Mô đun nội xạ trực tiếp đơn

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VÕ THỊ HỒNG SƯƠNG MÔĐUN NỘI XẠ TRỰC TIẾP ĐƠN Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Đà Nẵng - Năm 2017 Cơng trình hồn thành tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS Trương Công Quỳnh Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Toán học họp trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng vào ngày .tháng năm 2017 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thộng tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Nói đến đại số đại khơng thể khơng nhắc đến lý thuyết vành mơđun, có ứng dụng rộng rãi đại số đại Một lớp môđun quan trọng lý thuyết vành môđun là: môđun nội xạ, môđun xạ ảnh, môđun tự do, môđun hữu hạn sinh Ngoài đặc trưng lớp vành Artin, Nơte, nửa đơn, thông qua lớp môđun nghiên cứu năm gần Hơn nữa, đặc trưng vành nghiên cứu điều kiện nội xạ thu hút nhiều tác giả ngồi nước nghiên cứu Trong q trình nghiên cứu mơđun nội xạ nhà tốn học sâu vào lớp môđun nội xạ đồng thời nghiên cứu lớp môđun nội xạ mở rộng: tựa nội xạ, giả nội xạ, nội xạ đơn, nội xạ cực tiểu, nội xạ trực tiếp Mặt khác, lớp môđun nội xạ nghiên cứu gần mơđun nội xạ trực tiếp đơn Luận văn trình bày mơđun nội xạ trực tiếp đơn, tính chất ứng dụng q trình đưa đặc trưng vành: vành Artin chuỗi, V -vành, vành quy, LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Cấu trúc môđun xuất hầu hết lý thuyết tốn học đại, có khả thống cách chất cấu trúc vành, iđêan, nhóm Aben khơng gian vectơ Dựa vào số kết tác giả Mohamed Yousif, Yasser Ibrahim, Victor Camillo Yiqiang Zhou (2014) môđun nội xạ trực tiếp đơn, thấy cần thiết phải nghiên cứu tính chất mơđun nội xạ trực tiếp đơn từ sử dụng chúng để nghiên cứu đặc trưng vành Chẳng hạn, vành R nửa Artin R-môđun phải nội xạ trực tiếp đơn nội xạ, vành quy R V -vành phải (nghĩa là, R-môđun phải đơn nội xạ) R-môđun phải cyclic nội xạ trực tiếp đơn Từ lý mà chọn đề tài “Môđun nội xạ trực tiếp đơn” LỊCH SỬ VẤN ĐỀ Có hai phương pháp nghiên cứu vành: nghiên cứu nội nghiên cứu vành thơng qua M od-R Nhiều nhà tốn học lựa chọn nghiên cứu đặc trưng vành thông qua số lớp môđun Một lớp mơđun đóng vai trò quan trọng mơđun nội xạ Các nhà toán học lựa chọn hướng nghiên cứu mở rộng môđun nội xạ để áp dụng vào việc đưa đặc trưng vành, tiêu biểu là: Smith, Wisbauer, Chen Zhizhong, Nicholson, Thuyet, Quynh, Dung, Huynh, Khái quát hóa là: nghiên cứu lớp mơđun tổng qt hóa mơđun nội xạ trường hợp cụ thể nội xạ trực tiếp đơn áp dụng đưa đặc trưng vành liên quan Khái niệm môđun nội xạ biết đến từ thập niên 90 kỉ XX Năm 1940, Baer đưa tiêu chuẩn môđun nội xạ : R-môđun phải M gọi nội xạ với iđêan phải I R, với f g đồng cấu I → − M mở rộng thành đồng cấu R → − M Từ nhà tốn học đưa khái niệm tương tự môđun nội xạ: Một môđun M môđun nội xạ thỏa mãn điều kiện tương đương sau: (1) Với môđun N môđun A N , đồng cấu f g A→ − M mở rộng thành đồng cấu N → − M f (2) Với mơđun N , đơn cấu N → − M chẻ (3) M khơng có mở rộng cốt yếu thực Kết hợp với tiêu chuẩn mà Baer đưa ta chứng minh môđun môđun nội xạ theo bốn cách Khi nghiên cứu môđun nội xạ nhà toán học xét trường hợp khái quát hóa khái niệm nội xạ đưa kết sau: - Từ tiêu chuẩn Baer, I iđêan ta có khái niệm P -nội xạ Điều tương đương với f phép nhân trái phần tử m M - Cho M, N môđun cho trước, M N thỏa mãn điều kiện (1) M gọi N -nội xạ - Trong điều kiện (1), lấy môđun N mơđun M ta có khái niệm mơđun tựa nội xạ f - Trong điều kiện (1), A → − M đơn cấu M gọi N -giả nội xạ M M -giả nội xạ M gọi giả nội xạ - Cũng điều kiện (1), A môđun đơn M M gọi N -nội xạ cực tiểu Tiếp tục hướng nghiên cứu trên, năm 1976 W.K.Nicholson đưa khái niệm môđun nội xạ trực tiếp: R-môđun M nội xạ trực tiếp cho N hạng tử trực tiếp M đơn cấu g : N → M tồn tự đồng cấu f R-mơđun M cho f g = ιN Trong đó, ι : N → M phép nhúng tắc (đơn cấu tắc) Năm 2014, Victor Camillo, Yasser Ibrahim Mohamed Yousif đưa khái niệm môđun nội xạ trực tiếp đơn: môđun M nội xạ trực tiếp đơn với môđun đơn A B M mà A ∼ = B B hạng tử trực tiếp M A hạng tử trực tiếp M Hơn nữa, môđun nội xạ trực tiếp nội xạ trực tiếp đơn Dựa lớp mơđun mơđun nội xạ nhà tốn học khai thác tính chất lớp mơđun từ mở rộng đưa đặc trưng vành ví dụ vành QF , vành P -nội xạ, vành CS , Như có nhiều tác giả nghiên cứu theo hướng việc tìm hiểu lớp mơđun nội xạ trực tiếp đơn áp dụng vào số vành liên quan việc làm cần thiết MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Với mục tiêu nghiên cứu khái niệm tính chất mơđun nội xạ trực tiếp đơn từ tổng quan vành nội xạ trực tiếp đơn để đưa đặc trưng vành chuỗi Artin, V -vành, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Nghiên cứu tài liệu, giáo trình, sách, báo viết môđun nội xạ, môđun nội xạ trực tiếp nhằm hệ thống lại tính chất cách hợp lý đưa đặc trưng vành liên quan PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Trong q trình nghiên cứu đề tài, chúng tơi sử dụng phương pháp phân tích, phương pháp tổng hợp, phương pháp lơgic (tính hệ thống), phương pháp chun gia (cố vấn) ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI Đề tài đóng góp thiết thực việc nghiên cứu môđun nội xạ, môđun nội xạ trực tiếp, môđun nội xạ trực tiếp đơn vành C2, V vành, vành Artin chuỗi, chương trình tốn đại học sau đại học CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Chương I: Trình bày khái niệm, định lý môđun, môđun nội xạ, môđun tựa nội xạ, vành, vành Artin, V-vành, Chương II: Nêu định nghĩa tính chất môđun nội xạ trực tiếp, vành C2 Chương III: Nêu định nghĩa, tính chất mơđun nội xạ trực tiếp đơn, ứng dụng nêu đặc trưng vành Artin chuỗi, V -vành CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Các khái niệm, tính chất định lý chương chủ yếu trích từ tài liệu [10] Trong luận văn vành R cho vành có đơn vị Mọi mơđun cho R-môđun phải 1.1 Các khái niệm Định nghĩa 1.1.1 Tập L mơđun M gọi thỏa mãn điều kiện tăng (ACC) trường hợp dãy L1 ≤ L2 ≤ ≤ Ln ≤ L tồn n ∈ N Ln+i = Ln (i = 1, 2, ) Tập L mơđun M gọi thỏa mãn điều kiện tăng (DCC) trường hợp dãy L1 ≥ L2 ≥ ≥ Ln ≥ L tồn n ∈ N Ln+i = Ln (i = 1, 2, ) Môđun MR gọi Nơte MR thỏa điều kiện dãy tăng tập khác rỗng môđun M có phần tử cực đại Môđun MR gọi Artin thỏa điều kiện dãy giảm tập khác rỗng môđun M có phần tử cực tiểu Định nghĩa 1.1.2 Vành R gọi Nơte phải (Artin phải) môđun RR Nơte (Artin) Cho dãy hữu hạn mơđun mơđun M Giả sử là: = B0 ≤ B1 ≤ ≤ Bk−1 ≤ Bk = M kí hiệu B Dãy B gọi dãy hợp thành M với i = 1, 2, , k Bi−1 cực đại Bi Điều tương đương với Bi /Bi−1 đơn Mơđun M gọi có độ dài hữu hạn M = hay M có dãy hợp thành Định nghĩa 1.1.3 Vành R gọi vành quy(chính quy von Newmann) với phần tử a ∈ R tồn b ∈ R cho a = aba Điều tương đương với điều kiện sau: (1) Mọi iđêan trái (phải) sinh phần tử lũy đẳng (2) Mọi iđêan trái (phải) hữu hạn sinh sinh phần tử lũy đẳng (3) Mọi iđêan trái (phải) hạng tử trực tiếp R-mơđun trái (phải) (4) Mọi môđun hạn sinh R-môđun trái (phải) xạ ảnh hạng tử trực tiếp Định nghĩa 1.1.4 Vành R gọi vành địa phương R vành giao hoán có iđêan tối đại Định nghĩa 1.1.5 Vành R gọi vành nửa địa phương R/J vành Artin nửa đơn Định nghĩa 1.1.6 Cho R vành, môđun MR gọi P -nội xạ phải R-đồng cấu α : aR → M mở rộng thành R-đồng cấu β : R → M Vành R gọi P -nội xạ phải RR mơđun P -nội xạ Ví dụ 1.1.7 (1) Mọi môđun nội xạ P -nội xạ (2) Mọi vành quy vừa P -nội xạ trái phải (3) Mọi vành tự nội xạ phải vành P -nội xạ phải Bổ đề 1.1.8 Các điều kiện sau tương đương vành R: (1) R P -nội xạ phải (2) lr (a) = Ra với a ∈ R (3) Nếu r (a) ⊆ r (b) với a, b ∈ R Rb ⊆ Ra (4) l [bR ∩ r (a)] = lb + Ra với a, b ∈ R (5) Nếu α : aR → R đồng cấu α (a) ∈ Ra Định nghĩa 1.1.9 Một vành gọi tựa Frobenius (hay vành QF) vành Artin (trái phải) vành tự nội xạ (trái phải) Định nghĩa 1.1.10 Môđun Rad(M ) = {N ≤ M/N M} gọi M Môđun Soc(M ) = {N ≤ M/N ≤e M } gọi đế M Đối với vành R, ta có Rad(RR ) = Rad(R R) Vì vậy, vành R ký hiệu J(R) = Rad(RR ) Định nghĩa 1.1.11 Cho I iđêan vành R, phần tử lũy đẳng R nâng lên modulo I với r2 −r ∈ I, r ∈ R tồn e2 = e ∈ R cho e − r ∈ R Định nghĩa 1.1.12 Một vành R gọi nửa hoàn chỉnh R/J vành nửa đơn phần tử lũy đẳng nâng lên modulo J Định nghĩa 1.1.13 Một vành R gọi nửa nguyên sơ J (R) = Định nghĩa 1.1.14 Vành Artin nửa nguyên sơ tổng trực tiếp số hữu hạn vành Artin đơn 10 α : K → RR mở rộng thành β : F → RR Ví dụ 1.1.21 (1) Mọi