BÀI TẬP XSTK (1)

CHƯƠNG I: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Câu 1: Một người có thu nhập trung bình hàng tháng 10 triệu đồng xem có thu nhập tốt Từ số liệu thống kê cho thấy vùng A có 30% người có thu nhập tốt Trong số người có thu nhập tốt vùng A có 80% thích gửi tiết kiệm Trong số người có thu nhập khơng tốt vùng A có 30% người thích gửi tiết kiệm Tính tỉ lệ người vùng A có thu nhập tốt thích gửi tiết kiệm? Giả sử người vùng A khơng thích gửi tiết kiệm, tính xác suất để người có thu nhập tốt? Giải A:= “ người vùng A thích gửi tiết kiệm” H1:= “ người vùng A có thu nhập tốt” H2:= “ người vùng A có thu nhập không tốt” P(H1)= 0.3; P(H2)= 0.7; P(A/H1)= 0.8; P(A/H2)= 0.3 H1.H2 H1vH2=  { H1; H2} nhóm đầy đủ biến cố P(H1.A)= P(H1).P(A/H1)= 0.3*0.8= 0.24= 24% Vậy… P(A)= P(H1).P(A/H1)+P(H2).P(A/H2)= 0.3*0.8+ 0.7*0.3=0.45 P(H1/)= [P(H1).P(1-0.45= 0.1091 Vậy… Câu Một thùng hàng gồm loại sản phẩm I, II, III với tỉ lệ tương ứng 30%, 40%, 30% Tỉ lệ phế phẩm loại sản phẩm I, II, III tương ứng 10%, 5% 15% Tính tỉ lệ phẩm thùng hàng Tính xác suất phế phẩm loai II, biết lấy phế phẩm thùng hàng Giải A := “ Phế phẩm thùng hàng” Hi := “ sản phẩm loại i” (i=1,2,3) P(H1) = 0.3; P(H2) = 0.4; P(H3) = 0.3 a) ADCT Xác suất đầy đủ: P(A)= P(H1)*P(A/H1)+P(H2)*P(A/H2)+P(H3)*P(A/H3) = 0.3*0.1+0.4*0.05+0.3*0.15=0.095 P( Câu Một công ty bảo hiểm chia dân cư ( đối tượng bảo hiểm) làm loại: rủi ro; rủi ro trung bình; rủi ro cao Việc thống kê cho thấy tỷ lệ dân cư gặp rủi ro năm tương ứng với loại 5%; 15%;30% tồn dân cư có 20% rủi ro; 50% rủi ro trung bình; 30% rủi ro cao a) Tính tỷ lệ dân gặp rủi ro năm b) Nếu người không gặp rủi ro năm , xác suất người thuộc loại rủi ro bao nhiêu? Gọi: H1 = “ người dân vùng thuộc loại “ít rủi rỏ” H2 = “1 người dân vùng thuộc loại “rủi rot rung bình” H3 = “1 người dân vùng thuộc loại “rủi ro cao” H1,H3,H3 tạo thành hệ đầy đủ A = “1 người dân vùng gặp rủi ro năm “ => P(A/H1) = 0,05; P(A/H2) = 0,15; P(A/H3) = 0,3 P(H1) = 0,2; P(H2) = 0,5; P(H3) = 0,3 Theo công thức xác suất đầy đủ P(A)= P(H1).P(A/H1)+P(H2).P(A/H2)+P(H3).P(A/H3)= 0,2.0,05+0,5.0,15+0,3.0,3=0,175 Vậy tỷ lệ dân gặp rủi ro năm 17,5% Nếu người khơng gặp rủi ro năm, xác suất người thuộc loại rủi ro là: P()= Câu Tí lệ phế phẩm sản phẩm A 30% Để đảm bảo chất lượng người ta cho kiểm tra sản phẩm A trước đưa thị trường THiết bị kiểm tra tự động có độ xác 90% với