Đang tải... (xem toàn văn)
Chöùng minh raèng neáu x, y laø caùc soá nguyeân vaø A chia heát cho 13 thì B chia heát cho 13.. Ngöôïc laïi neáu B chia heát cho 13 thì A cuõng chia heát cho 13..[r]
(1)1 Chuyên đề : Đa thức 1 Chuyên đề : Đa thức1 Chuyên đề : Đa thức 1 Chuyên đề : Đa thức Baứi 1: Tớnh giaự trũ cuỷa bieồu thửực:
a A = x4−17x3+17x2−17x+20 taïi x = 16
b B = x5−15x4+16x3−29x2+13x taïi x = 14
c C = x14−10x13+10x12−10x11+ + 10x2−10x+10 taïi x =
d D = x15−8x14+8x13−8x12+ − 8x2+8x−5 taïi x =
Bài 2: Tính giá trị biểu thức:
a M = 1 3650 4 315 651 105 651 315.651 105− − +
b N = 546 547 211 547 211 547.211− −
Bài 3: Tính giá trị biểu thức: a A = 3( 2) 2( 3)
x x −y +y x −y với x = 2; y =1
b M.N với x =2.Biết rằng:M = −2x2+3x+5; N = x2− +x 3
Bài 4: Tính giá trị đa thức, biết x = y + 5: a x x( +2)+y y( −2 2)− xy+65
b ( 2 ) 75
x +y y− x +
Bài 5: Tính giá trị đa thức: (1 ) ( 1)
x +y −y xy− −x y bieát x+ y = -p, xy = q
Bài 6: Chứng minh đẳng thức:
a (x a x b− )( − ) (+ x b x c− )( − ) (+ x c x a− )( − )=ab bc ca x+ + − ; biết 2x = a + b
+ c
b 2bc b+ 2+c2−a2 =4p p a( − ) ; biết a + b + c = 2p
Baøi 7:
a Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 38 chữ số Chứng minh ab – chia hết cho
b Cho số tự nhiên a b số a gồm 52 số 1, số b gồm 104 số Hỏi tích ab có chia hết cho khơng? Vì sao?
Bài 8: Cho a + b + c = Chứng minh M = N = P với: M =a a b a c( + )( + ); N =b b c b a( + )( + ); P=c c a c b( + )( + )
Bài 9: Cho biểu thức: M = ( )( ) ( )( ) ( )( )
x a x b− − + x b x c− − + x c x a− − +x Tính M
theo a, b, c, biết 1
2 2
x= a+ b+ c
Bài 10: Cho biểu thức: A = 15x – 23y ; B = 2x + 3y Chứng minh x, y số nguyên A chia hết cho 13 B chia hết cho 13 Ngược lại B chia hết cho 13 A chia hết cho 13
(2)b Chứng minh rằng: Nếu số nguyên x, y thỏa mãn 5x + 2y chia hết cho 17 9x + 7y chia hết cho 17
Bài 12: Chứng minh rằng:
a 81 277− 9−913 chia heát cho 405
b 122 1n+ +11n+2 chia heát cho 133
Bài 13: Cho dãy số 1, 3, , 10, 15,…, ( 1)
2
n n+ , …
Chứng minh tổng hai số hạng liên tiếp dãy số phương
2 2 2
2 Chuyên đChuyên đChuyên đChuyên đềềềề: : : : Biển đổi biểu thức nguyênBiển đổi biểu thức nguyênBiển đổi biểu thức nguyênBiển đổi biểu thức nguyên
I Một số đẳng thức
1 (a ± b)2 = a2± 2ab + b2 ;
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ;
2
1 n
(a + a + + a ) =
= 2+ 2+ + + + + + + + + + + −
1 n n n n n
a a a 2(a a a a a a a a a a a a );
2 (a ± b)3 = a3± 3a2b + 3ab2± b3 = a3± b3± 3ab(a ± b);
(a ± b)4 = a4± 4a3b + 6a2b2± 4ab3 + b4 ;
3 a2 – b2 = (a – b)(a + b) ;
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ;
an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + an – 3b2 + … + abn – 2 + bn – 1) ;
4 a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5) ;
a2k + 1 + b2k + 1 = (a + b)(a2k – a2k – 1b + a2k – 2b2 – … + a2b2k – 2 – ab2k – 1 + b2k) ;
II Bảng hệ số khai triển (a + b)n Tam giác Pascal
Đỉnh
Dßng (n = 1) 1
Dßng (n = 2)
Dßng (n = 3) 3
Dßng (n = 4)
Dßng (n = 5) 10 10
Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm số ; dòng k + đợc thành lập từ dòng k (k 1), chẳng hạn dßng ta cã = + 1, ë dßng ta cã = + 1, = + 2, ë dßng ta cã = + 3, = + 3, = + 1, …Khai triĨn (x + y)n thµnh tổng
các hệ số hạng tử số dòng thứ n bảng Ngời ta gọi bảng tam giác Pascal, thờng đợc sử dụng n không lớn Chẳng hạn, với n = :
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
vµ víi n = :
(3)II Các ví dụ
Ví dụ 1 Đơn giản biểu thức sau :
A = (x + y + z)3 – (x + y – z)3 – (y + z – x)3 – (z + x – y)3
Lêi gi¶i
A = [(x + y) + z]3 – [(x + y) – z]3 – [z – (x – y)]3 – [z + (x – y)]3
= [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] – [(x + y)3 – 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 –
z3] – [z3 – 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 – (x – y)3] – [z3 + 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 + (x – y)3]
= 6(x + y)2z – 6z(x – y)2 = 24xyz
VÝ dô 2 Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥ 4b) TÝnh giá trị biểu thức sau :
a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5
Lêi gi¶i a) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b
b) x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab
c) x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2
d) (x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y)
Hay : (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2⇒ x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2
Chó ý : a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2 a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b)
= (a2 + b2)(a5 + b5) – a2b2(a3 + b3) Ví dụ 3 Chứng minh đẳng thức :
a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ;
b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)
Lêi gi¶i
a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2
= (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c)
= (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab]
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3)
= (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2)
= (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)]
= 3(a + b)(b + c)(c + a) VÝ dô Cho x + y + z =
Chøng minh r»ng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2)
Lêi giải Vì x + y + z = nªn x + y = –z ⇒ (x + y)3 = –z3
Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3⇒ 3xyz = x3 + y3 + z3
Do : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2)
= x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2)
Mµ x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = z2 2xy (vì x + y = z) Tơng tự :
y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx
V× vËy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z3(z3 –
2xy) = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2)
(4)Bµi tËp:
1 Cho a + b + c = vµ a2 + b2 + c2 = 14
Tính giá trị biểu thức : A = a4 + b4 + c4
2 Cho x + y + z = vµ xy + yz + zx = Tính giá trị biểu thøc : B = (x – 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009