môđun nội xạ F P -nội xạ (2) Mọi mơđun phải vành quy F P -nội xạ mơđun hữu hạn sinh môđun tự hạng tử trực tiếp Bổ đề 1.1.22 (3, Lemma 26.4) Cho M môđun với phân tích M = K ⊕ L Với N hạng tử trực tiếp M cho N = N1 ⊕ N2 ⊕ ⊕ Nn với end (N1 ) vành địa phương Khi đó, tồn hạng tử trực tiếp K ≤ K L ≤ L cho: M =N ⊕K ⊕L Định nghĩa 1.1.23 Môđun M thỏa mãn điều kiện C1 môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M Môđun M thỏa mãn điều kiện C2 môđun mà đẳng cấu với hạng tử trực tiếp M hạng tử trực tiếp M Môđun M thỏa mãn điều kiện C3 môđun N K M với N ⊆⊕ M, K⊆⊕ M N ∩ K = N ⊕ K⊆⊕ M Định nghĩa 1.1.24 Một môđun gọi liên tục thỏa mãn điều kiện C1 điều kiện C2 Vành R gọi vành liên tục phải RR môđun liên tục Định nghĩa 1.1.25 Một phần tử lũy đẳng e vành R gọi phần tử lũy đẳng địa phương eRe vành địa phương Định nghĩa 1.1.26 Một R-môđun phải M gọi nội xạ cực 11 tiểu với iđêan phải đơn K R, đồng cấu γ : K → MR mở rộng thành γ : R → M cho γ = m· phép nhân m ∈ M (tức γ (1) = m) Định nghĩa 1.1.27 Vành R gọi vành minfull phải vành nửa hồn chỉnh, nội xạ cực tiểu phải soc (eR) = với phần tử lũy đẳng địa phương e ∈ R Định nghĩa 1.1.28 Cho R, S vành tùy ý M nhóm cộng aben M gọi S -R song môđun tồn ánh xạ f : M × R → M g : S × R → M thỏa: (m, r) → mr (s, r) → sr (1) m (r1 + r2 ) = mr1 + mr2 với r1 , r2 ∈ R m ∈ M (2) (m + n) r = mr + nr với r ∈ R m, n ∈ M (3) (mr1 ) r2 = m (r1 r2 ) với r1 , r2 ∈ R m ∈ M (4) (s1 + s2 ) m = s1 m + s2 m với s1 , s2 ∈ S m ∈ M (5) s (m + n) = sm + sn với s ∈ S m, n ∈ M (6) s1 (s2 m) = (s1 s2 ) m với s1 , s2 ∈ S m ∈ M (7) (sm) r = s (mr) với s ∈ S, r ∈ R m ∈ M Định nghĩa 1.1.29 Cho M, N R-S song môđun Ánh xạ f : M → N gọi S -R đồng cấu song mơđun vừa đồng cấu R-môđun phải vừa đồng cấu S -môđun trái Định nghĩa 1.1.30 Giả sử R, S vành, R VS , S WR song môđun ϕ : V ⊗ S W → R; ψ : W ⊗ R V → S đồng cấu song mơđun Khi đó, T = R V W S r v w s = /r ∈ R, s ∈ S, v ∈ V, w ∈ W với hai phép toán cộng nhân r1 v1 w s1 + r2 v2 w2 s = r1 + r2 v1 + v1 w1 + w2 s1 + s2 ∈ R V W S 12 r1r2 + v1 (w2) r1v2 + v1s2 w1r2 + s1 (w2) w1v2 + s1s2 R V W S vành gọi mở rộng Morita song môđun R VS r1 v1 w s1 r2 v2 w s2 = ∈ S WR Cho R vành R VR song môđun Khi đó, mở rộng tầm thường T (R, V ) R V tổng trực tiếp R ⊕ V với phép nhân (a, v) (b, w) = (ab, aw + vb) a, b ∈ R v, w ∈ V Ta có r v T (R, V ) = r /r ∈ R, v ∈ V 1.2 Một số kết liên quan Định lý 1.2.1 Các điều kiện sau tương đương môđun phải QR : (1) QR F P -nội xạ (2) Nếu KR ⊆ Rn hữu hạn sinh, đồng cấu từ K → QR mở rộng đến Rn (3) Nếu q ∈ Qn A ∈ Mn (R) thỏa mãn rRn (A) ⊆ rRn (q), q = xA với x ∈ Qn (4) Nếu q ∈ Qn A ∈ Mm×n (R) thỏa mãn rRn (A) ⊆ rRn (q), q = xA với x ∈ Qm Định lý 1.2.2 Các điều kiện sau tương đương vành R: (1) R F P -nội xạ phải (2) Nếu a1 , a2 , , am b Rn thỏa mãn ∩i rRn (ai ) ⊆ rRn (b) b ∈ i Rai (3) Nếu n ≥ R K ⊆ Rn hữu hạn sinh, K = lRn (X) với tập X ⊆ Mn (R) 13 (4) Mn (R) vành P -nội xạ phải với n ≥ Định lý 1.2.3 Các điều kiện sau tương đương vành R: (1) R vành QF (2) R vành Artin trái (hoặc phải) R vành tự nội xạ trái (hoặc phải) (3) R vành Nơte trái (hoặc phải) R vành tự nội xạ trái (hoặc phải) (4) R có dãy ACC linh hóa tử trái (hoặc phải) R vành tự nội xạ trái (hoặc phải) Bổ đề 1.2.4 (Bổ đề Vámos) Một môđun gọi Artin mơđun thương hữu hạn đối sinh Mệnh đề 1.2.5 (Tính chất bất biến Morita) Cho p tính chất mơđun bảo tồn qua phép đẳng cấu Khi đó, p gọi bất biến Morita với tương đương cộng tính F : modR → modS F X có tính chất p với X có tính chất p Ví dụ 1.2.6 Tính chất nội xạ xạ ảnh tính chất bất biến Morita Định lý 1.2.7 (Định lý Osofsky’s): Vành R gọi giả-Frobenius (PF) vành tự nội xạ phải tức vật đối sinh phải Định lý 1.2.8 (Định lý Camps-Dicks) Các điều kiện sau tương đương vành R: (1) R vành nửa địa phương (2) Tồn đồng cấu vành ϕ : R → S , với S Artin nửa đơn a phần tử khả nghịch R ϕ(a) phần tử khả nghịch S 14 CHƯƠNG MÔĐUN NỘI XẠ TRỰC TIẾP Năm 1976 W.K.Nicholson đưa khái niệm môđun nội xạ trực tiếp [11] Chúng ta biết môđun nội xạ nội xạ trực tiếp ngược lại trường hợp tổng quát không Trong chương này, đưa số tính chất mơđun nội xạ trực tiếp đưa số đặc trương vành C2 Nội dung chương chủ yếu trích từ tài liệu: [5], [7], [8] [10] 2.1 Môđun nội xạ trực tiếp Định nghĩa 2.1.1 Môđun M gọi N -nội xạ trực tiếp K∼ = P với P hạng tử trực tiếp M K mơđun N K hạng tử trực tiếp N Bổ đề 2.1.2 Các điều kiện sau tương đương MR NR : 1) M N -nội xạ trực tiếp α 2) Nếu P ⊆⊕ M Q ⊆⊕ N đơn cấu P → − Q chẻ α 3) Nếu P ⊆⊕ M đơn cấu P → − N chẻ µ α 4) Nếu P → − N đơn cấu, P ⊆⊕ M P → − M tồn đồng β cấu N → − M cho βα = µ.Tức là, ta có biểu đồ sau giao hốn: / P α µ / M = β  N α ι 5) Nếu P → − N đơn cấu, P ⊆⊕ M P → − N phép nhúng β tắc tồn đồng cấu N → − M cho βα = ι 15 Định nghĩa 2.1.3 Một R-môđun M gọi nội xạ trực tiếp (hay môđun C2) M M -nội xạ trực tiếp Khi đó, với N ⊆⊕ M phép nhúng ιN : N → M , với đơn cấu g : N → M tồn tự đồng cấu f R-môđun M cho f g = ιN Tức là, biểu đồ sau giao hoán: N  ι / M O g ! ∃f M Trong Bổ đề 2.1.2 chọn N = M ta có hệ sau: Hệ 2.1.4 Các điều kiện sau tương đương môđun MR với E = end(MR ): (1) M môđun C2 (2) Nếu σ : N → P R-đẳng cấu, với N ⊆ M P ⊆⊕ M σ mở rộng thành β ∈ E (3) Nếu α : P → M R-đơn cấu với P ⊆⊕ M tồn β ∈ E cho β ◦ α = ι với ι : P → M phép nhúng tắc (4) Nếu α : P → M R-đơn cấu với P ⊆⊕ M π = π ∈ E thỏa mãn π(M ) = P tồn β ∈ E cho π ◦ β ◦ α = 1P Định lý 2.1.5 Đối với R-môđun M , mệnh đề sau tương đương: (1) M môđun nội xạ trực tiếp (2) Cho A ≤ M N ⊆⊕ M , với đơn cấu g : M/N → A tồn R-đồng cấu f : A → M cho f g = h với h : M/N → M 16 phép nhúng