Hằng số waldschmidt của các lược đồ đặc biệt có chiều không

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  TRẦN QUỐC TRÁNG HẰNG SỐ WALDSCHMIDT CỦA CÁC LƯỢC ĐỒ ĐẶC BIỆT CĨ CHIỀU KHƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC ĐÀ NẴNG – NĂM 2018 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  TRẦN QUỐC TRÁNG HẰNG SỐ WALDSCHMIDT CỦA CÁC LƯỢC ĐỒ ĐẶC BIỆT CÓ CHIỀU KHÔNG Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 84 60 104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS NGUYỄN CHÁNH TÚ ĐÀ NẴNG – NĂM 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Trần Quốc Tráng LỜI CẢM ƠN Lời luận văn em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS TS Nguyễn Chánh Tú tận tình hướng dẫn em suốt trình thực để em hồn thành luận văn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy giáo khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng tạo điều kiện cho em học tập nghiên cứu môi trường khoa học Xin cảm ơn đến gia đình, bạn bè anh chị lớp Cao học khóa 33 chuyên ngành Đại Số Lý thuyết số động viên giúp đỡ em suốt trình học tập nghiên cứu Trần Quốc Tráng HẰNG SỐ WALDSCHMIDT CỦA CÁC LƯỢC ĐỒ ĐẶC BIỆT CÓ CHIỀU KHÔNG Ngành: Đại số Lý thuyết số Họ tên học viên: Trần Quốc Tráng Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Chánh Tú Cơ sở đào tạo: Đại học sư phạm - Đại học Đà Nẵng Tóm tắt: Trong luận văn này, chúng tơi tính số Waldschmidt số tập điểm đặc biệt mặt phẳng xạ ảnh Từ khóa: Hằng số Waldschmidt, bậc dẫn đầu, lược đồ chiều không, bội, iđêan nhất, Xác nhận giáo viên hướng dẫn Người thực đề tài PGS TS Nguyễn Chánh Tú Trần Quốc Tráng WALDSCHMIDT CONSTANT OF SOME SPECIAL ZERO-SCHEMES Major: Algebra and Number theory Full name of Master student: Tran Quoc Trang Supervisors: Assoc Prof Ph.D Nguyen Chanh Tu Training institution: The University of Education - University of Da Nang Abstract: In this thesis, we compute the Waldschmidt constant of some special set of points in projective plane Key words: Waldschmidt constant, initial degree, zero-schemes, multiplicity, homogeneous ideal, Supervisor’s confirmation Student Assoc Prof Ph.D Nguyen Chanh Tu Tran Quoc Trang DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Ký hiệu R k[x1 , , xn ] Ank Pnk A = t∈N At (f1 , , fn ) V (I) I(V ) I(P ) hay P degf Z = ZJ α(J) γ(I) : : : : : : : : : : : : : Ý nghĩa ký hiệu vành giao hốn có đơn vị = vành đa thức n biến trường k không gian affine n chiều trường k không gian xạ ảnh n chiều trường k vành phân bậc iđêan sinh phần tử f1 , , fn ∈ R tập không điểm iđêan I iđêan tập V ⊂ Pn iđêan điểm P ∈ Pn bậc đa thức f ∈ k[x1 , , xn ] lược đồ chiều không ứng với iđêan J bậc dẫn đầu iđêan J số Waldschmidt lược đồ chiều không ứng với iđêan I MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN TÓM TẮT ĐỀ TÀI TÓM TẮT ĐỀ TÀI DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Vành đa thức n biến 1.2 Iđêan phép toán iđêan 1.3 Không gian xạ ảnh CHƯƠNG HẰNG SỐ WALDSCHMIDT CỦA LƯỢC ĐỒ ĐẶC BIỆT CÓ CHIỀU KHƠNG 2.1 Lược đồ chiều khơng bội 2.2 Hằng số Waldschmidt lược đồ đặc biệt có chiều khơng 10 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 18 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 