3 Cho a2 – b2 = 4c2 Chøng minh r»ng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – 5b)2
4 Chøng minh r»ng nÕu:
5 (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = (x + y – 2z)2 + (y + z – 2x)2 + (z + x – 2y)2
th× x = y = z
6 a) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 x, y khác a b
x= y b) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2
và x, y, z khác th× a b c x= y= z
7 Cho x + y + z = Chøng minh r»ng :
a) 5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5) ;
b) x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2) ;
c) 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5)
8 Chứng minh đằng thức sau :
a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ;
b) x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2
9 Cho c¸c sè a, b, c, d tháa m`n a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2
Chøng minh r»ng : a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4
10 Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 =
Tính giá trị biÓu thøc : C = a2 + b9 + c1945
11 Hai số a, b lần lợt thỏa m`n c¸c hƯ thøc sau :
a3 – 3a2 + 5a – 17 = vµ b3 – 3b2 + 5b + 11 = H`y tÝnh : D = a + b
12 Cho a3 – 3ab2 = 19 vµ b3 – 3a2b = 98 H`y tÝnh : E = a2 + b2
13 Cho x + y = a + b vµ x2 + y2 = a2 + b2 Tính giá trị c¸c biĨu thøc sau :
a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ;
e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008
3 Chuyên đề: 3 Chuyên đề:3 Chuyên đề:
(5)I- Phơng pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác:
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
2
2
2
2
2
, d , 3 , e , , f , , h , , k ,
a x x x x
b x x x x
c x x x x
g x x x x
i x x x x
− + − +
− + + −
+ + − −
− + + +
−
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
(Đa thức đ cho có nhiệm nguyên nghiệm hữu tỉ)
II- Phơng pháp thêm bớt hạng tử
1) Dạng 1: Thêm bớt hạng tử làm xuất đẳng thức hiệu hai
bình phơng: A2 B2 = (A B)(A + B)
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
2) Dạng 2: Thêm bớt hạng tử làm xuất thừa số chung
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
3
3
3
3
1, 5 8 4 2, 2 3 3, 5 8 4 4, 7 6
5, 9 6 16 6, 4 13 9 18 7, 4 8 8 8, 6 6 1
x x x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
− + − + −
+ + + − +
− + + − + −
− − + − − + +
3
3
3
3
9, 6 486 81 10, 7 6 11, 3 2 12, 5 3 9 13, 8 17 10 14, 3 6 4 15, 2 4 16, 2
x x x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x
− − + − −
− + − + +
+ + + + + +
− −
3
3
3
12 17 2
17, 4 18, 3 3 2 19, 9 26 24 20, 2 3 3 1
21, 3 14 4 3 22, 2 1
x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
− + −
+ + + + +
+ + + − + −
− + + + + + +
( )2
2 2
4
4
4 4
4 4
1, (1 ) (1 ) 2, 36 3, 4, 64
5, 64 6, 81 7, 81 8, 64 9, 10,
x x x x
x x
x x
x x y
x y x x
+ − − − +
+ +
+ +
+ +
(6)III- Ph−ơng pháp đổi biến
Bài 1:Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
IV- Phơng pháp xét giá trị riêng