phẩm, cịn phế phẩm 95% Sản phẩm đưa thị trường thiết bị kiểm tra tự động kết luận phẩm A) Tinh xác suất để sản phẩm A thị trường B) Với sản phẩm đưa thị trường khả sản phẩm phế phẩm bao nhiêu? A:= “ sản phẩm đưa thị trường” H1:=” lấy phẩm” H2:= “ lấy phế phẩm” P(H1)= 0.7; P(H2)= 0.3; P(A/H1)= 0.9; P(A/H2)=1-0.95= 0.05 ADCT xs đầy đủ: P(A)=P(H1).P(A/H1)+P(H2).P(A/H2) P(H2/A)= P(H2).P(A/H2)/P(A) A := “ Sản phẩm đưa thị trường phẩm” H1:= “ lấy phẩm” H2 := “ lấy phế phẩm” P(H1)= 0.7; P(H2) = 0.3 nhóm đầy đủ biến cố a) ADCT xác suất đầy đủ: P(A) = P(H1)*P(A/H1)+P(H2)*P(A/H2) = 0.7*0.9 + 0.3*(1-0.95) = 0.645 b) P(H2/A) = Câu 5: Ở nhà máy giầy, tỉ lệ đôi giày sản xuất ca sáng, chiều, tối 4%; 5%; 6% Lấy ngẫu nhiên đôi để kiểm tra chất lượng a) Tính xác suất để đơi phế phẩm b) Khi đơi phế phẩm, có người nhận định thuộc ca tối với khả cao Nhận định có khơng? A:= “ đơi giày kiểm tra phế phẩm” H1:= “ đôi giày sản xuất ca sáng” H2:= “ đôi giày sản xuất ca chiều” H3:= “ đôi giày sản xuất ca tối” P(H1)= 0.55; P(H2)= 0.4; P(H3)= 0.05 ) = P(H1).P(A/H1)+P(H2).P(A/H2)+P(H3)*P(A/H3) Vì P(H1/A) > P(H2/A) > P(H3/A)  Nhận định sai Câu 6: Một nhà phân phối hang A nghiên cứu sở thích khách hàng Từ số liệu thống kê họ kết luận 70% khách hàng thích iPhone Khi khách hàng thích iPhone khả ngườu thích iPad 80% Khi khách hàng khơng thích iPhone khả người thích iPad 0,4 a) Tính tỉ lệ khách hàng thích đồng thời iPhone iPad b) Giả sử khách hàng khơng thích iPad,tính xác suất để người thích iPhone A:= “ Khách hàng thích iPad” H1:= “ Khách hàng thích iPhone” H2:= “ khách hàng khơng thích iphone” P(H1) = 0.7; P(H2)= 0.3 a) P(H1.A)= P(H1).P(A/H1)= 0.7*0.8= 0.56 b) P(A) = P(H1)*P(A/H1) + P(H2).P(A/H2) = 0.7*0.8+0.3*0.4= 0.68 P(H1/)= = Câu 7: Tí lệ phế phẩm sản phẩm A 30% Để đảm bảo chất luowngj người ta cho kiểm tra sản phẩm A trước đưa thị trường THiết bị kiểm tra tự động có độ xác 90% với phẩm, cịn phế phẩm 95% Sản phẩm đưa thị trường thiết bị kiểm tra tự động kết luận phẩm a.Tinh xác suất để sản phẩm A thị trường b Với sản phẩm đưa thị trường khả sản phẩm phế phẩm bao nhiêu? A := “ Sản phẩm đưa thị trường phẩm” H1:= “ lấy phẩm” H2 := “ lấy phế phẩm” P(H1)= 0.7; P(H2) = 0.3 nhóm đầy đủ biến cố c) ADCT xác suất đầy đủ: P(A) = P(H1)*P(A/H1)+P(H2)*P(A/H2) = 0.7*0.9 + 0.3*(1-0.95) = 0.645 d) P(H2/A) = Câu 8:Một hộp có cầu đỏ, cầu xanh giống hệt hình dáng kích thước Lấy lúc từ hộp cầu Tính xác suất: - Cả cầu lấy màu đỏ - Lấy cầu đỏ cầu xanh GIẢI A:= “ Lấy cầu đỏ” P(A)= 8C3/11C3= 0.339 B:= “ Lấy đỏ;và xanh” P(B)= 8C2*3C1/11C3=0.509 Câu 9:Một người ATM rút tiền quên chữ số cuối mã PIN Tính xác suất người rút tiền sau lần nhập mã PIN A:= “ người rút tiền” P(A)= 1/10A2=1/90=0.0101 Câu 10: Một hộp đựng 10 cầu trắng cầu đen giống hệt hình dáng kích thước Lấy từ hộp cầu Tính xác suất cầu lấy lần màu trắng với điều kiện: - Quả cầu lấy lần đầu màu trắng - Quả cầu lấy lần đầu màu đen a) A:= “ cầu lấy lần thứ màu trắng” B:= “ cầu lấy lần màu trắng” P(B/A)=P(AB)/P(A)=(1/9)/(10/15)=0.1616 b) C:= “ cầu lấy lần thứ màu đen”) P(B/C)= P(BC)/P(C)= (1/10)/(5/15)= 0.3 Câu 11:Có người, người sản xuất sản phẩm, việc sản xuất độc lập Xác suất để người thứ nhất, thứ 2, thứ sản xuất sản phẩm tốt tương ứng 0,85; 0,75 0,9 Tính xác suất để: a) Cả người sản xuất sản phẩm tốt b) Chỉ có người thứ sản xuất sản phẩm xấu Ai:= “ Người thứ i tạo sản phẩm tốt”(i=1;2;3) P(A1+A2+A3)= 1-P()= 1- 0.15*0.25*0.1=0.99625 P(A1A3)= 0.85*0.25*0.9=0.3825 Câu 12: Một người mua hàng lần Khả lần đầu mua hàng tốt 0,8 Nếu lần trước mua hàng tốt khả lần mua hàng tốt 0,9; lần trước mua phải hàng xấu khả lần mua hàng tốt 0,6 Tính khả năng: a) Cả lần người mua hàng tốt b) Chỉ có lần thứ người mua phải hàng xấu Ai:= “ lần mua hàng thứ i sản phẩm tốt”(i=1;2;3) P(A1.A2.A3)= P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1A2)= 0.8*0.9*0.9=0.648 P(A1 A3)= P(A1).P(/A1).P(A3/A1)= 0.8*0.1*0.6= 0.048 Câu 13:Một người quên chữ số cuối số điện thoại cần gọi nên chọn ngẫu nhiên chữ số để bấm Tính xác suất để đến lần chọn thứ người chọn số A:= “ Lần thứ i người chọn số đúng”(i=1;2;3) P(A1A2A3)= P().P(/).P(A3/)= 9/10*8/9*1/10=0.08 Câu 14:Một công ty tuyển nhân viên vào làm cách tổ chức vòng thi Vòng chọn 80% thí sinh Vịng chọn 65% thí sinh đỗ vịng Vịng chọn 70% thí sinh đỗ vòng Giả sử khả thí sinh a) Tính xác suất để thí sinh dự thi nhận vào cơng ty b) Biết thí sinh bị loại Hỏi khả thí sinh bị loại vịng bao nhiêu? a) Ai:= “ Thí sinh vượt qua vịng thứ i” ( i=1;2;3) P(A1.A2.A3)= P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1A2)= 0.8*0.65*0.7=0.364 b) Thí sinh bị loại P(H)= 1- P(A1A2A3)= 1-0.364=0.636 P(A1 Câu 15: Một máy gồm phận hoạt động độc lập Xác suất phận thứ nhất, thứ 2, thứ bị hỏng 0,12; 0,15 0,17 Tính xác suất: a) Có phận bị hỏng b) Có phận không bị hỏng