Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hàng động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhấ[r]
(1)Trang | ĐỀ CƢƠNG ƠN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH TỐN 11
NĂM HỌC 2020-2021
A Lý thuyết
I Lƣợng giác 1 Hàm số lƣợng giác a) Hàm số y = sin x TXĐ: D = R
Nhận xét: Hàm số y = sin x hàm số lẻ tuần hoàn với chu kì 2 1 sinx1 hay nói cách khác tập giá trị hàm số [-1;1]
Đồ thị hàm số y = sin x R
b) Hàm số y = cos x TXĐ: D = R
Nhận xét: Hàm số y = cos x hàm số chẵn tuần hồn với chu kì 2 1 cosx1 hay nói cách khác tập giá trị hàm số $[-1;1]$
Đồ thị hàm số y = cos x R (tịnh tiến đồ thị hàm số y = sin x theo vecto ( ; 0)) u
c) Hàm số y = tan x
TXĐ: ,
2
D k k
(2)Trang | Đồ thị hàm số y = tan x
d) Hàm số y = cot x
TXĐ: D k,k
Nhận xét: Hàm số y = cot x hàm số lẻ tuần hồn với chu kì Tập giá trị hàm số = cot x khoảng ( , )
Đồ thị hàm số y = cot x
2 Phƣơng trình lƣợng giác a) Phương trình sin x = a
Trường hợp 1: |a| >
Phương trình vơ nghiệm | sin | 1x
(3)Trang |
Nếu asin sin sin ,
2 ,
x k k x
x k k
Nếu a khơng viết thành sincủa góc đẹp sin arcsin ,
arcsin ,
x a k k x a
x a k k
b) Phương trình cos x = a
Trường hợp 1: |a| >1
Phương trình vơ nghiệm | cos | 1x
Trường hợp | | 1a
Nếu acos sin sin ,
2 ,
x k k x
x k k
Nếu a khơng viết thành cos góc đẹp cos arccos ,
arccos ,
x a k k x a
x a k k
c) Phương trình tan x = a
Điều kiện , ( )
2
x k k
Nếu atan tanxtan x k,k
Nếu a không viết thành tan góc đẹp tanx a x arctana k ,k
d) Phương trình cot x =a
Điều kiện xk,k
Nếu atan cotxcot x k,k
Nếu a không viết thành cot góc đẹp cotx a x = arccot a+k,k 3 Một số phƣơng trình lƣợng giác thƣờng gặp
a) Phương trình bậc hàm số lượng giác Định nghĩa
Phương trình bậc hàm số lượng giác phương trình có dạng
at + b = a, b số (a 0) t hàm số lượng giác Cách giải
Chuyển vế chia hai vế phương trình (1) cho a, ta đưa phương trình (1) phương trình lượng giác
(4)Trang | b) Phương trình bậc hai hàm số lượng giác
Định nghĩa
Phương trình bậc hai hàm số lượng giác phương trình có dạng at2
+ bt + c = Trong a, b, c số (a khác 0) t hàm số lượng giác
Cách giải
Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) giải phương trình theo ẩn phụ Cuối cùng, ta đưa giải phương trình lượng giác
Phƣơng trình đƣa dạng phƣơng trình bậc hai hàm số lƣợng giác c) Phương trình bậc sinx cosx
Công thức biến đổi biểu thức asinx + bcosx
2
( ),
asinx bcosx a b sin x a với
2
a cos
a b
2
b sin
a b
Phƣơng trình dạng asinx + bcosx = c
Xét phương trình: asinx + bcosx = c
Với a, b, c R ; a, b không đồng thời ( a2 + b2 0)
Nếu a = 0, b 0, a 0, b = 0, phương trình (2) đưa phương trình lượng giác Nếu a 0, b 0, ta áp dụng công thức (1)
II Tổ hợp Xác suất 1 Quy tắc đếm
Quy tắc cộng:
Một cơng việc hồn thành hai hành động Nếu hàng động có m cách thực hiện, hành động có n cách thực khơng trùng với cách hành động thứ cơng việc có m + n cách thực
Quy tắc nhân
Một cơng việc hồn thành hai hành động liên tiếp Nếu có m cách thực hành động thứ ứng với cách có n cách thực hành động thứ hai có m.n cách hồn thành cơng việc 2 Hốn vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
Hoán vị:
Pn = n(n - 1)(n - 2) = n!
