẽ hình biểu diễn hình vng nội tiếp đường trịn.
5 4 Hình chiếu song song đường thẳng chéo song song với
nhau hay khơng?
Hình chiếu song song hai đường thẳng cắt có song song với hay khơng?
5 5 Chứng minh trọng tâm G tam giác ABC có hình chiếu song song
trọng tâm G’ tam giác A’B’C’ Trong tam giác A’BC’ hình chiếu song song tam giác ABC.
TOÁN TỔNG HỢP
Bài 1: Cho hai hình vng ABCD ABEF hai mặt phẳng khác Trên AC BF lấy điểm M, N cho AM = BN mp( )α chứa MN song song với AB cắt AC AF M’ N’.
a) Tứ giác MNN’M’ hình gì?
b) Chứng minh M’N’ // EC.
(51)Bài 2: Cho hai nửa đường thẳng Ax By chéo Hai điểm M, N di động Ax By cho AM = BN Chứng minh đường thẳng MN luôn song song với mặt phẳng cố định.
Bài 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N trung điểm hai canh bên AA’ CC’ Một điểm P nằm cạnh bên DD’.
a) Dựng giao điểm Q BB’ với mặt phẳng (MNP).
b) Tìm thiết diện hình hộp mp(MNP) Thiết diện có tính chất gì? c) Tìm (MNP) (∩ ABCD).
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang với AB đáy lớn Gọi M trung điểm đoạn AB, E giao điểm hai cạnh bên hình thang G trọng tâm tam giác ECD.
a) Chứng minh S, E, M, G thuộc mp ( )α và mp cắt hai mp (SAC) (SBD) theo giao tuyến d.
b) Tìm (SAD) (∩ SBC).
c) Lấy K đoạn SE gọiC'= SC∩ KB,D'= SD∩ KA Chứng minh giao
điểm AC’ BD’ thuộc đường thẳng d nói trên.
Bài 5: Cho tứ diện ABCD Gọi M trung điểm cạnh AB G trọng tâm tam giác ACD.
a) Tìm giao điểm I = MG∩ (BCD)
b) Lấy N thuộc cạnh BC Xác định thiết diện tứ diện mp (MGN). Bài 6: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’.
a) CMR: hai đường chéo AC’ A’C cắt điểm M hai đường chéo BD’ B’D cắt điểm N.
b) Gọi E F trung điểm hai đường chéo AC BD đáy Chứng minh: MN = EF.
Bài 7: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có AA’ // BB’//CC’//DD’ trung điểm E, F cạnh AB DD’ Hãy xác định thiết diện hình lập phương cắt mặt phẳng (FEB), (EFC), (EFC’), (EFK) với K trung điểm B’C’. Bài 8: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi I, K, G trọng tâm
tam giác ABC, A’B’C’, ACC’.
a) Chứng minh rằng: mp (IKG) // mp (BB’CC’). b) Xác định thiết diện lăng trụ cắt mp (IKG). c) Chứng minh rằng: mp (A’KG) // (AIB’).
Bài 9: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi H, K, I, J lần lượt trung điểm cạnh SA, SB, SC, SD.
a) Chứng minh HIJK hình bình hành.
b) Gọi M điểm cạnh BC Tìm thiết diện hình chóp S.ABCD với mp(HKM).
Bài 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi Dx đường thẳng qua D song song với SC.
a) Tìm giao điểm I = Dx ∩ (SAB) Chứng minh AI//SB. b) Tìm thiết diện hình chóp S.ABCD với mp (AIC).
Bài 11: Cho hình chóp S ABCD M, N hai điểm SB CD.( )α Là mặt phẳng qua MN song song với SC.
(52)a) Tìm giao tuyến ( )α với mặt phẳng (SBC), (SCD) (SAC). b) Xác định thiết diện hình chóp với mp( )α .
Bài 12: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành. a) Tìm: (SAC) (∩ SBD) (; SAD) (∩ SBC) (; SAB) (∩ SCD)
b) Một mp ( )α // AB cắt SA, SB, SC, SD M, N, H, K.Tìm hình tính tứ giác MNHK Khi MNHK hình bình hành?
c) Gọi I = MH ∩ NK Chứng minh I luôn di động đường thẳng cố định.