Ph−ơng pháp: Tr−ớc hết ta xác định dạng thừa số chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể để xác định thừa số cịn lại
VÝ dơ: Ph©n tÝch đa thức sau thành nhân tử:
Giải
a, Giả sử thay x y P = y2(y−z)+y z2( −y)=0
Nh− vËy P chøa thõa sè x – y
Ta lại thấy thay x y, thay y z, thay z x P khơng đổi(ta nói đa thức P hốn vị vịng quanh biến x, y, z) Do P đ` chúa thùa số x – y chúa thừa số y – z, z – x Vậy P phải có dạng
P = k(x – y)(y – z)(z – x).Ta thấy k phải số(khơng chúa biến) P có bậc tập hợp biến x, y, z tích (x – y)(y – z)(z – x) có bậc ba tập hợp biến x, y, z Vì đẳng thức
đúng với x, y, z nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z =
ta đợc k = -1
7
5
8
5 10
1, 1 2, 1
3, 1 4, 1
5, 1 6, 1
7, 1 8, 1
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + +
+ + + +
+ + − −
+ − + +
2 2 2 2
2
4
1, ( 4)( 6)( 10) 128 2, ( 1)( 2)( 3)( 4) 24 3, ( 8) ( 8) 4, ( ) 4 12 5, 2 15 6, ( )( )( )( ) 7, 11
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x xy y x y x a x a x a x a a
x x
+ + + + + + + + −
+ + + + + + + + + −
+ + + + − + + + + +
− 2 2
2 2 2
2
3 8, ( ) 3( ) 9, 3 10 10, ( ) 18 20 11, 4 35 12, ( 2)( 4)( 6)( 8) 16
x x x x
x xy y x y x x x x
x xy y x y x x x x
+ + + + +
− + + − − + + + +
− + − + − + + + + +
4
2 2 2
1,
2, ( )( ) ( )
x x x x
x y z x y z xy yz zx
+ + − +
+ + + + + + +
2 2
2 2
, P = ( ) ( ) ( )
, Q = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
a x y z y z x z x y
b a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b
− + − + −
+ − + + − + + − + + − + − + −
2 2
(7)VËy P =- (x – y)(y – z)(z – x) = (x y)(y z)(x - z) Các toán Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tö:
2 2
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
M =a b c a+ − +b c+ −a b +c a b c+ − + a b c b c a c+ − + − + −a b
2 2
( ) ( ) ( )
N =a m a− +b m b− +c m c− −abc, víi 2m = a+ b + c
Bài 2: Ph©n tích đa thức sau thành nhân tử:
3
2 2 2
3 3
3 3
2
) ( )( )
) ( ) (2 )
) ( ) ( ) ( )
) ( )( ) ( )( ) ( )( )
) ( ) ( ) ( ) ( 1)
) ( ) ( ) ( )
) (
a A a b c ab bc ca abc b B a a b b a b
c C ab a b bc b c ac a c
d D a b a b b c b c c a c a e E a c b b a c c b a abc abc
f f a b c b c a c a b g G a b a b
= + + + + −
= + − +
= + − + + −
= + − + + − + + −
= − + − + − + −
= − + − + −
= − 2 2
4 4
) ( ) ( )
) ( ) ( ) ( )
b c b c a c c a h H a b c b c a c a b
+ − + −
= − + − + −
V-Ph−ong pháp hệ số bt nh
Bi 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
4
4
2
4
4
) 12 14
) 4
) 22 11 37 10
) 14
) 63
a A x x x x b B x x x x c C x xy x y y d D x x x x e E x x
= − + − +
= + + + +
= + + + + +
= − + − +
= − +
Bài tập:
Ví dụ Phân tích biểu thức sau thành nhân tử :
A = x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3)
Lời giải Đặt S = a + b P = ab, a2 + b2 = S2 2P
- ; a3 + b3 = S3- 3SP V× vËy :
A = x3 – 3(S2 2P
- )x + 2(S3- 3SP) = (x3- S ) (3S x 3S )3 - - + (6Px 6SP)
= (x S)(x- 2+ Sx+ S ) 3S (x2 - - S)+ 6P(x- S) = (x S)(x- 2+ Sx 2S- 2+ 6P)
= (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab]
