Học và ôn tập toán đại số giải tích 11 lê bích ngọc

Trang 1

LE BÍCH NGỌC (chủ biên) LÊ HỒNG ĐỨC HỌC VÀ ƠN TẬP TỐN at SO ——————————— —————— & Giai tich (Dùng cho học sinh ban A

Trang 2

LÊ BÍCH NGỌC (Chủ biên) LÊ HỒNG ĐỨC

Học và ơn tập tốn

DAI SO VA GIAI TICH TI

Trang 3

GIỚI THIỆU CHUNG

Xin trần trong giới thiệu tới bạn đọc bộ sách: HOC VA ONT TOAN do nhóm Cự Môn dưới sự phụ trách của Thạc sĩ Toán học — Kĩ sư Tìn học Lê Hồng Đức biên soạn Bộ sách gồm Ä cuốn

Cuốn1: Học và ơn tập Tốn - Hình học I0

Cuốn 2: Học và ơn tập Tốn - Đại số I0

Cuốn 3: Học và ôn tập Toán - Lượng giác II Cuốn 4: Học và ôn tập Toán - Hình học II

Cuốn 5: Học và ôn tập Toán - Đại số và Giải tích I1 Cuốn 6: Học và ơn tập Tốn - Hình học I2

Cuốn 7: Học và ôn tập Toán - Giải tích 12

Cuốn 8: Học và ôn tập Toán - Đại số tổ hop 12

Mục tiêu của bộ sách này là cung cấp cho các thảy, cô giáo một bộ bài giảng chuyên sảu có chất lượng và cho các em học xinh Trung học phổ thông yêu thích mơn Tốn một bộ sách học tập bổ ích

Bộ sách được viết trên một tư tưởng hoàn toàn mới mẻ, có tỉnh sư phạm, có tính

tổng hợp cao, tận dụng được đây đủ thế mạnh của các phương pháp đặc biệt để giải

Toán

Bộ

đến các em Hoe sinh lép 10, 11, 12 va cde em chuẩn bị dự thỉ mơn Tốn Tốt

Ích này chắc chắn phù hợp với nhiều đối tượng bạn đọc từ các thẩy, cô giáo nghiệp PTTH hoặc vào các Trường Đại học

Cuốn

HỌC VÀ ƠN TẬP TỐN

Chương I: Dãy số

Chương II: Giới hạn của hàm số Chương II: Hàm số liên tục

Chương IV: Hàm số mũ - Hàm số logarit

Chương V: Phương trình, bất phương trình và hệ mũ Chương VI: Phương trình, bất phương trình và hệ lôgarit

bao gồm 16 chủ đề, miêu tỉ chỉ tiết phương pháp giải cho 93 dụng toán co ban và

Trang 4

Cuối càng, cho dù đã rat cổ gắng, những thật khó tránh khỏi những thiểu sót bởi

những hiểu biết và kinh nghiệm còn hạn chế, rất mong nhận được những ý kiến

Trang 5

CHUONG I DAY S6 - CAP Số CỘNG - CẤP Số NHÂN CHỦ ĐỀ 1 DÃY SỐ 1 KIEN THUC CO BAN 1, DINH NGHIA Định nghia: Diy so (11,) la mot ánh xa tit N’ vdo R: ƒ£ N oR Khi đó, ta có u, = f(n) Kí hiệu (u,) hay ở dạng khai triển là u,, u›, , Uy, 2 CÁCH XÁC ĐỊNH MỘT DÃY SỐ

Một dãy số thường được xác định bằng một trong các cách:

Cách l- Dây xố vác định bởi một công thức cho xố hạng tổng quát nụ

Thí dụ L: Dãy số (u,) xác định bởi u, = 8n + 1 Khi đó, nếu viết dãy số này dưới

dạng khai triển, ta được 9, 17, 25, 8n + I,

Cách 3: Dãy số xác định bởi một công thức truy hải tức là:

® - Trước tiên, cho số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu)

