Bài tập XSTK, ĐẠI SỐ, GIẢI TÍCH, GIẢI TÍCH 1

Bài 3.. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận được cho dưới đây. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận được cho dưới đây. b) Ma trận A có đồng dạng với ma trận ch[r]

(1)

Bộ môn Đại số Xác suất Thống kê

9-2018

Chú ý sinh viên

1 Các tập tập hợp tài liệu sử dụng chung tập học phần ĐSTT cho lớp hệ tín hệ tín

2 Yêu cầu việc chuẩn bị tập cho tuần giảng viên thông báo trực tiếp cho sinh viên

3 Để thực tốt tập đề nghị sinh viên cần phải ghi nhớ chắn nội dung lý thuyết giảng dạy lớp, tham khảo vận dụng tốt phương án xử lý ví dụ mẫu sách giáo khoa

PHẦN I: ĐỀ BÀI 1 Ma trận định thức

Bài 1.1 Cho ma trận A = −1 −2

!

.

a) Tính A567.

b) Tính det(A576+ 2A567+ 3A675). Bài 1.2 Cho ma trận A =

−1 −1

!

.

a) Tính A2018.

b) Tính det(2A2017− 3A2018+ 4A2019).

Bài 1.3 Cho ma trận A =

  

1 −4 −4 −4

  

Tính A200+ A.

Bài 1.4 Cho ma trận vuông cấp ba

A =

  

−10 11 −22

3 −2

6 −6 13

  .

a) Tính A2, A2018 và A2019.

b) Cho n số nguyên dương Hãy tính theo n định thức ma trận B với B = A2018+ 3An.

A =

  

1 a

0 b

0 −1

  .

a) Tính A2, A2018 và A2019.

b) Cho m, n hai số nguyên dương Hãy tính theo

m, n định thức ma trận B với B = 5Am+ 7An.

Bài 1.6 Giải phương trình:

3 3 x x

x 3 3 x

x x 3

x x x 3

= 0.

Bài 1.7 Giải phương trình:

x x 1

1 1 x x

x 2 1 x

x x 1

= 0.

Bài 1.8 Tính giá trị định thức

D =

x x 1

1 x x 1

1 1 x x

x 1 1 x

.

A =

  

1 −2

2

5

  .

a) Tính det(A4+ 3A3).

b) Tính hạng ma trận A + 5I. Bài 1.10 Cho hai ma trận

A =

−1

!

, B =

  

1

−1

3

  .

a) Tính det(AB) det(BA).

b) Tính hạng ma trận BA + 4I. Bài 1.11 Cho hai ma trận

A =

1

!

, B =

2

!

.

a) Tính det(A3B2+ 4A2B3). b) Tính (A + 2B)2− 19(A + 2B).

A =

  

1

2 −2

3 −2

 

, B =

  

3

2

4 −1

  .

(2)

A =

  

3

2 −2

 

, B =

  

1 −5

−2

4 −1

  .

Hãy xác định giá trị det(A2B − 3AB2) Bài 1.14 Cho ma trận vuông cấp ba

A =

  

1

3 −1 −3

 

, B =

  

3 −2

3

5

  .

a) Hãy xác định giá trị det(A3B2− 3A2B3). b) Tính hạng ma trận A + 3B.

A =

  

3 −2

1

2 −2

 

, B =

  

−2

1 −3

2 −1

  .

a) Chứng minh ma trận A3B2 + 3A2B3 khả nghịch

b) Tính hạng ma trận A2B − 2AB2 Bài 1.16 Tính nghịch đảo ma trận

A =

  

2 −3

1 −2

−1 −2

  .

  

2 2

  .

a) Tính A3− 8A2+ 17A. b) Tính A−1

Bài 1.18 Tìm x để ma trận sau khả nghịch:

A =     

a x x x

b b x x

c c c x

d d d d

    

với a, b, c, d số cho trước.

  

x 3

0

 

 Hãy tìm x

để A4− 3A3 là ma trận khả nghịch. Bài 1.20 Tìm x để ma trận sau khả nghịch

A =     

1 1

x 2 2

x x −2 −2

x x x −1

     .

Bài 1.21 Tìm x để ma trận sau khả nghịch

A =     

1 x x x

x 1 x

x x −2 −2

−2 −2 x x

     .

Bài 1.22 Giải phương trình ma trận

  

1 −1

2 −1

1 −2

  X =

  

5

2 −2

4 −2

  .

X

  

2 −2

0

3 −1

  =   

2

−2

1 −2

  .

3

!

X

3

!

=

−1

!

.

Bài 1.25 Tính hạng ma trận

A =

  

1 2 3

  .

Bài 1.26 Tính hạng ma trận

A =     

1 −1 −1

2 −1

1 −2 −2 −4

4 −1 −2

     .

Bài 1.27 Tính hạng ma trận sau theo x

A =     

1 1 x

1 x x 1

x x 1

     .

A =     

1 x x 1 x x x

x 1 1 x

x 1 1

     .

A =

  

2 x x x

x x x x x x

(3)

Bài 1.30 Cho ma trận

A =

    

1 x x x 1 x x 1 x x

1 2

    

.

Hãy tính x biết r(A) = 2. 2 Hệ phương trình

Bài 2.1 Giải hệ phương trình sau theo phương pháp Cramer

      

2x1+ 2x2+ 5x3 = 21 2x1+ 3x2+ 6x3 = 26

x1− 6x2− 9x3 = −37

Bài 2.2 Giải hệ phương trình sau theo phương pháp khử Gauss

      

x1+ 5x2+ 2x3+ 3x4− 2x5 = 4x1+ x2− x3+ 12x4− 8x5 = 15 2x1+ 3x2+ x3+ 6x4− 4x5 =

      

x1+ 3x2+ 2x3− 3x4− 4x5 = 14 5x1+ 2x2+ 3x3− 2x4 − 6x5 = 17 3x1− 2x2 + x3+ 2x4− 2x5 = −1

            

x1+ 2x2− 2x3+ x4 = 2x1+ 3x2+ x3− 2x4 = 3x1+ 5x2− 2x3+ 2x4 = 6x1+ 10x2− 3x3+ x4 = 13 Bài 2.5 Giải hệ phương trình sau:

            

x1+ 2x2 − 3x3+ 2x4 = 2x1+ 3x2+ x3− x4 = 3x1+ 5x2+ 2x3+ 4x4 = 23 4x1+ 6x2+ 6x3+ 2x4 = 22 Bài 2.6 Cho hệ phương trình

      

2x1+ 3x2− x3 = 3x1+ x2+ 4x3 =

λx1+ 4x2+ 3x3 =

a) Tìm giá trị λ để hệ có nghiệm nhất. b) Giải hệ λ = 2.

Bài 2.7 Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số λ

            

x1− x2+ 3x3+ 2x4 = 2x1− x2+ 2x3+ 5x4 = 4x1− 3x2+ 7x3+ 9x4 = 13 8x1− 6x2+ λx3+ 18x4 = 26

Bài 2.8 Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số α

      

2x1+ 3x2− x3+ 2x4 =

x1+ x2+ 3x3+ x4 =

3x1+ 5x2− 5x3+ (α + 5)x4 = Bài 2.9 Cho hệ phương trình

            

x1+ x2+ 2x3 = 3x1+ x2+ 4x3 = 5x1− 4x2+ x3 = 4x1− x2+ 5x3 = λ

Xác định λ để hệ có nghiệm Giải hệ với λ tìm

Bài 2.10 Cho hệ phương trình

            

x1 + x2+ x3− x4− x5 = 2x1+ 3x2− 2x3+ 4x4+ x5 = 3x1+ 4x2− 2x3+ x4− 2x5 = 6x1+ 8x2− 3x3+ 4x4− 2x5 = λ

      

3x1− 2x2+ x3− 2x4 = 2x1− x2+ 3x3+ 3x4 = 4x1− 3x2− x3− 7x4 = λ a) Tìm λ để hệ cho có nghiệm.

b) Giải hệ tương ứng với hệ cho Bài 2.12 Cho hệ phương trình

      

2x1+ x2+ 3x3− 2x4 = 3x1− 2x2+ x3+ 3x4 = 4x1− 5x2− x3+ 8x4 = λ a) Tìm λ để hệ cho có nghiệm.

(4)

      

x1+ x2+ 2x3− 2x4 = 3x1+ x2− x3+ 4x4 = 6x1+ 4x2+ 5x3+ λx4 = Giải hệ với λ 6= −2.

      

2x1− x2+ 3x3+ 2x4 = 3x1+ 4x2− 2x3+ 5x4 = 4x1+ 9x2− 7x3+ λx4 = Giải hệ với λ 6= 8.