Chỉnh hợp:
Akn = n(n – 1)…(n – k + 1)
(5)Trang |
k n k
n n
C C
3 Nhị thức Niu - tơn
(a + b)n = C0n an + C1n an – 1b + C2n an – 2b2 + … + Cn n – abn – + Cnnbn
4 Phép thử biến cố
Phép thử ngẫu nhiên phép thử mà ta khơng đốn trước kết nó, nhiên xác định tập hợp tất kết có phép thử
Khơng gian mẫu: Tập hợp tất kết có phép thử T gọi không gian mẫu phép thử T kí hiệu Ω ( đọc - mê - ga)
Định nghĩa: Biến cố tập không gian mẫu 5 Xác suất biến cố
Cổ điển xác suất P(A) = ( )
( )
n A n
Tính chất xác suất: a) P(Φ) = 0; P(Ω) =
b) ≤ P(A) ≤ 1, với biến cố A
c) Nếu A B xung khắc với nhau, ta có
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) (cơng thức cộng xác suất) Hai biến cố độc lập:
A B hai biến cố độc lập với khi: P(A B) = P(A) P(B)
B Bài tập LƢỢNG GIÁC
Bài Giải phương trình:
a) sin2 3sin 2 cos2
x x x b) sin2xcos 22 xsin 32 xcos 42 x2 c) sinxcos 2x1 d) tan 2xsin 2xcos 2x 1
e) 2sin 2 x 15 cos 2 x 15 f) cos 2x3cosx 2
g)
2
sin 2sin 5cos
0
2sin
x x x
x
h) cos 4cos
3
x x
(6)Trang | Bài Tìm m để phương trình msinxcos 2x m 1 có nghiệm thuộc ;
3
Bài Tìm m để phương trình
2sinx1 2cos 2x2sinx m 3 4cos x có hai nghiệm
thuộc 0;
Bài Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau: a) sin cos
sin cos
x x
y
x x
b) 2
2
sin cos
1
x x
y
x x
c) y sin 2x2sin2x1 d) 3sin cos
6
y x x
Bài Chứng minh với số thực x ta có 108
sin cos
3125 x x
Bài Nhận dạng tam giác ABC biết sin sin 1 cos cos cot cot
A B
A B A B
TỔ HỢP XÁC SUẤT
Bài Từ số 0,1, 2,3, 4,5, lập số tự nhiên chẵn có chữ số khác
bé 25000
Bài a Tìm hệ số số hạng chứa x31 khai triển 3xx315 b Tìm số hạng khơng chứa x khai triển 2
n x
x
với
0
121
n n n
C C C
Bài Tìm hệ số số hạng chứa x9trong khai triển nhị thức New-Tơn biểu thức (3x)n biết
3
6 440
n n
C C
Bài Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức Newton 2 n
x x
biết
2
36 n
C
Bài Tìm hệ số số hạng chứa x9 khai triển nhị thức Newton 53 n
x x
Biết
1
4
n n
n n
C C n
Bài 7. Có 30 đề thi có 10 đề thi khó 20 đề thi trung bình Tìm xác suất để học sinh bốc đồng thời hai đề thi đề trung bình
(7)Trang | a) Trong số lập có số chẵn
b) Chọn ngẫu nhiên số số lập Tìm xác suất để chọn số có mặt chữ số 1; đứng trước
Bài Gieo xúc xắc bốn lần độc lập Tính xác suất để a) Khơng có lần xuất mặt chẵn
b) Mặt chẵn xuất lần c) Mặt chẵn xuất lần