= (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a2
Ph©n tÝch đa thức sau thành nhân tử : a) x3 + 4x2 – 29x + 24 ;
b) x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + ;
c) (x2 – x + 2)2 + (x – 2)2 ;
(8)e) x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x +
f) x8 + x4 + 1;
g) x10 + x5 + ;
h) x12 + ;
i) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 ;
k) (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5
4. 4. 4.
4 Chuyên đề Chuyên đề Chuyên đề Chuyên đề: Xác định đa thứcXác định đa thứcXác định đa thức Xỏc nh a thc
* Định lí Beout (BêZu) ứng dụng: 1) Định lí BêZu:
D phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a f(a) (giá trị f(x) t¹i x = a): f(x)=(x−a)q(x)+ f(a)
(Beout, 1730 - 1783, nhà toán học Pháp)
Hệ quả: Nếu a nghiệm đa thừc f(x) f(x) chia hết cho x - a
áp dụng: Định lí BêZu dùng để phân tích đa thức thành nhân tử Thực nh− sau:
B−ớc 1: Chọn giá trị x = a thử xem x = a có phải nghiệm f(x) không
B−ớc 2: Nếu f(a) = 0, theo định lí BêZu ta có: f(x)=(x−a)p(x)
Để tìm p(x) thực phép chia f(x) cho x - a
B−ớc 3: Tiếp tục phân tích p(x) thành nhân tử cịn phân tích đ−ợc Sau viết kết cuối cho hợp lí
Dạng 1: Tìm đa thức th−ơng ph−ơng pháp đồng hệ số(ph−ơng pháp hệ số bất định), ph−ơng pháp giá trị riêng , thực phép chia đa thức
*Ph−ơng pháp1: Ta dựa vào mệnh đề sau õy :
Nếu hai đa thức P(x) Q(x) nhau: P(x) = Q(x) hạng tử bậc hai đa thức phải có hệ số phải cã hƯ sè b»ng
VÝ dơ: P(x)=ax2+2bx−3; Q(x)=x2 −4x− p
NÕu P(x) = Q(x) th× ta cã:
a = 1(hƯ sè cđa lịy thõa 2)
2b = - (hÖ sè cđa lịy thõa bËc 1)
- = - p (hệ số hạng tử bậc không hay hạng tử tự do) *Ph−ơng pháp2: Cho hai đa thức P(x) Q(x) thỏa m`n deg P(x) > deg Q(x) Gọi th−ơng d− phép chia P(x) cho Q(x) lần l−ợt M(x) N(x) Khi ta có: P(x)=Q(x).M(x)+N(x) (Trong đó: deg N(x) < deg Q(x)) (I)
Vì đẳng thức (I) với x nên ta cho x lấy giá trị : x=α
(α số) Sau ta giải ph−ơng trình hệ ph−ơng trình để tìm hệ số hạng tử đa thức ( Đa thức th−ơng, đa thức chia, đa thức bị chia, s d)
Ví dụ: Bài 1(Phần tập áp dơng)
Gäi th−¬ng cđa phÐp chia A(x) cho x + lµ Q(x), ta cã:
) ( ) (
3
3
x Q x a x ax x
(9)Vì đẳng thức với x nên cho x = -1 ta dược:
= − = ⇒ = + + − ⇒ = − + + −
3
6
2
3
2
a a a
a a
a a
Với a = -2 A=4x3−6x2 −6x+4,Q(x)=4x2−10x+4
Với a = thỡ A=9x3+9x2 6x6,Q(x)=9x26
*Phơng pháp 3:Thực phép chia đa thức (nh SGK) Bài tập ¸p dơng
Bài 1: Cho đa thức
( ) ( )
A x =a x + ax − x− a a∈Q X¸c định a cho A(x) chia hết cho x +
Bài 2: Phân tích đa thøc
( )
P x =x x x thành nhân tử, biết nhân tử có dạng: x2+dx+2
Bài 3: Với giá trị a b đa thức : x3+ax2+2x+b chia hÕt cho ®a thøc:
1 2+x+
x H`y giải toán nhiều c¸ch kh¸c
Bài 4: Xác định giá trị k để đa thức: f(x)= x4−9x3+21x2+x+k chia hết cho đa thức:
2 )
(x = x2−x−
g
Bài 5: Tìm tất số tự nhiên k ñể cho ña thức: f(k)=k3+2k2+15 chia hết cho nhị thức: g(k)=k+3
Bài 6: Với giá trị a b đa thức: f(x)= x4−3x3+3x2+ax+b chia hết cho ña thức: g(x)= x2−3x+4
Bài 7: a) Xác ñịnh giá trị a, b c ñể ña thức: P(x)= x4+ax2+bx+c Chia hết cho (x−3)3
b) Xác ñịnh giá trị a, b ñể ña thức: Q(x)=6x4−7x3+ax2+3x+2 chia hết cho ña thức M(x)= x2 −x+b
c) Xác ñịnh a, b ñể P(x)=x3 +5x2 −8x+a chia hết cho M(x)=x2 +x+b Bài 8: Hãy xác ñịnh số a, b, c để có đẳng thức:
(ðể học tốt ðại số 8)
Bài 9: Xác ñịnh số a cho: a) 10x2−7x+a chia hết cho 2x−3
b) 2x2 +ax+1 chia cho x−3 dư
c) ax5+5x4 −9 chia hết cho x−1 Bài 10: Xác ñịnh số a b cho:
a) x4 +ax2+b chia hết cho x2 −x+1
b) ax3+bx2 +5x−50 chia hết cho x2 +3x+10 c) ax4 +bx2+1 chia hết cho
) (x− d) x4 +4 chia hết cho x2 +ax+b
Bài 11: Tìm hăng số a b cho x3+ax+b chia cho x+1thì dư 7, chia cho
3
−
x dư -5
Bài 12: Tìm số a, b, c cho ax3+bx2+cchia hết cho x+2, chia cho x2 −1
thì dư x+5
(Một số vấn đề phát triển ðại số 8)
) )( )( (
3
c x b x a x c bx ax
(10)Bài 13: Cho ña thức: P(x)= x4+x3−x2+ax+b Q(x)=x2+x−2 Xác ñịnh a, b ñể
P(x) chia hết cho Q(x)
Bài 14: Xác ñịnh a b cho ña thức P(x)=ax4 +bx3+1 chia hết cho ña thức
2 ) ( ) (x = x− Q
Bài 15: Cho ña thức P(x)=x4−7x3+ax2+3x+2 Q(x)=x2 −x+b Xác ñịnh a b ñể P(x) chia hết cho Q(x)
(23 chun đề tốn sơ cấp)
Dạng 2: Phương pháp nội suy NiuTơn
Phương pháp:
ðể tìm đa thức P(x) bậc khơng q n biết giá trị ña thức n + ñiểm
1
2
1,C ,C , ,Cn+
C L ta biểu diễn P(x) dạng:
) ( ) )( ( ) )( ( ) ( )
(x b0 b1 x C1 b2 x C1 x C2 bn x C1 x C2 x Cn
P = + − + − − +L+ − − L −
Bằng cách thay x giá trị C1,C2,C3,L,Cn+1 vào biểu thức
P(x) ta tính hệ số b0,b1,b2,L,bn
Bài tập áp dụng
Bi 1: Tỡm ña thức bậc hai P(x), biết: P(0)=25,P(1)=7,P(2)=−9
Giải
ðặt P(x)=b0+b1x+b2x(x−1)(1)
Thay x lần lượy 0; 1; vào (1) ta ñược:
1 18 25 18 25 25 2 1 = ⇔ + − = − − = ⇔ + = = b b b b b
Vậy, đa thức cần tìm có dạng:
25 19 ) ( ) ( 18 25 )
(x = − x+x x− ⇔ P x = x2 − x+
P
Bài 2: Tìm đa thức bậc P(x), biết: P(0)=10,P(1)=12,P(2)=4,P(3)=1
Hướng dẫn: ðặt P(x)=b0+b1x+b2x(x−1)+b3x(x−1)(x−2)(1)
Bài 3: Tìm đa thức bậc ba P(x), biết chia P(x) cho (x−1),(x−2),(x−3) ñều ñược dư P(-1) = - 18
Hướng dẫn: ðặt P(x)=b0+b1(x−1)+b2(x−1)(x−2)+b3(x−1)(x−2)(x−3)(1) Bài 4: Cho ña thức bậc bốn P(x), thỏa mãn:
) ( ), )( ( ) ( ) ( ) ( + + = − − = − x x x x P x P P a) Xác ñịnh P(x)
b) Suy giá trị tổng S =1.2.3+2.3.5+K+n(n+1)(2n+1),(n∈N*)
Hướng dẫn: Thay x 0; 1; 2; vào(1), ta ñược :
36 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( = ⇔ = − = ⇔ = − = ⇔ = − − = − ⇔ = − − − P P P P P P P P P P P P
(11)) )( )( )( ( ) )( )( ( ) )( ( 3 36 , , 0 4 3 2 1 = ⇔ − − − − + − − − + − − = = ⇔ + = = ⇔ = = ⇔ = = b b b b b b b b b
Vậy, ña thức cần tìm có dạng:
( 1) ( 2)
2 ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(x = x+ x+ x+ x x− + x+ x x− x− = x x+ x+
P
(Tuyển chọn thi HSG Tốn THCS)
Bài 5: cho đa thức P(x)=ax2+bx+c,(a,b,c≠0) Cho biết 2a+3b+6c =0
1) Tính a, b, c theo , (1) ),
( P P
P 2) Chứng minh rằng: , (1)
2 ),
( P P
P
âm dương
Bài 6: Tìm ña thức bậc hai, cho biết:
1985 ) ( 85 ) ( 19 ) ( = = = P P P
5 Chuyên đề: 5 Chuyên đề: 5 Chuyên đề:
5 Chuyên đề: B B B Biển đổi phân thức hữu tỉiển đổi phân thức hữu tỉiển đổi phân thức hữu tỉiển đổi phân thức hữu tỉ
VÝ dô
a) Chøng minh r»ng ph©n sè 3n
5n
+
+ phân số tối giản nN ;
b) Cho phân số
2 n A n + =
+ (n∈N) Cã bao nhiªu sè tù nhiªn n nhá h¬n 2009
cho phân số A ch−a tối giản Tính tổng tất số tự nhiên ú Li gii
a) Đặt d = ƯCLN(5n + ; 3n + 1) ⇒ 3(5n + 2) – 5(3n + 1) Μ d hay Μ d ⇒ d =
VËy ph©n sè 3n
5n
+
+ phân sè tèi gi¶n
b) Ta cã A n 29
n
= - +
+ Để A cha tối giản phân số
29
n+ ph¶i ch−a tèi gi¶n Suy n + phải chia hết cho ớc dơng lớn 29 Vì 29 sè nguyªn tè nªn ta cã n + Μ 29
⇒ n + =29k (k ∈ N) hay n=29k –
(12)Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa m`n điều kiện đề bi
Tổng số : 29(1 + + … + 69) – 5.69 = 69690
VÝ dô 2 Cho a, b, c ≠ vµ a + b + c ≠ tháa m`n ®iỊu kiƯn 1 1
a+ b+ c= a+ b+ c Chứng minh ba số a, b, c có hai số đối Từ suy :
2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1
a + b + c = a + b + c
Lêi gi¶i
Ta cã : 1 1
a+ b+ c= a+ b+ c ⇔
1 1
0 a + b+ c- a+ b+ c=
⇔ a b a b
ab c(a b c)
+ +
+ =
+ + ⇔
c(a b c) ab
(a b)
abc(a b c)
+ + +
+ =
+ +
⇔ (a + b)(b + c)(c + a) = ⇔
a b
b c
c a
é + = ê ê + = ê ê + = ë
⇔
a b
b c
c a
é = -ê ê = -ê ê = -ë
⇒ đpcm Từ suy : 20091 20091 20091 20091 12009 20091 20091
a + b + c = a + ( c)- + c = a
2009 20091 2009 2009 12009 2009 20091
a + b + c = a + -( c) + c = a
⇒ 20091 20091 20091 2009 20091 2009
a + b + c = a + b + c
Ví dụ 3. Đơn gi¶n biĨu thøc :
3 3 2
1 1 1 1
A
(a b) a b (a b) a b (a b) a b
ỉ ổ ổ
ữ ữ ữ
ỗ ç ç
= çç + ÷÷+ çç + ÷÷+ çç + ÷÷
è ø è ø è ø
+ + +
Lời giải
Đặt S = a + b vµ P = ab Suy : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = S2 2P
-a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = S3 3SP
-
Do : 1 a b S;
a b ab P
+
+ = =
2 2
2 2 2
1 a b S 2P
;
a b a b P
+
-+ = =
3 3
3 3 3
1 a b S 3SP
a b a b P
+
-+ = =
Ta cã : A =
3
3
1 S 3SP S 2P S
S P S P S P
-
-+ +
=
2 2 2
2 4 4
S 3P 3(S 2P) (S 3S P) (3S P 6P ) 6P S
S P S P S P S P S P
- - - + - +
+ + = =
(13)VÝ dô 4 Cho a, b, c ba số phân biệt Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị x :
(x a)(x b) (x b)(x c) (x c)(x a)
S(x)
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
- - -
-= + +
- - -
Lời giải Cách
2 2
x (a b)x ab x (b c)x bc x (c a)x ca
S(x)
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
- + + - + + - + +
= + +
- - - = Ax
2 – Bx +
C
víi : A 1
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
= + +
- - - ;
B a b b c c a
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
+ + +
= + +
- - - ;
C ab bc ca
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
= + +
- - -
Ta cã : A b a c b a c
(a b)(b c)(c a)
- + - +
-= =
- - - ;
(a b)(b a) (b c)(c b) (c a)(a c)
B
(a b)(b c)(c a)
+ - + + - + +
-=
- -
-2 2 2
b a c a a c
0
(a b)(b c)(c a)
- + - +
-= =
- -
-;
ab(b a) bc(c b) ca(a c) ab(b a) bc[(c a) (a b)] ca(a c)
C
(a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)
- + - + - - + - + - +
-= =
- - -
(a b)(bc ab) (c a)(bc ca) (a b)(b c)(c a)
(a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)