Trang 6

Khi đó, nếu viết đấy số này dưới đạng khai triển ta được:

b,=l,by=l,b,=2,b,=3,bạ= 5,

Dãy số này được gọi là dứy số Phibôndvi

Cách 3: Dãy số vác định bởi một mệnh để mô tả các xở hạng liền tie của nó

Thí dụ 3; Cho day số (u,) với u, là chữ số thứ n trong cách viết thập phản cụ số

1, khi đó ta có đấy số:

u;=3,u:=l,u¿=4,u,=l,u¿=5,

“Trong trường hợp này ta không tìm được công thức biểu thị số hạng u„ qua n

3 DAY SO DON DIEU

Định nghĩa I (Day số tăng): Dây số (u„) được gọi là tăng nêu Vn eNÑ.u,<u hái:

Vay, voi day số (u,) tăng, ta có u, <uy<0¿< <u,< a Day sé (u,) được xác định bởi u, = 2n + I là dãy số tăng

b Với đấy số (u,) được xác định bởi u, = n - 6, dễ thấy nó không phải l'dãy

xố tăng

Định nghĩa 2 (Dây số giảm): Dấy xố (u„) được gọi là giùm mến Vn € ÑN` uy 3> tụy

„ Vậy, với đãy số (u,) tăng, La có u, > uy > uy > > U, >

a Day so (u,) được xác định bởi u„= ¬ là dãy số giảm

n+

b Với đấy số (u,) được xác định bởi u, = {a8 thấy nó không phải lấy

số tăng hoặc giảm " 4 DAY SO BLCHAN Định nghĩa 3 (Day so bi chặn trên): Dây xố (t,) được gọi là bị chặn trên nếu: IMcR:u,<M.VneN Thí dụ 6; a Dãy số (u,) Với tụ = ! bị chặn trên bởi ! Như vậy, dễ thấy mọi dy số n+l 2

(u,) giảm luôn bị chặn trên bởi tụ

b Với dãy số (u,) được xác định bởi u„ = n, dẻ thấy nó không bị chặn trêt Định nghĩa 4 (Dây xổ bị chặn dưới): Day xố (u,) dược gọi là bị chặn dưới nếu :

3meR:u,>m,VneN

Trang 7

Thí dụ.7:

a Dãy số (u,) vớt u, = 2n + T bị chặn đưới bởi 3 Như vậy, để thấy mọi dãy số (u,) tăng luôn bị chặn dưới bởi u,

b Với đấy số (u,) được xúc định bởi u„ = ~ n, để thấy nó không bị chặn dưới Định nghĩa 5 (Dây số bị chặn): Dây sổ t,) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chân chưới, trữ là ImMeR:mes ,<M.VneN Thí dụ 8: a Dãy số (u,) với u, = - ® Bị chặn trên bởi Ï, vì u,= ni pews ^ n “© Bị chặn dưới bởi 0, vì u,= - b Dãy số (u,) với u„ =(=1)°.n, không bị chặn trên và không bị chặn dưới

Với giá thiết cho dãy số (u,) đưới dạng công thức tổng quát hoặc biểu thức truy hồi và câu hỏi thường được đặt ra là:

* Hay viết k số hạng đầu của dãy số hoặc tìm u, Câu hỏi này được thực hiện bằng phép thế

" - Xác định xem a là số hạng thứ mấy của dãy số Câu hỏi này được thực hiện

bằng việc giải phương trình ẩn n

Trang 8

Vídụ 2; Cho day số (u,) xúc định như sau

P =15,u,=9

Úy=,s=u,j,nz3”

a Hay viét 6 số hạng đầu của dãy số

b Tìm xem ~3 là số hạng thứ mấy của dãy số 2 Giải a Ta lần lượt có: u,= 05: b Dễ thấy mọi số hạng của dãy số đều không nhận giá trị bằng - 3 1p = 9; uy =- 6; uy =- 15; u= 9; BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bai tap 1 Cho dãy số (u,) với u, =

a - Viết 6 số hạng đầu của dãy b Tìm xem a là số hạng thứ mấy của đãy số Bài tập 2 Cho dãy số (u,) với u„ = Vn? +36

a, Viét 5 sé hang dau ctia day

b Tim xem a là số hạng thứ may cua day số ? Bai tap 3 Cho đấy số (u,) với u, = ©

a Tim uy, U)5, Us, Uay or

b Tìm xem 0 là số hạng thứ mấy của dãy số ? c Tìm xem l là số hạng thứ mãy của dãy số ? Bài tập 4 Cho dãy số (u,) xác định như sau:

u,=l

uạ=2u,,+l,n>3ˆ a - Hãy viết 6 số hạng đầu của dãy số

b Tìm xem 5[ I là số hạng thứ mấy của dãy số ?

