Một số dạng toán về Số phức ôn thi THPT quốc gia có đáp án

Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng.. Trên mặt phẳng tọa độ , tập hợp điểm biểuA[r]

Trang | MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ SỐ PHỨC ƠN THI

TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Một số phức biểu thức có dạng a + bi, a, b số thực số i thoả mãn i2 = -1 Ký hiệu số phức z viết z = a + bi

i gọi đơn vị ảo

a gọi phần thực Ký hiệu Re(z) = a

b gọi phần ảo số phức z = a + bi , ký hiệu Im(z) = b Tập hợp số phức ký hiệu C

*) Một số lưu ý:

- Mỗi số thực a dương xem số phức với phần ảo b = - Số phức z = a + bi có a = gọi số ảo số ảo - Số vừa số thực vừa số ảo

2 Hai số phức

Cho z = a + bi z’ = a’ + b’i z = z’  '

'     

a a b b

3 Biểu diễn hình học số phức

Mỗi số phức biểu diễn điểm M(a;b) mặt phẳng toạ độ Oxy Ngược lại, điểm M(a;b) biểu diễn số phức z = a + bi

4 Phép cộng phép trừ số phức

Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa: ' ( ') ( ')

' ( ') ( ')

    



      

z z a a b b i z z a a b b i

5 Phép nhân số phức

Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa: ' ' ' ( ' ' )

zz aa bb ab a b i

6 Số phức liên hợp

Cho số phức z = a + bi Số phức z = a – bi gọi số phức liên hợp với số phức Vậy z = a bi = a - bi

Trang |

20) z.z = a2 + b2

*) Tính chất số phức liên hợp:

(1): zz

(2): z  z' z z' (3): z z 'z z ' (4): z.z= 2

a b (z = a + bi ) 7 Môđun số phức

Cho số phức z = a + bi Ta ký hiệu z môđun số phư z, số thực khơng âm xác định sau:

- Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, z = OM = a2b2 - Nếu z = a + bi, z = z z = a2b2

8 Phép chia số phức khác

Cho số phức z = a + bi ≠ (tức a2+b2 > )

Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1

số phức z ≠ số

z-1= 21 2  12

 z z

a b z

Thương z'

z phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ xác định sau:

2

' '



 

z z z

z z

z z

Với phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói có đầy đủ tính chất giao hốn, phân phối, kết hợp phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường

9 Phƣơng trình bậc hai với hệ số thực * Cho phương trình bậc hai :

0   

ax bx c , có  b24ac + Nếu > 0, PT có nghiệm thực phân biệt 1,2

2     b x

a

+ Nếu  = 0, PT có nghiệm kép x1 = x2 =

2 b

a + Nếu < 0, PT có nghiệm phức 1,2 | |

2

  

 b i x

a

* Cho phương trình bậc hai :

0   

ax bx c

Trang |

+ Nếu '> 0, PT có nghiệm thực phân biệt x1,2   b' ' a

+ Nếu '= 0, PT có nghiệm kép x1 = x2 =

' b

a

+ Nếu '< 0, PT có nghiệm phức x1,2   b' i |' | a

10 Một số kết cần nhớ

1) i0 =  i4n = 2) i1 = i  i4n + = i 3) i2 = -  i4n + = - 4) i3 = - i  i4n + = - i 5) (1 – i)2 = - 2i 6) (1 + i)2 = 2i

B MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP

DẠNG I TÍNH TỐN CÁC YẾU TỐ CỦA SỐ PHỨC

I PHƢƠNG PHÁP: Sử dụng định nghĩa, phép tốn để tính tốn yếu tố có liên quan II CÁC VÍ DỤ

Ví dụ (Mã đề 101 - QG – 2017) Cho hai số phức z1 5 7i z2  2 3i Tìm số phức z z1 z2 A. z 7 4i B. z 2 5i C. z  2 5i D. z 3 10i

Hƣớng dẫn giải Ta có z z1 z2 5 7 i  3 i 7 4i

Đáp án: A

Ví dụ (Mã đề 102 - QG – 2017) Cho số phức   

z i i Tìm phần thực a phần ảo b z A a0,b1 B a 2,b1 C a1,b0 D a1,b 2

Hƣớng dẫn giải Ta có z         1 i i3 i i 2i a 1,b 2

Đáp án: D

Ví dụ (Mã đề 104 - QG – 2017) Tìm số phức z thỏa mãn z   2 3i 2i

A z 1 5i B z 1 i C. z 5 5i D. z 1 i

Hƣớng dẫn giải Ta có z          2 3i 2i z 2i 3i i

Đáp án: B

Ví dụ (Mã đề 104 - QG – 2017) Cho số phức z 2 i Tính z

Trang |

Ta có z  22 12 Đáp án: D

Ví dụ (QG-2019) Số phức liên hợp số phức

A B C D

Hƣớng dẫn giải Đáp án: C

III BÀI TẬP

Câu (Mã đề 101 - QG – 2017) Số phức số ảo?