- - + - - - -
-= = =
- - -
Vậy S(x) = 1x (đpcm) Cách
Đặt P(x) = S(x) – đa thức P(x) đa thức có bậc khơng v−ợt q Do đó, P(x) có tối đa hai nghiệm
NhËn xÐt : P(a) = P(b) = P(c) = a, b, c ba nghiệm phân biệt P(x) Điều xảy P(x) đa thức không, tức P(x) = ∀x Suy S(x) = ∀x ⇒ ®pcm
VÝ dơ Cho x x
+ = Tính giá trị c¸c biĨu thøc sau :
a)
2
A x
x
= + ; b) B x3 13
x
= + ; c) C x4 14
x
= + ; d) D x5 15
x
= +
Lêi gi¶i a)
2
2
1
A x x
x x
ỉ
ữ ỗ
= + =ỗ + ữ - = - = ữ
ỗ
(14)b)
3
3
1 1
B x x x 27 18
x x x
ỉ ỉ
ữ ữ
ỗ ỗ
= + =ỗ + ữữ- ỗ + ữữ= - =
ỗ ỗ
è ø è ø ;
c)
2
4
4
1
C x x 49 47
x x
ổ
ữ ỗ
= + = çç + ÷÷ - = - =
è ø ;
d)
2
1 1
A.B x x x x D
x x x x
ổ ửổ
ữ ữ
ỗ ỗ
= ỗ + ữỗ + ữ= + + + = +
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứố ø ⇒ D = 7.18 – = 123
Ví dụ 5 Xác định số a, b, c cho : 2 ax2 b c
(x 1)(x 1) x x
+
= +
+ - + -
Lêi gi¶i Ta cã :
2
2 2
ax b c (ax b)(x 1) c(x 1) (a c)x (b a)x (c b)
x x (x 1)(x 1) (x 1)(x 1)
+ + - + + + + - +
-+ = =
+ - + - +
Đồng phân thức với phân thức 2
(x + 1)(x 1)- , ta đợc :
a c a
b a b
c b c
ì + = ì =
-ï ï
ï ï
ï ï
ï - = Û ï =
-í í
ï ï
ï - = ï =
ï ï
ï ï
ỵ ỵ
VËy 2 2x 1
(x 1)(x 1) x x
-
-= +
+ - + -
6 Chuyên đề: Giải ph−ơng trình 6 Chuyên đề: Giải ph−ơng trình 6 Chuyên đề: Giải ph−ơng trình 6 Chuyên đề: Giải ph−ơng trình I/Phương trỡnh ax+b=0 (1) phương trỡnh ủưa dạng (1)
*Cách giải: (Biến ñổi ñưa hết vế sau ñó rút gọn thành dạng ax+b=0)
TH1:a=0 b≠0 phương trình (1)vơ nghiệm b=0 phương trình (1) vơ số nghiệm TH2:a≠0 phương trình (1) có nghiệm x= b
a
(15)*Ví dụ: a)3x+1=7x-11
b1: 3x+1-7x+11=0 (biến ñổi chuyển vế) b2: -4x+12=0 (rút gọn dạng ax+b=0) b3: x= 12
4
− = −
b)1,2-(x-0,8)= -2(0,9+x) ⇔1,2-x+0,8+1,8+2x=0 ⇔x+3,8=0
⇔x= -3,8 *Các tập tương tự:
a)7x+21=0 b)12-6x=0
c)5x-2=0 d)-2x+14=0
e)0.25x+1,5=0 f)6,36-5,3x=0 g)4
3x− =6 h)
5
1 10
9 x 3x
−
+ = −
i)11-2x=x-1 k)5-3x=6x+7 l)2(x+1)=3+2x m)2(1-1,5x)+3x=0
n)2,3x-2(0,7+2x)=3,6-1,7x o)3,6-0,5(2x+1)=x-0,25(2-4x) p)3(2,2-03x)=2,6+(0,1x-4) q)
5
x− − x
= − v)2 13
5
x x
+ = − +
w)
3 2( 7)
5
6
x− − x+
− = s)7 5( 9) 20 1,
8
x x
x +
− − = y)5( 1) 2(2 1)
6
x− + − x− = x+ −
II/Phương trình tích:
*Cách giải: Pt:A.B=0 ⇒
0
A B
= =
(A=0 (1) B=0 (2) )
Ta có pt (1),(2) phương trình bậc cách giải tương tự phần
(Chú ý phương trình chưa có dạng A.B=0 ta đưa dạng A.B=0 cách phân tích thành nhân tử )
*Ví dụ:
a)(4x-10)(24+5x)=0 ⇔ 10 (1)
24 (2)
x x
− =
+ =
Từ (1) x=10
4 =2 (2)⇒x= 24
−
Vậy phương trình có nghiệm x=10
4 =2 x= 24
(16)⇔(x-1)(5x+3)-(3x-8)(x-1)=0 ⇔(x-1)(2x+11)=0
⇔
1
11
2 11
2
x x
x x
− = ⇔ =
−
+ = ⇔ =
*Các tập tương tự:
a)(3,5-7x)(0,1x+2,3)=0 b)(3x-2) 2( 3)
7
x+ x−
− =
c)(3,3-11x) 2(1 )
5
x+ − x
+ =
d)( 3−x 5)(2x 1)+ =0 e)(2x− )(x 10+3)=0 f)(2 3− x 5)(2,5x+ 2)=0
g)3x(25x+15)-35(5x+3)=0 h)(2-3x)(x+11)=(3x-2)(2-5x) i)(2x2+1)(4x-3)=(2x2+1)(x-12) k)(2x-1)2+(2-x)(2x-1)=0 l)(x+2)(3-4x)=x2+4x+4 m)(x-1)(x2+5x-2)-(x2-1)=0 n)x3+1=x(x+1) 0)x2+(x=2) (11x-7)=4 p)x3+x2+x+1=0 q)x2-3x+2=0
r)4x2-12x+5=0 s)-x2+5x-6=0
t)2x2+5x+3=0 y)(x− 2)+3(x2−2)=0