tắc, tức biểu đồ sau giao hốn: / M/N g h ∃f / ; M  A 3) Mọi dãy khớp ngắn −→ N −→ A chẻ với A ≤ M N ⊆⊕ M Mệnh đề 2.1.6 Hạng tử trực tiếp môđun nội xạ trực tiếp môđun nội xạ trực tiếp Hệ 2.1.7 Nếu N ⊕ M nội xạ trực tiếp dãy khớp ngắn −→ N −→ M −→ T −→ R-môđun chẻ Định lý 2.1.8 Cho dãy khớp ngắn −→ N −→ M −→ T −→ R-mơđun, với M mơđun nội xạ Khi đó, mệnh đề sau tương đương: (1) N ⊕ M nội xạ trực tiếp (2) N nội xạ (3) N ⊕ M nội xạ Định nghĩa 2.1.9 Một R-môđun M gọi môđun mở rộng (hay môđun CS) với môđun N M mở rộng cốt yếu thành hạng tử trực tiếp N ∗ M Mệnh đề 2.1.10 Mọi môđun M tựa nội xạ nội xạ trực tiếp mở rộng 17 2.2 Vành C2 Trong phần chúng tơi trình bày định nghĩa, tính chất đưa số đặc trưng vành C2 Định nghĩa 2.2.1 Vành R gọi vành C2 phải RR thỏa mãn điều kiện C2 tức aR ∼ = B với B hạng tử trực tiếp RR , a ∈ R aR hạng tử trực tiếp RR Ví dụ 2.2.2 (1) Mọi vành quy vành C2 phải trái (2) Mọi vành liên tục phải vành C2 phải Mệnh đề 2.2.3 Cho R vành I -hữu hạn Nếu R vành C2 đơn cấu RR → RR toàn cấu Ngược lại phần tử lũy đẳng R có Ví dụ 2.2.4 Nếu F trường, vành R = F F F vành Artin phải trái, đơn cấu tồn cấu (về phía) Tuy nhiên, R khơng vành C2 phải J(R) = F 0 ∼ = 0 F = 0 R Nhưng J(R) hạng tử trực tiếp R Tương tự, R không vành C2 trái Mệnh đề 2.2.5 Mọi vành Kasch trái vành C2 phải Ví dụ 2.2.6 Ngược lại mệnh đề không Nếu F trường ta có F × F × F × F × vành C2 (vì vành quy) khơng phải vành Kasch Bổ đề 2.2.7 Các điều kiện sau tương đương vành R: (1) R vành C2 phải 18 (2) Mọi R-đẳng cấu: aR → eR, a ∈ R, e2 = e ∈ R mở rộng đến R (3) Nếu r(a) = r(e), a ∈ R, e2 = e ∈ R e ∈ Ra (4) Nếu r(a) = r(e), a ∈ R, e2 = e ∈ R Re = Ra (5) Nếu Ra ⊆ Re ⊆ lr(a), a ∈ R, e2 = e ∈ R Re = Ra (6) Nếu aR xạ ảnh, a ∈ R aR hạng tử trực tiếp RR Điều kiện (3) Bổ đề 2.2.7 cho ta hệ sau Hệ 2.2.8 Cho {Ri }i∈I họ vành Khi đó, Ri i∈I vành C2 Ri vành C2 Hệ 2.2.9 Các điều kiện sau tương đương vành địa phương R: (1) R vành C2 phải (2) Mọi đơn cấu RR → RR chẻ (3) J(R) = {a ∈ R|r(a) = 0} Theo Bổ đề 1.1.8 điều kiện (3) Bổ đề 2.2.7 ta có hệ sau: Hệ 2.2.10 Mọi vành P -nội xạ phải vành C2 phải Chứng minh Giả sử R vành P -nội xạ phải Cho I iđêan phải R I ∼ = eR với e2 = e ∈ R I = aR với a ∈ R Ta có I xạ ảnh nên r (a) ⊆⊕RR r (a) = f R với f = f ∈ R Vì vậy, Ra = lr (a) = R (1 − f ) ⊆⊕R R nên I = aR⊆⊕RR Vậy R vành C2 phải Ví dụ 2.2.11 Ngược lại hệ không 19 Xét V không gian véctơ hai chiều trường F với mở rộng tầm thường R = T (F, V ) = F ⊕ V Ta có R vành giao hoán, địa phương vành Artin với J (R) = 0, theo Hệ 2.2.9 R vành C2 Nhưng R P -nội xạ Xét ϕ : V 0 →R wf1 0 Khi đó, ϕ R-đồng cấu Hơn nữa, ta có (0, x) → [0, ϕ (x)] vf1 + wf2 0 → R-đồng cấu từ R → R mở rộng thành R → R w = vF Ví dụ 2.2.12 Tồn vành C2 trái khơng C2 phải Mệnh đề 2.2.13 Nếu R vành C2 phải eRe vành C2 phải với e2 = e ∈ R cho ReR = R Định lý 2.2.14 Cho môđun M E = end(MR ) Các mệnh đề sau đúng: (1) Nếu E vành C2 phải MR mơđun C2 (2) Ngược lại (1) Kerα sinh M với α ∈ E cho rE (α) ⊆⊕ EE Định lý 2.2.15 Nếu MR tự M mơđun C2 end (MR ) vành C2 phải Đặc biệt, Rn môđun C2 Mn (R) vành C2 phải Định lý 2.2.16 Các điều kiện sau tương đương: (1) Tính chất vành C2 phải bất biến Morita (2) Nếu R vành C2 phải (R ⊕ R)R mơđun C2 20 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA MÔĐUN NỘI XẠ TRỰC TIẾP ĐƠN Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm tính chất mơđun nội xạ trực tiếp đơn từ sử dụng chúng để đưa đặc trưng vành: V -vành, vành Artin nửa đơn Nội dung chương chủ yếu trích từ tài liệu: [2], [3], [4] [10] 3.1 Môđun nội xạ trực tiếp đơn Mệnh đề 3.1.1 Các điều kiện sau tương đương Rmôđun M : (1) Nếu A, B môđun M với A ∼ = B⊆⊕M A⊆⊕ M (2) Nếu A, B hạng tử trực tiếp đơn M với A ∩ B = A ⊕ B⊆⊕M (3) Nếu M = M1 ⊕ M2 với M1 đơn f : M1 → M2 R-đồng cấu Imf ⊆⊕ M2 Định nghĩa 3.1.2 Mơđun M gọi nội xạ trực tiếp đơn M thỏa mãn điều kiện Mệnh đề 3.1.1 Vành R gọi nội xạ trực tiếp đơn phải môđun RR nội xạ trực tiếp đơn Ví dụ 3.1.3 (1) Mọi mơđun khơng phân tích nội xạ trực tiếp đơn Đặc biệt, ZZ nội xạ trực tiếp đơn không nội xạ trực tiếp (2) Nếu R vành giao hoán R-mơđun xyclic C3 mơđun môđun nội xạ trực tiếp đơn 21 (3) Với R = Z8 , NR = K ⊕ L với K ∼ = R L ∼ = 2R Ta có 2K khơng hạng tử trực tiếp KR nên không hạng tử trực tiếp N Nhưng 2K ∼ = N L⊆⊕N nên N không môđun C3 Theo [[10], Corollaries 2.4 and 2.6] M = N ⊕ N không môđun C3 Bổ đề 3.1.4 Cho M môđun nội xạ trực tiếp đơn Khi đó: (1) Với tập hữu hạn {X1 , X2 , , Xk } hạng tử trực tiếp k đơn M Xi⊆⊕M i=1 (2) Tổng tất hạng tử trực tiếp đơn M bất biến hoàn toàn M Mệnh đề 3.1.5 Cho M môđun hữu hạn sinh Nếu M nội xạ trực tiếp đơn môđun nửa đơn A, B với A ∼ = B⊆⊕M , ta có A⊆⊕ M Mệnh đề 3.1.6 Cho M môđun cho tổng tất hạng tử trực tiếp đơn cốt yếu hạng tử trực tiếp M Khi đó, M mơđun nội xạ trực tiếp đơn M = M1 ⊕M2 với soc (M1 ) ∩ rad (M1 ) = 0, soc (M1 ) bất biến hoàn toàn M soc (M2 ) ⊆ rad (M2 ) Một hạng tử trực tiếp đơn địa phương môđun M tổng trực tiếp L := t∈Λ Xt môđun đơn M cho t∈F Xt hạng tử trực tiếp M với tập hữu hạn F Λ Mệnh đề 3.1.7 Giả sử hạng tử trực tiếp đơn địa phương M hạng tử trực tiếp M Khi đó, M môđun nội xạ trực tiếp đơn M = M1 ⊕ M2 với M1 mơđun nửa đơn bất biến hồn tồn M soc (M2 ) ⊆ rad (M2 ) 22 3.2 Đặc trưng vành nội xạ trực tiếp đơn Hệ 3.2.1 Cho R vành I -hữu hạn Khi đó, R vành nội xạ trực tiếp đơn R ∼ = R1 × R2 với R1 vành Artin nửa đơn soc(R2 ) = Định lý 3.2.2 Nếu R vành nội xạ trực tiếp đơn phải R(I) R-mơđun nội xạ trực tiếp đơn phải với tập số I Hệ 3.2.3 Vành R nội xạ trực tiếp đơn phải R-môđun phải xạ ảnh nội xạ trực tiếp đơn Định