Đề cương ôn tập Đại số và giải tích Toán 11 năm học 2020-2021

Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hàng động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhấ[r]

Trang | ĐỀ CƢƠNG ƠN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH TỐN 11

NĂM HỌC 2020-2021

A Lý thuyết

I Lƣợng giác 1 Hàm số lƣợng giác a) Hàm số y = sin x TXĐ: D = R

Nhận xét: Hàm số y = sin x hàm số lẻ tuần hoàn với chu kì 2  1 sinx1 hay nói cách khác tập giá trị hàm số [-1;1]

Đồ thị hàm số y = sin x R

b) Hàm số y = cos x TXĐ: D = R

Nhận xét: Hàm số y = cos x hàm số chẵn tuần hồn với chu kì 2  1 cosx1 hay nói cách khác tập giá trị hàm số $[-1;1]$

Đồ thị hàm số y = cos x R (tịnh tiến đồ thị hàm số y = sin x theo vecto ( ; 0)) u 

c) Hàm số y = tan x

TXĐ: ,

2

D  k k 

 

Trang | Đồ thị hàm số y = tan x

d) Hàm số y = cot x

TXĐ: D k,k 

Nhận xét: Hàm số y = cot x hàm số lẻ tuần hồn với chu kì  Tập giá trị hàm số = cot x khoảng ( , )

Đồ thị hàm số y = cot x

2 Phƣơng trình lƣợng giác a) Phương trình sin x = a

Trường hợp 1: |a| >

Phương trình vơ nghiệm | sin | 1x 

Trang |

Nếu asin sin sin ,

2 ,

x k k x

x k k

 



  

  



  

   



Nếu a khơng viết thành sincủa góc đẹp sin arcsin ,

arcsin ,

x a k k x a

x a k k



 

  



      

 b) Phương trình cos x = a

Trường hợp 1: |a| >1

Phương trình vơ nghiệm | cos | 1x 

Trường hợp | | 1a 

Nếu acos sin sin ,

2 ,

x k k x

x k k

 



 

  



  

   



Nếu a khơng viết thành cos góc đẹp cos arccos ,

arccos ,

x a k k x a

x a k k

 

  



      

 c) Phương trình tan x = a

Điều kiện , ( )

2

x  k k

Nếu atan tanxtan   x  k,k

Nếu a không viết thành tan góc đẹp tanx  a x arctana k ,k

d) Phương trình cot x =a

Điều kiện xk,k

Nếu atan cotxcot  x  k,k

Nếu a không viết thành cot góc đẹp cotx a x = arccot a+k,k 3 Một số phƣơng trình lƣợng giác thƣờng gặp

a) Phương trình bậc hàm số lượng giác Định nghĩa

Phương trình bậc hàm số lượng giác phương trình có dạng

at + b = a, b số (a  0) t hàm số lượng giác Cách giải

Chuyển vế chia hai vế phương trình (1) cho a, ta đưa phương trình (1) phương trình lượng giác

Trang | b) Phương trình bậc hai hàm số lượng giác

Định nghĩa

Phương trình bậc hai hàm số lượng giác phương trình có dạng at2

+ bt + c = Trong a, b, c số (a khác 0) t hàm số lượng giác

Cách giải

Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) giải phương trình theo ẩn phụ Cuối cùng, ta đưa giải phương trình lượng giác

Phƣơng trình đƣa dạng phƣơng trình bậc hai hàm số lƣợng giác c) Phương trình bậc sinx cosx

Công thức biến đổi biểu thức asinx + bcosx

2

( ),

asinx bcosx  a b sin x a với

2

a cos

a b

 

 2

b sin

a b

  Phƣơng trình dạng asinx + bcosx = c

Xét phương trình: asinx + bcosx = c

Với a, b, c  R ; a, b không đồng thời ( a2 + b2  0)

Nếu a = 0, b  0, a  0, b = 0, phương trình (2) đưa phương trình lượng giác Nếu a  0, b  0, ta áp dụng công thức (1)

II Tổ hợp Xác suất 1 Quy tắc đếm

Quy tắc cộng:

Một cơng việc hồn thành hai hành động Nếu hàng động có m cách thực hiện, hành động có n cách thực khơng trùng với cách hành động thứ cơng việc có m + n cách thực

Quy tắc nhân

Một cơng việc hồn thành hai hành động liên tiếp Nếu có m cách thực hành động thứ ứng với cách có n cách thực hành động thứ hai có m.n cách hồn thành cơng việc 2 Hốn vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

Hoán vị:

Pn = n(n - 1)(n - 2) = n!