Bài 10 Một hộp chứa 10 cầu trắng cầu đỏ, cầu khác màu Lấy ngẫu nhiên cầu
(8)Trang |
HƢỚNG DẪN GIẢI
LƢỢNG GIÁC
Bài a) sin2 3sin 2 cos2
x x x
2 cos cos
sin sin 2 cos sin 2
2 2
x x
x x x x
3 1
sin cos sin
2 x x x
2
6 6
2
6
x k x k
k k
x k x k
b) sin2xcos 22 xsin 32 xcos 42 x2
2 2
sin cos sin cos
1 cos cos cos cos8
2 2
x x x x
x x x x
cos8x cos 2x cos 6x cos 4x
2sin sin 3x x 2sin sinx x
sin 5x sinx sin 3x
5 5
sin 5
3
sin sin
3
4
4
k
x k
x k x
x
x x k x k k
x x k
x
x x k k
x c) sinxcos 2x1
2
sinxcos 2x 1 sinx 1 2sin x 1 sinx2sin x0
sin sin x k x
x k k
(9)Trang | d) tan 2xsin 2xcos 2x 1
Điều kiện: cos 2x0
Khi đó, phương trình cho tương đương tan 2xtan cos 2x xcos 2x 1
tan cos 2x x cos 2x
1 cos 2xtan 2x 1
cos
tan
x x
(thỏa điều kiện)
2
2
x k x k
, k
8
x k k x
, k
Vậy phương trình cho có nghiệm: xk
8
k
x , k e) 2sin 2 x 15 cos 2 x 15
2sin 2x 15 cos 2x 15
sin 4x 30
4x 30 90 k360
, k
15 90
x k
, k
Vậy phương trình cho có nghiệm: x 15 k90, k f) cos 2x3cosx 2
cos 2x3cosx 2 02cos2x3cosx 1
cos
1 cos
2 x x
2
2 x k
x k
x k
(10)Trang | 10 Vậy phương trình cho có nghiệm: xk2
3
x k
3
x k k
g)
2
sin 2sin 5cos
0
2sin
x x x
x
2
sin 2sin 5cos
0
2sin
x x x
x
Điều kiện xác định phương trình 1 là:
2
2
2sin sin sin sin
5
2
2
x k
x x x
x k
, k
Khi đó,
2
1 sin x4sin cosx x5cos x0
+ Nếu cosx0 sin2x1 Khi đó, 2 trở thành 0 (vơ lí) + Nếu cos
2
x x k , k , chia vế phương trình 2 cho
cos x ta được:
2 tan
tan tan
tan
arctan
x x k
x x
x
x k
, k
Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm phương trình 1 là:
x k arctan
x k, k
h) cos 4cos
3
x x
5
cos 4cos cos 4cos
3 3
x x x x
(11)Trang | 11 sin 3
2sin 4sin
3
sin x x x x sin x 2
3 6
sin sin , ,
5
3
2
3
x k x k
x k k
x k x k
Vậy nghiệm phương trình cho là:
x k
2
x k ,k
Bài Ta có
sin
sin cos 2sin sin 2
sin
2 x
m x x m x m x m m
x
Với sin
2
x x k Dễ thấy họ nghiệm khơng có nghiệm thuộc ;
Do sin
2
m
x phải cho nghiệm thuộc ;
Vì ;
3
x nên sin 2
2 2
x m m
Vậy 2 3 m Bài Ta biến đổi
2
2
2sin cos 2sin cos
2sin cos 2sin 2sin 2sin
1
sin sin
2
1
cos sin (*)
2
x x x m x
x x x m x x
x x m m x x 6 sin 2 x k x x k
Ta có hai nghiệm thuộc0;là ;5
6
Để phương trình ban đầu có hai nghiệm thuộc0;thì phương trình (*) vơ nghiệm (*) có nghiệm sin
2
(12)Trang | 12 Tức ta có:
+TH1: (*) vơ nghiệm
1
1
1
0
m
m
m m .
+TH2: (*) có nghiệm sin 1
2 4
m
x m
Thử lại, với m0 (*)
2
2 sin
1
sin
1
sin
2
7
x k
x k
x x
x x k
x k
Dễ thấy họ lượng giác cho nghiệm thuộc 0; Vậy nhận giá trị m0 Kết luận:
0
m m m
Bài a) sin cos sin cos
x x y
x x
(1)
Ta có sin 3xcos3x 2 x Tập xác định D
Giả sử y0 giá trị hàm số, tồn x cho:
0 sin cos3 sin 2cos3
y x x x x
y0 sin 3 x y0 cos 3 x 2y0
Phương trình có nghiệm khi:
2 2 2
0 2
y y y
2
0
2y 2y
0
2 y
(13)Trang | 13 Giá trị nhỏ hàm số 2, 3sin cos ,
6 3
x x x k k
(với cos 3;sin
5
)
Giá trị lớn hàm số 1, cos ,
x x k k
b) sin 2 cos 2
1
x x
y
x x
Tập xác định D
Đặt 2
t x x
, ta có:
2
2
1,
1;1
0
x
x
t x
x t
t
Hàm số trở thành ysintcos2t1, t 1;1
2
2sin sin
y t t
Đặt asint suy asin 1 ;sin 1 Hàm số trở thành y 2a2 a
Ta có bảng biến thiên:
Vậy:
Giá trị nhỏ hàm số y 2 sin 1 2sin 1 Giá trị lớn hàm số 17
8
(14)Trang | 14 c) y 3 sin 2x2sin2x1
Tập xác định D
Ta có:
3 sin 2sin sin cos 2sin y x x x x x
2 y
Vậy
Giá trị lớn hàm số khi:
sin
4 x
3
2 ,
4
x k x k k
Giá trị nhỏ hàm số 2 khi:
sin
4 x
2x k2 x k ,k
d) 3sin cos
6
y x x
Tập xác định D
3sin cos 5sin
6 6
y x x x
(với cos 3;sin
5
)
5 y
Vậy
Giá trị lớn hàm số khi:
sin
6 x
2
3 ,
6 3
x k x k k
Giá trị nhỏ hàm số 5 khi:
sin
6 x
2
3 ,
6 3
x k x k k
Bài Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số không âm
sin x,
sin x,
sin x, 3cos2
2 x
2
3 cos
2 x,
(15)Trang | 15
2 2 3 5 2 3
sin sin sin cos cos sin sin sin cos cos
2 2
x x x x x x x x x x
6
5
3 sin cos
4 x x
6 108
sin cos
3125
x x
(đpcm)
Bài sin sin 1
cos cos cot cot
A B
A B A B
2sin cos
sin sin
2
2 cos cos
2 cos cos
2
A B A B
A B
A B A B A B
sin
sin
2 cos cos cos
2 A B
A B
A B A B
sin 2sin cos
2 2
2 cos cos cos
2
A B A B A B
A B A B
2
cos cos cos A B
A B
2cos cosA B cos A B
2cos cosA B cos cosA B sin sinA B
cos A B
A B
Vậy tam giác ABC cân C TỔ HỢP XÁC SUẤT
Bài Giả sử từ chữ số 0,1, 2,3, 4,5, lập số na a a a a1 5 a10, a a a a a1, 2, 3, 4, 5 đôi khác n25000,n chẵn
(16)Trang | 16 Suy có : 4.A53 số
TH 2: a1 2
+ Chọn a2 từ chữ số 1, có cách Chọn a5 từ chữ số 0, , có cách Chọn a a3 4
có A42 cách Suy có : 2.3.A42 số
+ Chọn a2 từ chữ số 0, có cách Chọn a5 từ số chẵn bỏ 2,a2 có cách Chọn
3
a a có A42 cách Suy có : 2.2.A42 số Vậy tất có: 4.A532.3.A422.2.A42 360 số
Bài a) Giả sử từ chữ số thuộc tập A0,1, 2,3, 4, 5, 6, 7 , lập số tự nhiên
1
na a a a a a10, a a a a a1, 2, 3, 4, 5 đôi khác Chọn a có cách Chọn 1 a a a a2 5 có A74 cách Suy có : 7.A74 5880 số
