Mô đun nội xạ trực tiếp đơn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - - VÕ THỊ HỒNG SƯƠNG MÔĐUN NỘI XẠ TRỰC TIẾP ĐƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - - VÕ THỊ HỒNG SƯƠNG MÔ ĐUN NỘI XẠ TRỰC TIẾP ĐƠN Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã ngành: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: TS TRƯƠNG CÔNG QUỲNH Đà Nẵng, 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Võ Thị Hồng Sương LỜI CẢM ƠN Lời luận văn em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Trương Cơng Quỳnh tận tình hướng dẫn em suốt q trình thực để em hoàn thành luận văn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy giáo tận tình dạy bảo em suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời xin gửi lời cảm ơn đến anh chị lớp Đại số Lý thuyết số nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập lớp Võ Thị Hồng Sương MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các khái niệm 1.2 Một số kết liên quan 10 CHƯƠNG MÔĐUN NỘI XẠ TRỰC TIẾP 13 2.1 Môđun nội xạ trực tiếp 13 2.2 Vành C2 20 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA MÔĐUN NỘI XẠ TRỰC TIẾP ĐƠN .30 3.1 Môđun nội xạ trực tiếp đơn 30 3.2 Đặc trưng vành nội xạ trực tiếp đơn 36 3.3 Khi môđun nội xạ trực tiếp đơn môđun C3? 38 3.4 Môđun nội xạ trực tiếp đơn V -vành 43 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN N R Z E(M ) soc(M ) rad(M ) J(R) r (X) , l (X) Mn (R) end (M ) K⊆e M K M Z(M ) N ⊆⊕ M R(I) Tập hợp số tự nhiên Tập hợp số thực Tập hợp số nguyên Bao nội xạ môđun M Đế môđun M Căn môđun M Căn Jacobson vành R Các linh hóa tử phải trái tập X Vành ma trận vuông cấp n vành R Vành tự đồng cấu môđun M K môđuncon cốt yếu môđun M K môđun bé M Tập tất môđun suy biến môđun M N hạng tử trực tiếp môđun M Tổng trực tiếp |I| môđun R MỞ ĐẦU Nói đến đại số đại khơng thể khơng nhắc đến lý thuyết vành mơđun, có ứng dụng rộng rãi đại số đại Một lớp môđun quan trọng lý thuyết vành môđun là: môđun nội xạ, môđun xạ ảnh, môđun tự do, môđun hữu hạn sinh Ngoài đặc trưng lớp vành Artin, Nơte, nửa đơn, thông qua lớp môđun nghiên cứu năm gần Hơn nữa, đặc trưng vành nghiên cứu điều kiện nội xạ thu hút nhiều tác giả ngồi nước nghiên cứu Trong q trình nghiên cứu mơđun nội xạ nhà tốn học sâu vào lớp môđun nội xạ đồng thời nghiên cứu lớp môđun nội xạ mở rộng: tựa nội xạ, giả nội xạ, nội xạ đơn, nội xạ cực tiểu, nội xạ trực tiếp Mặt khác, lớp môđun nội xạ nghiên cứu gần mơđun nội xạ trực tiếp đơn Luận văn trình bày mơđun nội xạ trực tiếp đơn, tính chất ứng dụng q trình đưa đặc trưng vành: vành Artin chuỗi, V -vành, vành quy, LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Cấu trúc môđun xuất hầu hết lý thuyết tốn học đại, có khả thống cách chất cấu trúc vành, iđêan, nhóm Aben khơng gian vectơ Dựa vào số kết tác giả Mohamed Yousif, Yasser Ibrahim, Victor Camillo Yiqiang Zhou (2014) môđun nội xạ trực tiếp đơn, thấy cần thiết phải nghiên cứu tính chất mơđun nội xạ trực tiếp đơn từ sử dụng chúng để nghiên cứu đặc trưng vành Chẳng hạn, vành R nửa Artin R-môđun phải nội xạ trực tiếp đơn nội xạ, vành quy R V -vành phải (nghĩa là, R-môđun phải đơn nội xạ) R-môđun phải cyclic nội xạ trực