Chỉnh hợp:

Akn = n(n – 1)…(n – k + 1)

Trang |

k n k

n n

C C 

3 Nhị thức Niu - tơn

(a + b)n = C0n an + C1n an – 1b + C2n an – 2b2 + … + Cn n – abn – + Cnnbn

4 Phép thử biến cố

Phép thử ngẫu nhiên phép thử mà ta khơng đốn trước kết nó, nhiên xác định tập hợp tất kết có phép thử

Khơng gian mẫu: Tập hợp tất kết có phép thử T gọi không gian mẫu phép thử T kí hiệu Ω ( đọc - mê - ga)

Định nghĩa: Biến cố tập không gian mẫu 5 Xác suất biến cố

Cổ điển xác suất P(A) = ( )

( )

n A n 

Tính chất xác suất: a) P(Φ) = 0; P(Ω) =

b) ≤ P(A) ≤ 1, với biến cố A

c) Nếu A B xung khắc với nhau, ta có

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) (cơng thức cộng xác suất) Hai biến cố độc lập:

A B hai biến cố độc lập với khi: P(A B) = P(A) P(B)

B Bài tập LƢỢNG GIÁC

Bài Giải phương trình:

a) sin2 3sin 2 cos2

x x x b) sin2xcos 22 xsin 32 xcos 42 x2 c) sinxcos 2x1 d) tan 2xsin 2xcos 2x 1

e) 2sin 2 x 15 cos 2  x  15  f) cos 2x3cosx 2

g)

2

sin 2sin 5cos

0

2sin

x x x

x

  



h) cos 4cos

3

x   x

     

   

Trang | Bài Tìm m để phương trình msinxcos 2x m  1 có nghiệm thuộc ;

3 

 

 

 

Bài Tìm m để phương trình   

2sinx1 2cos 2x2sinx m  3 4cos x có hai nghiệm

thuộc 0;

Bài Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau: a) sin cos

sin cos

x x

y

x x

 



  b) 2

2

sin cos

1

x x

y

x x

  

 

c) y sin 2x2sin2x1 d) 3sin cos

6

y  x   x

   

Bài Chứng minh với số thực x ta có 108

sin cos

3125 x x

Bài Nhận dạng tam giác ABC biết sin sin 1 cos cos cot cot

A B

A B A B



 



TỔ HỢP XÁC SUẤT

Bài Từ số 0,1, 2,3, 4,5, lập số tự nhiên chẵn có chữ số khác

bé 25000

Bài a Tìm hệ số số hạng chứa x31 khai triển 3xx315 b Tìm số hạng khơng chứa x khai triển 2

n x

x

  

 

  với

0

121

n n n

C C C 

Bài Tìm hệ số số hạng chứa x9trong khai triển nhị thức New-Tơn biểu thức (3x)n biết

3

6 440

n n

C C 

Bài Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức Newton 2 n

x x

  

 

  biết

2

36 n

C 

Bài Tìm hệ số số hạng chứa x9 khai triển nhị thức Newton 53 n

x x

  

 

  Biết

 

1

4

n n

n n

C  C  n

Bài 7. Có 30 đề thi có 10 đề thi khó 20 đề thi trung bình Tìm xác suất để học sinh bốc đồng thời hai đề thi đề trung bình

Trang | a) Trong số lập có số chẵn

b) Chọn ngẫu nhiên số số lập Tìm xác suất để chọn số có mặt chữ số 1; đứng trước

Bài Gieo xúc xắc bốn lần độc lập Tính xác suất để a) Khơng có lần xuất mặt chẵn

b) Mặt chẵn xuất lần c) Mặt chẵn xuất lần

Bài 10 Một hộp chứa 10 cầu trắng cầu đỏ, cầu khác màu Lấy ngẫu nhiên cầu

Trang |

HƢỚNG DẪN GIẢI

LƢỢNG GIÁC

Bài a) sin2 3sin 2 cos2

x x x

2 cos cos

sin sin 2 cos sin 2

2 2

x x

x x x    x  

3 1

sin cos sin

2 x x x

                2

6 6

2

6

x k x k

k k

x k x k

                                  

b) sin2xcos 22 xsin 32 xcos 42 x2

2 2

sin cos sin cos

1 cos cos cos cos8

2 2

x x x x

x x x x

   