Ai:= “ Bộ phận thứ i bị hỏng” ( i=1;2;3) P(A1+A2+A3)= 1- P()= 1-0.88*0.85*0.83=0.3792 b) P( Câu 16: Có người, người bắn viên đạn Xác suất người thứ nhất, thứ 2, thứ bắn trúng bia 0,7; 0,8 0,9 a) Tính xác suất có người bắn trúng bia b) Nếu có người bắn trúng bia, hỏi khả người thứ bao nhiêu? Ai:= “ Người thứ i bắn trúng bia” (i=1;2;3) a) B:= “ Có người bắn trúng bia” P(B)=P(= 0.7*0.2*0.1+0.8*0.3*0.1+0.9*0.3*0.2=0.092 b) P( Câu 17:Một máy gồm phận hoạt động độc lập Xác suất phận bị hỏng 0,1; phận bị hỏng 0,2 Chỉ cần phận hỏng máy không hoạt động Người ta quan sát thấy máy không hoạt động Hỏi khả phận bị hỏng bao nhiêu? Hi:= “ Bộ phận thứ i bị hỏng” P(H1)= 0,1; P(H2)=0.2 A:= “ Máy không hoạt động được” P(A)= P()=0.1*0.8+0.9*0.2+0.1*0.2=0.28 P(H1/A)= P( Câu 18: Có hộp sản phẩm Hộp có: sản phẩm loại 1, sản phẩm loại sản phẩm loại Hộp có: sản phẩm loại 1, sản phẩm loại sản phẩm loại Từ hộp lấy sản phẩm Tính xác suất: a) Hai sản phẩm lấy loại b) Hai sản phẩm lấy khác loại c) Lấy sản phẩm loại d) Nếu lấy sản phẩm loại 1, hỏi khả sản phẩm sản phẩm hộp bao nhiêu? Hi:= “ Sp lấy thuộc loại i” a) A:= “ sp lấy loại” P(A)=5/15*3/10+6/15*3/10+4/ Câu 19:Một sinh viên thi môn với xác suất đỗ môn thứ 0,7; đỗ môn thứ hai 0,8; đỗ môn 0,6 Tính xác suất sinh viên đó: a) Chỉ đỗ môn b) Không đỗ môn Ai:= “ Sinh viên đỗ môn thứ i” (i=1,2) P(A1 P()= 1-P(A1+A2)= 1- (0.7+0.8-0.6)=0.1 Câu 20:Một kho hàng chứa sản phẩm nhà máy 1, 2, với tỷ lệ sản phẩm tương ứng 30%, 38% 32% Biết tỷ lệ phế phẩm nhà máy 1, 2, 2%; 1% 3% Lấy sản phẩm từ kho hàng để kiểm tra a) Tính xác suất sản phẩm lấy phế phẩm Ý nghĩa số này? b) Nếu sản phẩm lấy phế phẩm Hỏi khả nhà máy sản xuất lớn nhất? a) A:= “ Sảm phẩm lấy phế phẩm” Hi:= “ Sản phẩm nhà máy thứ i” (i=1;2;3) P(H1)= 0.3; P(H2)=0.38; P(H3)= 0.32 P(A/H1)=0.02; P(A/h2)= 0.01; P(A/H3)= 0.03 P(A)= P(H1).P(A/H1)+P(H2).P(A/H2)+P(H3).P(A/H3) = 0.3*0.02+0.38*0.01+0.32*0.03=0.0194 b) P(H1/A)= P(H1).P(A/H1)/P(A)=0.3093 P(H2/A)= P(H2).P(A/H2)/P(A)=0.1959 P(H3/A)=P(H3).P(A/H3)/P(A)=0.4948 Vậy sp lấy phế phẩm nhà máy lớn Câu 21:Tỷ lệ người có thu nhập cao vùng A 25% Trong số người có thu nhập cao, tỷ lệ người có tiền gửi tiết kiệm 80%, cịn số người khơng có thu nhập cao, tỷ lệ 19% a) Tính tỷ lệ người có tiền gửi tiết kiệm vùng A b) Hỏi số người khơng có tiền gửi tiết kiệm vùng A, số người thu nhập cao chiếm %? A:= “ Người có tiền gửi tiết kiệm” H1:= “ Người có thu nhập cao” H2:= “ Người khơng có thu nhập cao” P(H1)=0.25; P(H2)= 0.75 P(A/H1)=0.8; P(A/H2)= 0.19 P(A)= P(H1).P(A/H1)+P(H2).P(A/H2)=0.3425 P(H1/)= P(H1).P(/H1)/P()=0.076 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN Câu 1:Thu nhập dân cư vùng biến ngẫu nhiên liên tục X( triệu đồng) có hàm phân phối xác suất sau: F(x)= Tìm mức thu nhập cho sau lấy ngẫu nhiên người vùng thu nhập người vượt mức với xác suất 0.5 Gọi m mức thu nhập cần tìm (triệu đồng) ( Vậy mức thu nhập cần tìm 2.8284 triệu đồng Câu Tuổi thọ X loại sản phẩm (đơn vị: năm) biến ngẫu nhiên liên tục, có hàm phân phối xác suất sau: x nên đầu tư vào phần mềm BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC CHIỀU Ví dụ: Điều tra thu nhập cặp vợ chồng độ tuổi 40 thành phố Hà Nội ta thu bảng phân phối xác suất sau: X 10 11 12 XY Y B 0.1 0.05 0.15 14 0.15 A 0.1 15 0.05 0.1 0.2 a) Tìm A, B biết E(Y)= 14.05 b) Tìm thu nhập trung bình bà vợ có ơng chồng thu nhập 15 triệu c) X Y có tương quan với khơng? Bài làm a) Ta có: P(X=10)= 0.3 P(X=11)= 0.15+A P(X=12)= 0.45 Mà Ta có: P(Y=B)= 0.3 P(Y=14)= 0.35 P(Y=15)= 0.35 Mà E(Y)= 14.05  0.3B+14*0.35+15*0.35= 14.05 => B= 13 b) Ta có:E(X/Y=15) P(X=10/Y=15)==0.1429 P(X=11/Y=15)==0.2857 P(X=12/Y=15)==0.5714  E(X/Y=15)= 10*0.1429+11*0.2857+12*0.5714=11.429(trđ) c) Để X, Y tương quan với khi: COV(X,Y) CoV(X,Y)= = 10*13*0.1+10*14*0.15+10*15*0.05+11*13*0.05+11*14*0.1+11*15*0.1+12*13*0.15 +12*14*0.1+12*15*0.2=156.75 CoV(X,Y)== 156.75-160.8725=-4.1225 Vậy X,Y có tương quan với CHƯƠNG 3: QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Câu 1: Một ngân hàng có chi nhánh Mỗi chi nhánh có 10 máy đếm tiền hoạt động độc lập với Xác suất ngày máy đếm tiền hỏng 0,1 a Tìm quy luật phân phối xác suất số máy đếm tiền hỏng ngày chi nhánh b Trung bình ngày ngân hàng có máy đếm tiền bị hỏng GIẢI a) n=10;p=0.1 X:= số máy đếm tiền hỏng ngày chi nhánh X b) trung bình ngày số máy đếm tiền bị hỏng chi nhánh: E(X)= n.p=10*0.1=  3E(X)= 3*1=3 Vậy trung bình ngày NH có máy đếm tiền bị hỏng Câu 2: Thời gian hoạt động tốt máy tính loại A biến ngẫu nhiên có phân phối xấp xỉ chuẩn với thời gian hoạt động trung bình 4300 độ lệch tiêu chuẩn 250 Giả sử ngày máy hoạt động 10 a) Tính tỉ lệ máy tính loại A phải bảo hành, quy định thời gian bảo hành 360 ngày b) Phải nâng cao chất lượng máy tính loại cách làm cho thời gian hoạt động tốt trung bình sản