tiếp đơn Từ lý mà chọn đề tài “Môđun nội xạ trực tiếp đơn” LỊCH SỬ VẤN ĐỀ Có hai phương pháp nghiên cứu vành: nghiên cứu nội nghiên cứu vành thơng qua M od-R Nhiều nhà tốn học lựa chọn nghiên cứu đặc trưng vành thông qua số lớp môđun Một lớp mơđun đóng vai trị quan trọng mơđun nội xạ Các nhà toán học lựa chọn hướng nghiên cứu mở rộng môđun nội xạ để áp dụng vào việc đưa đặc trưng vành, tiêu biểu là: Smith, Wisbauer, Chen Zhizhong, Nicholson, Thuyet, Quynh, Dung, Huynh, Khái quát hóa là: nghiên cứu lớp mơđun tổng qt hóa mơđun nội xạ trường hợp cụ thể nội xạ trực tiếp đơn áp dụng đưa đặc trưng vành liên quan Khái niệm môđun nội xạ biết đến từ thập niên 90 kỉ XX Năm 1940, Baer đưa tiêu chuẩn môđun nội xạ : R-môđun phải M gọi nội xạ với iđêan phải I R, với f g đồng cấu I → − M mở rộng thành đồng cấu R → − M Từ nhà tốn học đưa khái niệm tương tự môđun nội xạ: Một môđun M môđun nội xạ thỏa mãn điều kiện tương đương sau: (1) Với môđun N môđun A N , đồng cấu f g A→ − M mở rộng thành đồng cấu N → − M f (2) Với mơđun N , đơn cấu N → − M chẻ (3) M khơng có mở rộng cốt yếu thực Kết hợp với tiêu chuẩn mà Baer đưa ta chứng minh môđun môđun nội xạ theo bốn cách Khi nghiên cứu môđun nội xạ nhà tốn học xét trường hợp khái qt hóa khái niệm nội xạ đưa kết sau: - Từ tiêu chuẩn Baer, I iđêan ta có khái niệm P -nội xạ Điều tương đương với f phép nhân trái phần tử m M - Cho M, N môđun cho trước, M N thỏa mãn điều kiện (1) M gọi N -nội xạ - Trong điều kiện (1), lấy môđun N mơđun M ta có khái niệm mơđun tựa nội xạ f - Trong điều kiện (1), A → − M đơn cấu M gọi N -giả nội xạ M M -giả nội xạ M gọi giả nội xạ - Cũng điều kiện (1), A mơđun đơn M M gọi N -nội xạ cực tiểu Tiếp tục hướng nghiên cứu trên, năm 1976 W.K.Nicholson đưa khái niệm môđun nội xạ trực tiếp: R-môđun M nội xạ trực tiếp cho N hạng tử trực tiếp M đơn cấu g : N → M tồn tự đồng cấu f R-môđun M cho f g = ιN Trong đó, ι : N → M phép nhúng tắc (đơn cấu tắc) Năm 2014, Victor Camillo, Yasser Ibrahim Mohamed Yousif đưa khái niệm môđun nội xạ trực tiếp đơn: môđun M nội xạ trực tiếp đơn với môđun đơn A B M mà A ∼ =B B hạng tử trực tiếp M A hạng tử trực tiếp M Hơn nữa, môđun nội xạ trực tiếp nội xạ trực tiếp đơn Dựa lớp môđun môđun nội xạ nhà toán học khai thác tính chất lớp mơđun từ mở rộng đưa đặc trưng vành ví dụ vành QF , vành P -nội xạ, vành CS , Như có nhiều tác giả nghiên cứu theo hướng việc tìm hiểu lớp môđun nội xạ trực tiếp đơn áp dụng vào số vành liên quan việc làm cần thiết MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Với mục tiêu nghiên cứu khái niệm tính chất mơđun nội xạ trực tiếp đơn từ tổng quan vành nội xạ trực tiếp đơn để đưa đặc trưng vành chuỗi Artin, V -vành, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Nghiên cứu tài liệu, giáo trình, sách, báo viết môđun nội xạ, môđun nội xạ trực tiếp nhằm hệ thống lại tính chất cách hợp lý đưa đặc trưng vành liên quan PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Trong trình nghiên cứu đề tài, chúng tơi sử dụng phương pháp phân tích, phương pháp tổng hợp, phương pháp lơgic (tính hệ thống), phương pháp chun gia (cố vấn) ĐĨNG GĨP CỦA ĐỀ TÀI Đề tài đóng góp thiết thực việc nghiên cứu mơđun nội xạ, môđun nội xạ trực tiếp, môđun nội xạ trực tiếp đơn vành C2, V vành, vành Artin chuỗi, chương trình tốn đại học sau đại học CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Chương I: Trình bày khái niệm, định lý môđun, môđun nội xạ, môđun tựa nội xạ, vành, vành Artin, V-vành, Chương II: Nêu định nghĩa tính chất mơđun nội xạ trực tiếp, vành C2 Chương III: Nêu định nghĩa, tính chất mơđun nội xạ trực tiếp đơn, ứng dụng nêu đặc trưng vành Artin chuỗi, V -vành 37 Hệ 3.2.1 Cho R vành I -hữu hạn Khi đó, R vành nội xạ trực tiếp đơn R ∼ = R1 × R2 với R1 vành Artin nửa đơn soc(R2 )2 = Định lí 3.2.2 Nếu R vành nội xạ trực tiếp đơn phải R(I) R-môđun nội xạ trực tiếp đơn phải với tập số I Chứng minh Cho A, B môđun đơn R(I) với A ∼ = B⊆⊕ R(I) Ta cần chứng minh A⊆⊕ R(I) Cho f : R → A tồn cấu Vì R(I) xạ ảnh, A xạ ảnh nên f toàn cấu chẻ Do đó, A ∼ = D⊆⊕ R với D hạng tử trực tiếp R Vì R vành nội xạ trực tiếp đơn phải nên theo Bổ đề 3.1.12 D R-nội xạ đơn Suy A R-nội xạ đơn, theo Bổ đề 3.1.11 ta có A R(I) -nội xạ đơn Do đó, phép đồng ι : A → A mở rộng đến R(I) A⊆⊕ R(I) Hệ 3.2.3 Vành R nội xạ trực tiếp đơn phải R-môđun phải xạ ảnh nội xạ trực tiếp đơn Định lí 3.2.4 Tính chất vành nội xạ trực tiếp đơn phải tính chất bất biến Morita Chứng minh Giả sử R vành nội xạ trực tiếp đơn phải Ta cần chứng minh với n ≥ với e2 = e ∈ R với ReR = R, Mn (R) eRe vành nội xạ trực tiếp đơn phải Nếu P = (Rn )R S = endR (P ) HomR (P, −) : NR → HomR (S PR , NR ) định nghĩa tương đương Morita Mod-R Mod-S với nghịch đảo tương đương −⊗S P : MS → M ⊗ P Vì tương đương Morita bảo tồn điều kiện mơđun nội xạ trực tiếp đơn nên SS ∼ = Hom(P, P ) S 38 nội xạ trực tiếp đơn PR nội xạ trực tiếp đơn Theo Định lý 3.2.2 ta có P nội xạ trực tiếp đơn từ suy S Mn (R) nội xạ trực tiếp đơn Nếu P = (eR)R S = eRe HomR (P, −) : NR → HomR (S PR , NR ) định nghĩa tương đương Morita Mod-R Mod-S với nghịch đảo tương đương −⊗S P : MS → M ⊗ P Vì tương đương Morita bảo tồn điều kiện môđun nội xạ trực tiếp đơn, R vành nội xạ trực tiếp đơn phải kéo theo S -môđun phải HomR (S PR , R) nội xạ trực tiếp đơn Tuy nhiên HomR (S PR , R) ∼ = (Re) = [(1 − e) Re ⊕ eRe] nên S S xem hạng tử trực tiếp mơđun nội xạ trực tiếp đơn Vì SS môđun xạ trực tiếp đơn 3.3 Khi môđun nội xạ trực tiếp đơn môđun C3? Bổ đề 3.3.1 Tổng trực tiếp môđun nội xạ nội xạ trực tiếp đơn Chứng minh Ei với Ei môđun nội xạ cho A ∼ = B⊆⊕ M với A, B môđun đơn M Vì B đơn, B⊆⊕ ( i∈F Ei ) với tập hữu hạn F ⊆ I Vì B nội xạ nên A nội xạ A⊆⊕ M Cho M = i∈I Bổ đề 3.3.2 Các mệnh đề sau đúng: (1) Nếu M = M1 ⊕ M2 môđun C3 f : M1 → M2 đơn cấu Imf ⊆⊕ M2 (2) Nếu M ⊕ M môđun C3 M mơđun C2 Bổ đề 3.3.3 Nếu M mơđun khơng phân tích mà khơng đơn M ⊕ E (M ) nội xạ trực tiếp đơn Chứng minh 39 Cho N = M ⊕ E với E = E(M ) Ta chứng minh N nội xạ trực tiếp đơn, tức chứng minh N khơng có hạng tử trực tiếp đơn Ta chứng minh phản chứng, giả sử X hạng tử trực tiếp đơn N Theo Bổ đề 1.1.22 ta có endR (X) vành địa phương, N = X +M +E với M là hạng tử trực tiếp M E là hạng tử trực tiếp E , ta viết E = E ⊕ E Nếu M = M = M (vì M mơđun khơng phân tích được) Khi đó, N = X +M +E Do đó, E ∼ = X đơn Ta có M cốt = N /(M ⊕ E ) ∼ yếu E , E ⊆ M E nội xạ nên E hạng tử trực tiếp M Do đó, M = E đơn Điều mâu thuẫn với giả thiết M không đơn nên M = Vì N = X ⊕ E điều nghĩa M ⊕ E ∼ =X = N /E ∼ mà E đơn nên suy M đơn (mâu thuẫn với giả thiết) Một môđun gọi chuỗi tổng quát môđun tập thứ tự tồn phần Một vành R gọi vành chuỗi tổng quát trái R R môđun chuỗi tổng quát Một vành R gọi vành chuỗi tổng quát R R RR tổng trực tiếp mơđun chuỗi tổng qt Định lí 3.3.4 Các mệnh đề sau tương đương vành R: (1) Mọi R-môđun phải nội xạ trực tiếp đơn môđun C3 (2) Mọi R-môđun phải nội xạ trực tiếp đơn tựa nội xạ (3) Mọi R-môđun phải tổng trực tiếp môđun nửa đơn họ mơđun chuỗi tổng qt nội xạ có độ dài (4) Mọi R-môđun phải tổng trực tiếp môđun nửa đơn môđun nội xạ (5) R vành Artin chuỗi với J(R)2 = Chứng minh (2) ⇒ (1) Rõ ràng (1) ⇒ (3).Ta cần chứng minh R vành Artin phải Trước hết ta 40 chứng minh R nửa Artin phải Giả sử ngược lại M Rmôđun phải với soc (M ) = Nếu = N ⊆ M soc (N ⊕ M ) = N ⊕ M nội xạ trực tiếp đơn Theo giả thiết ta có N ⊕ M mơđun C3 theo Bổ đề 3.3.2 ι : N → M đơn cấu chẻ Điều nghĩa M nửa đơn (mâu thuẫn với giả thiết) Vậy soc (M ) = với R-môđun phải M Nên R nửa Artin Tiếp theo ta chứng minh R Nơte Ta cần phải chứng minh với họ R-môđun phải đơn {Ki : i ∈ I}, M := i∈I E(Ki ) nội xạ Theo Bổ đề 3.3.1 M ⊕ E (M ) môđun C3 ι : M → E(M ) đơn cấu chẻ ra, nghĩa M = E(M ) nội xạ Vậy R Nơte phải nên R Artin phải Kế tiếp ta chứng minh R-mơđun phải nội xạ khơng phân tích E có chuỗi tổng quát có độ dài tối đa Lưu ý E có đế X đơn E = E(X) Nếu E = X ta có điều cần chứng minh Giả sử X ⊂ Y ⊆ E , ta cần chứng minh Y = E Cho M = Y ⊕ E , theo Bổ đề 3.3.3 M môđun nội xạ trực tiếp đơn nên M mơđun C3 Vì theo Bổ đề 3.3.2 ta có Y = E Sau ta cần chứng minh R-môđun phải không phân tích hữu hạn sinh có chuỗi tổng quát có độ dài tối đa Cho M R-mơđun phải khơng phân tích hữu hạn sinh Vì R Artin phải, MR Artin nên M hữu hạn chiều Nếu M đơn ta có điều cần chứng minh Nếu M khơng đơn theo Bổ đề 3.3.3 M = Y ⊕ E(M ) môđun nội xạ trực tiếp đơn Theo Bổ đề 3.3.2 ta có M = E(M ) nội xạ Vì vậy, M mơđun nội xạ khơng phân tích được, điều tương đương M có chuỗi tổng quát có độ dài tối đa Cuối ta xét R-mơđun phải M Ta có R Nơte phải, M chứa N môđun nội xạ cực đại Giả sử M = N ⊕ K , với K không chứa môđun khác Môđun nội xạ N tổng trực tiếp mơđun nội xạ khơng phân tích với mơđun có 41 chuỗi hợp thành có độ dài tối đa Vì vậy, ta có phân tích N = E1 ⊕ E2 , với E1 nửa đơn E2 tổng trực tiếp mơđun chuỗi tổng qt nội xạ có độ dài Khơng tính tổng qt, ta giả sử K mơđun xyclic Vì R Artin phải, K Artin nên tổng trực tiếp mơđun khơng phân tích Do đó, ta giả sử K xyclic khơng phân tích Theo K mơđun chuỗi tổng qt có độ dài tối đa Nếu K có độ dài K = E(K) E(K) mơđun chuỗi tổng quát có độ dài tối đa Điều mâu thuẫn với giả thiết K không chứa môđun khác Vậy K đơn (3) ⇒ (2) Cho M môđun nội xạ trực tiếp đơn M = M1 ⊕ M2 với M1 = α∈Λ Nα tổng trực tiếp môđun chuỗi tổng quát nội xạ có độ dài M2 = β∈Γ Kβ tổng trực tiếp môđun đơn Lưu ý (3) kéo theo R vành Artin phải, nên tổng trực tiếp R- môđun phải nội xạ nội xạ Do đó, M1 nội xạ M2 tựa nội xạ nên để chứng minh M tựa nội xạ [9, Proposition 1.17] ta chứng minh M2 M1 -nội xạ Theo [9, Proposition 1.5] M2 M1 -nội xạ M2 Nα -nội xạ với α ∈ Λ Vì R vành Artin, M2 Nα -nội xạ Kβ Nα -nội xạ với β ∈ Γ Vì vậy, ta cần chứng minh Kβ Nα -nội xạ với β ∈ Γ α ∈ Λ Giả sử f : X → Kβ Rđồng cấu khác với X ⊆ Nα Ta chứng minh f mở rộng đến Nα giả thiết X = Nα Nếu X ⊂ Nα X = soc (Nα ) đơn Nα chuỗi tổng qt có độ dài Vì vậy, X ∼ = Kβ ⊆⊕ M Vì M nội xạ trực tiếp đơn nên ⊆⊕ M Điều nghĩa X hạng tử trực tiếp Nα , mâu thuẫn với giả thiết Vậy Kβ Nα -nội xạ (3) ⇒ (4) Từ (3) suy R vành Nơte phải, tổng trực tiếp R-môđun nội xạ nội xạ Nên (3) kéo theo (4) (4) ⇔ (5) Rõ ràng.[6, 13.5, page 124] (4) + (5) ⇒ (3) Vì R vành Artin phải, R- môđun phải nội xạ tổng trực tiếp môđun nội xạ Để chứng minh (3) ta cần 42 chứng minh R-mơđun phải M chuỗi tổng qt có độ dài tối đa Vì R Artin phải, soc (M ) đơn Nếu M đơn ta có điều phải chứng minh Giả sử M khơng đơn cho soc (M ) ⊂ X ⊆ M Theo (4) X đơn nội xạ Nhưng X khơng đơn Vì X nội xạ hạng tử trực tiếp M , nghĩa M = X Vậy M chuỗi tổng quát có độ dài Lưu ý rằng: Vành R vành chuỗi Artin với J(R)2 = R-môđun phải CS Hệ 3.3.5 Vành R Artin nửa đơn R-môđun phải nội xạ trực tiếp đơn nội xạ Chứng minh Nếu R-môđun phải nội xạ trực tiếp đơn nội xạ Rmơđun phải đơn nội xạ, R V -vành Nhưng theo Định lý 3.3.4 R Artin nên R Artin nửa đơn Tồn R vành địa phương, vành chuỗi tổng quát trái Artin trái phải với J(R)2 = R-môđun nội xạ trực tiếp đơn trái khơng phải mơđun C3 Ví dụ 3.3.6 Cho K trường R K -đại số bao gồm tất α1 α2 α3 α4 ma trận cấp × có dạng ; αi ∈ K Rõ ràng R 0 α5 vành chuỗi tổng quát trái, Artin trái phải, ta cần chứng minh R vành chuỗi tổng quát phải Nếu M = e11 R M = e11 K + e12 K + e13 K R-mơđun phải khơng phân tích được, M mơđun nội xạ trực tiếp Rõ ràng e11 R khơng đơn khơng nội xạ (vì e12 K = e12 R e13 K = e13 R môđun thực e11 R với e12 R ∩ e13 R = ) Theo Bổ đề 3.3.3 43 e11 R ⊕ E (e11 R) R-môđun phải nội xạ trực tiếp đơn theo Bổ để 3.3.2 e11 R ⊕ E (e11 R) mơđun C3 Vì vậy, theo Định lý 3.3.4 R khơng vành chuỗi tổng qt phải 3.4 Môđun nội xạ trực tiếp đơn V -vành Trong phần ta tìm hiểu mối liên hệ mơđun nội xạ trực tiếp đơn V -vành Mệnh đề 3.4.1 Các điều kiện sau tương đương vành R: (1) R V -vành phải (2) Mọi R-môđun phải nội xạ trực tiếp đơn (3) Mọi R-môđun phải hữu hạn đối sinh nội xạ trực tiếp đơn (4) Tổng trực tiếp môđun nội xạ trực tiếp đơn nội xạ trực tiếp đơn (5) Mọi R-môđun phải 2-sinh nội xạ trực tiếp đơn Chứng minh (1) ⇒ (2) ⇒ (3), (1) ⇒ (4) (4) ⇒ (5) Rõ ràng (3) ⇒ (1) (4) ⇒ (1) Nếu S R-môđun phải đơn theo giả thiết ta có S ⊕ E (S) nội xạ trực tiếp đơn Theo điều kiện (3) Mệnh đề 3.1.1 S = E (S), S nội xạ R V -vành phải (5) ⇒ (1) Cho S = xR R-môđun phải đơn = y ∈ E (S) Khi xR⊆e yR Theo giả thiết xR⊆e yR môđun nội xạ trực tiếp đơn Theo điều kiện (3) Mệnh đề 3.1.1 xR = yR nên S = E (S) R V -vành phải Một R-môđun phải M gọi nội xạ đế mạnh với R-môđun phải N môđun nửa đơn K N , R-đồng cấu f : K → M mở rộng đến N 44 Bổ đề 3.4.2 R-môđun phải M gọi nội xạ đế mạnh M = E ⊕ T với E nội xạ soc(T ) = Mệnh đề 3.4.3 Các điều kiện sau tương đương vành R: (1) R V -vành phải, Nơte phải (2) Mọi R-môđun phải nội xạ trực tiếp đơn nội xạ đế mạnh Chứng minh (1) ⇒ (2) R V -vành phải Nơte phải R-mơđun phải nội xạ, điều nghĩa R-môđun phải nội xạ đế mạnh (2) ⇒ (1).Theo Bổ đề 3.4.2, R-môđun phải nội xạ nên R V -vành Nếu {Ki , i ∈ I} họ đếm R-mơđun phải đơn theo Bổ đề 3.3.1 M = i∈I E(Ki ) nội xạ trực tiếp đơn nên nội xạ đế mạnh Vì M có đế cốt yếu nên theo Bổ đề 3.4.2 M nội xạ Vậy R vành Nơte phải Định lí 3.4.4 Một vành quy R V -vành phải R-môđun phải cyclic nội xạ trực tiếp đơn Chứng minh (⇒) Theo Mệnh đề 3.4.1 (⇐) Cho SS R-môđun phải đơn E = E (S) bao nội xạ S Giả sử ngược lại tồn = x ∈ E cho x ∈ / S Rõ ràng, S⊆e xR Ta định nghĩa toàn cấu f : R → xR xác định f (r) = xr, r ∈ R tập X = Kerf Khi f cảm sinh đẳng cấu σ : xR → R/X Nếu T /X = σ (S) T /X = (tR + X)/X với t = Vì R vành quy nên tồn s ∈ R cho tst = t Nếu đặt e = ts e2 = e T /X = (tR + X)/X = (eR + X)/X , lại có S⊆e xR nên T /X iđêan phải cực tiểu cốt yếu R/X Nếu M =: {r ∈ R : er ∈ X} R/M ∼ = T /X M iđêan phải cực đại R Bây ta chứng minh với N =: M ∩ X X/N ∼ = R/M Vì (eR + X)/X môđun đơn cốt yếu R-môđun phải R/X 45 ((1 − e) R + X)/X môđun khác R/X , tức (eR + X)/X ⊆ ((1 − e) R + X) nên e + X = (1 − e) (−r) X, r ∈ R Do đó, y := e + (1 − e) r ∈ X ey = e Ta có N =: M ∩ X ⊆ X ⊂ T y ∈ N y ∈ M , ey ∈ X nên e ∈ X điều mâu thuẫn với giả thiết Vì vậy, y ∈ / N X ⊂ M Ta có X/N = X/(M ∩ X) ∼ = (X + M )/M = R/M Ta chứng minh (eR + N )/N ∼ = R/M Nếu g : R → (eR + N )/N xác định g (r) = er + N, r ∈ R Khi đó, g tồn cấu Vì M iđêan phải cực đại R M ⊆ Kerg nên M = Kerg (eR + N )/N ∼ = R/M Tiếp theo ta chứng minh ((1 − e) yR + N )/N ∼ = R/M Nếu m ∈ M ta có em = eym ∈ X (vì ey = e) suy ym ∈ M Do đó, ym ∈ M ∩ X = N nên yM ⊆ N Vì eM ⊆ N ey = e nên eyM ⊆ N hay (1 − e) yM ⊆ yM + eyM ⊆ N Nếu ta định nghĩa h : R → ((1 − e) yR + N )/N xác định h (r) = (1 − e) yr + N, r ∈ R ta có h tồn cấu Vì (1 − e) yM ⊆ N nên ((1 − e) yR + N )/N ∼ = R/M Vì ((1 − e) yR + N )/N ∼ = (eR + N )/N ∼ = R/M ∼ = X/N ∼ = (eR + X)/X ∼ = T /X ∼ = S Ta có eM ⊆ N, eN ⊆ eM ⊆ N N bất biến qua phép nhân bên trái e Do đó, R/N = (eR + N )/N ⊕ ((1 − e) R + N )/N Vì ((1 − e) yR + N )/N ∼ = (eR + N )/N ⊆⊕ R/N , theo giả thiết ta suy ((1 − e) yR + N )/N ⊆⊕ R/N hay ta có ((1 − e) yR + N )/N ⊆⊕ ((1 − e) R + N )/N Vì vậy, R/N = (eR + N )/N ⊕ ((1 − e) yR + N )/N ⊕ A/N với A/N R-môđun R/N Cuối cùng, ta cần chứng minh R/N = (eR + N )/N ⊕ X/N Khi (R/N )R có chiều Vì vậy, ta cần chứng minh A/N = R/N = (eR + N )/N ⊕((1 − e) yR + N )/N tương ứng R/X ∼ = (eR + N )/N đơn, điều mâu thuẫn với giả thiết Ta có (eR + N )/N ∩ X/N = Cho er + N = x + N ∈ (eR + N )/N ∩ X/N , với r ∈ R, x ∈ X Khi đó, 46 er − x ∈ N N ⊂ X nên er ∈ X nghĩa r ∈ M , er ∈ N Vì vậy, (eR + N )/N ∩ X/N = Lại có (eR + N )/N X/N mơđun đơn R/N X/N ∼ = (eR + N )/N ⊆⊕ R/N nên ta có: (eR + N )/N + X/N = (eR + N )/N ⊕ X/N ⊆⊕ R/N Ta cần chứng minh (eR + N )/N ⊕ X/N ⊆ess R/N Cho (aR + N )/N môđun khác R/X Nếu a ∈ X + N = a + N ∈ X/N ⊂ (eR + N )/N ⊕ X/N Ngược lại, giả sử a ∈ / X (aR + X)/X môđun khác R/X Vì (eR + X)/X mơđun đơn cốt yếu R/X nên (eR + X)/X ⊆ (aR + X)/X Do đó, e + X = ar + X với r ∈ R Vậy với số x0 ∈ X, ar = e + x0 ta có + N = ar + N = (e + N ) + (x0 + N ) ∈ (eR + N )/N ⊕ X/N Ví dụ 3.4.5 Cho V không