Để ghép được hình vuông ta phải bớt que nào đó để đảm bảo tổng độ dài các que chia hết cho 4 và độ dài của cạnh phải là một số chẵn.. Để thoả mãn điều kiện trên ta phải bớt đi 1 que có đ[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ: BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN PHẦN: DẤU HIỆU CHIA HẾT (MỞ RỘNG) A MỤC ĐÍCH YÊU CẦU: - Cũng cố, hệ thống hoá số kiến thức dấu hiệu chia hết - Mở rộng thêm số bài tập cho học sinh dấu hiệu chia hết và liên quan với dấu hiệu chia hết B NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ: I Một số kiến thức cần ghi nhớ: TT Nội dung kiến thức Công thức Những số có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; thì hay các số chẵn thì Các số lẻ thì không chia hết cho ab b(0;2;4;6;8) Số tổng các chữ số 3 Các số có tổng các chữ số không thì , đồng thời tổng này chia cho dư bao nhiêu thì số đó chia cho dư nhiêu Những số có chữ số tận cùng tạo thành số thì Số thì Các số có chữ số tận cùng là thì ; các số có chữa số tận cùng không phải là thì ) Một số vừa vừa thì hay số chẵn mà thì 6 Số ? Lấy chữ số đầu tiên nhân với råi cộng thêm chữ số tiếp theo, bao nhiêu nhân với cộng thêm chữ số tiếp theo; làm chữ số cuối cùng Nếu kết cuối cùng này thì số đó Để nhanh gọn sau lần nhân với và công thêm chữ số tiếp theo, ta lấy kết trừ x = 14; x = 21; Kết cuối cùng thì số đó Lop1.net Ví dụ abc 3 ( a b c) 3 1764 vì (1+7+6+4) = 18 abcd cd 1236 vì 36 ab b(0;5) abc và b chẵn và ( a b c ) tức abc abcd 7 Lấy: ax3+b (a x + b) x + c {[(a x + b) x + c] x + d} 7 672 vì 672 và 672 Số 4683 có ? x = 12; 12 + = 18; 18 – x = 4; x = 12; 12 + = 20; 20 – x = 6; x = 18; 18 + = 21; 21 4683 (2) Những số có chữ số cuối tạo thành số 8 thì số đó 8 Số 8 thì Các số có tổng các chữ số 9 thì 9 Các số có tổng các chữ số thì , đồng thời tổng này chia cho dư bao nhiêu thì số đó chia cho dư nhiêu Số 9 thì Số và thì 10 Số có chữ số tận cùng thì 10 abcde 8 cde 8 abc ( a b c ) ; 978064 8 vì 64 8 abc 9 (a b c) 3 abc 1827 9 vì (1+8+2+7) = 18 9 và c tức abc 10 abcdef 11 VD: 173756 11 Vì: Tổng hàng chẵn: 7+7+6=20 Tổng hàng lẽ: 1+3+5=9 Do 20 – = 11; 11 11 173756 11 10 Một số 11 tính từ trái sang phải, tổng các chữ số hàng chẵn trừ tổng các chữ số hàng lẽ (hoặc ngược lại tổng các chữ số hàng lẻ trừ tổng các chữ số hàng chẵn) 11 11 12 13 Những số vừa vừa thì 12 và ngược lại Những số vừa vừa thì 15 và ngược lại Những số vừa vừa thì 18 và ngược lại abc 14 Những số 25 chữ số tận cùng tạo thành số 25 abcd 25 cd 25 Những số 30 số đó 2;3 và hay nói cách khác số đó 30 abc 30 abc 2;3 và nó có chữ số tận cùng và hay c = và abc 16 Một số a chia hết cho số x thì tích số a với số (hoặc với tổng, hiệu, tích, thương) nào đó chia hết cho số x a x A a x 17 Tổng số chia hết