   

    

cos8x cos 2x cos 6x cos 4x

    

2sin sin 3x x 2sin sinx x

   

 

sin 5x sinx sin 3x

  

 

5 5

sin 5

3

sin sin

3

4

4

k

x k

x k x

x

x x k x k k

x x k

x

x x k k

x                                                c) sinxcos 2x1

2

sinxcos 2x 1 sinx 1 2sin x 1 sinx2sin x0

  sin sin x k x

x k k

Trang | d) tan 2xsin 2xcos 2x 1

Điều kiện: cos 2x0

Khi đó, phương trình cho tương đương tan 2xtan cos 2x xcos 2x 1

   

tan cos 2x x cos 2x

    

1 cos 2xtan 2x 1

   

cos

tan

x x

 

  

 (thỏa điều kiện)

2

2

x k x k



 

   

  



, k

8

x k k x



 

   

   

, k

Vậy phương trình cho có nghiệm: xk

8

k

x   , k e) 2sin 2 x 15 cos 2  x  15 

   

2sin 2x 15 cos 2x  15

 

sin 4x 30

   

4x 30 90 k360

     , k

15 90

x k

   , k

Vậy phương trình cho có nghiệm: x 15 k90, k f) cos 2x3cosx 2

cos 2x3cosx 2 02cos2x3cosx 1

cos

1 cos

2 x x

   

 



2

2 x k

x k

x k



 

 

    

  

 

    

Trang | 10 Vậy phương trình cho có nghiệm: xk2

3

x  k 

3

x   k  k 

g)

2

sin 2sin 5cos

0

2sin

x x x

x

 

 

 

2

sin 2sin 5cos

0

2sin

x x x

x

  



Điều kiện xác định phương trình  1 là:

2

2

2sin sin sin sin

5

2

2

x k

x x x

x k

 



 

    

 

         

    



, k

Khi đó,

  2  

1 sin x4sin cosx x5cos x0

+ Nếu cosx0 sin2x1 Khi đó,  2 trở thành 0 (vơ lí) + Nếu cos

2

x   x  k , k , chia vế phương trình  2 cho

cos x ta được:

2 tan

tan tan

tan

arctan

x x k

x x

x

x k

 





    

 

    

 

    , k

Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm phương trình  1 là:

x  k  arctan

x k, k

h) cos 4cos

3

x   x

     

   

   

5

cos 4cos cos 4cos

3 3

x   x x   x  

             

        

Trang | 11 sin 3

2sin 4sin

3

sin x x x x                                         sin x          2

3 6

sin sin , ,

5

3

2

3

x k x k

x k k

x k x k

                                           

Vậy nghiệm phương trình cho là:

x   k 

2

x  k  ,k

Bài Ta có

sin

sin cos 2sin sin 2

sin

2 x

m x x m x m x m m

x                 

Với sin

2

 

   

x x k Dễ thấy họ nghiệm khơng có nghiệm thuộc ; 

 

 

 

Do sin

2 

m

x phải cho nghiệm thuộc ; 

 

 

 

Vì ;

3 

 

   

 

x nên sin 2

2 2



  x    m     m

Vậy 2 3 m Bài Ta biến đổi

  

     

2

2

2sin cos 2sin cos

2sin cos 2sin 2sin 2sin

1

sin sin

2

1

cos sin (*)

2

x x x m x

x x x m x x

x x m m x x                               6 sin 2                x k x x k

Ta có hai nghiệm thuộc0;là ;5

6

 

Để phương trình ban đầu có hai nghiệm thuộc0;thì phương trình (*) vơ nghiệm (*) có nghiệm sin

2 

Trang | 12 Tức ta có:

+TH1: (*) vơ nghiệm

1

1

1

0



 

   

 

  

 



m

m

m m .