Bài 13: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang, đáy lớn AB M điểm AD ( )α Là mp qua M song song với mp (SAB).
a) Xác định thiết diện hình chóp với mp ( )α . b) Thiết diện hình gì?
Bài 14: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ P điểm cạnh AB. a) Dựng thiết diện hình hộp với mp (A’C’P).
Thiết diện hình gì?
b) Tìm giao tuyến (A’DP) với (A’B’C’D’).
c) Giả sử (A’C’P) vắt BC Q QP kéo dài cắt DA kéo dài Q’ Tứ giác A’C’QQ’ hình gì?
Bài 15: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang, với AD song song với BC M điểm di động bên tứ giác ABCD Qua M vẽ đường thẳng lần lượt song song với SA, SB căt mp (SBC) (SAD) theo thứ tự N P.
a) Nêu cách dựng điểm N P.
b) Chứng minh:
SB MP SA MN +
không đổi.
MỘT SỐ ĐỀ TỰ LUYỆN THI HỌC KỲ I Đề số 1:
a) Tìm tập xác định GTLN – GTNN hàm số:
cos sin
1 cos sin
+ −
− +
=
x x
x x
y
1/ Giải phương trình sau:
a) 4sin2x+ 3sin2x− 2cos2 x=
b) cos2x + 2sinxsin2x = cosx
2/
a) Có số tự nhiên gồm sáu chữ số khác nhau,
đó có ba chữ số chẵn chữ số lẻ ( chữ số phải khác 0).
b) Gieo đồng thời súc sắc cân đối Tính xác suất để tổng
số chấm mặt xuất 10.
3/ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O M, N lần
lượt trung điểm SD CD, G trọng tâm tam giác SAB.
a) Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau: (SAC)
(53)b) Tìm giao điểm I BM (SAC); giao điểm J MG (ABCD) Chứng minh J, B, C thẳng hàng JC = 2JB.
c) Chứng minh: GI // (ABCD)
d) Gọi ( )α mặt phẳng qua N song song với AD SC
Xác định thiết diện hình chóp S ABCD bị cắt mp thiết diện( )α hình gì? Chứng minh?
Đề số 2:
1/ Xét tính đơn điệu hàm số sau: y = tanx; y = cotx; y = sinx
khoảng (− π ;0)
2/ Viết biểu thức sau dạng tích : P= 3sinx− 3cosx
3/ Gọi X tập hợp gồm điểm phân biệt nằm đường trịn Hãy tìm
số tam giác có đỉnh thuộc X.
4/ Một lớp học có 50 học sinh, có 30 nữ Chọn ngẫu nhiên hai học
sinh lớp Tìm xác xuất để hai học sinh chọn nam?
5/ Cho tam giác MNP phép dời hình f biến điểm M thành điểm M, biến
điểm N thành điểm N biến điểm P thành điểm P’ khác P Khi phép dời hình f phép gì?
6/ Cho tam giác cân OEF ( OE = OF ) phép dời hình f biến điểm E thành
điểm F, biến điểm F thành điểm E biến điểm O thành O’ khác O Khi phép dời hình f là phép gì?
7/ Có lồng gà, lồng có gà mái Chọn ngẫu nhiên lồng gà
con gà Tính xác suất để gà chọn gà mái?
8/ Có cách xếp học sinh nam học sinh nữ thành
hàng, cho hai học sinh nữ đứng cạnh nhau?
9/ Trong mệnh đề sau đây, mện đề đúng?
a) Phép vị tự biến đường thẳng a thành đường thẳng song
song với a.
b) Phép quay biến đường thẳng a thành đường thẳng cắt
a.
c) Phép tịnh tiến biễn đường thẳng thành nó.
d) Phép đối xứng tâm biến đường thẳng a thành đường
thẳng a’ song song trùng với a.
10/ Giải phương trình sau:
a) tan(2−15o)= 1.
b) cos3x + cos5x = sin2x.
11/ Cho túi đựng 15 cầu màu xanh, cầu màu đỏ Lần thứ nhất,
lấu ngẫu nhiên cầu túi Lần thứ hai, lấy ngẫu nhiên cầu số cầu lại Hãy tìm xác suất để:
a) Lần thứ lấy cầu màu xanh?
b) Lần thứ hai lấy cầu màu đỏ, biết lần thứ
đã lấy cầu màu xanh?