cho số thứ ba, hai số chia hết cho số thứ ba đó thì số còn lại chia hết cho số thứ ba đó ( a b) x; a x b x 18 Hai số cùng chia hết cho số thì tổng hay hiệu chúng chia hết cho số đó a x ; b x ( a b) x 19 Trong hai số, có số chia hết và số không chia hết cho số thứ ba đó thì tổng hay hiệu chúng không chia hết cho số thứ ba đó a x; b x a x; b x 25 ; 13 ( a b) x (25 + 13) 20 Hai số cùng chia cho số thứ ba và cho cùng số dư thì hiệu chúng chia hết cho số thứ ba đó a : x dư r; b : x dư r ( a b) x 14 dư 2; 22 dư (14 + 22) 21 Một số đồng thời chia hết cho hai số mà số đó là số nguyên tố cùng thì số đó chia hết cho tích hai số nguyên tố cùng đó a p; a q ( p, q ) 35 ; 35 mà và là số nguyên tố 35 (5 7) 15 (b + d + f) – (a + c + e) 11 hay (b + d + f) – (a + c + e) 11 và abc và abc và Lop1.net a ( p q) 12 abc 15 abc 18 abc (25 6) [(2+5) 6] … (24 + 12) ; 24 12 24 ; 12 (24 + 12) (3) II Bài tập vận dụng: Bài 1: Tìm tất các chữ số a và b để a39b 15 Giải: Số 15 nó 3 và 5 Do đó: Số a39b 15 a39b và (7+a+3+9+b) Khi b = ta có: a = 2; 5; Khi b = ta có: a = 0; 3; 6; Bài 2: Tìm số chia cho 2; 3; 4; 5; dư và chia cho thì vừa hết Biết số đó < 400 Giải: Cách 1: Số chia cho 2; 3; 4; 5; dư là bội số 2; 3; 4; 5; thêm Gọi số phải tìm là A (đk A < 400), ta có: A = 60 + không chia hết cho A = 60 + không chia hết cho … A =5 60 + chia hết cho Vì A < 400 nên số cần tìm là 301 Cách 2: Gọi số phải tìm là A (đk A < 400), ta có: A : dư A : dư A : dư Suy ra: A : 60 dư A : dư A : dư Để A và A < 400 thì A có thể các số sau đây: 60 + = 61 60 + = 121 60 + = 181 60 + = 241 60 + = 301 60 + = 361 Trong các số trên có số 301 là thoã mãn đề bài nên số cần tìm là 301 Bài 3: Một số chia cho dư 2; chia cho dư Hỏi chia cho 15 dư bao nhiêu? Giải: Số chia hết cho và thì chia hết cho 12 Gọi số đó là A ta có: (A + 1) 3 (A + 1) 5 Vậy: (A + 1) 15 Suy ra: A chia cho 15 dư 14 Bài 4: Tổng số bài toán sách là số có hai chữ số Nếu thêm ba bài toán thì chữ số hàng chục gấp rưỡi chữ số hàng đơn vị Nếu bớt bài toán thì số đồng thời chia hết cho 2; và Tìm số bài toán sách Giải: Gọi số trang sách là ab (đk: a 0; b < 10) Theo bài ta có: ab + thì chữ số hàng chục ( ab + 3) 3/2 chữ số hàng đơn vị ( ab + 3) ( ab - 3) 30 Nhận thấy số chia hết cho 30 có tận cùng 0, tức ( ab - 3) có tận cùng Suy b = (0 + 3) = Khi ( ab + 3) thì có chữ số tận cùng Suy chữ số hàng chục ( ab + 3) là (tức 3/2) Vậy: ( ab + 3) = 96 Suy ab = 93 Bài 5: Cho biểu thức (a - b) (a + b) = 2010 Hỏi có thể tồn các giá trị a, b để thoả mãn giá trị trên Lop1.net (4) Giải: Nhận thấy (a - b) (a + b) xảy hai trường hợp cùng chẵn, cùng lẻ (Vì: Nếu a, b cùng chẵn cùng lẻ thì (a - b) và (a + b) chẵn đó (a - b) (a + b) chẵn; a, b khác tính chẵn, lẽ thì (a - b) và (a + b) lẻ đó (a - b) (a + b) lẻ) - Trong trường hợp (a - b) (a + b) chẵn đó (a - b) và (a + b) chẵn thì (a - b) (a + b) Nhưng 2010 không chia hết cho - Trong trường hợp (a - b) (a + b) lẻ trái với kết 2010 là chẵn Như vậy, không tồn giá trị a, b nào để (a - b) (a + b) = 2010 *Bài 6: Có hòm cân nặng lần lượt: 22kg; 23 kg; 26kg; 28kg; 29kg và 31 kg Có hai người lấy hòm Người này lấy gấp lần người Hỏi hòm nào để lại? Giải: Tổng số hòm cân nặng là: 22 + 23 + 26 + 28 + 29 + 31 = 159 (kg) Khối lượng kg lấy người là số chia hết cho Để thoã mãn điều kiện trên thì hòm 29 kg là hòm để lại (159 – 29 = 130 và 130 ) Bài 7: Không thực phép tính, theo bạn kết phép tính trên đúng hay sai? HOCHOCHOC TAPTAPTAP 20092010 Giải: Nhận thấy: HOCHOCHOC Vì: H+O+C+H+O+C+H+O+C = 3 (H+O+C) TAPTAPTAP Vì: T+A+P+T+A+P+T+A+P = 3 (T+A+P) Suy ra: (HOCHOCHOC – TAPTAPTAP) Nhưng: 20092010 không chia hết cho Nên: Không thể tồn tại: HOCHOCHOC TAPTAPTAP 20092010 *Bài 8: Cứ ngày lần người đưa báo đến nhà Micky để đưa Tuần báo Cứ ngày người đưa sữa đem sữa đến nhà Micky lần Ngày 01/10 vừa hai người cùng đến nhà Micky Hỏi nào (ngày nào, tháng nào) hai người lại cùng đến nhà Micky? Giải: Vì ta thấy: = 42; = 42 nên tính từ ngày gặp vừa thì 42 ngày họ lại gặp Tháng 10 có 31 ngày nên ngày họ gặp tới là: 42 - (31-1) = 12 (ngày 12 tháng 11) Bài 9: Cho số: abc và cba Chứng tỏ hiệu chúng 9 và 11 Giải: abc - cba = 100 a + 10 b + c – (100 c + 10 b + a) = 99 a – 99 c = 99 (a – c) Vì: 99 9 và 99 11 nên 99 (a – c) hay ( abc - cba ) 9 và 11 Bài 10: Tháng năm có ngày chủ nhật Hỏi 3/6 là ngày thứ mấy? Giải: Ta có = 28 Tháng có 30 ngày Vậy để có ngày chủ nhật tháng thì ngày chủ nhật đầu tiên là ngày 01/6 ngày 02/6 Trường hợp 1: Nếu ngày 01/6 là chủ nhật thì ngày 03/6 là ngày thứ ba Trường hợp 2: Nếu ngày 02/6 là chủ nhật thì ngày 03/6 là ngày thứ hai Bài 11: Số chữ số dùng để đánh số trang sách là số chia hết cho số trang sách đó Biết sách đó trên 100 trang và ít 500 trang Hỏi sách đó có bao nhiêu trang? Giải: Gọi số trang sách là abc (đk: a 0; b; c <10) Ta có: Số chữ số số trang sách có chữ số là: [( - 1) : + 1] = (chữ số) Số chữ số số trang sách có chữ số là: [( 99 - 10) : + 1] = 180 (chữ số) Lop1.net (5) Số chữ số số trang sách có chữ số là: [( abc - 100) : + 1] = abc - 297 Theo bài ta có: (9 + 180 + abc - 297) abc (3 abc - 108) abc (3 abc - 108) abc 108 abc abc = 108 Thử lại: (9 + 180 + abc - 297) abc = (9 + 180 + 108 - 297) 108 = (3 108 – 108) 108 = 108 108 Vậy số trang sách sách làd: 108 trang Bài 12: Chứng minh không thể thay các chữ các chữ số để phép tính đúng: HOCVUI - VUIHOC = 2004 Giải: Ta có: HOCVUI = HOC 1000 + VUI VUIHOC = VUI 1000 + HOC 2004 = HOC 999 - VUI 999 = ( HOC - VUI ) 999 Để ( HOC - VUI ) 999 = 2004 thì HOC - VUI = có tận cùng Nhưng: 999 = 5994 > 2004 (trái với đk bài toán) Vậy: Không thể thay các chữ các chữ số để phép tính đúng Bài 13: Cha 43 tuổi Nếu tính sang năm thì tuổi cha vừa gấp lần tuổi a Hỏi lúc cha tuổi thì tuổi cha gấp lần tuổi con? b Có cha gấp lần tuổi không? Vì sao? Giải: a Tuổi cha sang năm là: 43 + = 44 (tuổi) Tuổi là: 44 : = 11 (tuổi) Gọi x (đk: x 0) là số năm để cha gấp lần tuổi con, ta có: (43 + x) = (11 + x) hoặc: (43 – x) = (11 – x) Nhưng vì tuổi 11 và tuổi cha 43, tuổi (11) > 1/ tuổi cha (43 : 5) nên có: (43 – x) = (11 – x) là thoã mãn 43 – x = 55 – x x = 55 – 43 x = 12 x = Vậy lúc con: 11 – = (tuổi) thì cha gấp lần tuổi b Ta thấy: Cha luôn con: 43 – 11 = 32 (tuổi) Để cha gấp lần tuổi thì hiệu tuổi cha và tuổi phải chia hết cho Nhưng 32 không chia hết cho Vậy không thể có lúc nào đó cha gấp lần tuổi Bài 14: Trên băng rôn Giao lưu Toán Tuổi thơ ta thấy xuất dòng chữ: GIAO-LUU-TOANTUOI- THO-2008 tô các màu xanh-đỏ-tím-vàng-lục-da cam Hỏi chữ thứ 2009 là tô màu gì? Giải: Ta thấy: Dòng chữ trên gồm có 22 chữ và số Lop1.net (6) Nếu gọi 22 chữ và số trên là chu kì, thì chữ (con số) thứ 2009 lặp lại: 2009 : 22 = 91 (chu kì) và dư (con chữ, số) Vì còn dư (con chữ, số) nên chữ thứ đó là chữ U chữ LUU Mà chữ LUU tô màu đỏ nên chữ thứ 2009 là chữ U và tô màu đỏ Bài 15: Có que, que dài cm; Có que, que dài cm; Có que, que dài cm; Có que, que dài cm Hỏi: a Có thể ghép thành hình vuông không? b Nếu không thì để ghép ta phải bớt que nào? Giải: a Tổng độ dài các que là: x + x + x + x = 60 (cm) Độ dài cạnh là: 60 : = 15 (cm) Nhưng ta thấy độ dài que chẵn nên độ dài cạnh hình vuông phải chẵn Như với số lượng và độ dài các que trên ta không thể ghép thành hình vuông b Để ghép hình vuông ta phải bớt que nào đó để đảm bảo tổng độ dài các que chia hết cho và độ dài cạnh phải là số chẵn Để thoả mãn điều kiện trên ta phải bớt que có độ dài cm Bài 16: Có 50 que có độ dài là: 1; 2; 3; ; 49; 50 Hỏi từ các que và độ dài các que trên, ta có thể: a Ghép thành hình vuông? b Ghép thành hình chữ nhật? c Ghép thành hình ngũ giác đều: Giải: Tổng độ dài các que là: + +3 + + 49 + 50 = (1 + 50) + (2 + 49) + + (25 + 26) = 51 25 = 1275 a Không thể xếp thành hình vuông vì: 1275 không chia hết cho b Không thể xếp thành hình chữ nhật vì: 1275 không chia hết cho c Nếu đem ghép thành hình ngũ giác thì cạnh có độ dài là: 1275 : = 255 (cm) Tách và ghép thành cặp độ dài: Cạnh 1: (1 + 50) + (2 + 49) + (3 + 48) + (4 + 47) + (5 + 46) Cạnh 2: (6 + 45) + (7 + 44) + (8 + 43) + (9 + 42) + (10 + 41) Cạnh 3: (11 + 40) + (12 + 39) + (13 + 38) + (14 + 37) + (15 + 36) Cạnh 4: (16 + 35) + (17 + 33) + (18 + 33) + (19 + 32) + (20 + 31) Cạnh 5: (21 + 30) + (22 + 29) + (23 + 28) + (24 + 27) + (25 + 26) Lop1.net (7)