+TH2: (*) có nghiệm sin 1

2 4



 m   

x m

Thử lại, với m0 (*)

2

2 sin

1

sin

1

sin

2

7

 

 

 

 

   



    

 

   

      

 





  



x k

x k

x x

x x k

x k

Dễ thấy họ lượng giác cho nghiệm thuộc 0; Vậy nhận giá trị m0 Kết luận:

0

        

m m m

Bài a) sin cos sin cos

x x y

x x

 



  (1)

Ta có sin 3xcos3x 2 x Tập xác định D

Giả sử y0 giá trị hàm số, tồn x cho:

 

0 sin cos3 sin 2cos3

y x x  x x

y0 sin 3 x y0 cos 3 x 2y0

     

Phương trình có nghiệm khi:

  2  2 2

0 2

y   y    y

2

0

2y 2y

   

0

2 y

   

Trang | 13 Giá trị nhỏ hàm số 2, 3sin cos ,

6 3

x x      x   k  k

(với cos 3;sin

5

   )

Giá trị lớn hàm số 1, cos ,

x  x k  k

b) sin 2 cos 2

1

x x

y

x x

  

 

Tập xác định D

 Đặt 2

t x x



 , ta có:

 

2

2

1,

1;1

0

x

x

t x

x t

t       

 



   



 Hàm số trở thành ysintcos2t1,   t  1;1

2

2sin sin

y t t

    

Đặt asint suy asin 1 ;sin 1  Hàm số trở thành y 2a2 a

Ta có bảng biến thiên:

Vậy:

Giá trị nhỏ hàm số y 2 sin  1 2sin  1 Giá trị lớn hàm số 17

8

Trang | 14 c) y 3 sin 2x2sin2x1

Tập xác định D

Ta có:

3 sin 2sin sin cos 2sin y x x  x x  x 

 

2 y

    Vậy

Giá trị lớn hàm số khi:

sin

4 x 

  

 

 

3

2 ,

4

x   k  x  k k

       

Giá trị nhỏ hàm số 2 khi:

sin

4 x 

   

 

  2x k2 x k ,k

    

         

d) 3sin cos

6

y  x  x 

   

Tập xác định D

3sin cos 5sin

6 6

y  x   x   x  

     

(với cos 3;sin

5

   )

5 y

    Vậy

Giá trị lớn hàm số khi:

sin

6 x  

   

 

 

2

3 ,

6 3

x    k  x   k  k

         

Giá trị nhỏ hàm số 5 khi:

sin

6 x  

    

 

 

2

3 ,

6 3

x    k  x   k  k

           

Bài Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số không âm

sin x,

sin x,

sin x, 3cos2

2 x

2

3 cos

2 x,

Trang | 15

2 2 3 5 2 3

sin sin sin cos cos sin sin sin cos cos

2 2

x x x x x x x x x x

6

5

3 sin cos

4 x x

  

6 108

sin cos

3125

x x

   (đpcm)

Bài sin sin 1

cos cos cot cot

A B

A B A B



 



2sin cos

sin sin

2

2 cos cos

2 cos cos

2

A B A B

A B

A B A B A B

 

   

   

   

  

 

   

   

   

 

sin

sin

2 cos cos cos

2 A B

A B

A B A B



 

  

 

 



 

 

 

sin 2sin cos

2 2

2 cos cos cos

2

A B A B A B

A B A B

  

     

     

     

 



 

 

 

2

cos cos cos A B

A B   

   

 

 

2cos cosA B cos A B

   

2cos cosA B cos cosA B sin sinA B

   

 

cos A B

  

A B

 

Vậy tam giác ABC cân C TỔ HỢP XÁC SUẤT

Bài Giả sử từ chữ số 0,1, 2,3, 4,5, lập số na a a a a1 5 a10, a a a a a1, 2, 3, 4, 5 đôi khác n25000,n chẵn

Trang | 16 Suy có : 4.A53 số

TH 2: a1 2

+ Chọn a2 từ chữ số 1, có cách Chọn a5 từ chữ số 0, , có cách Chọn a a3 4

có A42 cách Suy có : 2.3.A42 số

+ Chọn a2 từ chữ số 0, có cách Chọn a5 từ số chẵn bỏ 2,a2 có cách Chọn

3

a a có A42 cách Suy có : 2.2.A42 số Vậy tất có: 4.A532.3.A422.2.A42  360 số

Bài a) Giả sử từ chữ số thuộc tập A0,1, 2,3, 4, 5, 6, 7 , lập số tự nhiên

1

na a a a a a10, a a a a a1, 2, 3, 4, 5 đôi khác Chọn a có cách Chọn 1 a a a a2 5 có A74 cách Suy có : 7.A74 5880 số

b) Tập A0,1, 2,3, 4, 5, 6, 7 có chữ số chẵn 0 , , 4,  chữ số lẻ 1 ,3 ,5,  Lấy chữ số lẻ từ 1 ,3 ,5, có  C42 cách

Lấy chữ số chẵn từ 0 , , 4, có  C43 cách Hốn vị chữ số vừa lấy có 5! cách

Suy có 5!.C C42 43 số ( có trường hợp chữ số đứng đầu) Trường hợp chữ số đứng đầu có: 2

4

4!.C C số Vậy có: 5!.C C42 434!.C C42 32 2448 số

c) Giả sử từ chữ số thuộc tập A0,1, 2,3, 4, 5, 6, 7, lập số tự nhiên

1

na a a a a

(a1 0, a a a a a1, 2, 3, 4, 5 đôi khác , n24000) TH 1: a1 1 Chọn a a a a2 5 có A74 cách

Trang | 17 + Chọn a2 từ chữ số 0,1, có cách Chọn  a a a3 5 có A63 cách

Suy có : 3.A63 số

Vậy có A743.A631200 số Bài a Xét:

15 15

3 15 15 15 15

15 15

0

(3 ) k(3 ) k( )k k3 k( 1)k k

k k

x x C x  x C  x 

 

    

Hệ số số hạng chứa 31

x khai triển ứng với k thỏa mãn: 15 2 k31 k (tm)  Hệ số số hạng chứa x31trong khai triển là: 37C158

b Cn0 C1n Cn2 121 ĐK: n n         

0

2

! !

121 121

1!.( 1)! 2!.( 2)! 15 ( 1)

1 121 240

2 16

n n n

n n

C C C

n n

n tm n n

n n n

n l                         

Ta có:  

15 15 15 15

15

2 15 30 15 30

15 15 15

0 0

2

3 3

k k

k k k k k k k k k k

k k k

x C x C x x C x

x x                            

Hệ số số hạng không chứa x khai triển ứng với k thỏa mãn:

 

30 3 k   0 k 10 tm Vậy số hạng không chứa x khai triển là: 10C1510

Bài Cn36 Cn3 440 Điều kiện: n

n     

( 6)! !

440 3!.( 3)! 3!.( 3)!

( 6)( 5)( 4).( 3)! ( 1)( 2).( 3)!

440

6.( 3)! 6.( 3)!

( 6)( 5)( 4) ( 1)( 2) 2640

18 72 2520

10 14( )

n n

n n

n n n n n n n n

n n

n n n n n n

n n n n l                                      Ta có: 10 10 10 10

(3 ) k3 k k

k

x C  x



 

Trang | 18 Bài Điều kiện x0,n *;n2

Ta có: Cn2 36

 !.2!! 36

n n

 



 1

36

n n

   

 

2

72

9

n L n n

n TM

  

     





Suy  

9

2

P x x x

 

  

 

Số hạng tổng quát khai triển : 1 9. 2  1 9.2 18  ; 9 k

k k

k k k k

k

T C x C x k k

x

 

       

 

Số hạng không chứa x 18 3 k   0 k TM Vậy số hạng cần tìm  1 C96.26 5376

Bài Điều kiện x0,n *

Ta có Cnn41Cnn3 7n3

 

     

4 ! !

7

1 !.3! !.3!

n n

n

n n

 

   



 4 3 2  3 2 1  

7

6

n n n n n n

n

     

   

n 4n 2 n 2n 1 42

       (vì n 3 0)

 

3n 36 n 12 TM

   

Suy  

12

3

5

P x x x

 

  

 

Số hạng tổng quát khai triển

 2 12   24 5  

1 12 12

5

; 12

k

k k

k k k k

k

T C x C x k k

x

 

       

 

Vì số hạng cần tìm chứa

x nên 24 5 k   9 k  TM Vậy hệ số số hạng chứa

Trang | 19 Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sƣ phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dƣỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chƣơng trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia