Một số phản thí dụ trong giải tích và tôpô

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– PHOMMAVONG CHANTHAPHONE MỘT SỐ PHẢN THÍ DỤ TRONG GIẢI TÍCH VÀ TÔPÔ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2018 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– PHOMMAVONG CHANTHAPHONE MỘT SỐ PHẢN THÍ DỤ TRONG GIẢI TÍCH VÀ TƠPƠ Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Nhụy ĐÀ NẴNG - NĂM 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn trực tiếp PGS.TS Nguyễn Nhụy Trong q trình nghiên cứu, tơi kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Đà Nẵng, tháng 06 năm 2018 Tác giả Phommavong Chanthaphone LỜI CẢM ƠN Lời luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Nhụy Thầy giao đề tài tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình thực để tác giả hồn thành luận văn Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy cô giáo Khoa Tốn Phịng Sau đại học tận tình dạy bảo tác giả suốt thời gian học tập khóa học Lời cảm ơn xin gửi tới tất bạn lớp K32 Toán giải tích cộng tác tháng ngày học tập Đà Nẵng, tháng 06 năm 2018 Tác giả Phommavong Chanthaphone MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii MỞ ĐẦU CHƯƠNG Một số phản thí dụ Giải tích 1.1 Một số phản thí dụ dãy số chuỗi số 1.2 Một số phản thí dụ tính liên tục hàm số 11 1.3 Một số phản thí dụ tính khả vi hàm số 18 1.4 Một số phản thí dụ tính khả tích hàm số độ đo Lebesgue 23 CHƯƠNG Một số phản thí dụ Tôpô 28 2.1 Các phản thí dụ tơpơ tập hợp 28 2.2 Các phản thí dụ tiên đề tách 35 2.3 Các phản thí dụ ánh xạ liên tục 42 2.4 Các phản thí dụ tính liên tục hàm số 50 KẾT LUẬN 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ta biết mơn học giải tích đặc biệt Tơpơ đại cương có tính trừu tượng khái quát hóa cao Mỗi kết luận thu được dựa giả thiết định qua q trình suy luận lơgic nghiêm ngặt Một câu hỏi đặt liệu giả thiết đưa có phi mâu thuẫn khơng, ta mở rộng giả thiết đó, kết có cịn khơng? Có làm sai lệch kết khơng? Các giả thiết có điều kiện cần cho kết luận hay không? Từ kết luận ta đặt vấn đề ngược lại, dẫn đến điều gì? Cách đặt vấn đề mơn Giải tích Tơpơ làm nảy sinh phản thí dụ Hơn nữa, ta xây dựng phản thí dụ để lật ngược lại vấn đề phản thí dụ giúp hiểu biết sâu sắc điều đặt cho ta giới hạn giả thiết tốn Zazkis Chernoff (2008) cịn cho rằng: "Counterexamples may help learners read just their perceptions or beliefs about the nature of mathematical objects" (phản thí dụ giúp người học điều chỉnh lại nhận thức cảm quan chất đối tượng toán học) [6] Để minh họa cho lập luận trên, ta đưa vài dẫn chứng Trong giải tích, đoạn [0, 1] có lực lượng continum có độ đo Sau ta loại bỏ tập có độ đo 1, tập cịn lại có độ đo khơng Nhưng tập cịn lại cịn lực lượng continum hay khơng? Tức tập cịn lại đoạn [0, 1] có tương đương với đoạn [0, 1] hay không? Ta biết Định lý Lebesgue nói hàm số f khả tích (R) đoạn ∆ ⊂ R tập điểm liên tục f ∆ sai khác với ∆ tập có độ đo khơng Liệu kết luận có cho mối liên hệ "liên tục - khả vi" tập hay khơng? Weierstrass xây dựng thí dụ cho câu trả lời phủ định "triệt để": Tồn hàm liên tục tập, không khả vi điểm tập này! Tiếp đến Định lý Banach nói rằng, ánh xạ co từ khơng gian metric đủ (X, d) vào nó, tức ánh xạ f : X → X thỏa mãn điều kiện: tồn θ ∈ [0, 1) cho d (f (x) , f (y)) ≤ θd (x, y) ∀x, y ∈ X tồn điểm bất động, tức điểm x ∈ X mà f (x) = x Câu hỏi đặt là, ánh xạ "gần" với ánh xạ co ánh xạ không giãn f : X → X , tức ánh xạ d (f (x) , f (y)) < d (x, y) ∀x, y ∈ X từ không gian metric đủ X vào liệu kết luận có cịn khơng? Tức liệu tồn điểm bất động x ∈ X cho ánh xạ khơng dãn khơng? Chúng ta có phản thí dụ trả lời phủ định cho câu hỏi Lại nữa, từ Định lý Uryshon Tietze ta suy rằng, hàm liên tục f tập đóng M khơng gian metric X có thác triển (extention) liên tục tồn khơng gian X , tức tồn hàm liên tục f˜ : X → R cho f˜ |M = f Câu hỏi đặt là, kết luận Định lý Uryshon Tietze có cịn cho ánh xạ liên tục hay không, tức f : M → R hàm liên tục từ tập đóng M khơng gian metric X , liệu có tồn hàm liên tục f˜ : X → R cho f˜ |M = f hay không? Thật ta cịn đưa nhiều dẫn chứng khác Trong tơpơ cịn nhiều câu hỏi cần làm sáng tỏ Ta biết rằng, hợp số giao số hữu hạn tập mở mở, giao số hợp số hữu hạn tập đóng tập đóng Câu hỏi đặt ra, liệu giao số tập mở có cịn tập mở, hợp số tập đóng có cịn tập đóng? Câu trả lời phủ định Tiếp theo, giao hai tôpô tập X tôpô, liệu hợp hai tôpô tập X có tơpơ X hay khơng? Ta lại biết, T1 −không gian T0 −không gian, T0 −khơng gian có T1 −khơng gian hay khơng? Câu hỏi tương tự T1 − T2 −không gian, T2 − T3 −không gian, T3 − T4 −không gian, Lại nữa, ta biết tập không gian Euclid hữu hạn chiều compac đóng bị chặn, số không gian khác, chẳng hạn khơng gian ∞ (X), điều có cịn hay khơng? Ta tồn tập, đóng bị chặn khơng gian ∞ (X), không compac, v.v Còn nhiều dẫn chứng khác liên quan đến phản thí dụ chúng tơi tìm hiểu giới thiệu Giải tích Tơpơ Theo chúng tơi hiểu, phản thí dụ Tốn học ví dụ mang tính phản biện Rõ ràng rằng, phản thí dụ có tác dụng khắc sâu sắc kiến thức, bồi dưỡng tính tích cực, động chủ động, đồng thời phát huy tư độc lập, linh hoạt sáng tạo học Toán Việc lật lại vấn đề thơng qua phản thí dụ định lý kết luận xuất Tốn học khơng giúp ta khắc sâu kiến thức, mà nhiều sở để ta phát chân lý Với lý đó, lựa chọn đề tài nghiên cứu cho Luận văn là: "Một số phản thí dụ Giải tích Tơpơ " Mục đích nghiên cứu Tìm xây dựng số phản thí dụ Giải tích Tơpơ nhằm làm sâu sắc thêm làm sáng tỏ số vài kiến thức Giải tích Tơpơ Đối tượng phạm vi nghiên cứu Xuất phát từ quan điểm "hồi nghi tích cực", nghiên cứu toán liên quan đến kết biết Giải tích thực Tơpơ đại cương thơng qua phản thí dụ 47 F (y0 ) = d (y0 , f (y0 )) < d (x0 , f (x0 )) = F (x0 ) Điều có nghĩa x0 khơng phải điểm thuộc X cho F (x0 ) = inf F (x) Vô lý Vậy α = 0, tức x0 = f (x0 ) hay x0 điểm bất động hàm f Phản thí dụ 2.20 Hàm thực liên tục từ tập đóng khơng gian tơpơ chuẩn tắc, thác triển (khuếch) liên tục lên tồn khơng gian tơpơ Đặt vấn đề Từ Định lý Uryshon-Tietze ta suy hàm liên tục từ tập đóng khơng gian chuẩn tắc thác triển (khuếch) liên tục lên tồn khơng gian Câu hỏi: Liệu kết có cho hàm liên tục hay không, nghĩa hàm liên tục từ tập đóng khơng gian chuẩn tắc thác triển thành hàm liên tục lên tồn khơng gian khơng? Mệnh đề 2.20 Tồn hàm liên tục từ tập đóng khơng gian metric, thác triển (khuếch) liên tục lên tồn khơng gian Chứng minh Cho tập số tự nhiên N ⊆ R ánh xạ f : N → R cho f (n) = n2 với n ∈ N Rõ ràng N tập đóng khơng gian số thực R với tơpơ thông thường, rõ ràng hàm thực f : N → R cho f (n) = n2 liên tục Ta không tồn hàm thực liên tục f˜ : R → R cho f˜ = f N Thật vậy, có hàm liên tục f˜ : R → R cho f˜ = f , với N ε = cho trước, tồn δ > cho với x, x ∈ R mà |x − x | < δ f˜ (x) − f˜ (x ) < Ta chọn n0 ∈ N cho n10 < δ Ta chia đoạn 48 [n0 , n0 + 1] làm n0 đoạn nhau, đoạn có độ dài điểm chia x0 = n0 , x1 = n0 + n0 , , x n0 n0 = n0 + Khi f˜ (x0 ) − f˜ (xn0 ) = (n0 + 1)2 − n20 = 2n0 + Mặt khác n0 f˜ (x0 ) − f˜ (xn0 ) ≤ f˜ (xi ) − f˜ (xi+1 ) i=0 < + + + = n0 n0 Suy 2n0 + < n0 Vô lý Vậy hàm thực liên tục f : N → R khơng có thác triển liên tục f˜ : R → R Phản thí dụ 2.21 Song ánh liên tục không đồng phôi Đặt vấn đề Cho f : X → Y ánh xạ từ không gian metric (X, ρ) vào không gian metric (Y, d) Ánh xạ f gọi liên tục điểm x0 ∈ X với ε > 0, tồn δ > cho với x ∈ X mà ρ (x, x0 ) < δ d (f (x) , f (x0 )) < ε Nếu f liên tục điểm X , ta nói f liên tục X Ta biết f : X → Y song ánh tồn ánh xạ ngược f −1 : Y → X Nếu song ánh f liên tục f −1 liên tục ta nói f ánh xạ đồng phôi Nếu f song ánh f liên tục, ta nghĩ điều kéo theo f −1 liên tục hay f ánh xạ đồng phôi Câu hỏi: Liệu song ánh liên tục có ln đồng phơi hay khơng? Mệnh đề 2.21 Tồn song ánh liên tục không đồng phôi 49 Chứng minh Gọi X không gian hàm liên tục [0, 1] với metric supρ cho ρ (x, y) = sup |x (t) − y (t)|, 0≤t≤1 cịn Y khơng gian hàm liên tục [0, 1] với metric tích phân d cho d (x, y) = ∫ |x (t) − y (t)| dt Ta biết ρ d metric C [0, 1] Xét ánh xạ đồng I : X → Y cho I (x) = x, ∀x ∈ X Rõ ràng I : C [0, 1] → C [0, 1] song ánh Hơn I liên tục Thật vậy, giả sử x0 ∈ C [0, 1] ε > cho trước Ta chọn δ = ε Khi với x ∈ C [0, 1] ρ (x, x0 ) = sup |x (t) − x0 (t)| < ε 0≤t≤1 d (I (x) , I (x0 )) = d (x, x0 ) = ∫ |x (t) − x0 (t)| dt ≤ ∫ εdt = ε Vậy I ánh xạ liên tục Tiếp theo ta ánh xạ I −1 không liên tục cách I −1 không liên tục Thật vậy, I −1 liên tục với dãy {xn }∞ n=1 ⊂ Y, xn → ∞ theo metric d xn → theo metric ρ Xét dãy {xn }n=1 ⊂ C [0, 1] với xn (t) = tn , ∀t ∈ [0, 1] Ta thấy dãy {xn }∞ n=1 hội tụ Y 50 1 ∫ |xn (t) − 0| dt = ∫ tn dt = 0 tn+1 n+1 = n+1 → n → ∞ Tuy nhiên dãy {xn }∞ n=1 không hội tụ X d (x, 0) = sup |xn (t) − 0| = sup tn = = 0≤t≤1 0≤t≤1 Vậy ánh xạ I −1 không liên tục Tóm lại I song ánh liên tục không ánh xạ đồng phôi 2.4 Các phản thí dụ tính liên tục hàm số Cho X ⊂ R tập đường thắng thuộc R Hàm số f : X → R từ X vào R gọi liên tục X ∀ε > 0, ∃δ > cho ∀x, x ∈ X , |x − x | < δ |f (x) − f (x )| < ε Phản thí dụ 2.22 Hàm số liên tục tập hợp không liên tục tập Đặt vấn đề Ta biết hàm liên tục tập ln liên tục tập Câu hỏi: Ngược lại, hàm liên tục tập có liên tục tập khơng? Mệnh đề 2.22 Tồn hàm liên tục tập không liên tục tập Chứng minh Xét hàm f : R → R cho f (x) = x2 với x ∈ R Đây hàm đa thức nên liên tục R Tuy nhiên hàm f không liên tục R Thật vậy, f liên tục R với ε = cho trước, tồn δ > cho x, x ∈ R, |x − x | < δ |f (x) − f (x )| < 51 Chọn số n0 ∈ N cho n0 + điểm chia x0 = n0 , x1 = n0 + n0 < δ Ta chia đoạn [n0 , n0 + 1] n0 đoạn n0 , , xi = n0 + i n0 , , xn0 = n0 + Khi đó, mặt ta có |f (x0 ) − f (xn0 )| = n20 − (n0 + 1)2 = 2n0 + Mặt khác theo bất đắng thức tam giác ta có |f (x0 ) − f (xn0 )| ≤ |f (x0 ) − f (x1 )| + |f (x1 ) − f (x2 )| + n0 −1 + |f (xn0 −1 ) − f (xn0 )| = |f (xi ) − f (xi+1 )| i=0 ≤ + + + = n0 n0 Điều vơ lý 2n0 + > n0 Vậy f không liên tục R Phản thí dụ 2.23 Tích hai hàm liên tục không hàm liên tục Đặt vấn đề Ta định nghĩa tích hai hàm f g cho (f g) (x) = f (x) g (x) Ta biết tích hai hàm liên tục hàm liên tục Câu hỏi: Liệu tích hai hàm liên tục có hàm liên tục hay không? Mệnh đề 2.23 Tồn hai hàm liên tục tích chúng lại hàm không liên tục Chứng minh Xét hai hàm f, g : R → R cho f (x) = g (x) = x, x ∈ R Khi (f g) (x) = f (x) g (x) = x2 với x ∈ R Theo phản thí dụ 2.22 hàm f g không liên tục dều 52 KẾT LUẬN Sau thời gian làm việc nghiêm túc, hướng dẫn tận tình PGS.TS Nguyễn Nhụy, luận văn đạt kết sau Trong Giải tích luận văn trình bày số phản thí dụ dãy số chuỗi số gồm có phản thí dụ, tính liên tục hàm số gồm có phản thí dụ, tính khả vi hàm số gồm có phản thí dụ, tính khả tích hàm số gồm có phản thí dụ, độ đo Lebesgue gồm có phản thí dụ Trong Tơpơ luận văn trình bày phản thí dụ tơpơ tập hợp gồm có phản thí dụ, phản thí dụ tiên đề tách gồm có phản thí dụ, phản thí dụ ánh xạ liên tục gồm có phản thí dụ, phản thí dụ tính liên tục hàm số gồm có phản thí dụ Nhiều phản thí dụ tài liệu mới, đặc biệt phản thí dụ 2.20 chưa thấy sách Tơpơ giới thiệu Luận văn tài liệu tham khảo tiếng Việt cho người học Giải tích Tơpơ Mặc dù tác giả cố gắng, song khả kiến thức hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp Thầy, Cơ giáo bạn 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Nhụy, Lê Xuân Sơn, Bài tập Tơpơ đại cương, NXB Giáo dục thành phố Hồ Chí Minh, 2007 [2] Hồng Tụy, Hàm thực Giải tích hàm, NXB ĐHQG Hà Nội, 2003 Tiếng Anh [3] B G John and M H Olmsted, Theorems and Counterexamples in Mathematics, Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, London, Paris, Tokyo, Hongkong, Bacelona, Budapest, 1990 [4] J L Kelley, General Topology, Spring-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, 1976 [5] R Engelking, General Topology, Warszawa, 1977 [6] R Zazkis and E Z Chernoff, What makes a counterexample examplary, Educational Studies in Mathematics, 195-208, 2008 ... chương phản ánh nội dung phần mở đầu Chương 1: Một số phản thí dụ Giải tích Chương 2: Một số phản thí dụ Tơpơ Mở đầu Chương Một số phản thí dụ giải tích 1.1 Một số phản thí dụ dãy số chuỗi số 1.2 Một. .. CHƯƠNG Một số phản thí dụ Giải tích 1.1 Một số phản thí dụ dãy số chuỗi số 1.2 Một số phản thí dụ tính liên tục hàm số 11 1.3 Một số phản thí dụ tính khả vi hàm số. .. Một số phản thí dụ tính liên tục hàm số 1.3 Một số phản thí dụ tính khả vi hàm số 1.4 Một số phản thí dụ tính khả tích hàm số độ đo Lebesgue Chương Một số phản thí dụ tơpơ 2.1 Các phản thí dụ