gian véctơ hữu hạn chiều trường K Cho E = endK (V ) R vành E sinh đế E tâm K E (nghĩa phép biến đổi vô hướng 1V k với k ∈ K ) Thì V Rmôđun trái đơn Nếu V ∗ = HomK (V, K) V ∗∗ = HomK (V ∗ , K) ∗∗ VK hữu hạn chiều Lại có R V ∗∗ mở rộng cốt yếu RV ⊂ V ∗∗ hữu hạn R V nên khơng phân tích R- mơđun trái V ⊕ V đối sinh không nội xạ trực tiếp đơn Vì V ⊕ V ∗∗ nội xạ trực tiếp đơn theo Mệnh đề 3.1.1 ta có ι : V → V ∗∗ đơn cấu chẻ điều mâu thuẫn với giả thiết Theo Mệnh đề 3.4.1, R V -vành trái, R vành quy von Neumann, K R-mơđun trái phẳng V ∗ K R-môđun nội xạ phải Vì V ∗ K R-mơđun phải đơn nên R V -vành Bổ đề 3.4.6 Cho e2 = e ∈ R I iđêan phải R Các điều kiện sau tương đương: (1) (R/I)R = (eR + I)/I ⊕ ((1 − e) R)/I 47 (2) eI ⊆ I Cho S tập vành R S vành R sinh S 1R Vành R gọi thỏa mãn điều kiện (*) với phần tử lũy đẳng e f , eR + f R = gR với g = g ∈ e, f Rõ ràng vành Aben (mọi phần tử lũy đẳng tâm) thỏa mãn điều kiện (*) vành thỏa mãn điều kiện (*) không cần phải vành Aben (chẳng hạn M2 (Z2 )) Mọi vành quy thỏa mãn điều kiện (*) V -vành phải Một vành gọi vành trao đổi phần tử lũy đẳng nâng lên modulo iđêan phải (trái) Ví dụ 3.4.7 Cho vành R vành trao đổi thỏa mãn điều kiện (*) Thì R-mơđun phải cyclic nội xạ trực tiếp đơn Chứng minh Cho I iđêan phải R Giả sử K/I hạng tử trực tiếp đơn R/I (R/I)R = (K/I) ⊕ (K /I) nên R = K + K Ta viết = x + x với x ∈ K x ∈ K Từ ta có x − x2 = (1 − x) x = x x ∈ K ∩ K = I Vì R vành trao đổi nên phần tử lũy đẳng nâng lên modulo I Vì vậy, tồn e2 = e ∈ R cho x − e ∈ I Từ suy (1 − x) − (1 − e) ∈ I Điều chứng minh K = eR + I K = (1 − e) R + I Vì (R/I)R = (K/I) ⊕ (K /I) theo Bổ đề 3.4.6 ta có eI ⊆ I Nếu L/I hạng tử trực tiếp đơn khác R/I ta có L = f R + I với f = f f I ⊆ I Theo giả thiết tồn g = g ∈ e, f cho eR + f R = gR Vì vậy, K/I + L/I = (eR + f R + I)/I = (gR + I)/I Vì g ∈ e, f , eI ⊆ I f I ⊆ I nên gI ⊆ I Theo Bổ đề 3.4.6 (gR + I) hạng tử trực tiếp (R/I)R Vì vậy, (R/I)R nội xạ trực tiếp đơn 48 ∞ Ri với Ri = Mn (D) với D vành chia Ví dụ 3.4.8 Cho Q = i=1 với i cho R = i≥1 Ri , 1Q vành Q sinh i≥1 Ri 1Q Khi đó, R V -vành quy Chứng minh Ta sử dụng Định lý 3.4.4 để chứng minh R V -vành phải Cho N iđêan phải R, (X/N )R ⊆⊕ (R/N )R (Y /N )R ⊆⊕ (R/N )R cho X ∩ Y = N Ta chứng minh X/N ⊕ Y /N ⊆⊕ (R/N )R Giống phần chứng minh ví dụ tồn phần tử lũy đẳng e, f R cho: X/N = eR + N /N , Y /N = f R + N /N eN ⊆ N, f N ⊆ N, (eR + N ) ∩ (f R + N ) = N Ta có: e = (e1 , e2 , , en , e , e , ) f = (f1 , f2 , , fn , f , f , ) 1=α+β với α = (1, 1, 1, , 1, 0, 0, ) (n lần số 1) β = (0, 0, , 0, 1, 1, ) (n lần số 0) Thì R = A × B với A = αR B = βR Ta xét trường hợp sau: + Trường hợp 1: Nếu e = f = eR = (e1 R1 × e2 R2 × × en Rn ) × B f R = (f1 R1 × f2 R2 × × fn Rn ) × B Ta có B ⊆ X ∩ Y ⊆ N nên N = (A ∩ N ) ⊕ B Mặt khác, lại có (R/N )R ∼ = A/(A ∩ N ) nửa đơn Vậy X/N ⊕ Y /N hạng tử trực tiếp (R/N )R + Trường hợp 2: Nếu e = f = eR = eA f R = f A Vì A vành Artin nửa đơn (A/N A)A nửa đơn nên (eA + f A + N A)/N A hạng tử trực tiếp (A/N A)A Vì tồn g = g ∈ A cho eA+f A+N A = gA+N A g (N A) ⊆ N A Do đó, eR+f R+N = gR+N gN ⊆ N A ⊆ N Theo Bổ đề 3.4.6 (gN + N )/N hạng tử trực 49 tiếp (R/N )R Vậy X/N ⊕ Y /N hạng