A z  2 3i B z3i C z 2 D z 3i

Câu (Mã đề 102 - QG – 2017) Cho hai số phức z1  4 3i z2  7 3i Tìm số phức z z1 z2 A z11 B z 3 6i C z  1 10i D z  3 6i

Câu (Mã đề 103 - QG – 2017) Cho hai số phức z1  1 3i z2   2 5i Tìm phần ảo b số phức

  z z z

A b 2 B b2 C b3 D b 3

Câu (Mã đề 103 - QG – 2017) Cho số phức z 2 3i Tìm phần thực a z A a2 B a3 C a 3 D a 2

Câu (QG – 2018) Số phức  3 7i có phần ảo

A. B. 7 C. 3 D. Câu (QG – 2018) Số phức có phần thực phần ảo

A 3 4 i B 4 3 i C 3 4 i D 4 3 i Câu 7.(QG – 2018) Số phức 6 i có phần thực

A. – B. C. – D. Câu (QG – 2018) Số phức có phần thực 1 phần ảo

A.  1 3i B.1 3 i C.  1 3i D. 3 i Câu (QG-2019) Số phức liên hợp số phức

A B C D Câu 10 (QG-2019) Số phức liên hợp số phức

A B C D

Câu 11 (QG-2019) Số phức liên hợp số phức

A B C D Câu 12 Cho số phức z  6 3i Tìm phần thực phần ảo số phức z

A. Phần thực 6 phần ảo 3i B. Phần thực 6 phần ảo

C. Phần thực phần ảo D. Phần thực phần ảo 3i

Câu 13 Cho số phức z và z’. Các phát biểu sau sai ?

3 4 i

3 4i

   3 4i 4 i  4 3i

53i

5

  i  3 5i  5 3i 53i

3 2 i

3 2i

  2 i  3 2i  2 3i

12i

1 2i

Trang |

A. z  z' z z' B. z z  z2 C. zz D.

' '

z z z

z z z Câu 14 Cho số phức z = 3- 4i Phần thực phần ảo số phức z

A. Phần thực phần ảo - 4i; B. Phần thực phần ảo 4;

C. Phần thực phần ảo 4i; D. Phần thực phần ảo -4

Câu 15. Tìm phần thực phần ảo số phức z = i2020

A. 2020 B. C. D. 2020

Câu 16 Tìm phần thực, phần ảo z     4 i 2 3i   5 i

A. phần thực 1, phần ảo B. phần thực 11, phần ảo C. phần thực 1, phần ảo D. phần thực 11, phần ảo

Câu 17 Cho số phức 1

1

 

 

 

i i

z

i i Trong kết luận sau kết luận đúng?

A. zcó phần thực phần ảo 0 B. zlà số ảo

C. Mô đun z D. zcó phần thực phần ảo

Câu 18 Tính zz z z biết z 2 3i

A. 13 B. C. D. 13 Câu 19 Cho số phức z 2 3i Tìm số phức w = 2iz - z

A.w  8 7i B. w  8 i C. w 4 7i D. w  8 7i

Câu 20. Cho số phức z1 1 3i z2  3 4i Môđun số phức z1z2 A. 17; B 15 ; C 4; D.

Câu 21 Số phức nghịch đảo số phức z = - 3i là:

A. z1 =

4 i B.

1



z =

2 i C.

1



z = + 3i D. z1 = -1 + 3i

Câu 22. Mô đun số phức z   5 2i i 13

Trang |

(3) zz số thực (4) |z| – z Số câu phát biểu

A. B. C. D. Câu 24. Giá trị A = (1 + i)20

A 1024 B. 220 C. –1024 D. 1024 – 1024i Câu 25 Cho số phức z thỏa mãn:z(1 ) i  7 4i.Tìm mơ đun số phức z 2i

A B. 17 C. 24 D.

Câu 26 Cho số phức z biết

   

i

z i

i Phần ảo số phức z

2

A.5

2i B -5

2i C

2 D



Câu 27. Cho số phức z thỏa mãn:   3

1  

 i z

i Tìm mơđun z iz

A. B. C. D. Câu 28. Phần thực số phức z thỏa mãn      

2

1i 2i z   8 i 2i z

A.6 B.3 C.2 D.1 DẠNG II PHƢƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC

I PHƢƠNG PHÁP : Sử dụng phương pháp giải phương trình mẫu mực phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai….với ẩn số phức z

II CÁC VÍ DỤ

Ví dụ (Mã đề 101 - QG – 2017) Phương trình nhận hai số phức 1 2i 1 2i nghiệm ?

A

2

  

z z B

2

  

z z C

2

  

z z D

2

  

z z

Hƣớng dẫn giải

Cách 1: Ta có 1 2i  1 2i2; 1 2i  1 2i2 Suy 1 2i 1 2i nghiệm phương trình

2

  

z z

Đáp án: C

Cách 2: Thử đáp án MTBT

Ví dụ (Mã đề 102 - QG – 2017) Kí hiệu z z1, hai nghiệm phức phương trình 3z2  z

Tính P z1 z2 A

3



P B

3



P C

3



P D 14

3



P

Trang |

Phương trình

3z   z 0có hai nghiệm 1,2 11

6

i z   Khi

2 3

  

P z z

Đáp án: B

Ví dụ 3. Tìm số phức sau:

a) (1 + z)(2 + 3i) = + i b)

Giải a) Ta có (1 + z)(2 + 3i) = + i

1 13 13 13 i z i i z z i              b) Ta có

2

2 ( )(1 )

1 (2 )

2 (2 )(3 )

3 25

22 25 25

i i i i

z z

i i i

i i i

z z i z i                       

Ví dụ Giải phương trình sau trường số phức: a)z4 + 2z2 -3 =

b) z4 – 4z3 +7z2 – 16z + 12 = (1)

Giải a) Ta có z4 + 2z2 -3 =

2 1 3 z z z i z              

Vậy phương trình có nghiệm z z i       

b) Do tổng tất hệ số phương trình (1) nên (1) có nghiệm z = (1)  (z – 1)(z3 – 3z2 + 4z – 12) =

 (z – 1) (z – 3) (z2 + 4) =

Trang |  1 3 z z z z z i z z i                     Vậy phương trình cho có nghiệm:

III BÀI TẬP

Câu (Mã đề 103 - QG – 2017) Kí hiệu z z1, 2 hai nghiệm phức phương trình

6

  

z z

Tính 1   P z z

A

6



P B

12



P C

6

 

P D P6

Câu (QG-2019)Gọi hai nghiệm phức phương trình Giá trị A 16 B 56 C 20 D 26

Câu (QG-2019)Gọi hai nghiệm phức phương trình Giá trị

A B C D

Câu (QG-2019)Gọi hai nghiệm phức phương trình Gái trị

A B C D

Câu (QG-2019)Gọi hai nghiệm phức phương trình Giá trị

A 10 B 8 C 16 D 2 Câu 6. Tìm mơ đun số phức z thoả 3iz (3 i)(1 i) 2

A 2

3



z B.

2



z C 3

2



z D.

3



z

Câu 7. Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i)z – – 5i = Tìm số phức w = z10 z

A. + 2i B. + 6i C. –2 + 6i D. –6 + 2i

Câu Giải phương trình 2 3 i z  z 1. A

10 10

  

z i B

10 10

  

z i C

10 10

 

z i D

10 10

 

z i

Câu Giải phương trình 2i z  4

1,

z z z26z100 2

1 z z

1,

z z z26z140 2

1

z z

36 28 18

1,

z z z24z 5

2 2 z z

6 16 26

1,

z z z24z 7 0 2

Trang |

A

5

  

z i B

5

 

z i C

10 10

 

z i D

13 13

 

z i

Câu 10 Giải phương trình

1

  



 

i i

z

i i

A

5

  

z i B

5

 

z i C 22

25 25

 

z i D

13 13

 

z i

Câu 11 Tìm nghiệm phương trình 1 1



z

i z i

A

5

 

z i B

5

 

z i C 1

2

 

z i D 1

2

  

z i

Câu 12. Tìm nghiệm phương trình z22z 5 0

A z1 -1 ;i z2-1- i B. z1 -1 ;i z2-1- i C. z1 1 ;i z2  -1 i D. z1 -1 ;i z2  -1 i Câu 13. Tìm số thực b,c để phương trình (với ẩn z):

0

  

z bz c nhận z 1 i làm nghiệm A b 2,c 2 B b 2,c3 C b 1,c2 D b 2,c2

Câu 14. Gọi z1 z2 nghiệm phương trình: z22z100 Tính giá trị biểu thức

2

1

 

A z z

A 15 B 17 C 20 D 10

Câu 15. Gọi A, B hai điểm biểu diễn cho số phức nghiệm phương trình

2

  

z z Tính độ dài đoạn thẳng AB

A 2 B 3 C 2 3 D 3

Câu 16. Cho số phức z có phần thực dương thỏa mãn

6 13

  

z z Tính  

z

z i

A 13 B 17 C 7 D 7 3

DẠNG III TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN

I PHƢƠNG PHÁP: Để giải tốn tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước, ta thực theo bước sau:

Trang | 10

B2: Thay vào đk hệ phương trình hai ẩn a,b B3: Giải tìm a,b

Chú ý:

 Tìm số phức z a bi a b   ,   thật tìm phần thực a phần ảo b

 0

0          a z a bi

b ,

 z1 a1 b i z1; 2  a2 b i2 Khi đó:

1 2        a a z z b b

 z a bi a b   ,   Khi z số ảo (thuần ảo) a0 , z số thực b0 Ví dụ (Mã đề 101 - QG – 2017) Có số phức z thỏa mãn z 3i 5

4



z

z số ảo ?

A. B. Vô số C.1 D. 2

Hƣớng dẫn giải Đặt z a bi a b   ,   Điều kiện z4

Ta có z3i   5 a b3i 5 a2b32 25

    a2 b2 6b 16 1  Lại có

     

2

2 2 2

4

4 4 4

  

  

      

a a b

z a bi b

i

z a bi a b a b

Vì

4



z

z số ảo nên

      2 2 2

0

4

 

    

 

a a b

a b a

a b

Từ (1) + (2) suy 16

    

a b a b Thay vào (1), ta được:

2

0

6 16 24

2 13                   b

a b b b

b

Với b    0 a z 4 L

Với 24 16 16 24  

13 13 13 13

b   a  z  i L

Đáp án: C

Ví dụ (Mã đề 101 - QG – 2017) Cho số phức z a bi ( ,a b ) thỏa mãn z  1 3i z i0 Tính

3

 

Trang | 11

A.

3



S B. S  5 C. S5 D.

3

 

S

Hƣớng dẫn giải

Theo giả thiết, ta có:

   2

1 3

            

z i z i z z i z z

 2

2

1

3

4

1 1;

3

     

             

z z z

z i a b S a b

Đáp án: B

Ví dụ (Mã đề 103 - QG – 2017) Tìm tất số thực x, y cho x2    1 yi 1 2i A. x  2,y2 B. x 2,y2 C. x0,y2 D. x 2,y 2

Hƣớng dẫn giải Ta có

2

2

1

2                  x x

x yi i

y y

Đáp án: C

Ví dụ (Mã đề 103 - QG – 2017) Có số phức z thỏa mãn z3i  13

2



z

z số

ảo ?

A Vô số B 2 C 0 D 1

Hƣớng dẫn giải Đặt z a bi a b   ,  , ta có:

  2  2 2 2  

3 13 13 13

              

z i a b i a b a b b

Lại có

     

2

2 2 2

2

2 2

  

  

      

a a b

z a bi b

i

z a bi a b a b

Vì

2



z

z số ảo nên

 

     

2

2 2

2

2

0 2

2

 

        

 

a a b

a a b a b a

a b

Từ (1)+(2) suy 2a6b    4 a 3b Thay vào (1), ta được:

 2 2

0

3 3

5             b

b b b

Trang | 12

Với 1  

5 5

b       x z i L

Đáp án: D

Ví dụ (Mã đề 104 - QG – 2017) Cho số phức z thỏa mãn z 5 z   3 z 3 10i Tìm số phức

4

  

w z i

A w  3 8i B w 1 3i C w  1 7i D z  4 8i

Hƣớng dẫn giải Đặt z a bi a b   ,  , ta có:

   2 2

3 5 25

         

z a bi a b

Lại có z   3 z 10i a 3 bi  a 3 b10i

 2 2   2 2 2  2

3 10

 a b  a  b b  b

5

         b a z i w i Đáp án: D

III BÀI TẬP

Câu (Mã đề 102 - QG – 2017) Cho số phức z a bi a b ( ,  ) thoả mãn z  2 i z Tính

4

 

S a b

A. S 4 B. S 2 C. S 2 D. S  4

Câu (QG – 2018) Có số phức z thỏa mãn z z     3 i 2i  4 i z ? A 1 B 3 C 2 D 4

Câu 3.(QG – 2018) Có số phức z thỏa mãn z z(     6 i) 2i (7 i z) ?

A. B. C. D.

Câu (QG – 2018) Có số phức z thỏa mãn z z     5 i 2i  6 i z ?

A. 1 B. C. 4 D. 2

Câu (Mã đề 103 - QG – 2017) Cho số phức z thỏa mãn z 3 5 z   2i z 2 2i Tìm số phức z

A z 17. B z  17 C z  10 D z 10.

Câu (QG – 2018) Tìm hai số thực x y thỏa mãn 2x3yi  1 3i x 6i với i đơn vị ảo A. x 1; y 3 B. x 1; y 1 C. x1; y 1 D. x1; y 3 Câu (QG – 2018) Có số phức z thỏa mãn z z     4 i 2i  5 i z?

Trang | 13

Câu (QG – 2018) Tìm hai số thực x y thỏa mãn 3x2yi   2 i 2x3i với i đơn vị ảo A. x 2;y 2 B. x 2;y 1 C. x2;y 2 D. x2;y 1

Câu (QG – 2018) Tìm hai số thực x y thỏa mãn (3xyi) (4 )  i 5x2i với i đơn vị ảo A x 2;y4 B x2;y4 C. x 2;y0 D. x2;y0

Câu 10 (QG – 2018) Tìm hai số x y thỏa mãn 2x3yi     3 i 5x 4i với i đơn vị ảo A. x 1; y 1 B. x 1; y1 C. x1; y 1 D. x1; y1 Câu 11 (QG-2019)Cho số phức thỏa mãn Mô đun

A B C D

Câu 12 (QG-2019)Cho số phức thỏa mãn Môđun

A B C D

Câu 13 (QG-2019)Cho số phức thỏa Môđun

A B C D

Câu 14 (QG-2019)Cho số phức thỏa Môđun

A B C D

Câu 15 Tìm số phức z, biết

A.

 

z i B. z3 C.

  

z i D. z  3 4i

Câu 16 Số phức z thỏa mãn:(1i z)  (2 i z)  13 2i

A. + 2i ; B. 3-2i; C -3 + 2i ; D. -3 -2i

Câu 17. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2z + 3(1 – i)z = – 9i Tìm modun z A. |z| = 3 B. |z| = C. |z| = 13 D. |z| = 13 Câu 18. Tìm phần thực phần ảo số phức z thỏa mãn (1 – i)z – (2 – i)z = + 9i

A. –3 B. –4 C. D. –4 –3

Câu 19. Số số phức z thỏa mãn đẳng thức: 1  1 

1

2

    

z z z z z i

A 1 B. C. D.

Câu 20 Số số phức z thỏa mãn z12 z 1210i z

A 1 B. C. D.

Câu 21 Tìm mô đun số phức z thỏa mãn 2

2

   

 

iz z i z

i i

z 3 z i 2i z  3 10i z

3 5 3

z 3z i 2 3 i z  7 16i z

5 3

z (2i z) 4(z i   ) 8 19i z

13 13

z (2  i z) 3 16i2(z i ) z

5 13 13

3

Trang | 14

A 1 B. 2 C. 2 D. 2

Câu 22. Biết z số phức thỏa điều kiện z2i z 0 Tìm số phức z có phần ảo âm A 1

2

  

z i B. 1

2

  

z i C. 1

2

 

z i D. 1

2

 

z i

DẠNG IV BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC

I PHƢƠNG PHÁP: Giả sử z = x + yi (x, y  R) Khi số phức z biểu diễn mặt phẳng phức điểm M(x;y)

Sử dụng kiện đề để tìm mối liên hệ x y từ suy tập hợp điểm M

Một số quỹ tích thường gặp:

Với z = x+yi (x, y số thực) nếu:

* x= a : Quỹ tích z đường thẳng x = a (song song với Oy) * y= b: Quỹ tích z đường thẳng y = b (song song với Ox)

* (x-a)2 +(y-b)2= R2 Quỹ tích z đường trịn tâm I(a.b) bán kính R

* (x-a)2 +(y-b)2 R2 Quỹ tích z hình trịn tâm I(a.b) bán kính R ( kể biên)

* (x-a)2 +(y-b)2> R2 Quỹ tích z điểm nằm ngồi đường trịn tâm I(a.b) bán kính R II CÁC VÍ DỤ

Ví dụ (Mã đề 101- QG – 2017) Cho số phức z 1 2i Điểm điểm biểu diễn số phức w iz mặt phẳng tọa độ ?

A Q(1; 2) B N(2;1) C M(1; 2) D P( 2;1)

Hƣớng dẫn giải

Ta có w iz i  1 2 i 2 i Suy điểm biểu diễn số phức w N(2;1) Đáp án: B

Ví dụ (Mã đề 102 - QG – 2017) Số phức sau có điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ điểm

M hình bên ?

A z4 2 i B z2  1 2i

C z3   2 i D z1 1 2i

Hƣớng dẫn giải Đáp án: C

Ví dụ (Mã đề 102 - QG – 2017) Có số phức z thỏa mãn |z  2 i| 2

2 (z1) số ảo

A 0 B 4 C 3 D 2

Trang | 15

Đặt z x yi x y ,  

Theo giả thiết, ta có |z  2 i| 2 x2  y1i 2

  2 2  

2

 x  y  C

Mặt khác,  2   2  2  

1 1

        

z x yi x y x yi

Theo giả thiết (z1)2 số ảo nên

 2 2 2  2 1 0  

1

1

   

  

           

   

 

x y d

y x

x y y x

y x x y

Đường trịn (C) có tâm I2;1, bán kính R2 Ta có d I d , 2 2R, suy d tiếp xúc (C)

Ta có d I d ,  2R, suy  cắt (C) hai điểm phân biệt

Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức giao điểm (C) với hai đường thẳng d và  Số giao điểm

Đáp án: C

Ví dụ (Mã đề 104 - QG – 2017) Cho số phức z1 1 , i z2  3 i Tìm điểm biểu diễn số phức

1  

z z z mặt phẳng tọa độ

A. N(4; 3) B. M(2; 5) C P( 2; 1)  D. Q( 1; 7)

Hƣớng dẫn giải Ta có z    z1 z2 2 i

Vậy điểm biểu diễn số phức z P( 2; 1)  Đáp án: C

Ví dụ (Mã đề 104 - QG – 2017) Kí hiệu z z1, 2 hai nghiệm phức phương trình

4

 

z Gọi

M, N lần lượt điểm biểu diễn z z1, 2 mặt phẳng tọa độ Tính TOMON với O gốc tọa độ

A T 2 B T 2 C T 8 D T 4 Hƣớng dẫn giải

Ta có 2

2

4

2

 

     



z i

z

z i

Trang | 16

Ví dụ (Mã đề 104 - QG – 2017) Gọi S là tập hợp tất giá trị thực tham số m để tồn

nhất số phức z thỏa mãn z z 1 z 3 i m Tìm số phần tử S

A 2 B 4 C 1 D 3

Hƣớng dẫn giải Điều kiện: m0

Đặt z x yi x y ,  

Theo giả thiết 2  

 1  1  1

z z z x y C

 C1 đường tròn tâm O 0;0 , bán kính R11

Mặt khác      2  2 2 

3 3

            

z i m x y m x y m C

 C2 đường tròn tâm I 3; 1 , bán kính R2 m

Để tồn số phức z thì  C1  C2 tiếp xúc

TH1:  C1  C2 tiếp xúc R1 R2 OI     1 m 2 m 1thỏa mãn TH2  C1  C2 tiếp xúc  

 

1

2

1

2 1

      

 

       



R OI R m m thỏa mãn

OI R R m m loại

Vậy S 1,3 Đáp án: A

Ví dụ (QG – 2018) Xét số phức z thỏa mãn z i z  2 số ảo Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phức z đường trịn có bán kính

A. 1 B.

4 C.

5

2 D.

3

Hƣớng dẫn giải Đặt z x yi x y ,  

Ta có        2   

2 2 2

             

z i z x yi i x yi x x y y x y i

Vì z i z  2 số ảo nên  

2

2

2

2

 

         

 

x x y y x y

Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phức z đường trịn có bán kính

5

Trang | 17

Câu (QG – 2018) Xét số phức z thỏa mãn z3iz3 số ảo Trên mặt phẳng tọa độ,

tập hợp tất điểm biểu diễn số phức z đường trịn có bán kính

A 9

2 B 3 C 3 D

3 2

Câu 2.(QG – 2018) Xét số phức z thỏa mãn z2iz2 số ảo Trên mặt phẳng tọa độ,

tập hợp tất điểm biểu diễn số phức z đường trịn có bán kính

A. B. 2 C. D.

Câu (QG – 2018) Xét số phức z thỏa mãn z2i z 2 số ảo Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phức z đường trịn có bán kính

A. 2. B. C. 2 D. 4

Câu (QG-2019)Cho hai số phức Trên mặt phẳng toạ độ , điểm biểu diễn số phức có toạ độ

A B C D

Câu (QG-2019)Xét số phức thỏa mãn Trên mặt phẳng tọa độ , tập hợp điểm biểu

diễn số phức đường trịn có bán kính

A B C D

Câu (QG-2019)Xét số phức thỏa mãn Trên mặt phẳng tọa độ , tập hợp điểm biểu

diễn số phức đường tròn có bán kính

A B C D

Câu (QG-2019)Cho hai số phức Trên mặt phẳng tọa độ điểm biểu diễn số phức có tọa độ

