Ma trận khoảng và phương trình tuyến tính khoảng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————- NGƠ THỊ DIỆU MY MA TRẬN KHOẢNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHOẢNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Đà Nẵng - Năm 2018 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGÔ THỊ DIỆU MY MA TRẬN KHOẢNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHOẢNG Chun ngành: Phương Pháp Toán Sơ Cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phan Đức Tuấn Đà Nẵng - Năm 2018 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Đà Nẵng, tháng năm 2018 Tác giả Ngô Thị Diệu My LỜI CẢM ƠN Lời luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Phan Đức Tuấn tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình thực để tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy cô giáo tận tình dạy bảo tác giả suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến anh chị lớp Phương pháp Toán sơ cấp K32-Đà Nẵng nhiệt tình giúp đỡ tác giả trình học tập lớp Tác giả Ngô Thị Diệu My MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 KHÔNG GIAN KHOẢNG 1.1.1 Các khái niệm khoảng 1.1.2 Giao, hợp khoảng đóng hai khoảng 1.1.3 Các phép toán số học I(R) 1.2 MA TRẬN SỐ 10 1.2.1 Các phép toán ma trận số 10 1.2.2 Định thức ma trận số 12 1.2.3 Ma trận số nghịch đảo 12 CHƯƠNG MA TRẬN KHOẢNG .16 2.1 CÁC KHÁI NIỆM CHUNG 16 2.1.1 Định nghĩa ma trận khoảng 16 2.1.2 Độ rộng trung điểm ma trận khoảng 17 2.1.3 Các phép toán ma trận khoảng 18 2.1.4 Định thức ma trận khoảng 21 2.2 MA TRẬN KHOẢNG NGHỊCH ĐẢO 22 2.2.1 Định nghĩa 22 2.2.2 Cách tính 22 MỤC LỤC CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHOẢNG 27 3.1 Phương trình dạng a˜ + x˜ = b˜ 3.2 Phương trình dạng a˜ x˜ = b˜ 27 28 ˜ +X ˜ =B ˜ 3.3 Phương trình dạng A ˜X ˜ = B˜ 3.4 Phương trình dạng A 36 38 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU [x, x] I(R) x˜ A˜ = A, A¯ A˜ −1 A˜ ∗ ∑ Khoảng đóng R Tập tất khoảng đóng R Phần tử tập I(R) Ma trận khoảng A˜ cỡ (m × n) Ma trận khoảng nghịch đảo A˜ Ma trận khoảng liên hợp A˜ Tập hợp nghiệm phương trình ma trận khoảng A˜ X˜ = B˜ MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nói đến tốn học người ta thường nghĩ đến xác tuyệt đối, sai Tuy nhiên, giới tự nhiên, tượng xảy thường không tiền định q trình ngẫu nhiên, chí rủi ro q trình khơng chắn Một số tượng số CPI, KPI, biến động không ngừng theo thời gian tạo thành điểm đáy đỉnh Từ đó, chúng tạo thành khoảng giá trị hay tập giá trị Trước yêu cầu thực tế này, hướng nghiên cứu tốn học đời giải tích khoảng Những ý tưởng giải tích khoảng R E Moore khởi xướng vào năm năm mươi kỉ XX [3] Kể từ đến giải tích khoảng khơng ngừng phát triển nhiều nhà tốn học quan tâm Trong số ta kể đến L Stefanini, B Bede, Hukuhara, A Neumaier, S Abolmasoumi, [1]-[5] Trong tập khoảng đóng R trang bị phép tốn số học phép cộng: [a, a] ¯ + b, b¯ = a + b, a¯ + b¯ phép nhân vô hướng: ¯ = [min{λa, λa}, ¯ max{λa, λa}] ¯ λ [a, a] phép nhân: ¯ ab, ¯ ab, ¯ a¯b¯ , max ab, ab, ¯ a¯b¯ [a, a] ¯ ∗ b, b¯ = ab, ab, Nhờ đó, ta định nghĩa ma trận khoảng phép tốn ma trận khoảng khơng gian khoảng I (R).Tuy nhiên, tập (I (R) , +) không nhóm, (I (R) , +, ) khơng khơng gian vecto (I (R) , +, ∗) không vành nên số tính chất ma trận số khơng thể chuyển sang ma trận khoảng Bên cạnh đó, I (R) ta có A − A khác khơng Ví dụ [1, 2] − [1, 2] = [−1, 1] = [0, 0] Do đó, X = B − A chưa nghiệm phương trình A + X = B Với mục đích tìm hiểu sâu ma trận khoảng với định hướng TS Phan Đức Tuấn chọn nghiên cứu đề tài: “Ma trận khoảng phương trình tuyến tính khoảng” cho luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu cách xây dựng phép tốn ma trận khoảng tính chất phép tốn Áp dụng tính chất vào giải phương trình tuyến tính khoảng Đối tượng nghiên cứu Ma trận khoảng, phép toán số học ma trận khoảng, ma trận khoảng nghịch đảo phương trình tuyến tính khoảng Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu phép toán cộng, phép nhân vô hướng, phép nhân hai ma trận khoảng Giải số phương trình tuyến tính bậc khơng gian khoảng Phương pháp nghiên cứu Dựa theo khái niệm, phép tốn tính chất có ma trận số ta chuyển chúng sang cho ma trận khoảng Tuy nhiên, phép tốn khơng gian I (R) khơng có số khác biệt nên khơng phải có ma trận số có ma trận khoảng Thu thập tài liệu sưu tầm được, báo khoa học, sách có liên quan đến đề tài luận văn, tìm hiểu chúng trình bày kết đề tài theo hiểu biết ngắn gọn, theo hệ thống khoa học với chứng minh chi tiết Ý nghĩa khoa học thực tiễn Đề tài có giá trị mặt lý thuyết Có thể sử dụng luận văn tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành Tốn giảng viên giảng dạy mơn Tốn Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo luận văn chia làm ba chương Chương 1, trình bày số khái niệm tập khoảng Trang bị phép tốn số học cho tập khoảng Trình bày lại số kết liên quan đến ma trận số, chứng minh chi tiết kết nêu đưa kết để làm rõ kết Chương 2, trình bày khái niệm chung phép toán ma trận khoảng, định nghĩa ma trận khoảng cách tính Chương 3, trình bày lời giải cho dạng phương trình tuyến tính khoảng Bên cạnh ví dụ minh họa nhằm làm rõ thêm kết nêu 38 Ví dụ 3.3.2 Giải phương trình A˜ + X˜ = B˜ với     [−2, 1] [0, 4] [−1, 1] [−3, 0]   , B˜ =  A˜ =  [0, 3] [1, 3] [0, 2] [1, 2] Ta có w A˜ ≤ w B˜ Từ       [−2, 1] [0, 4] x˜11 x˜12 [−1, 1] [−3, 0]  = +  [0, 3] [1, 3] x˜21 x˜22 [0, 2] [1, 2] Suy  Do    [−2, 1] − dual [−1, 1] [0, 4] − dual [−3, 0]  = [0, 3] − dual [0, 2] [1, 3] − dual [1, 2] x˜22 x˜11 x˜12 x˜21  x˜11 = [−2, 1] − dual [−1, 1] = [−2, 1] − [1, −1] = [−1, 0] x˜12 = [0, 4] − dual [−3, 0] = [0, 4] − [0, −3] = [3, 4] x˜21 = [0, 3] − dual [0, 2] = [0, 3] − [2, 0] = [0, 1] x˜22 = [1, 3] − dual [1, 2] = [1, 5] − [2, 1] = [0, 3] Vậy nghiệm phương trình     [−1, 0] [3, 4] x˜11 x˜12  =  [0, 1] [0, 3] x˜21 x˜22 ˜X ˜ =B ˜ 3.4 Phương trình dạng A Định lý 3.4.1 Cho A˜ X˜ = B˜ là phương trình tuyến tính chứa số khoảng Nếu ma trận khoảng A˜ khả nghịch, ta tìm hộp nhỏ |A˜ (i) | ˜ (i) ˜ X = (x˜1 , x˜2 , x˜3 , , x˜n ) với x˜i = , A ma trận khoảng tìm ˜ |A| cột thứ i A˜ thay véctơ B˜ = (b˜ , b˜2 , , b˜ n ) Chứng minh Cho trước A˜ khả nghịch Nhân hai vế hệ A˜ X˜ = B˜ với A˜ −1 39 Ta có Đó ˜∗ ˜ A˜ −1 A˜ X˜ = A˜ −1 B˜ ⇒ I˜X˜ = A˜ −1 B˜ ⇒ X˜ = A˜ −1 B˜ = A B A˜     b˜ a˜11 a˜21 a˜n1 x˜1  ˜    x˜2    = a˜12 a˜22 a˜n2   b2   . |A| ˜    . a˜1n a˜2n a˜nn x˜n b˜ n   a˜11 b˜ + a˜21 b˜ + + a˜n1 b˜ n ˜ ˜ ˜   a˜12 b1 + a˜22 b2 + + a˜n2 bn  =  ˜  |A| a˜1n b˜ + a˜2n b˜ + + a˜nn b˜ n  Kéo theo (a˜ b˜ + a˜21 b˜ + · · · + a˜n1 b˜ n ) ˜ 11 |A| x˜2 = (a˜12 b˜ + a˜22 b˜ + · · · + a˜n2 b˜ n ) ˜ |A| x˜n = (a˜ b˜ + a˜2n b˜ + · · · + a˜nn b˜ n ) ˜ 1n |A| x˜1 = Ví dụ 3.4.1 Giải phương trình A˜ X˜ = B˜ với     [−1, 4] [3, 4] [−1, 2] [0, 0]          , B˜ =  [2, 3]  [−1, 0] [1, 3] [1, 5] A˜ =          [0, 1] [0, 0] [−2, −1] [2, 3] Áp dụng định lí thay đổi khoảng số học, ta có [3, 4] [−1, 2] [0, 0] ˜ = [−1, 0] |A| [0, 0] [1, 3] [1, 5] [−2, −1] [2, 3] = [6, 36] − ([−40, −3] + [−6, 3]) = [6, 36] − [−46, 0] ˜ = [6, 82], ∈ / |A| 40 [−1, 4] |A˜ (−1) | = [2, 3] [0, 1] [−1, 2] [0, 0] [1, 3] [1, 5] [−2, −1] [2, 3] = ([−9, 36] + [−5, 10] + [0, 0]) − ([0, 0] + [−40, 10] + [−9, 18]) = [−14, 46] − [−49, 28] = [−42, 95] [3, 4] |A˜ (2) | = [−1, 0] [−1, 4] [0, 0] [2, 3] [1, 5] [0, 0] [0, 1] [2, 3] = ([12, 36] + [0, 0] + [0, 0]) − ([0, 0] + [0, 20] + [−12, 3]) = [12, 36] − [−12, 23] = [−11, 48] [3, 4] [−1, 2] |A˜ (3) | = [−1, 0] [−1, 4] [1, 3] [2, 3] [0, 0] [−2, −1] [0, 1] = ([0, 12] + [0, 0] + [−2, 8]) − ([0, 0] + [−24, −6] + [−2, 1]) = [−2, 20] − [−26, −5] = [3, 46] Theo định lí ta thấy |A˜ (1) | [−42, 95] 1 95 x˜1 = = [−42, 95][ , ] = [−7, ] = ˜ [6, 82] 82 6 |A| A˜ (2) [−11, 48] −11 1 = = x˜2 = = [−11, 48] , ,8 [6, 82] 82 6 A˜ A˜ (3) [3, 46] 46 1 = = = [3, 46] , , x˜3 = [6, 82] 82 82 A˜ 41 Vậy nghiệm hệ   95    −7,    x˜1          −11  x˜2  =   ,             x˜3  46  , 82 Ví dụ 3.4.2 Giải phương trình khoảng A˜ X˜ = B˜ với     [−14, 0] [3.7, 4.3] [−1.5, −0.5] [0, 0]          , B˜ =  [−9, 0]  [−1.5, −0.5] [3.7, 4.3] [−1.5, −0.5] A˜ =          [−3, 0] [0, 0] [−1.5, −0.5] [3.7, 4.3] Ta có [3.7, 4.3] [−1.5, −0.5] [0, 0] ˜ = [−1.5, −0.5] |A| [3.7, 4.3] [0, 0] [−1.5, −0.5] [−1.5, −0.5] ˜ = [37.103, 74.897] A˜ = [−14, 0] [−1.5, −0.5] |A˜ (1) | = [−9, 0] [3.7, 4.3] [3.7, 4.3] [0, 0] [−1.5, −0.5] [−3, 0] [−1.5, −0.5] [3.7, 4.3 = [−14, 0][11.94, 18.06] + [0.5, 1.5][−6.15, −1.85] = [−210, 0] + [−39, 0] = [−249, 0] 42 [3.7, 4.3] |A˜ (2) | = [−1.5, −0.5] [0, 0] [−14, 0] [0, 0] [−9.0] [−1.5, −0.5] [−3, 0] [3.7, 4.3] = [3.7, 4.3] [−39, 0] + [0, 14] [−6.15, −1, 85] = [−156, 0] + [−56, 0] = [−212, 0] [3.7, 4.3] |A˜ (3) | = [−1.5, −0.5] [−1.5, −0.5] [−14, 0] [3.7, 4.3] [−9, 0] [0, 0] [−1.5, −0.5] [−3, 0] = [3.7, 4.3][−21, 0] − [−1.5, −0.5][0, 3] + [−14, 0][0.25, 1.75] = [−184, 0] + [0, 3] + [−14, 0] = [−198, 3] Do |A˜ (1) | [−249, 0] = [−4.482, 0] x˜1 = = ˜ [37.103, 74.897] |A| A˜ (2) [−212, 0] x˜2 = = = [−3.816, 0] [37.103, 74.897] A˜ A˜ (3) [−198, 0] = x˜3 = = [−1.776, 0.006] [37.103, 74.897] A˜ Vậy nghiệm hệ     x˜1 [−4.482, 0]         x˜2  =  [−3.816, 0]          [−1.776, 0.006] x˜3 43 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, học hỏi từ số tài liệu hướng dẫn TS Phan Đức Tuấn hồn thành luận văn với số kết đạt sau: - Trình bày cách có hệ thống khái niệm, tính chất, định thức ma trận khoảng cách tìm ma trận khoảng nghịch đảo Chứng minh chi tiết kết trình bày - Giới thiệu tập khoảng I(R) với phép toán số học - Các kết luận văn xây dựng khái niệm, tính chất ma trận khoảng Đưa cách giải dạng phương trình tuyến tính khoảng Trong khn khổ luận văn thạc sĩ, không đủ điều kiện để nghiên cứu hết tính chất phép tốn I(R) Ví dụ tính chất phân phối phép nhân phép cộng có cịn I(R) hay không? Nghĩa x( ˜ y˜ + z˜) = x˜y˜ + x˜ ˜z Các kết ma trận khoảng trình bày luận văn dừng lại số tính chất, định nghĩa quen thuộc có ma trận khoảng như: định thức, ma trận khoảng nghịch đảo, ma trận khoảng liên hợp, nghiệm phương trình tuyến tính Cịn số tính chất, định nghĩa có ma trận khoảng mà luận văn chưa có điều kiện trình bày Đây hướng phát triển luận văn Hy vọng tương lai gần tơi hồn thành kết qủa Trong q trình làm luận văn dù cố gắng nhiều không tránh khỏi thiếu sót định, tơi mong góp ý chân thành quý thầy cô bạn đọc để tiếp tục nghiên cứu phát triển luận văn 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Duy Thuận, Phi Mạnh Ban, Nông Quốc Chinh (2003), Đại số tuyến tính, NXB Đại học sư phạm Tiếng Anh [2] Neumaier A (1990), Interval methods for systems of equations, Cambridge University Press [3] Sainz M A., Armengol J., Calm R., Herrero P., Jorba L and Vehi J (2014), Modal interval analysis, Springer International Publishing Switzerland [4] Moore R E., Kearfott R B and Cloud M J (2009), Introduction to interval analysis, SIAM [5] Ning S and Kearfoot R B (1997), “A Comparison of some Methods for Solving Linear Interval Equations”, Journal on numerical analysis, No 34(4), pp 1289-1305 [6] K.Ganesan, On Some Properties of Interval Matrices, International Journal of Mathematics Sciences Volume Number [7] Weldon Lodwick, Didier Dubois (2005), Interval linear systems as a necessary step in fuzzy linear systems, Fuzzy Sets and Systems, Elsevier, pp.227-251 ... toán ma trận khoảng tính chất phép tốn Áp dụng tính chất vào giải phương trình tuyến tính khoảng Đối tượng nghiên cứu Ma trận khoảng, phép toán số học ma trận khoảng, ma trận khoảng nghịch đảo phương. .. 2.1.3 Các phép toán ma trận khoảng a Nhân khoảng với ma trận khoảng Cho khoảng x˜ ma trận khoảng cỡ m × n: A˜ = [a˜ij ]mn Phép nhân khoảng x˜ với ma trận khoảng A˜ ma trận khoảng B˜ = b˜ ij mn... kết ma trận khoảng trình bày luận văn dừng lại số tính chất, định nghĩa quen thuộc có ma trận khoảng như: định thức, ma trận khoảng nghịch đảo, ma trận khoảng liên hợp, nghiệm phương trình tuyến