Bài 2.15 Xác định nghiệm hệ phương trình sau theo tham số λ

            

x1+ x2+ x3− x4 =

x1+ x2− x3+ x4 =

x1− x2+ x3+ x4 = −x1+ x2+ x3+ x4 = λ

Bài 2.16 Xác định nghiệm hệ phương trình sau theo tham số λ

            

x1+ x2− 3x3− 3x4 = 2x1+ 3x2+ 4x3− x4 = 3x1+ 4x2+ 2x3+ 2x4 = 7x1+ 9x2+ x3+ x4 = λ

3 Khơng gian tuyến tính

Bài Trong khơng gian tuyến tính R3 cho hệ {a1, a2, a3} với

a1 = (1, 1, −1), a2 = (3, 2, 1), a3 = (−1, 1, 3). Chứng minh phần tử x = (7, 7, 3) tổ hợp tuyến tính hệ {a1, a2, a3}

Bài Trong không gian tuyến tính R3 cho hệ {a1, a2, a3} với

a1 = (1, 1, −2), a2 = (3, −4, 1), a3 = (−3, 2, 1). Chứng minh phần tử x = (5, −6, 1) tổ hợp tuyến tính hệ {a1, a2, a3}

Bài 3 Trong khơng gian tuyến tính R3 cho hệ {a1, a2, a3} với

a1 = (1, 2, 3), a2 = (3, 1, −1), a3 = (5, 3, 1). Hãy tìm tất biểu diễn tuyến tính phần tử

x = (2, 3, 4) qua hệ {a1, a2, a3}

Bài Trong khơng gian tuyến tính R3 cho hệ {a1, a2, a3, a4} với a1 = (1, 1, 2), a2 = (2, 3, −1)

a3 = (3, −1, 2), a4 = (2, 8, −2) Hãy tìm tất cả các biểu diễn tuyến tính có a4 hệ {a1, a2, a3, a4}

Bài Trong khơng gian tuyến tính R3 cho hệ {a1, a2, a3, a4} với a1 = (1, 2, −2), a2 = (2, −1, 3) a3 = (3, 1, 4), a4 = (5, 5, 3) Hãy tìm tất biểu diễn tuyến tính có a4 trên hệ {a1, a2, a3, a4} Bài 3.6 Tìm λ để x = (1, 4, λ) biểu diễn theo véc tơ đây, khơng gian tuyến tính R3:

a1 = (1, 1, −2); a2 = (2, −3, 1); a3 = (−1, −3, 4). Bài 3.7 Tìm λ để x = (2, 3, 2, λ) biểu diễn theo véc tơ đây, không gian tuyến tính R4:

a1 = (1, 1, 2, 2); a2 = (2, 3, 1, 4); a3 = (3, 4, 2, 3). Bài 3.8 Tìm λ để x = (4, 12, −7, λ) biểu diễn được theo véc tơ đây, khơng gian tuyến tính R4:

a1 = (1, 1, −1, −2); a2 = (1, 2, −3, −1);

a3 = (1, −1, 4, 2), a4 = (1, 3, 2, 1).

Bài Trong không gian R3 cho hệ véc tơ {a1, a2, a3} với

a1 = (−2, 1, 1), a2 = (1, −2, 1), a3 = (1, 1, 2). a) Chứng minh hệ {a1, a2, a3} hệ độc lập tuyến tính

b) Tìm biểu diễn tuyến tính (nếu có) phần tử

x = (1, 3, −2) qua hệ {a1, a2, a3}

Bài 10 Trong không gian R4 cho hệ véc tơ {a1, a2, a3} với

a1 = (1, 2, −1, 1), a2 = (1, −2, 2, 1), a3 = (1, 1, −1, 1). a) Chứng minh hệ {a1, a2, a3} hệ độc lập tuyến tính

x = (4, 6, −1, 3) qua hệ {a1, a2, a3}

a1 = (1, −1, −1), a2 = (1, 2, 3), a3 = (2, 1, λ), trong λ tham số.

a) Tìm giá trị λ để hệ {a1, a2, a3} hệ độc lập tuyến tính

(5)

a1 = (1, 1, 1), a2 = (1, 2, 3), a3 = (2, 1, 4). a) Chứng minh hệ {a1, a2, a3} hệ độc lập tuyến tính

b) Hãy cho biết hệ {a1, a2, a3} có sở R3 hay không? Tại sao?

Bài 13 Trong không gian R4 cho hệ véc tơ {a1, a2, a3, a4} với

a1 = (1, 2, 1, 2), a2 = (1, 2, −1, 1),

a3 = (2, 1, 3, 1), a4 = (1, 3, −2, 2).

a) Chứng minh hệ {a1, a2, a3, a4} hệ độc lập tuyến tính

b) Hãy cho biết hệ {a1, a2, a3, a4} có sở R4 hay không? Tại sao?

Bài 14 Trong không gian R4 cho hệ véc tơ {a1, a2, a3, a4} với

a1 = (1, 1, −1, 2), a2 = (2, 3, −1, 1),

a3 = (−1, 1, 1, 3), a4 = (2, 2, 5, 6).

a) Hãy cho biết hệ {a1, a2, a3, a4} hệ độc lập tuyến tính hệ phụ thuộc tuyến tính?

b) Cho b ∈ R4 là phần tử Hãy cho biết hệ {a1, a2, a3, a4, b} hệ độc lập tuyến tính hệ phụ thuộc tuyến tính?

Bài 3.15 Xác định giá trị λ để hệ {a1, a2, a3} cho hệ phụ thuộc tuyến tính:

a1 = (2, 3, −2, 3), a2 = (2, −1, 2, 1), a3 = (1, 1, 1, λ). Bài 16 Trong không gian R4 cho hệ véc tơ {a1, a2, a3} với

a1 = (2, 1, 2, 3), a2 = (1, 4, 1, 5), a3 = (3, −2, 3, λ). a) Tìm λ để hệ {a1, a2, a3} hệ phụ thuộc tuyến tính b) Với λ tìm xác định biểu diễn tuyến tính của a2 theo hệ {a1, a3}

Bài 3.17 Hãy tìm tọa độ véc tơ x = (10, 9, 9) sở khơng gian tuyến tính R3:

a1 = (1, 1, 2); a2 = (1, 2, 3); a3 = (3, 1, −1). Bài 3.18 Hãy tìm tọa độ véc tơ x = (8, 8, 19, 19) sở khơng gian tuyến tính R4:

a1 = (1, 1, 2, 3); a2 = (2, 1, 3, 4);

a3 = (2, 3, −2, 1); a4 = (1, 3, 3, 1).

Bài 3.19 Trong khơng gian tuyến tính R3 cho M là khơng gian hai chiều có sở {u1, u2} với

u1 = (1, 2, −2), u2 = (2, 2, −1).

Cho phần tử u = (4, 7, 2), v = (1, 3, 5) Hãy xác định số thực λ cho u − λv ∈ M

Bài 3.20 Trong khơng gian tuyến tính R4 cho M là khơng gian hai chiều có sở {u1, u2} với

u1 = (2, 1, −1, 1), u2 = (1, 2, 3, −1).

Cho phần tử u = (0, 1, 1, 3), v = (1, 1, 1, −1) Hãy xác định số thực λ cho u − λv ∈ M

Bài 3.21 Trong khơng gian tuyến tính R4 cho M là khơng gian ba chiều có sở {u1, u2, u3} với

u1 = (1, 2, −1, 1), u2 = (2, 1, 3, 2), u3 = (−1, 2, 1, 2). Hãy xác định số thực λ biết phần tử x = (2, 5, 3, λ) nằm M

Bài 3.22 Trong không gian R3 cho tập M và N sau

M = {(x1, x2, x3) | x1+ x2− x3 = 0},

N = {(x1, x2, x3) | x1+ x2− x3 ≥ 0}.

Hãy cho biết tập trên, tập không gian R3 Ứng với tập là không gian R3, xác định sở số chiều

Bài 23 Trong khơng gian tuyến tính R4, khơng gian M xác định bởi

M = {(x1, x2, x3, x4) | x1 − x2 − x3 + x4 = 0}. Hãy xác định sở số chiều M

Bài 3.24 Trong khơng gian tuyến tính R4 cho không gian

M = {(x1, x2, x3, x4)|2x1− x2− x3+ 4x4 = 0} và phần tử w ∈ M với w = (1, 5, 1, 1) Hãy xác định một sở số chiều M cho biết tọa độ của

w sở đưa ra.

Bài 3.25 Trong không gian tuyến tính R3 cho hệ cơ sở (a) = {a1, a2, a3} véc tơ x có tọa độ sở (a) [x]a = (1, 2, −3) Hãy tìm tọa độ véc tơ x

trong sở (b) = {b1, b2, b3}, biết ma trận chuyển từ sở (a) sang sở (b) là

T =

  

1 −1

2

3 −1

  .

(6)

T =

  

3 −2 −1

2

1

  .

Cho biết phần tử x có tọa độ sở thứ nhất (a) [x]a = (2, 4, 5) Hãy tính tọa độ [x]b phần

tử x sở thứ hai (b).

Bài 3.27 Trong không gian tuyến tính ba chiều U cho hai hệ sở (a) = {a1, a2, a3} (b) = {b1, b2, b3} với

b1 = a1+a2−3a3, b2 = 2a1−3a2+2a3, b3 = 4a1+5a2+a3. Cho biết phần tử x có tọa độ sở thứ nhất (a) [x]a = (1, −3, 5) Hãy tính tọa độ [x]b phần

tử x sở thứ hai (b).

Bài 3.28 Trong khơng gian tuyến tính ba chiều U cho hai hệ sở (a) (b) với ma trận chuyển sở từ hệ (a) sang hệ (b) là

T =

  

1 −4

2

3

  .

Cho biết phần tử x có tọa độ sở thứ nhất (a) xa= (1, 4, −2) Hãy tính tọa độ xb phần tử

x sở thứ hai (b).

Bài 3.29 Trong khơng gian tuyến tính ba chiều U cho hai hệ sở (a) (b) với ma trận chuyển sở từ hệ (a) sang hệ (b) là

T =

  

4

1 −2

3

  .

Hãy tính ma trận chuyển sở từ hệ (b) sang hệ (a). Bài 3.30 Trong khơng gian tuyến tính ba chiều U cho hai hệ sở (a) = {a1, a2, a3} (b) = {b1, b2, b3} với

b1 = 2a1+3a2−a3, b2 = a1+4a2+2a3, b3 = 3a1−a2+a3. Hãy tính ma trận chuyển sở từ hệ (b) sang hệ (a). Bài 3.31 Trong khơng gian tuyến tính R3 cho hai hệ sở (a) = {a1, a2, a3} (b) = {b1, b2, b3} với

a1 = (2, −1, 3), a2 = (1, 1, 2), a3 = (2, 1, 4),

b1 = (1, 2, 3), b2 = (3, 1, −2), b3 = (−1, 1, 2). Hãy tính ma trận chuyển sở từ hệ (a) sang hệ (b).

Bài 3.32 Trong khơng gian tuyến tính ba chiều U cho ba hệ sở (e), (a) (b) Cho biết ma trận chuyển sở từ sở (e) sang sở (a) là

Tea =   

2 −1

2

3

  

và ma trận chuyển sở từ sở (e) sang sở (b) là

Teb =   

1 1

−2

2 −2

  .

Hãy tính ma trận chuyển sở từ hệ (a) sang hệ (b). Bài 3.33 Trong khơng gian tuyến tính R3 cho hai hệ sở (a) = {a1, a2, a3} (b) = {b1, b2, b3} với

a1 = (3, 1, 4), a2 = (5, −4, 2), a3 = (2, 1, 1),

b1 = (3, −2, 3), b2 = (4, 1, −2), b3 = (3, 4, 2). Hãy tính ma trận chuyển sở từ hệ (b) sang hệ (a). 4 Ánh xạ tuyến tính

Bài 4.1 Cho ánh xạ f : R3 −→ R3xác định công thức

f (x) = (x1+ 2x2− x3, x1− x2+ 2x3, 2x1− x2− x3), với x = (x1, x2, x3) ∈ R3

a) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính. b) Hãy lập ma trận ánh xạ f sở tắc R3.

f (x) = (2x1−x2−x3+x4, x1+x2−2x3+x4, x1−x3+x4), với x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4

a) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính. b) Hãy lập ma trận ánh xạ f sở chính tắc R3 và R4.

f (x) = (3x1− 2x2+ x3, x1+ x2+ x3, x1− x3+ α), với x = (x1, x2, x3) ∈ R3 (α tham số).

a) Hãy xác định α để ánh xạ f ánh xạ tuyến tính

(7)

Bài 4.4 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định công thức

f (x) = (2x1− x2+ 2x3, x1+ 2x2− x3, 3x1+ 4x2− x3), với x = (x1, x2, x3) ∈ R3

a) Hãy lập ma trận ánh xạ f sở tắc R3

b) Hãy tìm ma trận f sở {a1, a2, a3} R3 với

a1 = (2, 1, −1), a2 = (1, −2, 3), a3 = (3, 2, 1). Bài 4.5 Cho ánh xạ f : R3 −→ R3xác định công thức

f (x) = (2x1+3x2+4x3, x1+2x2−5x3, 2x1+x2+3x3), với x = (x1, x2, x3) ∈ R3 a) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính

b) Hãy lập ma trận ánh xạ f sở {a1, a2, a3} R3, biết a1 = (0, 4, 0), a2 = (2, 0, 0), a3 = (0, 0, −1).

f (x) = (2x1+ x2− 3x3, 3x1− 2x2− x3, x1+ 3x2− 2x3), với x = (x1, x2, x3) ∈ R3

b) Xác định x ∈ R3 để f (x) = (6, 2, 6).

f (x) = (x1+ x2− x4, 3x1 − 2x2+ x3, x1+ x3− 2x4), với x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4

a) Hãy lập ma trận ánh xạ f cặp sở chính tắc R3 và R4.

b) Tìm tất x ∈ R4 để f (x) = f (1, 2, 1, 2).

f (x) = (x1+ x2− 2x3, 2x1− 2x2+ 5x3, x1+ 3x2+ x3), với x = (x1, x2, x3) ∈ R3

a) Cho u = (1, −1, 2) Hãy tìm x ∈ R3 để

f (x + 2u) + f (2x − u) = (11, −7, 18).

b) Cho u = (2, −1, 2) Hãy tìm x ∈ R3 để

f (x+u)+f (x+2u)+ .+f (x+5u) = f (36x+108u).

Bài 4.9 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định cơng thức

f (x) = (3x1+x2+2x3, x1+3x2+2x3, 3x1+3x2+5x3), với x = (x1, x2, x3) ∈ R3

a) Hãy lập ma trận ánh xạ f sở tắc R3.

b) Hãy ma trận f sở mới {a1, a2, a3} R3 với

a1 = (1, 1, 2), a2 = (2, 2, −3), a3 = (1, −1, 0) ma trận đường chéo

f (x) = (x1−2x2+x3, −2x1−2x2+2x3, −5x1−10x2+7x3), với x = (x1, x2, x3) ∈ R3

b) Hãy tìm giá trị riêng véc tơ riêng ánh xạ f

f (x) = (3x1−x2+2x3+x4, 3x2−x3+6x4, 3x3+5x4, 3x4), với x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4

a) Hãy lập ma trận ánh xạ f sở chính tắc R4

f (x) = (2x1, −3x1+2x2, 5x1−x2+2x3, 2x1−x2+4x3+2x4), với x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4

a) Hãy lập ma trận ánh xạ f sở chính tắc R4.

f (x) = (3x1+ x2+ x3, x1+ 3x2+ x3, −x1+ x2+ x3), với x = (x1, x2, x3) ∈ R3

(8)

f (x) = (3x1− x2+ 2x3, −x1+ 3x2− 2x3, x1+ x2+ x3), với x = (x1, x2, x3) ∈ R3

b) Hãy xác định giá trị riêng véc tơ riêng ánh xạ f

c) Hãy xây dựng sở R3 bao gồm ba véc tơ riêng f

Bài 4.15 Tìm giá trị riêng véc tơ riêng của ma trận sau

A =

  

2 2 3

  .

A =

  

2 −1

1

3 −1

  .

A =

  

3 1

  .

A =

  

1 2 2 2

  .

A =

  

3 2

  .

A =

    

2

0 −2

0

0 0 −3

    

.

A =

  

2

1 3

−1 1

  .

Chứng minh ma trận A khơng chéo hóa được

A =

  

3 −1

−2 −2

2 −1

  .

Chứng minh ma trận A chéo hóa được.

Bài 4.23 Tìm giá trị riêng véc tơ riêng của ma trận cho Chứng minh ma trận đồng dạng với ma trận chéo biến đổi ma trận ma trận chéo

A =

  

4 4

  .

Bài 4.24 Tìm giá trị riêng véc tơ riêng của ma trận cho Chứng minh ma trận đồng dạng với ma trận chéo biến đổi ma trận ma trận chéo

A =

  

−2

1 −3 −1

−1

  .

  

3

2 4

2 −1

  .

a) Tìm giá trị riêng véc tơ riêng A.

b) Ma trận A có chéo hóa khơng? Tại sao? Nếu được tìm ma trận T ma trận đường chéo B để cho B = T−1AT

  

3 2 2

  .

  

3 3

  .

a) Tìm giá trị riêng véc tơ riêng ma trận A. b) Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo hay khơng Nếu có ma trận chuyển T ma trận đường chéo B B = T−1AT

  

2 2 2

  .

(9)

  

3

1

4 −1

  .

5 Không gian Euclid (Dành riêng cho hệ tín chỉ)

Bài 5.1 Trong khơng gian R4 hãy tìm véc tơ có độ dài đơn vị trực giao đồng thời với véc tơ sau:

v1 = (1, 0, 10, 12), v2 = (2, 2, −4, −5),

v3 = (3, 11, −4, −1).

Bài 5.2 Trong không gian Euclid R4 cho hệ sở trực chuẩn {u1, u2, u3, u4} với u1 =

1

5(4, −2, −2, 1),

u2 =

5(−1, −2, 2, 4), u3 =

5(2, 4, 1, 2) Hãy xác định tất giá trị có u4

Bài 5.3 Trong khơng gian Euclid R4 cho hệ sở trực chuẩn {u1, u2, u3, u4} với u1 =

1

6(5, 1, 3, 1), u2 =

6(−1, 3, −1, 5), u3 =

6(−3, −1, 5, 1) Hãy xác định tất giá trị có u4

Bài Trong không gian Euclid R4 cho hệ {u1, u2, u3, u4} với

u1 = (2, 1, −1, −2), u2 = (1, −2, 3, −2),

u3 = (2, 1, −4, 1), u4 = (−2, 1, −3, 4).

Hãy phần tử x ∈ R4 nào thỏa mãn x ⊥ u1, x ⊥ u2, x ⊥ u3 thì ta phải có x ⊥ u4 Bài 5 Trong khơng gian Euclid R4 cho hệ {u1, u2, u3, u4} với

u1 = (2, −1, 1, 1), u2 = (1, 2, 3, −2),

u3 = (2, 2, 3, −3), u4 = (2, 1, 2, −2).

Hãy phần tử x ∈ R4 nào thỏa mãn x ⊥ u1, x ⊥ u2, x ⊥ u3 thì ta phải có x ⊥ u4 Bài 5.6 Trong khơng gian Euclid R4 cho véc tơ

u1 = (1, −1, 1, 2), u2 = (−2, 1, 2, 3), v = (2, λ, −1, µ). Hãy xác định giá trị λ µ để v⊥u1, v⊥u2 Bài 5.7 Trong không gian Euclid R4 cho véc tơ

u = (1, 3, −2, 2), v1 = (1, 3, 2, −1), v2 = (0, −1, 1, 1). Hãy xác định λ, µ cho w = u + λv1 + µv2 thỏa mãn điều kiện w⊥v1, w⊥v2

Bài Cho M không gian hai chiều của khơng gian Euclid R4 có sở gồm hai véc tơ u = (1, −1, 1, 1), v = (2, −1, 2, 1) Hãy tìm véc tơ có độ dài đơn vị thuộc M cho véc tơ trực giao với véc tơ w = (1, −2, −2, 1).