19 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hằng số Waldschmidt nhà toán học Waldschmidt giới thiệu năm 1977 nhằm đặc trưng cho tập điểm không gian xạ ảnh Cùng với bậc dẫn đầu, số Waldschmidt đặc trưng quan trọng việc nghiên cứu bậc nhỏ đường cong qua lược đồ chiều không với số bội cho trước Những nghiên cứu số Waldschmidt ngày quan tâm trở thành hướng nghiên cứu thời đại số giao hốn hình học đại số Với mong muốn tìm hiểu thêm số Waldschmidt số tập điểm đặc biệt, với gợi ý hướng dẫn PGS TS Nguyễn Chánh Tú, chọn đề tài "Hằng số Waldschmidt lược đồ đặc biệt có chiều khơng"làm đề tài nghiên cứu cho luận văn Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu số Waldschmidt số lược đồ (hoặc tập điểm) đặc biệt có chiều không mặt phẳng xạ ảnh Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: lược đồ chiều không (hay tập điểm) măt phẳng xạ ảnh Phạm vi nghiên cứu: tính tốn số Waldschmidt lược đồ chiều không (hay tập điểm) Phương pháp nghiên cứu • Nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm tài liệu tổng quan báo • Dùng cơng cụ đại số giao hốn hình học đại số để nghiên cứu số Waldschmidt tập điểm đặc biệt Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài • Tổng hợp tài liệu để tổng quan tóm tắt số Waldschmidt lược đồ đặc biệt có chiều khơng • Tính tốn số Waldschmidt số tập điểm đặc biệt mặt phẳng xạ ảnh Cấu trúc luận văn Luận văn chia thành hai chương (trong chương nội dung luận văn) Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày sơ lược số khái niệm kết đại số giao hốn hình học đại số để làm sở cho chương sau Chương 2: Hằng số Waldschmidt lược đồ đặc biệt có chiều khơng Chương trình bày số kết số Waldschmidt số tập điểm đặc biệt mặt phẳng xạ ảnh i) Chú ý IJ ⊆ I ∩ J nhìn chung hai iđêan khác ii) Sử dụng công thức ta thấy phép toán cộng nhân iđêan thỏa mãn luật giao hoán, kết hợp phân phối, tức là: I +J =J +I IJ = JI (I + J) + K = I + (J + K) (IJ)K = I(JK) (I + J)K = IK + JK với iđêan I, J, K vành R 1.3 Không gian xạ ảnh Định nghĩa 1.3.1 Cho k trường Không gian affine n chiều k , ký hiệu Ank hay đơn giản An , định nghĩa là: An := {(a1 , , an )|ai ∈ k} Định nghĩa 1.3.2 ([1], trang 137) Cho k trường Không gian xạ ảnh n chiều k , ký hiệu Pnk hay đơn giản Pn , định nghĩa là: Pn = (An+1 − (0, , 0)) ∼, quan hệ tương đương cho (a0 , , an ) ∼ (b0 , , bn ) ⇔ ∃0 = λ ∈ k cho = λbi , ∀i = 0, n Như Pn := {(a0 : : an )|ai ∈ k}, (a0 , , an ) ∼ (b0 , , bn ) ⇔ ∃0 = λ ∈ k cho = λbi , ∀i = 0, n Một phần tử P = (a0 : : an ) ∈ Pn gọi điểm Pn Nếu a = (a0 , , an ) nằm lớp tương đương điểm P ∈ Pn ta gọi a tọa độ P Điểm P gọi nghiệm xạ ảnh đa thức f f (a) = với tọa độ a P Đặc biệt, n = P1 gọi không gian xạ ảnh chiều hay đường thẳng xạ ảnh; n = P2 gọi không gian xạ ảnh hai chiều hay mặt phẳng xạ ảnh Định nghĩa 1.3.3 Tập m điểm {P1 , , Pm } P2 gọi vị trí tổng qt khơng có điểm nằm đường thẳng Định nghĩa 1.3.4 ([1], trang 63) Cho A vành Tập M gọi A−môđun hay môđun A M nhóm abel trang bị phép nhân phần tử A với phần tử M thỏa mãn điều kiện sau với u, v ∈ M, f, g ∈ A: f (u + v) = f u + f v (f + g)u = f u + gu (f g)u = f (gu) 1u = u Định nghĩa 1.3.5 ([1], trang 135) Vành A gọi vành phân bậ c A = ⊕t∈N At với At Z−môđun thỏa mãn điều kiện Ai Aj ⊆ Ai+j , có nghĩa f g ∈ Ai+j với f ∈ Ai g ∈ Aj , i, j ∈ N Cho A vành phân bậc Các phần tử At gọi phần tử bậc t Bậc phần tử g kí hiệu degg Mọi phần tử f ∈ A viết cách dạng f = ft , ft phần tử t∈N bậc t Ta gọi ft thành phần bậc t f Định nghĩa 1.3.6 ([1], trang 135) Cho A = ⊕t∈N At vành phân bậc Một iđêan I ⊆ A iđêan I = ⊕t∈N It , với It = I ∩ At , hay iđêan sinh phần tử Tổng, tích giao iđêan iđêan Chú ý 1.3.7 ([1], trang 138) Chú ý ta khơng có khái niệm hàm f (P ) Pn f nhận giá trị khác tọa độ P Ví dụ f đa thức bậc r > f (λa) = λr f (a) = f (a) λr = Tuy nhiên ta dùng ký hiệu f (P ) = hay f (P ) = để nói lên P nghiệm hay không nghiệm xạ ảnh f Định nghĩa 1.3.8 Cho k[x0 , , xn ] vành đa thức , M = (x0 , , xn ) iđêan tối đại I M iđêan Tập không điểm I ký hiệu V (I) định nghĩa V (I) = {P ∈ Pn |f (P ) = 0, ∀f ∈ I} Đặc biệt, P2 ta có định nghĩa sau đây: Định nghĩa 1.3.9 Một đường cong đại số xạ ảnh phẳng C k định nghĩa C = V (f ) = {P = (a0 : a1 : a2 ) ∈ P2 |f (P ) = 0}, f đa thức khác không vành đa thức k[x0 , x1 , x2 ] Khi f gọi đa thức định nghĩa C Định nghĩa 1.3.10 Nếu ta viết f ∈ k[x0 , x1 , x2 ] dạng f = f1 + + fm , fi đa thức bậc i fm = Khi m gọi bậc đa thức f m bậc đường cong C định nghĩa đa thức f Các đường cong bậc gọi đường thẳng , đường cong bậc hai gọi đường conic, đường cong bậc ba gọi đường cubic, Mệnh đề 1.3.11 ([1], trang 139) Cho vành đa thức k[x0 , , xn ], (X) := (x0 , , xn ) iđêan cực đại k[x0 , , xn ] Chứng minh ([1], trang 139) Mệnh đề 1.3.12 ([1], Bổ đề 17.5) Cho f ∈ k[x0 , , xn ], ta viết f = f1 + + fm với fi đa thức bậc i Khi điểm P ∈ Pn nghiệm xạ ảnh f P nghiệm xạ ảnh đa thức fi , i = 1, , m Chứng minh ([1], Bổ đề 17.5) Như việc xét nghiệm xả ảnh đa thức không tương đương với việc xét nghiệm xạ ảnh hệ đa thức Định nghĩa 1.3.13 ([1], trang 139) Với tập V Pn , iđêan tập V , ký hiệu I(V ), định nghĩa sau: I(V ) := {f ∈ (X) = (x0 , , xn )|f (P ) = 0, ∀P ∈ V } Đặc biệt, V gồm mơt điểm P ta dùng ký hiệu I(P ) hay P Nhận xét 1.3.14 Có thể thấy I(V ) iđêan iđêan Mệnh đề 1.3.15 ([1], trang 139) Nếu điểm P = (a0 , , an ) ∈ Pn iđêan điểm P có dạng P = (ai xj − aj xi |i, j = 0, n) Chứng minh ([1], trang 139) Mệnh đề 1.3.16 ([2], Mệnh đề 1.2) Cho V W hai tập điểm tùy ý Pn Khi i) Nếu V ⊆ W I(W ) ⊆ I(V ) ii) I(V ) ∩ I(W ) = I(V ∪ W ) iii) I(V ) + I(W ) ⊆ I(V ∩ W ) Chứng minh ([2] Mệnh đề 1.2) CHƯƠNG HẰNG SỐ WALDSCHMIDT CỦA LƯỢC ĐỒ ĐẶC BIỆT CĨ CHIỀU KHƠNG Trong chương ta tính số Waldschmidt tập điểm đặc biệt P2 2.1 Lược đồ chiều không bội Định nghĩa 2.1.1 Cho X = {P1 , , Pr } ⊂ Pn , tập gồm r điểm không gian xạ ảnh Pn , Pi iđêan tương ứng với điểm Pi Xét iđêan I = ∩ri=1 Pi J = ∩ri=1 Pimi với mi ∈ N∗ , lược đồ chiều không ứng với J ký hiệu Z = ZJ định nghĩa là: r mi Pi Z = ZJ := m1 P1 + + mr Pr = i=1 Đặc biệt: Nếu J = I (m) := ∩ri=1 Pim ZJ = r Định nghĩa 2.1.2 Cho Z = với iđêan J = t∈N Jt r mPi với m ∈ N∗ i=1 mPi , m ∈ N∗ lược đồ chiều không ứng i=1 = I (m) = ∩ri=1 Pim Bậc dẫn đầu J ký hiệu α(J) định nghĩa α(J) =min{t|Jt = 0} Khi α(J) bậc nhỏ siêu mặt chứa lược đồ chiều không Z Mệnh đề 2.1.3 ([2], trang 4, 7) Cho X = {P1 , , Pr } ⊂ Pn Pi iđêan tương ứng điểm Pi , i = 1, r Gọi I = ∩ri=1 Pi I (m) = ∩ri=1 Pim Khi (1) I m ⊆ I (m) , từ suy α(I (m) ) ≤ α(I m ) (2) α(I m ) = mα(I) Định nghĩa 2.1.4 Cho = f ∈ k[x0 , x1 , x2 ] đa thức Số bội multP (f ) f điểm P ∈ P2 m ∈ N f ∈ P m f ∈ / P m+1 với P iđêan điểm P Định lý 2.1.5 ([2], Định lý 7.2)(Dạng yếu định lý Bézout) Cho đa thức f = có bậc d vành đa thức k[x0 , x1 , x2 ] l đa thức tuyến 10 tính Khi đó, hạn chế f l có d giao điểm (kể bội) l | f Định lý 2.1.6 ([3], Định lý 7.8)(Định lý Bézout) Cho Y, Z hai đường cong P2 có bậc tương ứng d, e Xét Y ∩ Z = {P1 , , Pr } Khi r i(Y, Z, Pj ) = de, j=1 với i(Y, Z, Pj ) bội giao Y Z Pj Theo nghĩa i(Y, Z, Pj ) số lần Y cắt Z Pj Chứng minh ([3], Định lý 7.8) Mệnh đề 2.1.7 ([2], trang 16) Cho Y, Z hai đường cong P2 Xét Y ∩ Z = {P1 , , Pr } Khi i(Y, Z, Pj ) ≥ multPj (Y ).multPj (Z), đẳng thức xảy Y Z khơng có tiếp tuyến chung Pj 2.2 Hằng số Waldschmidt lược đồ đặc biệt có chiều khơng Định nghĩa 2.2.1 Cho X = {P1 , , Pr } ⊂ Pn Pi iđêan tương ứng điểm Pi Gọi I = ∩ri=1 Pi ⊂ R = k[x0 , , xn ] gọi I (m) = ∩ri=1 Pim , m ∈ N∗ r mPi Hằng số iđêan tương ứng với lược đồ chiều không Z = i=1 Waldschmidt I (hay tập X ) ký hiệu γ(I) (hay γ(X)) định nghĩa α(I (m) ) m m→∞ γ(I) = lim Mệnh đề 2.2.2 ([5], Mệnh đề 2.1 [2], trang 6) Với ký hiệu định nghĩa số Waldschmidt γ(I) tồn ≤ γ(I) ≤ α(I (m) ) m ≤ α(I), ∀m ∈ N∗ α(I (bc) ) bc α(I t ) α(I (b) ) b , ∀b, c ∈ N∗ Chứng minh ([5], trang 2) Đầu tiên ta ≤ Theo Mệnh đề 2.1.3 ta có I t ⊆ I (t) , α(I (t) ) ≤ α(I t ) = tα(I), ∀t Do (I (b) )c ⊆ (I (b) )(c) = I (bc) α(I (bc) ) ≤ α((I (b) )c ) = cα(I (b) ), suy α(I (bc) ) bc ≤ α(I (b) ) b , ∀b, c ∈ N∗ 11 Xét chuỗi số dương at = tồn giới hạn L = α(I (t!) ) t! , ta thấy α(I (t!) ) lim t! t→∞ chuỗi giảm hội tụ Như α(I (t!) ) ≤ L + 2ε với t t! I ((q+1)t!) α(I (m) ) ≤ Với ε > 0, ta có L ≤ với ≤ r < t! Khi I (m) ⊃ Với m ≥ t!, đặt m = qt! + r (q + 1)α(I (t!) ) Điều có nghĩa α(I (m) ) m Vì α(I (t!) ) t! ≤ (q+1)α(I (t!) ) qt!+r = qα(I (t!) ) qt!+r + α(I (t!) ) qt!+r ≤ L + 2ε , ta giả sử q nghĩa L ≤ α(I (m!) ) m! ≤ α(I (m) ) m ≤L+ ε ≤ α(I (t!) ) t! 0, + 2ε Như tồn + α(I (t!) ) qt! α(I (t!) ) ≤ 2ε qt! α(I (m) ) lim m m→∞ Điều có hay tồn γ(I) Rõ ràng m ≤ α(I (m) ), ≤ γ(I) Hơn nữa, ta có I (tm) t→∞ tm γ(I) = lim ≤ I (m) m ≤ α(I) với m ≥ Ta tính số Waldschmidt tập điểm đặc biệt P2 , bắt đầu với trường hợp đơn giản sau: Mệnh đề 2.2.3 Cho X = {P0 , P1 , P2 } ⊂ P2 với P0 = (1 : : 0), P1 = (0 : : 0), P2 = (0 : : 1) P0 , P1 , P2 iđêan tương ứng với điểm P0 , P1 , P2 Gọi I = ∩2i=0 Pi ⊂ k[x0 , x1 , x2 ] gọi I (m) = ∩2i=0 Pim , m ∈ N∗ iđêan ứng với lược đồ chiều không Z = i=0 mPi Khi γ(I) = 23 Chứng minh Theo mệnh đề 1.3.15 ta có P0 = (x1 , x2 ), P1 = (x0 , x2 ), P2 = (x0 , x1 ) iđêan tương ứng với điểm P0 , P1 , P2 Khi I (2) = P02 ∩ P12 ∩ P22 = (x0 x1 x2 , x20 x21 , x20 x22 , x21 x22 ) = (2) t∈N It , tập hợp đa thức triệt tiêu điểm P0 , P1 , P2 với số bội điểm Từ suy α(I (2) ) = min{t|It(2) = 0} ≤ γ(I) ≤ α(I (2) ) ≤ 23 (2m) Bây ta giả sử ∃f ∈ I3m−1 Vì P0 , P1 ∈ V (x2 ) ta gọi l = V (x2 ) đường thẳng qua hai điểm P0 , P1 Theo định lý Bézout, tổng số bội đường cong V (f ) với đường thẳng l = V (x2 ) deg(f ).deg(x2 ) = (3m − 1).1 = 3m − Hơn nữa, f ∈ I (2m) nên tổng số bội đường cong V (f ) hai điểm 12 P0 , P1 2m + 2m = 4m Với m ∈ N∗ , ta có 4m > 3m − 1, điều vơ lý tổng số bội đường cong V (f ) hai điểm P0 , P1 lớn tổng số bội đường cong V (f ) với đường thẳng l = V (x2 ) Do x2 | f , lúc ta viết f = xa2 g , với x2 g , deg(g) = b a + b = 3m − Ta biết f = xa2 g ∈ I (2m) = P02m ∩ P12m ∩ P22m , nên f triệt tiêu ba điểm P0 , P1 , P2 với số bội điểm 2m Trước hết ta thấy đa thức g triệt tiêu điểm P2 nên deg(g) ≥ 2m hay b ≥ 2m Mặt khác, x2 g theo định lý Bézout ta có tổng số bội V (g) V (x2 ) deg(g).deg(x2 ) = b.1 = b Hơn nữa, tổng số bội V (g) hai điểm P0 , P1 2(2m − a) Ta ln có tổng số bội V (g) V (x2 ) phải lớn tổng số bội V (g) hai điểm P0 , P1 , tức b ≥ 2(2m − a) Từ ta suy 2b ≥ 2(2m − a) + 2m hay a + b ≥ 3m > 3m − =deg(f ), (2m) điều mâu thuẩn ta biết a + b =deg(f ) Như vậy, I3m−1 = 0, ∀m ∈ N∗ , α(I (2m) ) 2m m→∞ α(I (2m) ) ≥ 3m, ∀m ∈ N∗ γ(I) = lim 3m m→∞ 2m ≥ lim = Tóm lại, γ(I) = 32 Nhận xét 2.2.4 Mệnh đề 2.2.3 xem trường hợp đặc biệt kết cho tập điểm có cấu sau Cho X = {P1 , , Pr , Q1 , , Qs } với r ≥ 2, s ≥ 1, tập gồm r + s điểm P2 với P1 , , Pr r điểm nằm đường thẳng L0 = V (x2 ) Q1 , , Qs s điểm tổng quát không nằm đường thẳng s r L0 Cho lược đồ chiều không Z = Qj iđêan tương ứng Pi + i=1 j=1 I = IZ = ∩ri=1 Pi ∩sj=1 Qj với Pi , Qj iđêan ứng với điểm Pi , Qj Ký hiệu γ(r + s) cho γ(I) Mệnh đề 2.2.5 ([4], Mệnh đề 2.1) Với ký hiệu γ(r + 1) = − r γ(r + 2) = 2, ∀r ≥ Đặc biệt số Wadschmidt 3, điểm tổng quát tương ứng Chứng minh ([4], Mệnh đề 2.1) Do kết từ 2.2.6 2.2.8, trường hợp đặc biệt mệnh đề này, chứng minh chi tiết nên xin trình bày bước chứng minh cho mệnh đề Chứng minh chi tiết xem [4], Mệnh đề 2.1 Đặt Li = Pi Q Xét Li = Pi Q Đường cong r i=1 Li + (r − 1)L0 có bậc 2r − chứa điểm với bội r Suy α(I (r) ) ≤ 2r − Do ta có γ(r + 1) ≤ α(I (r) ) ≤ − 1/r r 13 Xét α(I (rm) ) Giả sử có f ∈ I (rm) có bậc m(2r − 1) − Ta thấy f = α(I (rm) ) ≥ m(2r − 1) Nên α(I (rm) ) α(I (rm) ) ≥ − 1/r γ(r + 1) = lim ≥ − 1/r m−→∞ rm rm đẳng thức xảy Tương tự cho trường hợp r + điểm Ta thấy α(I (m) ) ≤ 2m m (m) ) xm 2m l ∈ (I (m) Ngược lại, giả sử tồn f ∈ I2m−1 Ta f = 0, α(I (m) ) ≥ 2m Suy α(I (m) ) = 2m γ(r + 2) = Trong γ(r + 1) = − 1/r, xét r = ta có trường hợp điểm tổng quát Khi γ(2 + 1) = 3/2 Với điểm tổng quát, ta có kết ứng với r = γ(r + 2) = Trong kết từ 2.2.6 đến 2.2.8, tập điểm đơn giản, chúng tơi trình bày chứng minh cụ thể mà không sử dụng kết Mệnh đề 2.2.5, chúng trường hợp đặc biệt mệnh đề Hệ 2.2.6 Cho X = {P1 , P2 , P3 , Q} ⊂ P2 , P1 , P2 , P3 ba điểm nằm đường thẳng l = V (h) Q điểm không nằm đường thẳng l Xét lược đồ chiều không Z = P1 + P2 + P3 + Q iđêan ứng với lược đồ chiều không Z I = IZ = P1 ∩ P2 ∩ P3 ∩ Q, với P1 , P2 , P3 , Q iđêan tương ứng với điểm P1 , P2 , P3 , Q Khi γ(I) = γ(3 + 1) = 53 Chứng minh Gọi l1 = V (x) đường thẳng qua hai điểm P1 , Q, l2 = V (y) đường thẳng qua hai điểm P2 , Q l3 = V (z) đường thẳng qua hai điểm P3 , Q Trước hết ta thấy rằng, đa thức xyzh2 có bậc có số bội điểm (3) (3) P1 , P2 , P3 , Q 3, xyzh2 ∈ I5 α(I (3) ) = min{t|It Như γ(I) ≤ (3) α(I ) = 0} ≤ ≤ 53 (3m) Bây ta giả sử ∃f ∈ I5m−1 , ∀m ≥ Theo định lý Bézout, tổng số bội V (f ) với V (h) deg(f ).deg(h) = (5m − 1).1 = 5m − Mặt khác, tổng số bội V (f ) ba điểm P1 , P2 , P3 3.3m = 9m, điều vơ lý ta biết tổng số bội V (f ) với V (h) phải lớn tổng số bội V (f ) (3m) ba điểm P1 , P2 , P3 Như h | f Do ta viết f = g ∈ I5m−1 , với h g , deg(g) = b a + b = 5m − 14 Ta có, h g nên tổng số bội V (g) với V (h) phải lớn tổng số bội V (g) ba điểm P1 , P2 , P3 , tức b ≥ 3(3m − a) hay 3a + b ≥ 9m Hơn ta biết V (g) qua điểm Q nên deg(g) ≥ 3m hay b ≥ 3m hay 2b ≥ 6m Từ suy 3a + 3b ≥ 15m hay a + b ≥ 5m, điều mâu thuẩn với a + b =deg(f ) = 5m − α(I (3m) ) 3m m→∞ (3m) Do I5m−1 = 0, ∀m ≥ hay α(I (3m) ) ≥ 5m γ(I) = lim Tóm lại, γ(I) = γ(3 + 1) = 5m m→∞ 3m ≥ lim = 53 Hệ 2.2.7 Cho X = {P1 , P2 , Q1 , Q2 } ⊂ P2 , P1 , P2 nằm đường thẳng l1 = V (x) Q1 , Q2 hai điểm không nằm đường thẳng l1 Xét lược đồ chiều không Z = P1 + P2 + Q1 + Q2 iđêan ứng với lược đồ chiều không Z I = IZ = P1 ∩ P2 ∩ Q1 ∩ Q2 , với P1 , P2 , Q1 , Q2 iđêan tương ứng với điểm P1 , P2 , Q1 , Q2 Khi γ(I) = γ(2 + 2) = Chứng minh Gọi l2 = V (y) đường thẳng qua hai điểm Q1 , Q2 Trước hết ta thấy đa thức xm y m có bậc 2m có số bội điểm P1 , P2 , Q1 , Q2 (m) α(I (m) ) = min{t|It(m) = 0} ≤ 2m Như m, xm y m ∈ I2m γ(I) ≤ α(I (m) ) m ≤ 2m m = (m) Bây ta giả sử ∃f ∈ I2m−1 , ∀m ≥ Theo định lý Bézout, ta thấy tổng số bội V (f ) với V (x) deg(f ).deg(x) = (2m − 1).1 = 2m − Mặt khác, tổng số bôi V (f ) hai điểm P1 , P2 2m > 2m − 1, điều vơ lý ta biết tổng số bội V (f ) với V (x) phải lớn tổng số bội V (f ) hai điểm P1 , P2 Như vậy, x | f Tương tự ta có y | f Bây ta có (m) , với x f, y f , deg(g) = c a + b + c = 2m − thể viết f = xa y b g ∈ I2m−1 Ta có, x g nên tổng số bội V (g) với V (x) phải lớn tổng số bội V (g) hai điểm P1 , P2 , tức c ≥ 2(m − a) hay 2a + c ≥ 2m Tương tự, ta có c ≥ 2(m − b) hay 2b + c ≥ 2m Suy 2a + 2b + 2c ≥ 4m hay a + b + c ≥ 2m, điều mâu thuẩn với a + b + c =deg(f ) = 2m − Do α(I (m) ) m m→∞ (m) I2m−1 = 0, ∀m ≥ hay α(I (m) ) ≥ γ(I) = lim 2m m→∞ m ≥ lim = Tóm lại, γ(I) = γ(2 + 2) = Hệ 2.2.8 Cho X = {P1 , P2 , P3 , Q1 , Q2 } ⊂ P2 , P1 , P2 , P3 nằm đường thẳng l1 = V (x) Q1 , Q2 hai điểm không nằm đường thẳng l1 Xét lược đồ chiều không Z = P1 + P2 + P3 + Q1 + Q2 iđêan ứng với lược đồ chiều không Z I = IZ = P1 ∩ P2 ∩ P3 ∩ Q1 ∩ Q2 , với P1 , P2 , P3 , Q1 , Q2 iđêan tương ứng với điểm P1 , P2 , P3 , Q1 , Q2 Khi γ(I) = γ(3 + 2) = 15 Chứng minh Gọi l2 = V (y) đường thẳng qua hai điểm Q1 , Q2 Trước hết ta thấy đa thức xm y m có bậc 2m có số bội điểm P1 , P2 , P3 , Q1 , Q2 (m) m, xm y m ∈ I2m α(I (m) ) = min{t|It(m) = 0} ≤ 2m Như γ(I) ≤ α(I (m) ) m ≤ 2m m = (m) Bây ta giả sử ∃f ∈ I2m−1 , ∀m ≥ Theo định lý Bézout, ta thấy tổng số bội V (f ) với V (x) deg(f ).deg(x) = (2m − 1).1 = 2m − Mặt khác, tổng số bôi V (f ) ba điểm P1 , P2 , P3 3m > 2m − 1, điều vơ lý ta biết tổng số bội V (f ) với V (x) phải lớn tổng số bội V (f ) ba điểm P1 , P2 , P3 Như vậy, x | f Tương tự ta có y | f Bây (m) ta viết f = xa y b g ∈ I2m−1 , với x f, y f , deg(g) = c a + b + c = 2m − Ta có, x g nên tổng số bội V (g) với V (x) phải lớn tổng số bội V (g) ba điểm P1 , P2 , P3 , tức c ≥ 3(m − a) hay 3a + c ≥ 3m Tương tự, ta có c ≥ 2(m − b) hay 2b + c ≥ 2m Từ suy 3a + 2b + 2c ≥ 5m hay a + 2(a + b + c) = a + 2(2m − 1) ≥ 5m a ≥ m + > m, ∀m ≥ Mặt khác, a + b + c = 2m − nên b + c = 2m − − a < 2m − − m = m − Tuy nhiên, ta có 2b + c ≥ 2m hay b + (b + c) ≥ 2m suy b ≥ 2m − (b + c) > 2m − (m − 1) = m + Như ta có a > m b > m + 1, ∀m ≥ suy a + b > 2m + 1, điều mâu (m) thuẩn với a + b + c = 2m − 1, ∀a, b, c, m ≥ Do I2m−1 = 0, ∀m ≥ hay α(I (m) ) ≥ α(I (m) ) m m→∞ γ(I) = lim 2m m→∞ m ≥ lim = Tóm lại, γ(I) = γ(3 + 2) = Mệnh đề 2.2.9 Cho X = {P1 , Pr } ⊂ P2 , r ≥ 5, tập gồm r điểm P2 cho điểm nằm hai đường thẳng phân biệt, đường thẳng chứa ba điểm nằm đường cong bậc hai bất khả quy Gọi I = ∩ri=1 Pi , gọi I (m) = ∩ri=1 Pim , m ∈ N∗ iđêan ứng với lược đồ r mPi với Pi iđêan tương ứng điểm Pi Khi chiều khơng Z = i=1 α(I (m) ) = 2m γ(I) = Chứng minh Trường hợp Các điểm nằm hai đường thẳng l1 = V (x), l2 = V (z), đường thẳng chứa ba điểm Trước hết, ta thấy ∀m ≥ 1, đa thức = xm z m có bậc 2m có bội điểm Pi , i = 1, r m, xm z m ∈ Pim , i = 1, r hay xm z m ∈ 16 (m) (m) ∩ri=1 Pim = I (m) xm z m ∈ I2m Từ α(I (m) ) = min{t|It (m) α(I ) ≤ 2m m m (m) ∈ I2m−1 , m ≥ γ(I) ≤ sử ∃f = 0} ≤ 2m = Như α(I (m) ) ≤ 2m γ(I) ≤ 2, ∀m ≥ Bây ta giả (m) Ta chứng minh I2m−1 = (m) (m) d∈N Id , I2m−1 (m) min{t|It = 0} ≥ 2m ) ( Chú ý viết I (m) = (m) I2m−1 = Lúc α(I (m) ) = (m) = I0 (m) = I1 = = Với m = 1, ta có I1 = (I1 tập đa thức bậc (đường thẳng) triệt tiêu điểm Pi , điểm Pi khơng thẳng hàng, I1 = ) Với m ≥ 2, trước hết ta thấy rằng, tổng số bội đường cong V (f ) với đường thẳng l1 = V (x) 3m > 2m − = deg(f ), điều vô lý theo định (m) lý Bézout, x | f Tương tự ta có z | f Ta viết f = xzf1 ∈ I2m−1 • Nếu Pi ∈ l1 ∩ l2 , i = 1, r Khi xz đa thức bậc hai có bội điểm (m−1) Pi , i = 1, r 1, xz ∈ I2 , f1 ∈ I2(m−1)−1 Theo quy nạp ta suy (m−1) (m) I2(m−1)−1 = 0, ∀m ≥ 2, f1 = f = Vì I2m−1 = 0, ∀m ≥ • Nếu ∃Pi ∈ l1 ∩ l2 , i = 1, r Khơng tính tổng qt ta giả sử P1 ∈ l1 ∩ l2 Xét trường hợp l1 , l2 qua ba điểm Y = {P2 , , Pr } Gọi J = ∩ri=2 Pi iđêan triệt tiêu điểm Pi , i = 2, r Y = {P2 , , Pr } Ta có (m) (m−1) (m) f = xzf1 ∈ I2m−1 ⊂ J2m−1 mà xz ∈ J2 f1 ∈ J2(m−1)−1 , theo kết ta suy (m−1) (m) f1 ∈ J2(m−1)−1 = 0, ∀m ≥ 2, f1 = f = Vì I2m−1 = 0, ∀m ≥ Xét trường hợp hai đường thẳng l1 , l2 chứa hai điểm Y = {P2 , , Pr }, khơng tính tổng qt giả sử đường thẳng l1 chứa hai điểm Y Lúc này, trường hợp s + điểm theo Mệnh đề 2.2.5, từ (m−1) (m) J2(m−1)−1 = f1 = f = Vì I2m−1 = 0, ∀m ≥ Như α(I (m) ) m m→∞ (m) I2m−1 = 0, ∀m ≥ Do α(I (m) ) ≥ 2m γ(I) = lim 2m m→∞ m ≥ lim = Như trường hợp ta có α(I (m) ) = 2m γ(I) = Trường hợp Các điểm nằm đường cong bậc hai bất khả quy C = V (g0 ) Trước hết ta tồn đa thức khác thuộc I (m) có bậc (m) 2m Thật vậy, ∀m ≥ 1, đa thức = g0m ∈ I (m) có bậc 2m g0m ∈ I2m Vì α(I (m) ) = min{t|It(m) = 0} ≤ 2m γ(I) ≤ sử ∃f ∈ (m) I2m−1 , m ≥ Ta (m) I2m−1 α(I m ) m ≤ 2m m = Bây ta giả = 0, ∀m ≥ Với m = I1 = ( Vì r điểm Pi khơng thẳng hàng ) Với m ≥ 2, theo định lý Bézout, tổng số bội 17 V (g0 ) V (f ) deg(g0 ).deg(f )=2(2m − 1) Hơn nữa, tổng số bội V (f ) r điểm Pi ∈ X rm, r ≥ Với m ≥ 1, r ≥ 5, ta ln có 2(2m − 1) < rm (m) ( điều vô lý ) Do g0 | f Bây ta viết f = g0 f1 ∈ I2m−1 mà g0 ∈ I2 (m−1) (m−1) nên f1 ∈ I2(m−1)−1 , ∀m ≥ Theo quy nạp, ta có I2(m−1)−1 = 0, ∀m ≥ (m) (m) f1 = f = Vì I2m−1 = 0, ∀m ≥ Như I2m−1 = 0, ∀m ≥ Do α(I (m) ) m m→∞ α(I (m) ) ≥ 2m, ∀m ≥ γ(I) = lim ≥ 2m m = Như trường hợp ta α(I (m) ) = 2m, ∀m ≥ γ(I) = Tóm lại hai trường hợp α(I (m) ) = 2m γ(I) = Mệnh đề 2.2.10 Cho X = {P1 , , Pr } ⊂ P2 , r ≥ 9, cho điểm Pi nằm ba đường thẳng phân biệt, đường thẳng chứa ba điểm khơng có điểm Pi điểm chung hai ba đường thẳng Gọi I = ∩ri=1 Pi , gọi I (m) = ∩ri=1 Pim , m ∈ N∗ iđêan ứng với lược đồ chiều không r Z= I= mPi i=1 ∩ri=1 Pi với Pi iđêan tương ứng điểm Pi Khi γ(I) = với Chứng minh Gọi L1 = V (l1 ), L2 = V (l2 ), L3 = V (l3 ) ba đường thẳng thỏa mãn yêu cầu đề Trước hết ta thấy rằng, ∀m ≥ 1, đa thức l1m l2m l3m = 0, có bậc 3m triệt tiêu (m) r điểm Pi , i = 1, r với số bội điểm m Do l1m l2m l3m ∈ I3m Vì (m) α(I (m) ) = min{t|It = 0} ≤ 3m γ(I) ≤ α(I (m) ) m ≤ 3m m = Bây ta giả sử (m) ∃f ∈ I3m−1 Theo định lý Bézout, tổng số bội đường cong V (f ) đường thẳng V (l1 ) deg(f ).deg(l1 ) = 1.(3m − 1) = 3m − Hơn nữa, tổng số bội đường cong V (f ) điểm Pi ∈ L1 = V (l1 )(i = 1, s, s ≥ 3) 3m Với m ≥ 1, ta ln có 3m − < 3m (điều vô lý) Do l1 | f Tương tự ta có (m) l2 | f, l3 | f Từ ta viết f = l1 l2 l3 f1 ∈ I3m−1 Với m = 1, f = l1 l2 l3 f1 ∈ I2 (m) (m) mà deg(l1 l2 l3 ) = nên f = 0, I3m−1 = Với m ≥ 2, f = l1 l2 l3 f1 ∈ I3m−1 mà (m−1) (m−1) l1 l2 l3 ∈ I3 nên f1 ∈ I3(m−1)−1 Theo quy nạp, ta có I3(m−1)−1 = 0, ∀m ≥ (m) (m) f1 = 0, f = Vì I3m−1 = 0, ∀m ≥ Như I3m−1 = 0, ∀m ≥ Do α(I (m) ) m m→∞ α(I (m) ) ≥ 3m γ(I) = lim 3m m→∞ m ≥ lim = Như γ(I) = 18 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Trong luận văn tổng quan trình bày số kết sau: (1) Giới thiệu khái niệm lược đồ chiều không bội (2) Giới thiệu khái niệm số Waldschmidt lược đồ chiều không (hay tập điểm) khơng gian xạ ảnh số tính chất (3) Tính tốn số Waldschmidt số lược đồ chiều không (hay tập điểm) đặc biệt mặt phẳng xạ ảnh, thể kết 2.2.3, 2.2.6,2.2.7, 2.2.8,2.2.9 2.2.10 19 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Ngô Việt Trung (2012), Nhập mơn đại số giao hốn hình học đại số, NXB Khoa học tự nhiên công nghệ Tiếng Anh [2] S M Cooper and B Harbourne (2013), Regina Lectures On Fat Points, arXiv: 1310.3552v1 [Math AG] [3] Robin Hartshorne (1997), Algebraic Geometry, Springer [4] Nguyen Lan, Nguyen Chanh Tu, Vu Thanh and Dang Tuan Hiep (2016), Wald- schmidt constant of certain sets of point in projective plane, preprint [5] Nguyen Chanh Tu (2016), Waldschmidt constant of zero schemes and properties, preprint ... chọn đề tài "Hằng số Waldschmidt lược đồ đặc biệt có chiều không" làm đề tài nghiên cứu cho luận văn Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu số Waldschmidt số lược đồ (hoặc tập điểm) đặc biệt có chiều khơng... niệm kết đại số giao hoán hình học đại số để làm sở cho chương sau Chương 2: Hằng số Waldschmidt lược đồ đặc biệt có chiều khơng Chương trình bày số kết số Waldschmidt số tập điểm đặc biệt mặt phẳng... minh ([2] Mệnh đề 1.2) CHƯƠNG HẰNG SỐ WALDSCHMIDT CỦA LƯỢC ĐỒ ĐẶC BIỆT CĨ CHIỀU KHƠNG Trong chương ta tính số Waldschmidt tập điểm đặc biệt P2 2.1 Lược đồ chiều không bội Định nghĩa 2.1.1 Cho