Trang 9

(Bài toán 2: Sử dụng phương | mãn tính chất K PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước L-— (Bước cơ sở): Chứng mình rằng số hạng u, thoả mãn tính chất K Bước 2: (Bước quy nạp): Giả sử số hạng uị thoả mãn tính chất K Ta đi chứng

minh s6 hang u,,, cing thoa man tinh chat K Bước 3: Kết luận day s6 (u,) thoả mãn tính chất K

Ví dụ l: Cho dấy số (u,) với u, = n` + In Chứng minh rang moi sé hạng của đây số này đều chia hết cho 6

Giải Tacó: u,=l + lI=12=3u, 6,

Giá sử u, : 6, tức là (kÌ+ LIk) : 6 Ta đi chứng mình u,., : 6

Thật vậy: ú,,=(k+ 1) 4+ 11(k +1) =k’ 4 3k 43k 414 11k +11

=(kÌ+ TIK) + 3k(k + 1) + 12

suy rau, , | 6 boi (k’ + 11k) | 6, 3k(k + 1)! 6 va 12: 6

Vay, moi s6 hang ctia day s6 (u,) déu chia hết cho 6 Vidy 2: — Cho day số (u,) xác định như sau:

u,=u,=1

u, = Uy +2u, ,,n2 BF

Chứng minh rằng u, < 6u, ;, Vn > 5

Giải

“Ta có: uy= 3,0; =7, uy = L7 => uy < Ou

Giả sử công thức đúng với mọi n < k, tức là: uy <6u,,

uy) < buy

ta di chitng minh u,, , < 6u, _;

“Thật vậy: u,,,= u,., + 2u, < 6u,_, + 2.6u,., = 6(u + 2u, 5) = 6u, |, dpem

Vậy, ta luôn có u, < 6u, _ ; Vn > 5

Ví dụ 3: — Cho dấy số (u,) xác định như sau:

t =i

Trang 10

ñ ằ TL Chứng minh rằng u, = 2cos Sarit Giả sử tị = 2cos gee - Tadi ching minh u,,, = 2cos- he Thật vay: Uy.) = T Vậy, ta luôn có u, = 2cos oan BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bai tap 1 Cho day s6 (u,) voi u, = 13" L Chứng mính rằng mọi số hạng của dãy

số này đều chia hết cho 6

Bài tập 2 Cho dãy số (u,) xác định như sau: { =u, =1

uy = 2u,.¢u,.,.n>3

Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số này đều là số lẻ

Bài tập 3 Cho day số (u,) với u„ = 2° ** Chứng mỉnh rằng u„ > 2n + 5

Bài tập 4 Cho dãy số (u,) xác định như sau: u, =l,u; =2 | " =U, +2u, 923° " , 5)" i Chứng mình rằng u, < B „VneN Bài tập § *” Cho dãy số (u,) xác định như sau: fu Big, 226

{uy - cu, ¡ edu, 023 „ với cả z 0

Chứng mỉnh rằng u„ = (e, + ne;)r" với e¿„ e; là các hằng số phụ thuộc a, b và r là

nghiệm kép của phương trình x` = ex - đ=0

Trang 11

Ap dung: Cho day so: Ching minh rang a, = 3""'~ 29.3" |) Wne N Hướng đấm: Vì r là nghiệm kép của phương trình x` cx - d= Ö nên e = 2r và d= - r` do đó u, có dạng u„ = 2r0,-, — ru, > Bài tập 6 * Cho dãy số (u,) xác định như sau: fu avu,=b „ với cd z Ú

lu, = CAML, ytd sn 23

Chứng mình rằng u, = ¢,1" + esr) véi e,, e La cdc hang sé phu thude a, b var, r,

là hai nghiệm phân biệt của phương trình xỶ cx - d= 0 Áp dụng: Cho dãy số: a, =a,=1 a, =a,_)+a, ,n 23 Chứng minh rằng a, = % (A) {+ v5 5 2 2 wel ] VncN thưởng dân: Chứng mình bằng quy nạp ác định công thức cú PHUONG

Ta cé thể lựa chọn một trong các cách sau:

Cách 1: Sử dụng biến đổi đại số để thu gọn và đơn giản biểu thức của u„

Cách 2: Sử dụng phương pháp quy nạp bằng việc thực hiện theo các bướ

Bước I: — Viết một vài số hạng đầu của dãy, từ đó dự doán cong thức cho u,

Trang 13

ie no ondal Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được: 1 n S, =u, tu, + + U, n Vay, ta cd S,= 5 nal í dụ 3: — Cho dãy số (u,) xác định như sau: uy ` Su u, =3u,.,,922 Xác định công thức tính u, theo n Giải Ta có: nel est u,=3=3!' uạ=3.3=3? Dự đoán u„= 3"ˆ' Ta đi chứng mình dự đoán trên bằng phương pháp quy nạp, thật vậy: uy =3! '= 1, tức là công thức (1) đúng với n= 1 n+l ni a) Giả sử công thức (1) đúng với n = k, tức là uy = 3' ' Ta đi chứng mình nó cũng đúng với n = k + l Thật vậy: uy,, = 3u, = 3.3*ˆ!= 3*, tức là (1) đúng với n=k + I Vay, tacé u, = 3" | BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bai tap 1 Cho dãy số (u,) xác định như sau: ` u=4

úy, =2U,¡,ñ 32” wel Xác định công thtic tinh u, theo n

Bài tập 2 Cho dãy số (u,) xác định như sau:

u, = v2

u, = đt n>2 Xác định công thức tính u, theo n

Trang 14

Bài tập 3 Cho dãy số (u,) voi u, = n+4n t3 định như sau: S, =u, S$, =S,.;4 4,022 Xác định công thức tính S, theo n Bài tập 4 Cho dãy số (u,) xác định như sau: u,=5 u =U N22 Xác định công thức tính u, theo n Bai tap 5 Cho dãy số (u,) xác định như sau: Ie |» Se tụ 1 Xác định công thức tính u, theo n PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:

Cách !- Thực hiện theo các bước:

Bước l: — Lập hiệu H=u,,, - u„ từ đó xác định dấu của H

Bước 2: Khi do:

#8 Nếu lI>0 với Yn © N thi day s6 (u,) tăng ® NéuH <0 v6i Vn © N’ thi day s6 (u,) gidm

Cách 2: Nếuu,>0 với Vn c NỈ tà có thể thực hiện theo các bước: vn Ua ae ae ce ae

Bước I: — Lập tỉsốP= —*'*, từ đó so sánh P với I

u

Buéc 2: Khi do:

= NéuP> 1 véi Vn N’ thi day số (u,) tăng

Trang 15

Giải a - Tà có thể trình bày theo hai cách sau: Cách l: Xét hiệu: nal n nel H=u,,, u,= — -= quận =~ <0VneN

Vậy, đây (u,) giảm

Cách 2: Dễ thấy u„ >0 với Vn € N’, xét tỉ số: pe You n+] 3° u ate oy J do l+ <2nênP<l n Vay, day (u,) giảm b Xét hieu: lI=u,,, u=n+tl+£cos(n+l) (n+cosn)=l cosn+cos(n + 1) =sinh +eos(n+l)>0,WVncN Vậy, dãy (u,) tăng ce Xéthiệu: mái] -(3]⁄DJ( 9 3(3Ÿ

Thấy ngay đấu của H phụ thuộc vào tính chẩn, lẻ của n

Vậy, dấy (u,) Không đơn điệu

í dụ 2; — Xét tính dơn điệu của dãy số (u,), biết: u,=l t ~2u,,tln>27 Giải “Tủ có thể trình bày theo hai cách sau: Cách f Xét hiệu: H=u,,¡—~ 0= (20, + l)= 0,=u,+ Í Ta sẽ di chứng mình u, > 0, Vn NỈ bằng quy nạp Tạ có: u, = Ï >0, tức công thức đúng với n= 1

Giả sử công thức đúng với n = k, tức là u, > 0, ta đi chứng minh u,, ¡ > 0

Trang 16

Vậy, ta luôn có u„ >0, Vn e NỈ

Do đó H >0, từ đó suy ra đấy (u,) tăng

Cách 2: Trước tiên, ta đi chứng mình u„ >0, Vn € NỈ (ương tự như trong cách 1) 2u, tÍ I tee: te dụ, Xét tỉ số: P= -9+L = =2+ >I u u u Vậy, dãy (u,) tăng BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài tập Í Xét nh đơn điệu của các đãy số sau: a u,= Me " b u,=n+sinhn a a= 5 ! - d uy= en, € u,=- _ = Ê tre Ga, n n+l "onal

Bai tap 2 Xét tính đơn điệu của dãy số (u,) biết:

Bài tập 4 Xét tính đơn điệu của dãy số (u,), biết:

u, = 2 + Aries r⁄2 (n dấu căn)

Trang 17

cua mot (u,)

PHƯƠNG PHÁP CHU

Sử dụng định nghĩa:

= Néu 3M e R:u,<M, Vn N thi (u,) bị chặn trên “ Nểu3mec R:u,>m, Vn e NỈ thì (u,) bị chặn dưới

# Nếu 3m.MeR:m<u,<M,Vn e NỈ thì (u,) bị chặn

Chú ý: Dựa trên kết quả:

* Mọi dãy số (u,) giảm luôn bị chặn trên bởi u, * Mọi dãy số (u,) tầng luôn bị chặn dưới bởi uị

Ví dụ]; Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chăn của các đấy số sau: a is b ou, = — Che a n(n+1) Giải a.- Viết lại u, dưới dang: Cost u,=n+— > 2=>(u,) bị chặn dưới bởi 2 n Ta thấy ngay giá trị của u, có thể lớn bao nhiêu tuỳ ý, do đó (u,) khong bi chan trên

Vay, day (u,) bi chặn dưới và không bị chặn

b ‘fa thay ngay:

*® u,>0, do đó nú b chn di

đ Vỡin(n+l)>2ôeằu,< mì đo đó nó bị chặn trên

Trang 18

Ví dụ2; Xét tính bị chặn trên bị chặn đưới, bị chàn của dãy số sau: 1 ! 1 y= + + = 42 3 nín+l) Giải Tacé; n(n+l) —t— = 4-1 on n+l từ đố, ta thấy: 1 1 1 I 1 | 1 1 n u=l——#+==~+~ —+.+—-——=l~——=—— 2 2 3 3 4 nú n+l n+l n+] =0<u,<l

Vậy, dãy (u,) bị chặn

Ví dụ 3: — Cho dấy số (u,) xác định như sau: u,=2

a Chứng minh rang (u,) bị chặn dưới bởi 1

b Chứng minh rằng (u,) giảm Suy ra (u,) bị chặn Giải a _ Ta đi chứng minh u, > I với Vn e N” bằng phương pháp quy nạp Ta có: u, =2> l, tức công thức đúng với n = 1 Giả sử công thức đúng với n = k, tức là u, > L, ta đi chứng minh u,„, > l Thật vậy: ~

Vậy, ta luôn có u„ > [, Vn œ NƑ, tức là (u,) bị chăn dưới bởi 1

b Ta có thể trình bày theo hai cách sau: Cách !: Xét hiệu: +1 I-u, my ETS H=u,,,-u,= Vậy, đãy (u,) giảm Cách 2: Xét tỉ số: P= Mast = =| tạ

Vậy, đấy (u,) giảm

Trang 19

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài tập 1 Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chan của các đãy số sau: b u,= _ 4 c ue es nr -t Qn - Dn +1) Bài tập 3 Cho dãy số (u,) xác định như sau: fu, =2 +8 = tet? wee

a Chting minh rang (u,) bị chặn trên bởi 8

b Ching minh rang (u,) tang Suy ra (u,) bi chan

Bai tap 4 Cho dãy số (u,) xác định như sau: ‘ =⁄2 uạ=x2+u ni n2 a Tìm công thức biểu diễn u, theo n b Chứng minh rằng (u,) bị chặn Bài tập § Cho dãy số (u,) xác định như sau: iy 3

a Chting minh rang (u,) bị chặn trên bởi 5

b Chứng minh rằng (u,) bị chặn dưới bởi 1

vn +e Bai tap 2 Xét tính bị chan trên, bị chặn dưới, bị chặn của các đãy số sau:

Trang 20

CHU DE 2

GIGI HAN CUA DAY SO 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 ĐỊNH NGHĨA

Định nghĩa: Số w được gọi là giới hạn của dây xố (0) nếu với mọi xổ e đương tHỲ Ý,

tôn tại xở tự nhiền Ñ sao cho với mọi n >N thì lu, -ul<e

Như vậy:

limu, =ucs» Ve>0,3NeN`: |u,—ul <evdin>N

nev %

2 CÁC ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN,CỦA DÃY SỐ

Định lí L: (Điều kiện cần để dãy số có giới hạn): Nếu một dãy số có giới hạn thì nó

bi chan

Dinh li 2: (Dinh li Vaiostrat — Diéu kiện đủ để dãy số có giới hạn): =" Mot day sé tang va bi chặn trên thì có giới hạn

Định lí 3: (Tính duy nhất của giới hạn): Nếu một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất Dinh lí 4: (Các phép toán trên các giới hạn của dãy sé): Néu hai ddy sé (a,) và (b,) có giới hạn thì ta có lim(a, £b,) = lima, + limb, nv non = lim(a,.b,) = lima, limb, nope ne nan a " „với limb„ #0 nn Định lí 5: Nếu hai dãy số (a,) và (b,) có giới hạn và a, < bạ voi moi n thi lima, < limb,

Dinh Ii 6: (Nguyén li kep giitay: Cho ba day s6 (a,), (b,) va (C,) sao cho 2 lima, = lime, =A thi limb, =A

Trang 21

4 DAY SO DAN TOL VO CUC

Dinh nghia’ Day so (u,) goi là đân tới + nếu với mọi số dương M tuỳ ý, tổn tại xố

tự nhiên N xao cho với mọi n> N thì uy >M Nhất vậy: limu, = + e VM >0, 3N cN`:u,>M với n>N nợ Tương tự, tà có định nghĩa: limu, =- <» VM >0,3N eN':u,<- Mvớin>N Ta có các kết quả sau: 1, Nêu limu, =+ thi tiv =0 nn nn Uy,

2 Nếu limu, =0thì lim at =o noe an,

I CAC DANG TOAN LIEN QUAN Bài toán 1: Sử dụng định nghĩa chứng minh rằng limu,„ = u nen

PHUONG PHAP CHUNG

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Với Ve >0, xuất phát từ bất đẳng thức:

lu,—ul <e&=>n> ge) Bước 2: Chon N = [g(£)] + 1

Đước 3: Vậy:

Ve>0,3NeN’: [u,~uÏ <evớin>N<+ limu, =u

Trang 23

Bài tập 2 Dùng định nghĩa giới hạn, chứng minh rằng:

a lim -— =0 §, HE 2M

ree IN” del n+» nˆ+4n+5

Bài tập 3 Dùng định nghĩa giới hạn, chứng minh rằng: lim n-vn-t)=0 Bai tap 4 Dùng định nghĩa giới hạn, chứng mình rằng: lim (vn? +n-n) = > n~»e Bài toán 2: Chứng minh một dãy số có giới hạn | PHƯƠNG PHÁP CHUNG Sử dụng định lí Vaiơstrat, cụ thể:

Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn

# Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn 1 1 1 ` Ví dụ l1; Cho day sé (u,) với u,= —— + + + —— Chứng minh ran; sỹ n+l n+2 2n k 5 dãy số này có giới hạn Giải

‘Ta sẽ đi chứng minh dãy số (u,) tăng và bị chặn trên

Chứng minh dãy số (u,) tăng Xét hiệu: H= hài TU, hà { : + : +.+ : (4+ J sat] n+2 n+3 2(n+l) n+l n+2 2n 1 + | 1 I as = — — +0: 2n+l 2n+2 ntl (2n+l)2n+2) Vay, day (u,) tang: Chứng minh dãy số (u,) bị chặn trên Ta có: I I I n u,< —— + — + + =— <I n+l n+l n+l n+l Vậy, dãy (u,) bi chan trén béi |

Vậy, dãy (u,) có giới hạn

Trang 24

Wídu2: - * Cho dãy số (u,) với u,= (1 2 | Chung minh rang day sé nay cé

` ny

gidi han

Giải

“Ta sẽ đi chứng minh dãy số (u,) giảm và bị chặn dưới

" - Chứng minh dãy số (u,) giảm Thật vậy, dễ thấy u, > 0 với Vn 6 N}, xét tỉ SỐ: pe Yen of; HÌ (] (2 n J "+2 n Lael nel nil iia À =|1- Et J J (n+l) n+l b suy ra: P< — ‘i ñ==lee = | 0 (n+1)° (n+1)" (n +1)

Vay, day (u,) giảm

Trang 25

i toan 3: Tính giới hạn của dãy số bằng các định lí về giới hạn “| PHƯƠNG PHÁP CH

Ta lưa chọn một trong hai cách:

Cách !: Đưa dãy số cần tìm giới hạn về dạng tổng hiệu, tích, thương của những dãy số mà ta đã biết giới hạn

Ta có các kết quả sau:

1 limC =C, véi Cla hằng số nn

2 fin = 0, voi a> 0 noe 3 lima’ =0, véi lq] <1 ne : 1 4 Nếu limu, =+œthì lim— =0 now noe tạ 5 Néu limu, =0thì lin non na tạ Cách 2: Sử dụng nguyên lí kẹp giữa Vidyl: Tính các giới hạn sau: 3

a l2 b lim pee c lim,

noo +2 noon +2 noondl]

Giải a Ta biến đổi:

a+! tim 2+ tim 4

lim 2n+) _ lim a = ten mu wy 2 =2,

mont2, eer A mlvim< Í

b_ Ta biến đổi:

ma"

aul lim - + lim -; 0

Trang 26

Vidy2; Tính các giới hạn sau:

ý n+ Vn +1 tnỶn

, ran b tim are

Ae fim 2n+3 ` mor adn? e143 Giai a Fa bién đổi: ¬.— feet 1+ lim 1+ lim ; 4 n+l t noe ere I

ina ee? os a” ae

NOP INR ES Oey, n one lim 2 + lim ~ b Ta biến đổi: n`+Ÿn "+ +nyn lim -— ae = tim - me giepes ee kh a ' yoo Vidy 3; = Tinh cac gidi hạn sau: 5 eee nidien’ a lim(Vn +1 = vn) b lim noe ỹ

a._ Ta thực hiện phép nhân liên hợp:

Trang 28

Vidy6: — Tinh gidi hạn sau: LE 2n-1) lim mo 2.4.6 2n Giải Ta biến đổi: 1.3.5 (2n - Ù) ›_ 13 3.5 57 (2n-l)(@n+l) uy 2.4.6 2n ours 2 ee (2ny? 1 I 5 Siig =0<u,< ý " 2n+l V2n+l Nhận xét rằng: lim 0=0 và lim L—=ọ now noe J2n41 suy ra lim u, = 0 BAI TAP ĐỀ NGHỊ Bai tap 1 Tính các giới hạn sau: 2n-1 a lims—-—= c nox 3n +2 3 b lim" ral d n¬s 3n” +2n” +6 Bài tập 2 Tính các giới hạn sau: vn °+n+l nŸn`+l +n⁄n a lim————— n>"2n + vÍn +1 b lim: "3“ 2njn2+1+] Bài tập 3 Tính các giới hạn sau: a lim(Vn°-n+ ~ln°+l) n~\ Am nove b lim-= nw vh : Bài tập 4 Tính các giới hạn sau: 1 2" am am

a meter lim ——— b wee geet pq lãm ; >:

Trang 29

CHỦ ĐỀ 3 CẤP SỐ CỘNG 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 ĐỊNH NGHĨA Dây số (uy) được vác định bởi uy, su Uy =u, +d, Vn N°

(u, d 1a hai s6 thue cho trude) duge goi là cấp số cộng

"u là số hạng đầu tiên = dla cong sai

Dac biét khi d = 0 thi (u,) 1A day s6 trong đó tất cả các số hang déu bang nhau

2 CAC TINH CHAT

* _ Số hạng thứn được cho bởi cơng thức: u,=u, ®(n - ])d ® u,,u,,,,0u,„,› là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng (u,) nếu: TÔI u = PHẾ ey ge Peed)» ) " Tổng của n số hạng đầu tiên S, được cho bởi công thức: ` S;=Uu,+u;+ +uy= Stu +u,) n =—[2 5 [2u, + (n - I)d| -