(54)12/ Trên mặt phẳng cho đường thẳng ∆ cố định vectơ →v cố định Với điểm M thay đổi mặt phẳng, ta thấy M1là điểm đối xứng với M qua ∆ M’ điểm cho M1M'= →v Gọi I1 trung điểm đoạn thẳng MM’.
a) Chứng minh vectơ I1Iluôn vectơ cố
định.
b) Từ chứng tỏ M thay đổi, trung điểm I đoạn
thẳng MM’ nằm đường thẳng ∆'cố định.
13/ Có tứ diện ABCD điểm M mằm hai điểm A B Gọi ( )α mặt
phẳng qua M, song song với hai đường thẳng AC BD Giả sử ( )α cắt cạnh AD, DC va CB N, P Q.
a) Tứ giác MNPQ hình gì?
b) Trong trường hợp AC = BD, xác định vị trí M
cho MNPQ hình thoi. Đề số 3:
1/ Tính giá trị biểu thức:
o
o o
o o A
440 sin
367 sin 87 cos cos
cos −
=
2/ Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
cos 2 cos cos
4 x x x
B= − −
3/ Giải phương trình: 3
2x − Px=
P .
4/ Có số tự nhiên có chữ số khác đôi một, biết số tự
nhiên số chẵn.
5/ Hãy tìm số hạng chứa x10 khai triển
5
3
3
−
x
x .
6/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Gọi O giao
điểm hai đường chéo AC BD Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng
( )α qua O, song song với AB SC Thiết diện hình gì?
7/ Chứng minh tam giác ABC ta có:
1 2 2
2 + + =
A tg C tg C tg B tg B tg A tg
8/ Giải phương trình:3− tgx(tgx+ 2sinx)+ 6cosx−
9/ Giải phương trình:
( x x) ( x x)
tgx 1sin 2cos 5sin 3cos
3 + + = + .
10/ Cho hai nửa đường thẳng Ax By cho AM = BN Chứng minh
rằng đường thẳng MN song song với mặt phẳng cố định. Đề số 4:
1/ Giải phương trình: 6 14
x x C C
Cx + x+ x = −
2/ Giải phương trình:
2 sin
(55)3/ Cho biết hệ số thứ ba khai triển
n
x
−
3
bằng 5. Tìm số hạng khai triển.
4/ Chứng minh tam giác ABC vng cân ta có:
B A B
A
2
sin sin tan
tan
= .
5/
a) Cho đường tròn (C) :(x− 3) (2+ y− 3)2 = 16. Tìm ảnh (C
1) của (C) qua ĐOx, ĐOy, Đ1( với I (1, -3) Tv Biết v = (−2;−1)
b) Cho đường tròn (C1):(x−1) (2+ y+ 1)2 = 9 ảnh (C) qua
( )
( 3,2 )
; ;
;Đ Đ Tv v= −
ĐOx Oy Oy
Tìm phương trình (C).
6/ Cho tứ diện ABCD Gọi I, K trung điểm AB CD
Trên đoạn AD lấy điểm J cho AD = 3JD.
a) Xác định giao điểm
b) Xác định giao tuyến (d) hai mp (IJK) (ABC).
c) Chứng minh rằng: ba đường thẳng AC, KJ (d) đồng quy.
d) Gọi O trung điểm IK, G trọng tâm tam giác
BCD CMR: điểm A, O, G thẳng hàng. Đề số 5:
1/ Chứng minh đẳng thức sau đây:
a)
+
= −
4 cos 2 sin
cos x x x π .
b)
+
− =
3 cos cos cos
cos x x x π x π .
2/ Cho tam giác ABC Chứng minh đẳng thức:
cotA.cotB +cotB.cotC+cotC.cotA=1
3/ Giải phương trình sau:
a) cos2x – sinx + 2= 0.
b) sin2x + cos2x + sin3x = cos3x.
c) sinx + cosx = tanx + cotx.
4/ Tìm số hạng thứ sáu khai triển:( )20
4 5− x .
5/ Giải phương trình: 72
1
1 =
− − + +
x y x y x
P P A
.
6/ Một bình đựng viên bi khac màu: xanh, vàng, đỏ
Lấy ngẫu nhiên viên Tính xác suất để viên bi khác màu.
7/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N, P
lần lượt trung điểm cạnh AB, AD SC Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP).