lý 3.2.4 Tính chất vành nội xạ trực tiếp đơn phải tính chất bất biến Morita 3.3 Khi môđun nội xạ trực tiếp đơn môđun C3? Bổ đề 3.3.1 Tổng trực tiếp môđun nội xạ nội xạ trực tiếp đơn Bổ đề 3.3.2 Các mệnh đề sau đúng: (1) Nếu M = M1 ⊕ M2 môđun C3 f : M1 → M2 đơn cấu Imf ⊆⊕ M2 (2) Nếu M ⊕ M môđun C3 M mơđun C2 Bổ đề 3.3.3 Nếu M mơđun khơng phân tích mà khơng đơn M ⊕ E (M ) nội xạ trực tiếp đơn Định lý 3.3.4 Các mệnh đề sau tương đương vành R: (1) Mọi R-môđun phải nội xạ trực tiếp đơn môđun C3 (2) Mọi R-môđun phải nội xạ trực tiếp đơn tựa nội xạ (3) Mọi R-môđun phải tổng trực tiếp môđun nửa đơn họ môđun chuỗi tổng quát nội xạ có độ dài (4) Mọi R-môđun phải tổng trực tiếp môđun nửa đơn môđun nội xạ 23 (5) R vành Artin chuỗi với J(R) = 3.4 Môđun nội xạ trực tiếp đơn V -vành Mệnh đề 3.4.1 Các điều kiện sau tương đương vành R: (1) R V -vành phải (2) Mọi R-môđun phải nội xạ trực tiếp đơn (3) Mọi R-môđun phải hữu hạn đối sinh nội xạ trực tiếp đơn (4) Tổng trực tiếp môđun nội xạ trực tiếp đơn nội xạ trực tiếp đơn (5) Mọi R-môđun phải 2-sinh nội xạ trực tiếp đơn Bổ đề 3.4.2 R-môđun phải M gọi nội xạ đế mạnh M = E ⊕ T với E nội xạ soc(T ) = Mệnh đề 3.4.3 Các điều kiện sau tương đương vành R: (1) R V -vành phải, Nơte phải (2) Mọi R-môđun phải nội xạ trực tiếp đơn nội xạ đế mạnh Định lý 3.4.4 Một vành quy R V -vành phải R-môđun phải xyclic nội xạ trực tiếp đơn 24 KẾT LUẬN Luận văn tổng quan số kết sau: (1) Trình bày điều kiện cần đủ để môđun môđun nội xạ trực tiếp (Định nghĩa 2.1.3) môđun nội xạ trực tiếp đơn (Mệnh đề 3.1.1) (2) Mọi môđun tựa nội xạ nội xạ trực tiếp mở rộng (Mệnh đề 2.1.10) (3) Tính chất vành C2 phải bất biến Morita (Định lý 2.2.16) (4) Mọi môđun nội xạ trực tiếp đơn phải môđun C3 mọi môđun nội xạ trực tiếp đơn phải tựa nội xạ hay R vành Artin chuỗi với J(R)2 = (Định lý 3.3.4) (5) Tính chất vành nội xạ trực tiếp đơn phải bất biến Morita (Định lý 3.2.4) (6) Chúng thiết lập mối liên hệ môđun nội xạ trực tiếp đơn V -vành: Một vành V -vành phải R-môđun phải nội xạ trực tiếp đơn, R-môđun phải 2-sinh nội xạ trực tiếp đơn (Mệnh đề 3.4.1) (7) Một vành quy R V -vành phải R-môđun phải xyclic nội xạ trực tiếp đơn (Định lý 3.4.4) ... niệm mô un nội xạ trực tiếp đơn: mô un M nội xạ trực tiếp đơn với mô un đơn A B M mà A ∼ = B B hạng tử trực tiếp M A hạng tử trực tiếp M Hơn nữa, mô un nội xạ trực tiếp nội xạ trực tiếp đơn Dựa... mô un nội xạ mở rộng: tựa nội xạ, giả nội xạ, nội xạ đơn, nội xạ cực tiểu, nội xạ trực tiếp Mặt khác, lớp mô un nội xạ nghiên cứu gần m đun nội xạ trực tiếp đơn Luận văn trình bày m đun nội xạ. .. đối sinh nội xạ trực tiếp đơn (4) Tổng trực tiếp mô un nội xạ trực tiếp đơn nội xạ trực tiếp đơn (5) Mọi R -mô un phải 2-sinh nội xạ trực tiếp đơn Bổ đề 3.4.2 R -mô un phải M gọi nội xạ đế mạnh M