Bài Cho M không gian hai chiều của khơng gian Euclid R4 có sở gồm hai véc tơ

u = (2, 1, 0, 2), v = (1, −1, 1, 1) Hãy tìm véc tơ có độ

dài đơn vị thuộc M cho véc tơ trực giao với véc tơ w = (1, 2, 3, −2).

Bài 5.10 Cho M không gian không gian Euclid R5 có sở gồm hai véc tơ

u = (2, 1, 2, 1, 1), v = (1, 0, −1, 3, −1).

Hãy tìm véc tơ có độ dài đơn vị thuộc M cho véc tơ trực giao với véc tơ w = (−1, 2, 1, −1, 3). Bài 5.11 Trong không gian R5, cho M khơng gian ba chiều có sở gồm véc tơ

u1 = (1, −3, −1, 1, 1), u2 = (1, −1, 2, −1, 1),

u3 = (−1, 3, −1, −1, −3).

Hãy xác định M véc tơ có độ dài đơn vị trực giao với hai véc tơ v1 = (2, 1, 1, 2, 1), v2 = (1, 1, 2, 3, 5). Bài 5.12 Trong không gian R6 cho M khơng gian ba chiều có sở gồm véc tơ

u1 = (1, 1, 1, 1, 1, 1), u2 = (2, −3, 4, 1, 5, 2),

u3 = (3, −4, 10, 2, 1, 3).

Hãy xác định M véc tơ có độ dài đơn vị trực giao với hai véc tơ

v1 = (2, −1, 1, 3, 1, −4), v2 = (3, −2, 1, 2, 1, −1). Bài 13 Trong không gian Euclid R4 cho M là không gian hai chiều có sở gồm hai véc tơ u1 = (1, 2, −3, 3); u2 = (2, 1, −1, 5) Hãy phân tích phần tử x = (6, 1, 4, 8) thành x = u + v đó

u ∈ M v = M⊥

Bài 14 Trong không gian Euclid R4, cho véc tơ

x = (1, 0, −7, 2) cho M khơng gian hai chiều

có sở gồm véc tơ u1 = (1, 2, −3, 2), u2 = (2, −1, −2, 1) Hãy tìm véc tơ u, v với u ∈ M, v ∈

M⊥ sao cho ta có đẳng thức x = u + v.

Bài 15 Trong không gian Euclid R4, cho véc tơ

x = (6, 6, −6, 0) cho M không gian hai chiều

có sở gồm véc tơ u1 = (1, 2, −1, 2), u2 = (2, −1, −2, 1) Hãy tìm véc tơ u, v với u ∈ M, v ∈

(10)

Bài 5.16 Trong không gian Euclid R4, cho véc tơ x = (4, −1, −5, 4) cho M khơng gian hai chiều có sở gồm véc tơ u1 = (2, −2, −3, 2), u2 = (1, −1, −2, 1) Hãy tìm véc tơ u, v với u ∈ M, v ∈

M⊥ sao cho ta có đẳng thức x = u + v.

Bài 17 Trong không gian Euclid R5 cho M là khơng gian hai chiều có sở gồm véc tơ

u1 = (1, 1, −1, 3, 4); u2 = (2, 3, 1, −3, −14). Hãy phân tích véc tơ x = (5, −5, 1, −2, −9) thành tổng x = u + v với u ∈ M v ∈ M⊥

Bài 5.18 Trong không gian Euclid R4 cho M một khơng gian hai chiều có sở {u1, u2} với

u1 = (3, 1, 1, 1), u2 = (−1, −3, 1, −1).

Hãy tìm x ∈ M cho ||x − u1|| = 6, ||x − u2|| = 6. Bài 5.19 Trong không gian Euclid R4 cho M một không gian hai chiều có sở {u1, u2} với

u1 = (1, 2, −4, 6), u2 = (1, −6, 2, −4).

Hãy tìm x ∈ M cho ||x−u1|| = 15, ||x−u2|| = 15. Bài 5.20 Trong không gian Euclid R4 cho M một không gian hai chiều có sở {u1, u2} với

u1 = (7, −4, 2, −2), u2 = (−7, 2, −4, 2).

Hãy tìm x ∈ M cho ||x−u1|| = 13, ||x−u2|| = 13. Bài 5.21 Trong không gian Euclid R5 cho M một không gian hai chiều có sở {u1, u2} với

u1 = (−1, 2, 3, 7, 1), u2 = (2, −1, −1, −7, 3). Hãy tìm x ∈ M cho ||x−u1|| = 14, ||x−u2|| = 14. Bài 5.22 Trong không gian Euclid R4 cho phần tử a1 = (1, 1, 0, 1); a2 = (1, 0, −1, 1) không gian

L = {x ∈ R4|hx, a1i = 0, hx, a2i = 0}. a) Tìm sở L.

b) Trực chuẩn hóa hệ gồm véc tơ a1, a2 véc tơ sở L tìm câu (a).

Bài 5.23 Trong không gian Euclid R4 cho phần tử a1 = (1, 2, 3, −1); a2 = (2, 3, −1, 4) không gian

Bài 5.24 Trong không gian Euclid R4 cho phần tử a1 = (1, 1, 2, −1); a2 = (2, 1, −1, 3) không gian

Bài 5.25 Trong sở trực chuẩn R4, cho véc tơ

a1 = (2, 1, −3, −1), a2 = (3, 1, −1, 2) b = (1, µ, 0, 2λ). a) Tìm λ, µ để véc tơ b trực giao với hai véc tơ a1

a2

b) Với λ, µ tìm được, trực giao hóa hệ {a1, a2, b}. Bài 26 Trong sở trực chuẩn R4 cho véc tơ

a1 = (1, 1, −3, −1), a2 = (2, 1, −1, 2) b = (2, γ, 1, α). a) Tìm α, γ để véc tơ b trực giao với hai véc tơ a1

a2

b) Với α, γ tìm được, trực giao hóa hệ {a1, a2, b}. Bài 5.27 Trong không gian Euclid R4, cho véc tơ

u = (14, 8, 10, 12), v1 = (1, 3, 1, 5), v2 = (7, 1, 11, 3). a) Hãy xác định số λ, µ cho w = u + λv1+ µv2 trực giao với véc tơ v1, v2

b) Hãy xây dựng hệ trực chuẩn từ hệ {v1, v2, w} theo thủ tục Gram–Schmidt

Bài 28 Trong không gian Euclid R4, cho véc tơ u = (6, −10, −4, 17), v1 = (2, 4, 2, 5), v2 = (2, 14, 11, 13).

a) Hãy xác định số λ, µ cho w = u + λv1+ µv2 trực giao với véc tơ v1, v2

Bài 29 Bằng phương pháp trực chuẩn hoá Gram–Schmidt xây dựng sở trực chuẩn không gian R3 từ sở cho sau đây:

a1 = (2, −1, 2); a2 = (4, 1, 1); a3 = (−2, 6, −3). Tính tọa độ phần tử x = (3, 1, 5) sở nhận

Bài 30 Bằng phương pháp trực chuẩn hóa Gram–Schmidt xây dựng sở trực chuẩn không gian R4 từ sở cho sau đây:

a1 = (1, 0, 1, −1); a2 = (0, 2, 2, 2);

a3 = (5, −2, 3, 2); a4 = (3, 1, 1, 1).

(11)

Bài 5.31 Trong không gian Euclid R3 cho hệ véc tơ {u1, u2, u3} với

u1 = ( 7,

3 7,

6

7), u2 = ( 7,

2 7, −

3

7), u3 = ( 7, −

6 7,

2 7). a) Hãy hệ {u1, u2, u3} sở trực chuẩn khơng gian Euclid R3.

b) Hãy tìm tọa độ phần tử x = (3, 4, 5) cơ sở {u1, u2, u3}

Bài 32 Giả sử {u1, u2, u3, u4} sở trực chuẩn không gian Euclid R4 ta biết rằng u1 =

1

6(3, 5, 1, 1), u2 =

6(−5, 3, 1, −1), u3 =

6(−1, −1, 3, 5) Giả sử phần tử x = (4, 2, 1, −5) có tọa độ {u1, u2, u3, u4} (x1, x2, x3, x4) Hãy tính

x2

Bài 33 Giả sử {u1, u2, u3, u4} sở trực chuẩn không gian Euclid R4 và ta biết rằng u1 =

1

7(2, 4, 2, 5), u2 =

7(−5, 2, −4, 2), u3 =

7(2, 5, −2, −4) Giả sử phần tử x = (2, −3, 1, 5) có tọa độ {u1, u2, u3, u4} (x1, x2, x3, x4) Hãy tính

x2

Bài 34 Trong không gian Euclid R5 cho M là không gian ba chiều có sở {u1, u2, u3} với u1 = (1, 1, 1, 1, −1), u2 = (2, 0, 3, −2, 1),

u3 = (−1, 2, 1, −1, 2).

Hãy xác định sở trực chuẩn số chiều không gian M⊥

Bài 5.35 Trong không gian R4 cho hai véc tơ u1 = (2, 1, −2, 2); u2 = (1, −1, −1, −1) Gọi M tập hợp tất véc tơ R4 trực giao với u1, u2

a) Chứng minh M không gian của R4

b) Xác định sở trực chuẩn M Bài 5.36 Cho ma trận

Q =

          

1

3 −

2

3 −

2 −2

3 −

2

1

x y z

          

.

Hãy tìm x, y, z để Q ma trận trực giao.

Bài 5.37 Hãy tìm x, y, z, t để ma trận Q cho sau ma trận trực giao:

Q =

2

    

−1 1

1 −1 1

1 −1

x y z t

    

.

Bài 5.38 Hãy xây dựng sở trực chuẩn của không gian Euclid R4 cho sở có chứa hai phần tử sau

u1 =

2(1, 1, −1, −1); u2 =

2(1, −1, 1, −1). Bài 5.39 Hãy xây dựng sở trực chuẩn của không gian Euclid R4 sao cho sở có chứa hai phần tử sau

u1 =

6(5, 3, −1, −1); u2 =

2(1, −1, 5, −3). Bài 5.40 Chéo hóa ma trận đối xứng thực sau đây ma trận trực giao

A =

  

3 4 4

  .

6 Một số tập nâng cao

Bài Cho A2 = A Hãy (A + I)k =

I + (2k− 1)A.

Bài 6.2 Chứng minh đẳng thức

(a + b)2 c2 c2

a2 (b + c)2 a2

b2 b2 (a + c)2

= 2abc(a + b + c)3.

Bài 6.3 Chứng minh đẳng thức

a b c d

−b a d −c

−c −d a b

−d c −b a

= (a2+ b2+ c2+ d2)2.

Bài 6.4 Tính giá trị định thức

D =

a1 x x . x x a2 x . x x x a3 . x

x x x . an .

Bài 6.5 Chứng minh ma trận vuông cấp hai A = a b

c d !

thỏa mãn phương trình

X2− (a + d)X + (ad − bc)I = 0.

(12)

Bài 6.7 Cho hai ma trận vuông cấp hai A = −1

2

!

và B =

0

!

a) Hãy tìm ma trận khả nghịch T cho T A = BT b) Tính A2011

Bài 6.8 Cho A ma trận vng cấp n khả nghịch có

ma trận phụ hợp A∗ Hãy chứng minh det(A∗) = (det A)n−1

Bài 6.9 Cho A ma trận vuông cho A4 = Hãy chứng minh I + A ma trận khả nghịch.

Bài 6.10 Cho A ma trận vuông cho A10= Hãy chứng minh I + A2+ A5 ma trận khả nghịch

Bài 6.11 Cho A, B hai ma trận vuông cấp sao

cho (AB)10= I Chứng minh (BA)10= I.

Bài 6.12 Cho A ma trận vng thực cấp ba có

ba giá trị riêng thực phân biệt Hãy chứng minh ma trận A3 có ba giá trị riêng thực phân biệt

Bài 6.13 Cho A ma trận vng thực cấp ba có

ba giá trị riêng thực phân biệt Hãy chứng minh ma trận A5− A4+ A có ba giá trị riêng thực phân biệt. Bài 6.14 Cho A ma trận vuông thực cấp n khả

nghịch có n giá trị riêng thực dương phân biệt Chứng minh ma trận A3+ 2A − 3A−1 cũng có n giá trị riêng thực phân biệt

Bài 15 Cho A ma trận vuông cấp hai đồng

dạng với ma trận B =

0

!

Hãy tính giá trị định thức det(A3+ 3A).

Bài 6.16 Cho ma trận A =   

2 −1

0

0 −1

 

 Tính det B

với B = A2004− A1002. Bài 6.17 Tính định thức

D =

1 . n

−1 . n

−1 −2 . n

−1 −2 −3

.

Bài 6.18 Tính định thức

D =

1 1 .

1 C21 C31 . Cn1

1 C32 C42 . Cn+12

Cnn−1 Cn+1n−1 . C2n−2n−1

.

Bài 6.19 Chứng minh không tồn ma trận A B cho AB − BA = I.

Bài 6.20 Cho A, B hai ma trận vuông cấp n cho r(AB − BA) = Chứng minh (AB − BA)2 = θ.

Bài 6.21 Cho A, B ma trận kích thước × và

2 × Giả sử tích A.B là

AB =   

8 −2

2

−2

  .

Hãy

BA =

0

! .

Bài 6.22 Cho A, B ma trận vuông cấp với các

phần tử thực cho

det A = det B = det(A + B) = det(A − B) = 0. Chứng minh det(xA + yB) = với cặp số thực

x, y.

Bài 6.23 Cho A ma trận vuông cấp n Chứng

minh A ma trận luỹ linh B ma trận giao hốn với A I − AB I + AB ma trận khả nghịch

Bài 24 Cho ma trận vuông A = 2015 −2014

2014 −2013

!

Hãy xác định số nguyên dương n cho tồn ma trận vuông cấp hai X với phần tử nguyên để

X2015+ Xn= 2A.

PHẦN II: ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN 1 Ma trận định thức

1.1 a) A567= −A =−2

−5

b) A576+ 2A567+ 3A675= I − 5A, det(A576+ 2A567+ 3A675) =

26

1.2 a) A2018= A2=

−1 −2

b) 2A2017 − 3A2018 + 4A2019 = −3 −3

1

, det(2A2017 − 3A2018+ 4A2019) = 3.

1.3 A200+ A = θ.

1.4 a) A2= A2018= I, A2019= A.

b) n = 2k det B = 64, n = 2k + det B = −32.

1.5 a) A2= A2018= I, A2019= A.

b) Nếu m, n chẵn det B = 1728 Nếu m chẵn, n lẻ thì det B = −288 Nếu m lẻ, n chẵn det B = 288 Nếu m, n lẻ thì det B = −1728.

(13)

1.8 D = 0.

1.9 a) det(A4+ 3A3) = −61952 b) r(A + 5I) = 3.

1.10 a) det(AB) = −36, det(BA) = 0.

b) r(BA + 4I) = 3.

1.11 a) det(A3B2+ 4A2B3) = 911.400.

b) (A + 2B)2− 19(A + 2B) = −70I.

1.12 det(AB) = −47, (det A = −47, det B = 1). 1.13 det(A2B − 3AB2) = 15.080.310.

HD: det(A2B − 3AB2) = det A det(A − 3B) det B. 1.14 a) det(A3B2− 3A2B3) = 122.132.500.

b) r(A + 3B) = 3.

1.15 a) det(A3B2+3A2B3) = (det A)2det(A+3B)(det B)26=

0 det A = 39, det B = −51, det(A + 3B) = −1878 Do ma trận A3B2+ 3A2B3 khả nghịch.

b) det(A2B−2AB2) = det A det(A+3B) det B 6= det A =

39, det B = −51, det(A + 3B) = 207 Do r(A2B − 2AB2) =

1.16 A−1= −1

 

−1

1 −1

1

 

1.17 a) A3− 8A2+ 17A = 10I.

b) A−1= 10

 

8 −6

−2 −1 −2

 

1.18 Nếu d = khơng tồn x để A khả nghịch.

Nếu d 6= A khả nghịch với x 6∈ {a, b, c}. HD: Hãy det A = d(a − x)(b − x)(c − x).

1.19 x 6∈ {0, 3}.

HD: Sử dụng đẳng thức det(A4− 3A3) = (det A)3det(A − 3I). 1.20 x 6∈ {−2, −1, 2}.

1.21 x 6∈ {−2, 1, 2}. 1.22 X = −

18  

−31 −9

15 −27

−11 −9 −14  

1.23 X =

29  

17 10

−29 29 −29 29

 

1.24 X =−2

4 −7

1.25 r(A) = 2. 1.26 r(A) = 3.

1.27 Nếu x = r(A) = Nếu x = −3

2 thì r(A) = 3. Nếu

(

x 6= 1

x 6= −32 thì r(A) = 4.

1.28 Nếu x = r(A) = Nếu x = −1 r(A) = 3.

Nếu (

x 6= 1

x 6= −1 thì r(A) = 4.

1.29 Nếu x = r(A) = Nếu x 6= r(A) = 3. 1.30 x = 2.

2 Hệ phương trình

2.1 x =4

3, 20

9 , 25

9

2.2 x = (3 − 3x4+ 2x5, 1, −2, x4, x5) với x4, x5 tùy ý 2.3 x = (1, + x4, + 2x5, x4, x5) với x4, x5 tùy ý

2.4 x = (−9 − 17x4, + 11x4, + 3x4, x4) với x4 tùy ý 2.5 x = (−64, 43, 4, −2).

2.6 a) λ 6= 5.

b) x =52 39,

28 39, −

46 39

2.7 x = (4 − 3x4, − x4, 0, x4) với λ. 2.8 Nếu α = −2 hệ phương trình có nghiệm là

x = (21 − 10x3− x4, −12 + 7x3, x3, x4) với x3, x4tùy ý

Nếu α 6= −2 hệ phương trình có nghiệm là

x = (21 − 10x3, −12 + 7x3, x3, 0) với x3 tùy ý 2.9 Hệ có nghiệm với λ, x =10 − λ

2 , 10 − λ

2 ,

λ − 6

2

với mọi λ.

2.10 Với λ = 14 hệ có nghiệm nghiệm x = (−28 +

17x4+ 14x5, 25 − 14x4− 11x5, − 2x4− 2x5, x4, x5) với x4, x5

tùy ý

2.11 a) λ = 5.

b) x = (−5x3− 8x4, −7x3− 13x4, x3, x4) với x3, x4 tùy ý 2.12 a) λ = 7.

b) x =− x3+

1

7x4, −x3+ 12

7 x4, x3, x4

với x3, x4 tùy ý 2.13 x = λ + 26

λ + 2 +

3 2x3,

2λ − 36

λ + 2 −

7 2x3, x3,

−8

λ + 2

với x3

tùy ý

2.14 x = 26λ − 221

11(λ − 8) − 10 11x3,

−3λ + 20 11(λ − 8) +

13 11x3, x3,

1

λ − 8

với x3tùy ý 2.15 x−λ

4,

λ

4,

λ

4,

λ

4

2.16 Nếu λ 6= 19 hệ vơ nghiệm Nếu λ = 19 hệ có

nghiệm x = (4 − 70x4, −1 + 55x4, −6x4, x4) với x4 tùy ý

3 Khơng gian tuyến tính

3.1 Hãy x = 2a1+ 2a2+ a3 3.2 Hãy x = 6α3+

7 a1 +

5α3+ 11

7 a2 + α3a3 với α3 ∈ R tùy ý Nói riêng, chọn α3 = x =

2a1+ 3a2+ 2a3 3.3 x = −4α3+

5 a1+

−7α3+

5 a2+ α3a3 với α3∈ R tùy ý

3.4 a4 = (1 − α4)a1+ (2 − 2α4)a2+ (α4− 1)a3+ α4a4 với

α4∈ R tùy ý

3.5 a4 = (1 − α4)a1+ (α4− 1)a2+ (2 − 2α4)a3+ α4a4 với

α4∈ R tùy ý 3.6 λ = −5. 3.7 λ = 7. 3.8 λ ∈ R tùy ý.