A B C D

Câu (QG-2019)Cho hai số phức Trên mặt phẳng , điểm biểu diễn số phức có tọa độ

A B C D

Câu (QG-2019)Cho số phức thỏa mãn Trên mặt phẳng tọa độ , tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn đường trịn có bán kính

A B C D

1 1

z  i z2  1 2i Oxy

1

3z z

4 1;  1 4;   4 1;  1 4;

z z  Oxy

4 w

1

iz z

 



34. 26 34 26.

z z  Oxy

3

iz w

z  



2 12 20

1

z   i z2  1 i Oxy

1 2z z

3; 3  2; 3  3;3 3; 2

1

z  i z2 2 i Oxy 2

z  z

 2;5  3;5  5;2  5;3

z z  Oxy

w

1

iz w

z

 



Trang | 18

Câu 10 (QG-2019)Cho hai số phức Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm biểu diễn số

phức có tọa độ là:

A B C D

Câu 11 (QG-2019)Cho số phức thỏa mãn Trên mặt phẳng tọa độ , tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn đường trịn có bán kính

A B C D

Câu 12. Giả sử M(z) điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z Tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều 2  z i z

A. Đường thẳng 4x2y 3 B. Đường thẳng 4x2y 3

A. Đường thẳng x2y 3 D. Đường thẳng x9y 3

Câu 13 Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện

2

   

z i z i

A. Đường thẳng x  y B. Đường thẳng x2y 3

A. Đường thẳng x2y 3 D. Đường thẳng x  y

Câu 15. Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện

1 2

  

z i

A. Đuờng thẳng x  y B. Đường tròn   2 2

1

   

x y

C. Đường thẳng x  y D. Đường tròn tâm I1; 1  bán kính R2. Câu 16 Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện

4 4 10

   

z i z i

A. Đuờng elip

2

1 16 

x y

B. Đuờng elip

2

1 16 

x y

C. Đuờng elip

2

1  

x y

D. Đuờng elip

2

1  

x y

Câu 17 Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện 2  z z 2

1 2 , 1

z  i z  i

1

2z z

5; 1  1;5  5;0  0;5

z z  Oxy

w

1

iz w

z

 



Trang | 19

A. Tập hợp điểm nửa mặt phẳng bên phải trục tung

B. Tập hợp điểm nửa mặt phẳng bên trái trục tung

C. Tập hợp điểm nửa mặt phẳng phía trục hồnh

D Tập hợp điểm nửa mặt phẳng phía trục hồnh

Câu 18 Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện 1   z 1 i 2

A. Tập hợp điểm hình trịn có tâm I1; 1  , bán kính

B. Tập hợp điểm hình vành khăn có tâm A 1;1 bán kính lớn nhỏ

2;

C. Tập hợp điểm hình trịn có tâm I1; 1  , bán kính

D Tập hợp điểm hình vành khăn có tâm I1; 1  bán kính lớn nhỏ

2;

Câu 19. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z cho   2



z i

u

z i số ảo

A. Đường trịn tâm I 1; 1 bán kính R 5

B. Đường trịn tâm I 1; 1 bán kính R 5 trừ hai điểm A  0;1 ; B  2; 3 C. Đường tròn tâm I 1;1 bán kính R5

D Đường trịn tâm I 1;1 bán kính R5 trừ hai điểm A  0;1 ; B  2; 3

Câu 20. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z x yi thỏa mãn điều kiện x y 1 A. Ba cạnh tam giác

B. Bốn cạnh hình vng

C. Bốn cạnh hình chữ nhật

D Bốn cạnh hình thoi

Trang | 20

I PHƢƠNG PHÁP: Sử dụng các kiến thức như: Bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng trung bình nhân, bất đẳng thức Bunhia- Cốpxki, bất đẳng thức hình học số tốn cơng cụ sau:

BÀI TỐN CƠNG CỤ 1:

Cho đường trịn ( )T cố định có tâm I bán kính R điểm A cố định Điểm M di động đường trịn ( )T Hãy xác định vị trí điểm M cho AM lớn nhất, nhỏ

Hướng dẫn giải:

TH1: A thuộc đường tròn (T)

Ta có: AM đạt giá trị nhỏ M trùng với A

AM đạt giá trị lớn 2R M điểm đối xứng với A qua I

TH2: A khơng thuộc đường trịn (T)

Gọi B, C giao điểm đường thẳng qua A,I đường tròn (T); Giả sử AB < AC.

+) Nếu A nằm ngồi đường trịn (T) với điểm M (T), ta có:

    

AM AI IM AI IB AB Đẳng thức xảy M B

    

AM AI IM AI IC AC

Đẳng thức xảy M C

+) Nếu A nằm đường trịn (T) với điểm M (T), ta có:

    

AM IM IA IB IA AB Đẳng thức xảy M B

    

AM AI IM AI IC AC

Đẳng thức xảy M C

Vậy M trùng với B AM đạt gía trị nhỏ Vậy M trùng với C AM đạt gía trị lớn BÀI TỐN CƠNG CỤ 2:

Cho hai đường trịn ( )T1 có tâm I, bán kính R1; đường trịn ( )T2 có tâm J, bán kính R2 Tìm

vị trí điểm M ( )T1 , điểm N ( )T2 cho MN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ

Hướng dẫn giải: Gọi d đường thẳng qua I, J;

d cắt đường tròn ( )T1 hai điểm phân biệt A, B (giả sử JA > JB) ; d cắt ( )T2 hai điểm phân biệt C, D ( giả sử ID > IC)

Với điểm M bất khì ( )T1 điểm N ( )T2 Ta có: MNIM IN IM IJ JN     R1 R2 IJ AD

Đẳng thức xảy M trùng với A N trùng với D

        

Trang | 21

Đẳng thức xảy M trùng với B N trùng với C Vậy M trùng với A N trùng với D MN đạt giá trị lớn

M trùng với B N trùng với C MN đạt giá trị nhỏ

BÀI TỐN CƠNG CỤ 3:

Cho hai đường trịn ( )T có tâm I, bán kính R; đường thẳng  khơng có điểm chung với ( )T Tìm vị trí điểm M ( )T , điểm N  cho MN đạt giá trị nhỏ

Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu vng góc I d Đoạn IH cắt đường tròn ( )T J

Với M thuộc đường thẳng , N thuộc đường tròn ( )T , ta có:

     

MN IN IM IH IJ JH const

Đẳng thức xảy M H N; I

Vậy M trùng với H; N trùng với J MN đạt giá trị nhỏ

II CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1. Trong số phức zthoả mãn z  3 4i 4 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z

Hƣớng dẫn giải Cách

Gọi z x yi x y;  M x y( ; ) biểu diễn cho số phức ztrong hệ toạ độ Oxy

2 2

3 4 ( 3) ( 4) ( 3) ( 4) 16

            

z i x y x y

Vậy điểm M biểu diễn cho số phức z thuộc đường trịn (T) có tâm I(3; 4) , bán kính R = 2

  

z x y OM ;OI  5 R nên O nằm ngồi đường trịn (T)

z lớn OM lớn nhất, nhỏ OM nhỏ

(Bài tốn qui Bài tốn cơng cụ 1- Trường hợp 2)

Đường thẳng OI cắt đường tròn (T) hai điểm phân biệt 3; ; 27; 36 1;

5 5

       

   

   

A B OA OB

Với M di động (T), ta có: OA OM OB 1 OM 9  1 z 9

 OM nhỏ M trùng với A; OM lớn M trùng với B Vậy z nhỏ

5

 

z i; z lớn 27 36

5

 

Trang | 22

Cách

Gọi z x yi x y;  

M x y( ; ) biểu diễn cho số phức z hệ toạ độ Oxy

3

  i A(3; 4) biểu diễn cho số phức 

;  5 

     

z OM OA z AM ;

Theo giả thiết z      3 4i 4 z  4 AM 4

Ta có: OM OA  AM   4 OM OA    4 4 OA OM  4 OA 1 OM9

1 9

  z ; z 1

5

 

z i;z 9 27 36

5

 

z i

Vậy z nhỏ

5

 

z i; z lớn 27 36

5

 

z i

 Nhận xét: Ngoài tốn Hướng dẫn giải phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhia-Cốpxki phương pháp lượng giác hố

Ví dụ 2. Trong số phức z thoả mãn điều kiện z z(  2 )i số ảo, tìm số phức z cho  z i có mơđun lớn

Hƣớng dẫn giải Gọi z x yi x y;  

M x y( ; ) biểu diễn cho số phức z hệ toạ độ Oxy

   

(  2 ) (  ) (   2) ( 4)  (  2) (  4) (  4) ( 2)

z z i x yi x y i x x y y x y y x i z z(  2 )i số ảo

2 2

( 2) ( 4) 0 2 4 0 ( 1) ( 2) 5

x x y y     x y x y    x y 

 M biểu diễn cho z thuộc đường tròn (T) có tâm I( 1; 2) , bán kính R 5

2

1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

    z i x  y i  x  y  AM với A(1;1)

5 ( )

  

IA A T (Bài toán qui Bài tốn cơng cụ - trường hợp 1)

Vì M điểm di động (T) nên AM lớn

AM đường kính (T)

 M đối xứng với A qua I

I trung diểm AM

( 3;3) 3 

M         z i i

Vậy  lớn 2 5 z  3 3i

Ví dụ Trong số phức z có mơđun 2 Tìm số phức z cho biểu thức 1

   

P z z i đạt giá trị lớn

Trang | 23

Gọi z x yi x y;  

2 2

2 2

      

z x y x y

2 2

1 ( 1) ( 1)

         

P z z i x y x y

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpxki cho hai số 1;1 2 2

(x1) y ; x (y1) , ta có:

22 ( 1)2 2 2( 1)24(9  )

 

P x y x y x y

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-cốpxki cho hai số 1;1 x y; , ta có:

 2

2

   

x y x y

2

52 2 13

P   P Đẳng thức xảy x y

Vậy P đạt giá trị lớn 13 z 2 2i

Ví dụ Trong số phức z có mơđun 2 Tìm số phức z cho biểu thức

1 1 7

    

P z z i đạt giá trị lớn

Hƣớng dẫn giải Gọi z x yi x y;  

2 2

2

      

z x y x y

2 2

1 ( 1) ( 1) ( 7)

           

P z z i x y x y

Xét u x 1;y v , 1  x; y  u v 0; 7  Khi đó:

7

    

P u v u v Đẳng thức xảy u v, hướng

( 1)( ) (1 )

 x  y y x  x

1

   

x y

Với x1;y u v, ngược hướng (khơng thoả mãn) Với x1;y  u v, hướng (thoả mãn)

Vậy z 1 i 3 P đạt giá trị nhỏ

Ví dụ Trong số phức z1, z2 thoả mãn: z1  1 i 1 ;z2 6 6i 6, tìm số phức z1,

z2 cho z1z2 đạt giá trị lớn

Hƣớng dẫn giải

Gọi z1 a b i z ; 2 c d i ; ( , , ,a b c d số thực); z1được biểu diễn điểm M(a; b); z2được biểu diễn điểm N(c; d) mặt phẳng toạ độ Oxy

2 2 2

1   1 1 1  1 ( 1)  ( 1) 1

Trang | 24

2 2

2 6  6 2 6 36 ( 6) ( 6) 36

z i z i c d suy M thuộc đường tròn tâm J(6; 6), bán kính R' =

2

1  (  ) (  ) 

z z c a d b MN

(Bài toán qui Bài tốn cơng cụ 2)

Đường thẳng IJ có phương trình y = x Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm I hai điểm

1

2 2 2 2

; ; ;

2 2

       

   

   

   

M M

Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm J hai điểm N163 2; 63 ; N2 63 2; 63 2 1 

M N MN M N 5 2 7 z1z2 5 27

1 2

max z z 5 27khi M M N, N

Vậy 1 2 2 ; 2 6 2

2

 

     

z i z ithì z1z2 đạt giá trị lớn

Ví dụ Cho số phức z z1; 2thoả mãn: z1 1 ;z z2 2   (1 i) 6 2ilà số thực Tìm số phức z z1; 2sao cho P z2 2z z1 2z z1 2 đạt giá trị nhỏ

Hƣớng dẫn giải Gọi z1 a bi z; 2  c di; a b c d, , ,  

( ; ), ( ; )

M a b N c d biểu diễn cho z z1; 2 hệ toạ độ Oxy

2 2

1  1   1  1

z a b a b

 M thuộc đường trịn ( )T có tâm O, bán kính R =

    

 

2 ;

1 ( 1) ( 1)

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

  

                      

z c di

z z i i c di c d i i

c c d d c d d c i

 số thực c d(  1) d c(       1) c d

 N thuộc đường thẳng :x  y

Ta có d O( ; ) 1 nên  ( )T khơng có điểm chung

1 2

( ) ;

( ) 2( )

   

        

z z ac bd bc ad i

z z ac bd bc ad i z z z z ac bd

2 2 2

2( ) ( ) ( ) 1 1

          

P c d ac bd c a b d MN (vì 2

1

 

a b )

(Bài toán qui Bài tốn cơng cụ 3)

Gọi H hình chiếu vng góc O :x   y H(3;3)

Đoạn OH cắt đường tròn ( )T 2;

2

 

 

 

 

Trang | 25

Với N thuộc đường thẳng , M thuộc đường tròn ( )T , ta có:

      

MN ON OM OH OI IH

Đẳng thức xảy M I N; H

 2

3 1 18

 P    

Đẳng thức xảy

2

; 3

2

   

z i z i

Vậy P đạt giá trị nhỏ 18 2 1 2 ; 2 3

2

   

z i z i

Ví dụ 7. Trong số phức z thoả mãn điều kiện z   3 z 3 10 Tìm số phức z có mơđun lớn

Hƣớng dẫn giải Gọi z x yi x y;  

M x y( ; ) biểu diễn cho số phức z hệ toạ độ Oxy

2 2

1

3 10 ( 3) ( 3) 10

10

          

  

z z x y x y

MF MF

;

(với F1( 3;0); (3;0) F2 )

( )

M E có tâm O, trục lớn 10; tiêu cự

2

( ) :

25

M E x  y  ;



z OM OMlớn OM   a M(5; 0)M( 5; 0)

Vậy z lớn z   5 z

III BÀI TẬP

Câu 1. Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z z 3 zz  5 12i Số phức có mơ đun lớn nhất? A.1+2i B.1-2i C.2+4i D.1/2-i

Câu 2. Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z  2 i Số phức có mơ đun nhỏ nhất? A.2+i B.4-i C.1 1 i D. 3 2 2i

Câu 3. Xét số phức z thỏa mãn z    2 i z 7i 6 Gọi m M, giá trị nhỏ giá trị lớn z 1 i Tính P m M

A P 13 73 B 2 73  

Trang | 26

C P5 2 73 D 73  

P

Câu Xét số phức z thỏa mãn z 3 2i    z i Gọi M m, giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P    z z 3i

A. M  17 5, m3 B. M  262 5, m3 C. M  262 5, m D. M  17 5, m

Câu Xét số phức z thỏa mãn z 2 3i    z i 17 Gọi M m, giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  z 2i   z i

A. M 3 2, m0 B. M 3 2, m C. M 3 2, m5 22 D. M  2, m5 22

Câu Xét số phức z thỏa mãn z 2 2i   z 3i  34 Tìm giá trị nhỏ biển thức

  

P z i

A. min 34 

P B. Pmin 3 C. Pmin  13 D. Pmin 4

Câu 7. Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 2i 2, tìm số phức z có mơđun nhỏ

A 2

5

   

     

   

z i B 2

5

   

     

   

z i

C 2

5

   

     

   

z i D 2

5

   

      

   

z i

Câu Cho số phức z thỏa mãn 2

1

    

z i

z i Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn

z

A zmin  10 3; zmax  103 B zmin   10 3; zmax  103 C zmin   103; zmax  10 3

Trang | 27

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sƣ phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dƣỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chƣơng trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia