ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ Dạng 1.. Tìm các giới hạn sau:..[r]
(1)VẤN ĐỀ 4 ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ Dạng Tìm giới hạn hàm số định nghĩa
Ta có định nghĩa giới hạn hữu hạn:
0 n n n n
xlim f ( x ) Lx x ,x x ,lim x x lim f ( x ) L
0 n n n n
xlim f ( x )x x ,x x ,lim x x lim f ( x )
0 n n n n
xlim f ( x )x x ,x x ,lim x x lim f ( x )
1 a) Cho hàm số
2
2
( )
2 x
y f x
x
dãy xn 2 cho
lim n
n x Tìm
lim n
n f x
từ suy
lim .
x f x
b) Cho hàm số
2 3 2
( )
1
x x
y f x
x
dãy xn 1 cho
lim n
n x
Tìm nlim f x n
từ suy xlim 1 f x .
2 Áp dụng định nghĩa giới hạn hàm số, tìm giới hạn sau: a)
1 x
4 x x lim
2
x
b)
1 x lim
x
c)
k xlim cxx
3 Sử dụng nguyên lý kẹp giới hạn dãy số định nghĩa giới hạn hàm số, tìm
a) lim0 sin1
x x x
b)
1
lim os
x xc x
4 Chứng minh không tồn giới hạn a) lim os0
x c x
b)
1 lim sin
x x
Dạng Tìm giới hạn hàm số cơng thức Ta thừa nhận định lý: Cho
0
xlim f xx a, lim g xxx b Khi ta có
xlim f xx g x a b x x0
lim f x g x a b
xlim f x g xx ab
0
0 x x
f x a
lim , b
g x b
(2)a) lim |x2 8|
x
b) ) x )( x ( x x lim 4
x
c) x x lim 2 x
d) x x x lim 2 x e) 3
x x
) x ( x lim g) x x x x lim 2
x
h) 2
2 1 5 3
lim 2 3 x x x x 6 Tìm giới hạn sau
a) x
1 lim x(1 )
x
b)
2
x 9x x
3 x lim c) x 2 x lim 2 x d) x x x 27 x lim 2
x
e) x 6x
16 x
lim 2
4
x
g) 2x x
1 x
lim 2
2
x
h) x x x x lim 4
x
h) x 2x
1 x x lim 5
x
i) 16 x x x x lim 3 2
x
ĐS: c) 2
d) 9 e) 16 7 Tìm giới hạn sau:
a) lim 2 x x x b) lim
1
x x x c) x x x 1 lim d) lim
2
x
x
x e) 6x 3 3x
1 x lim x
g) 1 2 3
1 1 1 lim x x x x x x h) x x lim
x
i) x 4x
4 x x
lim 3 2
1
x
8. Tính các giới hạn sau
a)
3
0
x 1 x 1 x
x x lim
b) x
1 x lim x
c) x 1
2 x x lim x d) 3
x x 6 2 3x 5
3 x x lim
e) x
1 x limm x
9. Tính giới hạn sau
(3) Chú ý: Ta thừa nhận x sin x
lim 1
x
Tổng quát ta có x
sin u x
lim
u x
với u 0 0. 10.Tính giới hạn sau
a) 2
0
x x
x cos
lim
b) cos5x
x cos lim
0
x
c) x x3
x sin tgx
lim
d)
x
1 x cos lim
1
x
e) )
4 x sin(
tgx lim
4
x
g) 3
0
x x
x sin tgx
lim
h) lim(1 cos2x)tgx
x
i) 1 cotgx
tgx 1 lim
4
x
k) 1 tgx
x cos x sin lim
4
x
l) )
x sin x ( lim
x
m) sinx
x x lim
3
0 x
Dạng Giới hạn phía
11.Tìm giới hạn bên trái, giới hạn bên phải hàm số y = f(x) x = x0 xét xem lim f(x)
0 x
x có
tồn hay không trường hợp sau
a) f(x) =
1 x khi 2
x
1 x khi 1
x
2 x 3 x
2
x0 = b) f(x) =
2 x khi x 2 1
2 x khi 2 x
x 4
x0 =
c ) f(x) = 2 3 x x
2
x = d ) f(x) =
0 x khi 1 1 x
1 1 x
0 x khi 2
3
3
tại x0 =
12.Tìm a để limx1f(x) tồn tại, f(x) =
1 x khi 2 ax
1 x khi 1 x
1 x3
Dạng Giới hạn hàm số vô cực 13 Tìm giới hạn sau:
a)
1 x
7 x x
lim 3
2
x
b) x
15 x x
lim 4
3
x
c) 3x
2 x lim 3
6
x
d)
1 x
2 x lim 3
6
x
e) 3
2
x 8x x
x x lim
g)
2 x x
x x lim 2
x
(4)a) 2
3
1
lim
x x
x x
x
b)
2
5
3 lim
x x
x x
x
c)
4
lim 3 2
3
x x
x x x
d)
3 ) )( (
lim 7
5
x x
x x
x e) 2 1
1
lim 2
4
x x
x x x
x g)
x x x x
x 1 2
1
lim
2
15 Tìm giới hạn sau: a) lim( x2 x)
x b) 2
3 lim
x
x x
x c) lim( 1)
2
x x x
x
d) lim( 2
x x x
x e) lim( 1)
2
x x x
x f) lim( )
2 x x
x
x
g) lim( x2 1 x)
x
h)
3
12 15
lim 2
2
1
x x
x x
x
16.Tính các giới hạn sau A =
x
x lim
x
B = x 2x
3 x
lim 3 2
2
x
C =
1 x
1 x x
lim 3
2
x
17.Tính giới hạn sau
M =
x x
1 x x x lim
2 x
N = 4x 1 x 1
x x x lim
2 x
P =
1 x
1 x x x x lim
2
x
18.Tính giới hạn sau A = lim( x2 x x)
x B = lim(2x 4x 4x 3)
2
x
C = lim( x2 1 x3 1)
x D = lim(x 3x x )
3
x Dạng Hàm số liên tục
19.Xét tính liên tục hàm số sau
a) f(x) =
2 x
2 x x
2 x
tại x0 = b) f(x) =
0 x khi 4
1
0 x khi x sin
x cos 1
2
(5)c) f(x) =
1 x
1 x x
x sin
tại x0 =
20.Tìm m để hàm số sau liên tục x0=
a) f(x) =
0 x khi 2
x x 4 m
0 x khi x
x 1 x 1
b) f(x) =
0 x khi m 1 x
4 x
0 x khi x
2 sin x
x 4 cos 1
21.Xét tính liên tục hàm số sau R
a) f(x) =
0 x
0 x | x
x sin |
b) f(x) =
0 x
0 x | x |
x sin
22.Tìm m để hàm số f(x) =
2 x khi 4
1 mx
2 x khi 2
x 2 2 x 3
liên tục R
23.Khơng giải phương trình, chứng minh phương trình sau ln có nghiệm
a) cosx + mcos2x = b) m(x – 1)3(x + 2) + (2x + 3) = 0