3.9 a) Sử dụng định nghĩa ma trận hệ

{a1, a2, a3} có hạng (có định thức khác 0)

b) x = −7 6a1−

11 a2+

1 2a3

{a1, a2, a3} có hạng

b) Phần tử x khơng có biểu diễn tuyến tính hệ {a1, a2, a3} 3.11 a) λ 6= 2.

b) x = a1+ a2+ a3

{a1, a2, a3} có hạng

b) Hệ {a1, a2, a3} sở R3

(14)

{a1, a2, a3, a4} có hạng

b) Hệ {a1, a2, a3, a4} sở R4 3.14 a) Hệ {a1, a2, a3, a4} độc lập tuyến tính

b) Hệ {a1, a2, a3, a4, b} phụ thuộc tuyến tính.

3.15 Khơng tồn λ để hệ {a1, a2, a3} phụ thuộc tuyến tính 3.16 a) λ = 1.

b) a2= 2a1− a3 3.17 [x]a= (1, 3, 2).

3.18 [x]a=

92 35,

89 35, −

23 35,

3.19 λ = 1. 3.20 λ = −4. 3.21 λ = 5.

3.22 M không gian R3và dim M = N không

phải khơng gian R3.

3.23 Phân tích để đến việc lựa chọn ba phần tử thích hợp

của M chúng tạo thành hệ vừa hệ sinh M vừa hệ độc lập tuyến tính dim M = 3.

3.24 Tương tự 3.24. 3.25 [x]b=

− 2,9

7, 15

7

3.26 [x]b=

7 4,

37 16, −

11

3.27 [x]b=

−79 73, 60 73, 73

3.28 [x]b=

−31 19, 27 19, 19

3.29 Tba= −491

 

−17 −5

5 13 −11

9 −6 −10

 

3.30 Tba= 401

 

6 −13

−2 11

10 −5

 

3.31 Tab=

 

−1 −4

−1 31 −13

2 −22 10

 

3.32 Tab= 15

 

−14 14 13

−16 11

17 −12 −14  

3.33 Tba= 971

 

68 132 19

−27 56 11

65 −45 31  

4 Ánh xạ tuyến tính

4.1 a) Sinh viên tự giải.

b) A =  

1 −1

1 −1 2 −1 −1

 

b) A =  

2 −1 −1

1 −2

1 −1

 

4.3 a) α = 0.

b) A =  

3 −2

1 1

1 −1

 

4.4 a) A =

 

2 −1

1 −1

3 −1

 

b) B = −1 16

 

120 −192 120

11 −52 −4

−89 92 −116

 

b) B =  

2 12 54

6 −2

−4 −4

 

4.6 a) A =

 

2 −3

3 −2 −1

1 −2

 

b) x = (1, 1, −1).

4.7 a) A =

 

1 −1

3 −2

1 −2

 

b) x = (1, x4, 2x4− 3, x4) với x4 tùy ý 4.8 a) x = (1, 2, −1).

b) x = −3u = (−6, 3, −6).

4.9 a) A =

 

3 3

 

b) Hãy f (a1) = 8a1, f (a2) = a2, f (a3) = 2a3

sử dụng chúng

4.10 a) A =

 

1 −2

−2 −2

−5 −10  

b) λ = 2, x = x1(1, 0, 1) + x2(0, 1, 2) với x21+ x226=

4.11 a) A =

   

3 −1

0 −1

0

0 0

   

b) λ = 3, x = x1(1, 0, 0, 0) với x16=

4.12 a) A =

   

2 0

−3 0

5 −1

2 −1

   

b) λ = 2, x = x4(0, 0, 0, 1) với x46=

4.13 a) A =

 

3 1

1

−1 1  

b) λ = 1, x = x2(1, 1, −3) với x2 6= 0; λ = 2, x =

x1(1, 0, −1) với x1 6= 0; λ = 4, x = x2(1, 1, 0) với mọi

x26= 4.14 a) A =

 

3 −1

−1 −2

1 1

 

b) λ = 1, x = x1(1, 1, −32) với x1 6= 0; λ = 2, x =

x3(−12,32, 1) với x3 6= 0; λ = 4, x = x2(−1, 1, 0) với mọi

x26=

c) Ứng với λ = chọn véc tơ riêng a1= (2, 2, −3) (gán x1= 2);

ứng với λ = chọn véc tơ riêng a2 = (−1, 2, 3) (gán x3= 2);

ứng với λ = chọn véc tơ riêng a3= (−1, 1, 0) (gán x2= 1) 4.15 λ = 1, x = x2(−1, 1, 0)+x3(−2, 0, 1) với x22+x

2 36= 0;

λ = 9, x = x1(1, 1, 3) với x16=

4.16 λ = 0, x = x3(−1, −1, 1) với x3 6= 0; λ = 1,

x = x3(0, 1, 1) với x3 6= 0; λ = 3, x = x2(1, 1, 2) với

mọi x26=

4.17 λ = 0, x = x1(1, 1, −2) với x1 6= 0; λ = 2,

x = x1(1, −1, 0) với x1 6= 0; λ = 5, x = x3(2, 2, 1) với

mọi x36=

4.18 λ = −1, x = x2(−1, 1, 0) + x3(−1, 0, 1) với x22+ x236=

0; λ = 5, x = x1(1, 1, 1) với x16=

4.19 λ = 1, x = x1(1, 1, −32) với x1 6= 0; λ = 2,

(15)

mọi x36=

4.20 λ = 2, x = x1(1, 0, 0, 0) với x1 6= 0; λ = −2,

x = x1(1, −4, 0, 0) với x1 6= 0; λ = 3, x = x2(6, 1,52, 0)

với x26= 0; λ = −3, x = x3(65, 16, 1, −6) với x36= 4.21 Ma trận A có hai giá trị riêng phân biệt λ1 = (bội

n1 = 2), λ2 = (bội n2 = 1) Ứng với λ1 = ta có

r(A − λ1I) = 6= n − n1= − =

4.22 Ma trận A có hai giá trị riêng phân biệt λ1 = (bội

n1 = 2), λ2 = (bội n2 = 1) Hãy r(A − λ1I) =

n − n1 và r(A − λ2I) = n − n2 (ở n = 3).

4.23 Ma trận A có ba giá trị riêng phân biệt λ1 = 2, λ2 =

4, λ3= 11 nên A chéo hóa Biến đổi đồng dạng đưa A về

ma trận chéo lựa chọn

T−1AT =

 

2 0

0

0 11 

 với T =  

1 −1

−4 −2

1

 .

4.24 Ma trận A có hai giá trị riêng phân biệt λ1 = −1 (bội

n1 = 2), λ2 = −3 (bội n2 = 1) Chỉ ma trận A chéo hóa

được cách xây dựng sở gồm véc tơ riêng A. Biến đổi đồng dạng đưa A ma trận chéo lựa chọn là

T−1AT =

 

−3 0

0 −1



 với T =  

1

−1

1

 .

4.25 a) λ = 1, x = x1(1, 2, −2) với x1 6= 0; λ = 2,

x = x1(1, 5, −3) với x16= 0; λ = 5, x = x1(1, 2, 0) với mọi

x16=

b) Lựa chọn sở R3 gồm véc tơ riêng ứng với A,

chẳng hạn a1 = (1, 2, −2), a2= (1, 5, −3), a3 = (1, 2, 0) Từ

đó khẳng định A ma trận chéo hóa Biến đổi đồng dạng đưa A ma trận chéo tương ứng với việc lựa chọn {a1, a2, a3}

T−1AT =

 

1 0 0



 với T =  

1 1

2

−2 −3  .

4.26 a) λ = 1, x = x2(−1, 1, 0)+x3(−1, 0, 1) với x22+x236=

0; λ = 7, x = x3(1, 1, 1) với x36=

b) Tương tự 4.24

4.27 a) λ = 1, x = x1(1, 1, −32) với x1 6= 0; λ = 2,

x = x1(1, −1, 0) với x16= 0; λ = 8, x = x1(1, 1, 2) với mọi

x16=

b) Tương tự 4.25

4.28 a) λ = 1, x = x1(1, 1, −1) với x1 6= 0; λ = 8,

x = x1(1, 1,52) với x16=

b) Ma trận A không chéo hóa (tương tự 4.21).

4.29 a) λ = 2, x = x1(1, 1, −1) với x1 6= 0; λ = 8,

x = x1(1, 1, 1) với x16=

b) Ma trận A khơng chéo hóa (tương tự 4.21).

5 Không gian Euclid

5.1 x = ±1

7(2, −2, −5, 4).

5.2 u4= ±

1

5(−2, 1, −4, 2).

5.3 u4= ±

1

6(1, −5, −1, 3).

5.4 Cách 1: Chứng minh x ⊥ u1, x ⊥ u2, x ⊥ u3

x = x4(1, 1, 1, 1) ta tính trực tiếp hx, u4i =

Cách 2: Chỉ u4 có dạng u4 = λ1u1+ λ2u2+ λ3u3 nên

x ⊥ u1, x ⊥ u2, x ⊥ u3 ta có hx, u4i = λ1hx, u1i + λ2hx, u2i +

λ3hx, u3i =

5.5 Tương tự 5.4. 5.6 λ = 3, µ = 1. 5.7 λ = −

41, µ = 37 41

5.8 x = ±√1

20(3, −1, 3, 1).

5.9 x = ±1

2(1, −1, 1, 1).

5.10 x = ±1

8(5, 2, 3, 5, 1).

5.11 x = ±1

8(3, −7, 2, 1, 1).

5.12 x = ±1

8(1, 3, −4, 1, 6, 1).

5.13 u = (4, −1, 3, 9), v = (2, 2, 1, −1). 5.14 u = (3, 1, −5, 3), v = (−2, −1, −2, −1). 5.15 u = (4, 3, −4, 5), v = (2, 3, −2, −5). 5.16 u = (3, −3, −5, 3), v = (1, 2, 0, 1). 5.17 u = (3, 4, 0, 0, −10), v = (2, 1, 1, −2, 1).

5.18 x = 2u1+ 2u2 = (4, −4, 4, 0) x = −(u1+ u2) =

(−2, 2, −2, 0).

HD: Từ giả thiết có hu1, u1i = 18, hu1, u2i = −9,

hu2, u2i = 18 Nếu x phần tử cần tìm x = λ1u1+ λ2u2

Chỉ kx − u1k2 = 18(λ1− 1)2− 18(λ1− 1)λ2+ 18λ22

và đối chiếu với giả thiết kx − u1k = ta có phương trình

18(λ1− 1)2− 18(λ1− 1)λ2+ 18λ22= 36 Tiếp theo từ giả thiết

kx − u2k = ta có phương trình 18λ21− 18λ1(λ2− 1) + 18(λ2−

1)2 = 36 Giải hệ hai phương trình đưa ta thu được

hai nghiệm λ1= λ2= λ1= λ2= −1

5.19 x = 3u1+ 3u2= (6, −12, −6, 6) x = −2u1− 2u2=

(−4, 8, 4, −4).

5.20 x = 4u1+ 4u2 = (0, −6, −6, 0) x = −2u1− 2u2 =

(0, 4, 4, 0).

5.21 x = 3u1+ 3u2 = (3, 3, 6, 0, 12) x = −2u1− 2u2 =

(−2, −2, −4, 0, −8).

5.22 a) Có thể chọn sở L {a3, a4} với a3 =

(1, −1, 1, 0) a4= (−1, 0, 0, 1).

b) (Theo cách chọn câu (a)) Hệ trực giao: u1 = a1, u2 =

a2−

2

3u1, u3= a3, u4= a4+

3u3 Sau chuẩn hóa phần tử u1, u2, u3, u4

(11, −7, 1, 0) a4= (−11, 6, 0, 1).

a2−

1

15u1, u3 = a3, u4 = a4+ 163

171u3 Sau chuẩn hóa phần tử u1, u2, u3, u4

(3, −5, 1, 0) a4= (−4, 5, 0, 1).

a2+

2

7u1, u3= a3, u4= a4+ 37

35u3 Sau chuẩn hóa phần tử u1, u2, u3, u4

5.25 a) λ = −1

6, µ = − 3.

b) Hệ trực giao: u1= a1, u2= a2−

8

15u1, u3= b.

5.26 a) α = −4

3, γ = − 3.

b) Hệ trực giao: u1= a1, u2= a2−

1

3u1, u3= b.

5.27 a) λ1= −2, λ2= −1

b) Hệ trực chuẩn: u1 =

1

6(1, 3, 1, 5), u2 =

6(3, −1, 5, −1),

(16)

5.28 a) λ1= −7, λ2=

b) Hệ trực chuẩn: u1 =

1

7(2, 4, 2, 5), u2 =

7(4, −2, 5, −2),

u3=17(−2, −5, 2, 4).

5.29 Cơ sở trực chuẩn: u1 =

1

3(2, 1, −2), u2 =

3(2, 2, −1),

u3 = 13(−1, 2, 2) Tọa độ x sở {u1, u2, u3}

[x]u= (5, 1, 3).

5.30 Cơ sở trực chuẩn: u1 = √13(1, 0, 1, −1), u2 =

√

3(0, 1, 1, 1), u3= √

3(1, −1, 0, 1), u4= √

3(1, 1, −1, 0), Tọa độ

của x sở {u1, u2, u3, u4} [x]u=

0,√13

3, √

3, − √

.

b) Tọa độ x sở {u1, u2, u3} [x]u=

48 ,

11 , −

5

.

5.32 x24= 121 .

5.33 x24= 361 49.

5.34 Có thể lựa chọn sở thông thường {e1, e2} M

với e1= (2, 1, −2, 0, 1), e2= (−9, −8, 12, 5, 0) Trực chuẩn hóa

hệ {e1, e2} ta thu sở trực chuẩn {w1, w2} M

với w1=

1 √

10(2, 1, −2, 0, 1), w2=

8(1, −3, 2, 5, 5).

b) Thực tương tự 5.34

5.36 (x, y, z) = ±1

3(2, −1, 2).

5.37 (x, y, z, t) = ±(1, 1, 1, 1).

5.38 Bước 1: Chỉ hệ {u1, u2} hệ trực chuẩn nên tồn

tại sở trực chuẩn R4 chứa hệ {u1, u2} Bước 2: Xét

tất véc tơ x ∈ R4 sao cho x ⊥ u1, x ⊥ u2

x = (x4, x3, x3, x4) Chọn a1= (1, 1, 1, 1) ứng với việc gán x3=

x4= a1⊥ u1, a1⊥ u2 Tiếp theo chọn x = (x4, x3, x3, x4)

sao cho x ⊥ a1và ta thu x = a2= (1, −1, −1, 1) Chuẩn

hóa hệ {a1, a2}: u3 =

a1

ka1k

, u4 =

a2

ka2k

thì hệ {u1, u2, u3, u4}

chính sở trực chuẩn cần xây dựng

5.39 Tương tự 5.38.

5.40 Biến đổi đồng dạng đưa ma trận A ma trận đường

chéo ma trận trực giao lựa chọn để sử dụng tương ứng

T−1AT =

 

1 0

0

0 13 

 và T = √

 

√

3 √2

−√3 √2 −√2

 .

6 Một số tập nâng cao

6.1 Chứng minh phương pháp quy nạp.

6.2 Sử dụng biến đổi sơ cấp để rút nhân tử chung (a+b+c)

ra định thức ba lần để thu (a + b + c)3 bên ngoài

định thức Sau khai triển định thức thu nhân tử còn lại vế phải 2abc.

6.3 det A = (a2+ b2+ c2+ d2)2.

HD: Thực phép nhân ma trận ATA Sử dụng kết phép

nhân để thu (det A)2= (a2+ b2+ c2+ d2)4và suy det A = k(a2+ b2+ c2+ d2)2 với k2= Thay b = c = d = 0 vào hai vế đẳng thức để khẳng định k = 1.

6.4 D =1 + x

a1− x

+ x

a2− x

+ + x

an− x

Y

1≤i≤n

(ai− x)

nếu x 6= ai với i = 1, 2, , n Nếu x = ai, i = 1, 2, , n

thì D = x(a1− x) (ai−1− x)(ai+1− x) (an− x).

6.5 Tính tốn trực tiếp.

6.6 Đặt A = (aij)m×n Khi kết phép nhân hàng i của

A cột i AT chính a2

i1+ a2i2+ + a2in Nếu tổng

bằng tất phần tử hàng thứ i A 0.

b) A2011=2.3

2011− 22011 22011− 32011

2.32011− 22012 22012− 32011

6.8 Sử dụng AA∗ = (det A)I để đưa đẳng thức det A det A∗= (det A)n.

6.9 Sử dụng đẳng thức I − A4 = (I − A)(I + A)(I + A2) để chứng minh det(I + A) 6= 0.

6.10 Đặt B = I + A3 thì A2+ A5 = A2B A2B = BA2 Do (A2B)5= A10B5= θ ta phân tích tương tự bài 6.9

6.11 Chỉ det A 6= sử dụng đẳng thức (BA)10 =

A−1(AB)10A.

6.12 Nếu A có ba giá trị riêng thực phân biệt λ1, λ2, λ3thì

các giá trị riêng A3là λ3

1, λ32, λ33và ba số thực phân biệt 6.13 Nếu A có ba giá trị riêng thực phân biệt λ1, λ2, λ3thì

các giá trị riêng A5− A4+ 4A f (λ

1), f (λ2), f (λ3) với

f (x) = x5− x4+ x Do f (x) đồng biến nên f (λ

1), f (λ2), f (λ3)

là ba số thực phân biệt

6.14 Nếu A có giá trị riêng thực λ1, λ2, , λn >

0 ma trận A3 + 3A − 5A−1 có giá trị riêng là

f (λ1), f (λ2), , f (λn) với f (x) = x3+ 2x − 3x−1 Do f (x)

đồng biến (0, +∞) nên f (λ1), f (λ2), , f (λn) n giá trị

riêng phân biệt

6.15 det(A3+ 3A) = 2280.

6.16 det B = 181002(21002− 1)(31002− 1)2. 6.17 D = n!.