b) Tập A0,1, 2,3, 4, 5, 6, 7 có chữ số chẵn 0 , , 4, chữ số lẻ 1 ,3 ,5, Lấy chữ số lẻ từ 1 ,3 ,5, có C42 cách
Lấy chữ số chẵn từ 0 , , 4, có C43 cách Hốn vị chữ số vừa lấy có 5! cách
Suy có 5!.C C42 43 số ( có trường hợp chữ số đứng đầu) Trường hợp chữ số đứng đầu có: 2
4
4!.C C số Vậy có: 5!.C C42 434!.C C42 32 2448 số
c) Giả sử từ chữ số thuộc tập A0,1, 2,3, 4, 5, 6, 7, lập số tự nhiên
1
na a a a a
(a1 0, a a a a a1, 2, 3, 4, 5 đôi khác , n24000) TH 1: a1 1 Chọn a a a a2 5 có A74 cách
(17)Trang | 17 + Chọn a2 từ chữ số 0,1, có cách Chọn a a a3 5 có A63 cách
Suy có : 3.A63 số
Vậy có A743.A631200 số Bài a Xét:
15 15
3 15 15 15 15
15 15
0
(3 ) k(3 ) k( )k k3 k( 1)k k
k k
x x C x x C x
Hệ số số hạng chứa 31
x khai triển ứng với k thỏa mãn: 15 2 k31 k (tm) Hệ số số hạng chứa x31trong khai triển là: 37C158
b Cn0 C1n Cn2 121 ĐK: n n
0
2
! !
121 121
1!.( 1)! 2!.( 2)! 15 ( 1)
1 121 240
2 16
n n n
n n
C C C
n n
n tm n n
n n n
n l
Ta có:
15 15 15 15
15
2 15 30 15 30
15 15 15
0 0
2
3 3
k k
k k k k k k k k k k
k k k
x C x C x x C x
x x
Hệ số số hạng không chứa x khai triển ứng với k thỏa mãn:
30 3 k 0 k 10 tm Vậy số hạng không chứa x khai triển là: 10C1510
Bài Cn36 Cn3 440 Điều kiện: n
n
( 6)! !
440 3!.( 3)! 3!.( 3)!
( 6)( 5)( 4).( 3)! ( 1)( 2).( 3)!
440
6.( 3)! 6.( 3)!
( 6)( 5)( 4) ( 1)( 2) 2640
18 72 2520
10 14( )
n n
n n
n n n n n n n n
n n
n n n n n n
n n n n l Ta có: 10 10 10 10
(3 ) k3 k k
k
x C x
(18)Trang | 18 Bài Điều kiện x0,n *;n2
Ta có: Cn2 36
!.2!! 36
n n
1
36
n n
2
72
9
n L n n
n TM
Suy
9
2
P x x x
Số hạng tổng quát khai triển : 1 9. 2 1 9.2 18 ; 9 k
k k
k k k k
k
T C x C x k k
x
Số hạng không chứa x 18 3 k 0 k TM Vậy số hạng cần tìm 1 C96.26 5376
Bài Điều kiện x0,n *
Ta có Cnn41Cnn3 7n3
4 ! !
7
1 !.3! !.3!
n n
n
n n
4 3 2 3 2 1
7
6
n n n n n n
n
n 4n 2 n 2n 1 42
(vì n 3 0)
3n 36 n 12 TM
Suy
12
3
5
P x x x
Số hạng tổng quát khai triển
2 12 24 5
1 12 12
5
; 12
k
k k
k k k k
k
T C x C x k k
x
Vì số hạng cần tìm chứa
x nên 24 5 k 9 k TM Vậy hệ số số hạng chứa
(19)Trang | 19 Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sƣ phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I. Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.
II. Khoá Học Nâng Cao HSG
- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
- Bồi dƣỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III. Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chƣơng trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia