Đang tải... (xem toàn văn)
Nhận xét: Mẫu chốt của cách giải trên là chúng ta nhận ra hằng đẳng thức và biến đổi về phương trình (1.1). Trong nhiều phương trình việc làm xuất hiện hằng đẳng thức không còn dễ dàng n[r]
(1)1 Phương pháp đưa dạng tích: Tức ta biến đổi phương trình :
Để đưa phương trình tích ta thường dùng cách sau: Cách 1: Sử dụng đẳng thức đưa dạng
Cách 2: Nhẩm nghiệm chia đa thức: Nếu nghiệm phương trình ta ln có phân tích: Để dự đoán nghiệm ta dựa vào ý sau:
Chú ý : * Nếu đa thức có nghiệm ngun nghiệm
đó phải ước
* Nếu đa thức có tổng hệ số đa thức có
một nghiệm
* Nếu đa thức có tổng hệ số chẵn tổng
hệ số lẻ đa thức có nghiệm
Cách 3: Sử dụng phương pháp hệ số bất định Ta thường áp dụng cho phương trình trình bậc bốn
Ví dụ 1: Giải phương trình : (1) Giải:
Ta có phương trình (1.1)
Vậy phương trình có hai nghiệm:
Nhận xét: Mẫu chốt cách giải nhận đẳng thức biến đổi phương trình (1.1) Trong nhiều phương trình việc làm xuất đẳng thức khơng dễ dàng nữa, để làm điều địi hỏi phải có nhạy cảm định phải thêm bớt hạng tử thích hợp
Ví dụ 2: Giải phương trình :
Giải: Phương trình
Vậy PT cho có nghiệm:
(2)1) Chắc hẳn bạn thắc mắc mà ta biết cách tách ?! Thật làm sau:
Phương trình
Ta chọn m cho biểu thức dấu phân tích đẳng thức, để có điều ta phải có:
, phương trình có nghiệm , ta phân tích
Với phương trình bậc bốn tổng quát (I) ta
có thể biến đổi theo cách sau:
Ta cộng thêm hai vế phương trình lượng:
(1.I)
Bây ta cần chọn cho VT (1.I) phân tích thành đẳng thức, tức :
(2.I)
Đây phương trình bậc ba nên có nghiệm Khi ta đưa phương trình (1.I) phương trình tích hai tam thức bậc hai, từ ta giải hai tam thức ta nghiệm phương trình (I)
2) Về mặt lí thuyết ta giải phương trình bậc bốn theo cách Tuy nhiên thực tế nhiều lúc việc giải khơng dễ dàng vậy, mẫu chốt quan trọng cách giải tìm Mặc dù (2.I) có cách giải giá trị lúc “đẹp”, nên khó khăn cho phép biến đổi
Ví dụ 3: Giải phương trình : (4)
Giải: Ta có phương trình:
, phương trình có nghiệm: Do
,
và
(3)Khai triển đồng hệ số ta có hệ phương trình :
Từ phương trình cuối ta chọn: , thay vào ba phương trình đầu ta có:
ta thấy hệ vơ nghiệm, ta chọn , thay vào ta giải
Vậy:
Ví dụ 4: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt. (5)
Giải: Khi gặp tốn có lẽ bạn suy nghĩ khơng biết nên xử lí theo hướng nào? Vì phương trình khơng có nghiệm đặc biệt, sử dụng phương trình phân tích bình phương việc giải phương trình (2.I) e khơng đến kết ! Vậy phương pháp hệ số bất định
sao? Chú ý đến hệ số tự phương trình ta thấy: , điều
này dẫn tới ta nghĩ đến phân tích VT phương trình dạng:
(mục đích làm giảm số ẩn cần tìm xuống cịn ẩn) Đồng hệ số ta có hệ phương trình :
Vậy
(5) có bốn nghiệm phân biệt (b) có hai nghiệm phân biệt chúng khơng có nghiệm chung
* (a) (b) có hai nghiệm phân biệt
* Giả sử (a) (b) có nghiệm chung , nghiệm hệ:
, hệ vơ nghiệm (b) khơng có nghiệm chung Vậy giá trị cần tìm
(4)có hai nghiệm ta ln có phân tích
Với phương trình ta khơng sử dụng tính chất vế trái đa thức bậc khơng có nghiệm đặc biệt Tuy nhiên nhạy bén ta thấy VT phương trình lại tam thức bậc hai ẩn tham số m Tức ta có:
(5’) Tam thức có :
Suy (5’) có hai nghiệm
và Do ta có:
Đây phương trình mà ta vừa biến đổi
Ví dụ 5: Giải phương trình :
Giải: Đặt , ta có :
Vậy nghiệm phương trình cho là:
Ví dụ 6: Giải phương trình :
Giải:
Ta có phương trình
Vậy phương trình cho có bốn nghiệm:
Ví dụ 7: Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt Giải:
(5)
Phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt (b) có hai nghiệm phân biệt chúng khơng có nghiệm chung
(a) (b) có hai nghiệm phân biệt
Giả sử (a) (b) có nghiệm chung