HD: Cộng hàng vào hàng 2, 3, , n, ta thu định thức tam giác

6.18 D = 1.

HD: Ký hiệu định thức Dn Bước 1, biến đổi định thức theo

thứ tự sau: lấy hàng n trừ hàng (n − 1), hàng (n − 1) trừ hàng (n − 2), , lấy hàng trừ hàng Lấy kết thu khai triển theo cột Bước 2, biến đổi định thức theo thứ tự sau: lấy cột (n − 1) trừ cột (n − 2), lấy lấy cột (n − 2) trừ cột (n − 3), , lấy cột trừ cột Đến ta thu Dn−1,

nghĩa Dn= Dn−1

6.19 Hãy trace(AB) = trace(BA) với A, B vng

cùng cỡ Từ trace(AB −BA) = 6= trace(I) = n nên AB − BA 6= I.

6.20 Hãy M ma trận vuông r(M ) = 1

thì M2= (trace(M ))M , sau sử dụng trace(AB − BA) = 0. 6.21 Hãy r(AB) = (AB)2= 9AB Sử dụng

r(AB) = để r(BA) ≥ r((AB)2) = khẳng định

được BA ma trận khả nghịch Sử dụng (AB)2 = 9AB để

chỉ (BA)3 = 9(BA)2 Nhân (BA)−2 vào hai vế đẳng thức

(BA)3= 9(BA)2 thì thu kết quả.

6.22 Nếu x = det(xA + yB) = det(yB) = y3det B = 0.

Nếu x 6= det(xA + yB) = x3P (t) t = y x

P (t) = det(A + tB) đa thức bậc Theo giả thiết P (0) = P (1) = P (−1) = nên P (t) phải có dạng P (t) = αt(t2− 1) với

α số Tiếp theo α = lim

t→∞

1

t3P (t) = limt→∞det(

1

tA + B) =

det B = Từ ta có P (t) = với t.

6.23 Tương tự 6.10. 6.24 n = 2013.

HD: Đặt M =1 −1 −1

(17)

(2015α2014+ nαn−1)βM Từ quy hệ phương trình

(

α2015+ αn= 2

(2015α2014+ nαn−1)β = 2048

Chỉ α ước để giải phương trình thứ tính ra nghiệm α = Thay α = vào phương trình thứ hai thì thu (2015 + n)β = 4048 Dựa vào n + 2015 ước số của 4048 ta khẳng định n + 2015 = 4048 suy β = Từ đó ta tính n = 2013 tính X =2 −1

1

MẪU ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN

Bộ môn Đại số Xác suất thống kê trân trọng giới thiệu số mẫu đề thi kết thúc học phần mơn Đại số tuyến tính Để có chuẩn bị tốt cho kỳ thi sinh viên cần lưu ý điểm sau:

1 Sinh viên học ĐSTT tín chỉ làm bốn câu Thời gian làm đề thi 70 phút

2 Sinh viên học ĐSTT tín chỉ làm câu Thời gian làm đề thi 90 phút

3 Khơng mang tài liệu phịng thi Khơng mang điện thoại vào phòng thi

4 Mang thẻ sinh viên thi, mang máy tính (nếu cần) để sử dụng thi

5 Sinh viên không nháp vào đề thi, phải nộp lại đề thi làm hết làm

ĐỀ SỐ 1 Bài Cho ma trận A = −3

−2

!

a) Tính A215

b) Tính det(A512+ 4A215+ 2A251).

Bài Giải biện luận hệ phương trình

      

x1− x2+ 2x3− x4 = 2x1+ x2+ 3x3+ 4x4 = 4x1− x2+ 7x3+ λx4 = Bài Trong không gian R4 cho hệ véc tơ {a

1, a2, a3} với

a1 = (1, 1, 3, −2), a2 = (2, 1, 2, 1), a3 = (1, 3, 3, 2). a) Chứng minh hệ {a1, a2, a3} hệ độc lập tuyến tính

x = (4, 0, 4, −2) qua hệ {a1, a2, a3}

Bài Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3xác định công thức

f (x) = (3x1+ x2+ 2x3, 2x1+ 2x2− 3x3, 3x1+ x2− x3) với x = (x1, x2, x3) ∈ R3 Hãy tìm ma trận f trên sở {a1, a2, a3} R3 với

a1 = (2, 1, 4), a2 = (1, −1, 1), a3 = (2, 2, 1).

Bài 5 Trong không gian Euclid R4 cho hệ {u1, u2, u3, u4} với

u1 = (1, 1, 1, 2), u2 = (2, 1, 1, −1),

u3 = (3, 2, −1, 3), u4 = (5, 2, 5, −4).

Hãy phần tử x ∈ R4 nào thỏa mãn x ⊥ u1, x ⊥ u2, x ⊥ u3 thì ta phải có x ⊥ u4

ĐỀ SỐ 2 Bài Tính hạng ma trận sau theo x

A =

  

x 3 3 x

3 x x x

x x x x

  .

Bài Giải hệ phương trình

      

3x1− x2+ 5x3− x4 = 2x1+ x2+ x3+ 4x4 = 2x1− x2+ 4x3− 2x4 =

Bài Trong khơng gian tuyến tính R3 cho hệ {a1, a2, a3, a4} với a1 = (1, 1, −1), a2 = (2, 1, 3) a3 = (1, 4, 2), a4 = (5, 0, 2) Hãy tìm tất biểu diễn tuyến tính có a4 trên hệ {a1, a2, a3, a4}

Bài Cho ma trận A =

  

3 −1 −1 −5

  .

Bài Trong không gian Euclid R4, cho véc tơ x = (2, 4, −5, 6) cho M không gian hai chiều có sở gồm véc tơ u1 = (2, 1, 3, −1), u2 = (1, −1, 1, 2) Hãy tìm véc tơ u, v với u ∈ M, v ∈

M⊥ sao cho ta có đẳng thức x = u + v. ĐỀ SỐ 3

Bài Cho hai ma trận

A =

  

1 2

2 −2

1 1

 

, B =

  

1

−1

2 −1

  .

a) Tính nghịch đảo ma trận A. b) Giải phương trình AX = B.

Bài Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số λ

            

(18)

Bài Trong không gian tuyến tính R4 cho khơng gian

M = {(x1, x2, x3, x4)|x1+ x2− 2x3+ 4x4 = 0} và phần tử w ∈ M với w = (1, 1, 3, 1) Hãy xác định một sở số chiều M cho biết tọa độ của

w sở đưa ra.

Bài Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3xác định công thức

f (x) = (4x1+3x2−3x3, x1−2x2−3x3, x1+3x2+2x3), với x = (x1, x2, x3) ∈ R3

b) Xác định x ∈ R3 để f (x) = f (2, −1, 3).

Bài 5. Bằng phương pháp trực chuẩn hoá Gram–Schmidt xây dựng sở trực chuẩn không gian R3 từ sở cho sau đây:

a1 = (2, 2, 1); a2 = (4, 10, −1); a3 = (2, 7, 3). Tính tọa độ phần tử x = (1, 8, 9) sở nhận

ĐỀ SỐ 4 Bài Cho hai ma trận

A =

  

2 1

3 −2

−2

 

, B =

  

1

3 −2

1 −2

  .

a) Tính det(2A3B2+ 3A2B3) b) Tính hạng ma trận A + 2B. Bài Cho hệ phương trình

            

x1 + x2+ x3+ x4 = 3x1+ x2− x3− 2x4 = 2x1− 4x2+ x3− 2x4 = 2x1+ 6x2− x3+ x4 = λ

Bài Trong khơng gian tuyến tính R3 cho hai hệ cơ sở (a) = {a1, a2, a3} (b) = {b1, b2, b3} với

a1 = (2, 1, −1), a2 = (3, 1, 2), a3 = (2, 1, 4),

b1 = (1, 2, 3), b2 = (−1, 0, 2), b3 = (5, 1, 2). Hãy tính ma trận chuyển sở từ hệ (a) sang hệ (b). Bài Cho ma trận A =

  

3 −1

1

3 −1

  .

Bài Trong không gian Euclid R4, cho véc tơ u = (3, −2, −2, 11), v1 = (2, −1, 3, 3), v2 = (1, 1, −1, 2).

a) Hãy xác định số λ, µ cho w = u + λv1+ µv2 trực giao với véc tơ v1, v2

ĐỀ SỐ 5 Bài Giải phương trình

x 1 1 x

x x x x x x 2

2 2 x x

= 0.

Bài Giải hệ phương trình

      

x1+ 2x2+ 2x3− 3x4− 4x5 = 11 3x1+ x2+ 3x3− 9x4− 2x5 = 14 2x1− 2x2+ 5x3− 6x4+ 4x5 = 13

Bài Hãy tìm tọa độ véc tơ x = (3, 10, −2, 3) sở khơng gian tuyến tính R4:

a1 = (1, 1, −1, 2); a2 = (2, 3, 1, 1);

a3 = (−1, 2, −2, 1); a4 = (1, 1, 1, −1).

Bài Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3xác định cơng thức

f (x) = (4x1+x2−x3, 2x1+3x2−x3, −x1−3x2+2x3), với x = (x1, x2, x3) ∈ R3

b) Hãy ma trận f sở mới {a1, a2, a3} R3 với

a1 = (1, 1, 4), a2 = (3, −1, 5), a3 = (−1, −1, 1) ma trận đường chéo

Bài Trong không gian Euclid R4 cho hệ sở trực chuẩn {u1, u2, u3, u4} với u1 =

1

5(4, 2, 1, 2), u2 =

5(−1, 2, 4, −2), u3 =

Bài 1. 7 Giải phương trình:

x x 1

1 1 x x

x 2 1 x

x x 1

= 0.

Bài 1. 8... định thức

D =

x x 1

1 x x 1

1 1 x x

x 1 1 x