phẩm để tỷ lệ sản phẩm phải bảo hành độ lệch chuẩn trên, xong nâng cao thời gian bảo hành 720 ngày Giải: X:= thời gian hoạt động tốt máy tính loại A (đơn vị: giờ) GIẢI X a) ngày máy hoạt động 10 ; thời gian quy định bảo hành 360 ngày=> 360 ngày 3600 giờ( số ngày * số hoạt động ngày) P(= 0.256% Vậy tỷ lệ máy tính loại A phải bảo hành 0.256% b) gọi thời gian bảo hành trung bình a( giờ) thời gian bảo hành 720*10= 7200(giờ) P(X0.00256  =  =-2.8  Câu 3: Mức thu hồi nợ cán ngân hàng H biến ngẫu nhiên có phân phối xấp xỉ chuẩn với trug bình 10 tỷ đồng Biết khả thu hồ vốn 16 tỷ đồng 0.022822 a)Tính xác suất để cán tín dụng ngân hàng thu hồi 10 tỷ đồng b) Biết ngân hàng H thưởng cho cán thu hồi nợ mức 10 tỷ đồng 10 triệu, từ 10-20 tỷ đồng 15 triệu, 20 tỷ đồng 20 triệu Tìm mức thưởng trung bình cán ngân hàng thu hồi nợ? Biết GIẢI X:= mức thu hồi nợ ngân hàng H( đơn vị: tỷ đồng) X P(X>16)= 0.5a) P(X>10)= 0.5-)= 0.5 b) Y: số tiền thưởng nhân viên thu hồi nợ( đơn vị: triệu đồng) P(Y=10)=P(X20)=0.5-= 0.0004 E(Y)= = 10*0.5+15*0.4996+20*0.0004=12.502(triệu đồng) Vậy…… Câu 4: Doanh thu hàng tháng cửa hàng biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với doanh thu trung bình triệu đồng độ lệch chuẩn 1,2 triệu đồng Tính xác suất cửa hàng đạt doanh thu 10,4 triệu đồng/tháng GIẢI X:= Doanh thu hàng tháng cửa hàng (triệu đồng) Vậy xác suất để cửa hàng có doanh thu 10,4 triệu đồng/tháng 0,0228 Câu 5: Trong phường có 10 ATM hoạt động độc lập Xác suất để khơng cho giao dịch 0,08 Tìm số khơng cho giao dịch có khả phường GIẢI X:= Số không cho giao dịch X Số không cho giao dịch có khả cao là: Mod(X) = [(n+1).p] = [0,88] = Vậy có khơng giao dịch có khả cao phường Câu 6: Doanh thu hàng tháng cửa hàng biến ngẫu nhiên với phân phối chuẩn Với doanh thu trung bình triệu độ lệch chuẩn 1,2 triệu Muốn xác suất đạt doanh thu tối thiểu triệu 90% cần phấn đấu đạt doanh thu trung bình bao nhiêu? GIẢI X: = doanh thu hàng tháng cửa hàng (đơn vị: triệu) X~N(8, P{X1Vậy để đạt doanh thu tối thiểu triệu 90% cần phấn đấu đạt doanh thu trung bình 10.54 triệu Câu 7: Giả sử giai đoạn tỉ giá USD với VND ngày biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối ( xấp xỉ ) chuẩn với trung bình 15.000 đồng với độ lệch chuẩn 500 đồng Tìm xác suất để tuần giai đoạn có ngày tỉ giá nằm khoảng từ 14.500 đồng đến 16.500 đồng? GIẢI X: = Tỉ giá USD với VNĐ ngày X~N(15000;5002) P{14500