tử trực tiếp (R/N )R + Trường hợp 3: Nếu e = f = (trường hợp e = f = chứng minh tương tự) eR = eA f R = f A ⊕ B Vì A vành Artin nửa đơn (A/N A)A nửa đơn nên (eA + f A + N A)/N A hạng tử trực tiếp (A/N A)A Vì tồn g = g ∈ A cho eA + f A + N A = gA + N A g (N A) ⊆ N A Khi đó, h := (g, β) phần tử lũy đẳng R eR + f R + N = gA + B + N = hR + N Hơn nữa, hN ⊆ gN + βN = g (N A) + N B ⊆ N A + N B = N Theo Bổ đề 3.4.6 (hN + N )/N hạng tử trực tiếp (R/N )R Vậy X/N ⊕ Y /N hạng tử trực tiếp (R/N )R 50 KẾT LUẬN Luận văn tổng quan số kết sau: (1) Trình bày điều kiện cần đủ để môđun môđun nội xạ trực tiếp (Định nghĩa 2.1.3) môđun nội xạ trực tiếp đơn (Mệnh đề 3.1.1) (2) Mọi môđun tựa nội xạ nội xạ trực tiếp mở rộng (Mệnh đề 2.1.10) (3) Tính chất vành C2 phải bất biến Morita (Định lý 2.2.16) (4) Mọi môđun nội xạ trực tiếp đơn phải môđun C3 mọi môđun nội xạ trực tiếp đơn phải tựa nội xạ hay R vành Artin chuỗi với J(R)2 = (Định lý 3.3.4) (5) Tính chất vành nội xạ trực tiếp đơn phải bất biến Morita (Định lý 3.2.4) (6) Chúng thiết lập mối liên hệ môđun nội xạ trực tiếp đơn V -vành: Một vành V -vành phải R-môđun phải nội xạ trực tiếp đơn, R-môđun phải 2-sinh nội xạ trực tiếp đơn (Mệnh đề 3.4.1) (7) Một vành quy R V -vành phải R-mơđun phải xyclic nội xạ trực tiếp đơn (Định lý 3.4.4) 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trương Cơng Quỳnh, Lê Văn Thuyết (2013), Giáo trình lý thuyết vành môđun, NXB ĐH Huế Tiếng Anh [2] I Amin, Y.Ibrahim, M.F Yousif (2015), C3 modules, Algebra Colloquium 22(4), 655-670 [3] F.W.Anderson, K.R.Fuller (1974), Ring and Categories of Modules, Springer-Verlag, Berlin, New York [4] V Camillo, Y.Ibrahim, M.F Yousif (2014), Simple direct injective modules, Journal of Algebra 420, 39-53 [5] Z Chen (1986), Characterization of direct injective modules, J Northern Jiaotong Univer, 4, 72-75 [6] N.V.Dung, D.V Huynh, P.F Smith, R Wisbauer (1994),Extending Modules, Longman Scientific and Teachnical [7] K Joongsung, C YourKi (1980), On direct injective modules, Kyungpook, J Math J., 20(2), 189-191 [8] F.Kasch(1982), Modules and Rings, London Math Soc Monogr, vol 17, Academic Press, New York [9] S.H.Mohamed, B.J.Muller (1982), Continuous and Discrete Modules, Cambridge Univ Press, Cambridge, UK [10] W.K Nicholson, M.F.Yousif (2003), Quasi-Frobenius Rings, Cambridge Univ Press, Cambridge, UK [11] W.K Nicholson (1976), Semiregular modules and rings, Canad, J Math, XXVIII, 1105-1120 [12] R.Wisbauer (1991), Foundation of Module and Ring Theory, Gordon ang Breach, Philadelphia ... xem hạng tử trực tiếp m? ?đun nội xạ trực tiếp đơn Vì SS mô? ?un xạ trực tiếp đơn 3.3 Khi mô? ?un nội xạ trực tiếp đơn mô? ?un C3? Bổ đề 3.3.1 Tổng trực tiếp mô? ?un nội xạ nội xạ trực tiếp đơn Chứng minh... niệm mô? ?un nội xạ trực tiếp đơn: mô? ?un M nội xạ trực tiếp đơn với mô? ?un đơn A B M mà A ∼ =B B hạng tử trực tiếp M A hạng tử trực tiếp M Hơn nữa, mô? ?un nội xạ trực tiếp nội xạ trực tiếp đơn Dựa... (1) Mọi R -mô? ?un phải nội xạ trực tiếp đơn mô? ?un C3 (2) Mọi R -mô? ?un phải nội xạ trực tiếp đơn tựa nội xạ (3) Mọi R -mô? ?un phải tổng trực tiếp mô? ?un nửa đơn họ m? ?đun chuỗi tổng qt nội xạ có độ dài