Đề số 6:
(56)1/ Một giỏ đựng 20 cầu, có 15 màu xanh màu đỏ Chọn ngẫu nhiên hai cầu giỏ.
a) Có cách chon thế?
b) Tính xác suất để chọn cầu màu?
c) Tính xác xuất để chọn cầu khác màu?
2/ Từ chữ số 1; 3; 4; lập số tự nhiên có
chữ số khác nhaun n∈ (100;500).
3/ Cho khai triển nhị thức:(2 2 ) (, *)
+
− ∈
+ x n n Z
x Biết khai triển
đó: 5
n n C
C = số hạng thứ tư 10n Tìm n x.
4/ Chứng minh rằng: điều kiện cần đủ để tam giác ABC vuông là:
2 sin sin
sin2A+ 2B+ 2C=
5/ Giải phương trình sau:
a) sin2x+ cos2x= cos2x.
b) 2(sinx +cosx) +6 sinx cosx – = 0.
6/ Cho tam giác ABC Chứng minh:
2 sin sin sin cos cos
cosA+ B+ C= + A B C
7/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành.
a) Xác định giao tuyến mp(SAB) (SCD), giao tuyến
mp(SAD) (SCB).
b) Một mặt phẳng ( )α cắt cạnh SA, SB, SD
điểm A’, B’, C’, D’ cho A’ khác A tứ giác A’B’C’D’ hình bình hành Chứng minh mp ( )α song song với mp (ABCD).
Đề số 7:
1/ (2đ) Giải phương trình:
a) 2sin2x+ 5sinx− 3=
b) 2sin2x+ 3sinxcosx− cos2x=
2/ (2đ)
a) Tìm hệ x25y10trong khai triển (x+ xy)15.
b) Biết hệ số xn−2trong khai triển
n
x
−
4
31 Tìm n.
3/ (1đ) Có tem thư khác bì thư khác Người ta muốn
chọn từ tem thư, bì thư dán tem thư lên bì thư Mỗi bì thư dán tem thư Hỏi có cách làm vậy?
4/ (1đ) Một túi đựng cầu đỏ, cầu xanh Chọn ngẫu nhiên
quả cầu Tính xác suất để cầu có cầu màu đỏ màu xanh.
5/ (4đ) Cho tứ diện ABCD Gọi I, K trung điểm AB CD
Trên đoạn AD lấy điểm J cho AD = JD
a) Xác định giao điểm F IJ mặt phẳng (BCD).
b) Xác định giao tuyến (d) mặt phẳng (IJK) (ABC).
(57)d) Gọi O trung điểm IK, G trọng tâm tam giác BCD Chứng minh điểm A, O, G thẳng hàng.
Đề số 8:
1/ (1đ) Giải phương trình: cosx.cos2x = cos3x.
2/ (2đ) Tính giá trị biểu thức: ( )
! 3
1
+
= +
n A A
M n n biết
149
2
2
4
3
2
1+ + + + + + =
+ n n n
n C C C
C ( n số nguyên dương, k
n
A là số chỉnh hợp chập k n phần tử là k
n
C số tổ hợp chập k n phần tử).
3/ (1đ) Có nhà tốn học nam, nhà toán học nữ nhà vật lý nam
Lập đồn cơng tác người cần có nam nữ, cần có nhà tốn học nhà vật lý Hỏi có cách lập đoàn?
4/ (1đ) Cho hộp đựng 12 viên bi có viên bi màu đỏ
viên bi màu xanh Lấy ngẫu nhiên lần viên bi Tính xác suất để lấy được:
a) 3 viên màu đỏ.
b) Ít hai viên bi màu đỏ.
5/ (1đ) Tam giác ABC có đỉnh B, C cố định cịn đỉnh A chạy
đường tròn (O;R) cố định khơng có điểm chung với đường thẳng BC Tìm quỹ tích trọng tâm G tam giác ABC.
6/ (4đ) Cho tứ diện ABCD Gọi I, K trung điểm AB CD
Trên đoạn AD lấy điểm J cho AD = 3JD.
a) Xác định giao điểm F = IJ∩ (BCD).
b) Xác định giao tuyến ( ) (d = IJK) (∩ ABC)
c) Chứng minh đường thẳng AC, KJ (d) đồng quy.
d) Gọi O trung điểm IK, G trọng tậm tam giác
BCD, chứng minh điểm A, O, G thẳng hàng.