II CÁC ĐANG TOÁN LIÊN QU

[ài toán hứng minh tính chất của một cấp số cộng — ]

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Câu hỏi thường được đặt ra là:

"Cho ba sé a,b, ¢ lap thành cấp số cộng, chung mình tính chất K”

khi đó, ta thực hiện theo các bước sau:

Trang 30

Ví dụ |; Cho ba s6 a, b, c lập thành một cấp số cộng Chứng mình rằng: a’ + 2be = c° + 2ab Giải Từ giả thiết a, b, c lập thành một cấp số cộng, ta được: a+c=2b Khi đó:

a’ + 2b = 8` + (4 + CỘC = 4` + ác + cÌ = a(4 +€) + cÝ = 2ab + cÝ đpem

Vídụ 2: Cho (a,) là một cấp số cộng Chứng minh rằng:

a, = 5 (ns +a,,,), V6i moi n > k Giải Ta có ngay: „-+(n n+k)d=a,., + kd v+(n+k-n+k)d=a,_, + 2kd SUY ra: (82 +.) TÚ, ,ta,., + 2kd) =a,., + kd =a,, dpem BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài tap 1 Cho ba số a, b,c lập thành một cấp số cộng Chứng minh rằng: a’ + 8be = (2b +c) Bài tập 2 Cho (a,) là một cấp số cộng Chứng minh rằng: a ayp+a,=ay +8n-¡„¡, với k= 1,2,., n

b (q- ra, + (r ~ p)a, + (p - q)a,=0

Bi peice teen eel spec eel

BD Aa, Ay, Ags ns Bays

Bai tap 4 Cho (a,) là một cấp số cộng Hỏi các đãy số sau có phải là cấp 36 cong không ?

a (a, + p), voi p là số thực tuỳ ý b.(p.a,), với p là số thực tuỳ ý Ệ (2} với p là số thực tuỳ ý

a

Trang 31

toán 2: Chứng minh ba số lập thành một cấp số cộng ] PHƯƠNG PHÁP CHUNG Để chứng mình ba số a, b, c lập thành cấp số cộng, ta đi chứng mình a+c= 2b hoặc a - b=b-c V Cho ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng Chứng minh rằng ba số (a` + ab + b>), (a + ac +c”), (b° + be +c’) cing lập thành một cấp số cộng Giải Từ giả thiết a, b, c lập thành một cấp số cộng, ta được: a+c=2b Nhận xét rằng: (a + ab + b*) + (b? + be +c?) =a’ + (ab + be) + 2b + cŸ =a’ t+b(atc) + 2b + c° = a' + 4b +7 =a’ t(atc) +c? = 2a +ac +c")

Vay, ba số (a` + ab + bề), (a` + ac + c°), (bỀ + be + c”) cũng lập thành một cấp số cộng Vídụ 2: — Cho ba số dương a, b, c lập thành một cấp số cộng Chứng minh rằng 1 1 7 bi Số ee eee, | ——= cũng lập thành một cấp số cộng we Weve sea yasaee mai sang Giải

Tir gia thiét a, b,c lập thành một cấp số cộng, ta được:

Trang 32

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bai tap 1 Cho ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng Chứng minh rằng ba sỐ (a +b)’, c? + 2c, 4(a + b) + 2 cũng lập thành một cấp số cộng Bài tập 2 Cho ba số a”, b, c` lập thành một cấp số cộng có công sai khác 0 ] 1 Chứng minh rằng ba số soln cling, galls cũng lập thành một cấp số cộng b+c c+a a+b PHƯƠNG PHÁP CHL G Dé ba số a, b, c lập thành cấp số cộng, điều kiện là: a+c=2b, bài toán được chuyển vẻ việc giải phương trình Ví du 1; Tim x dé ba sé x* + 1, x = 2, I - 3x lập thành một cấp số cộng Giải Dé ba sé x° + 1, x — 2, | — 3x lap thanh một cấp số cộng, điều kiện là: (x? + 1) + (1 = 3x) = 2(x - 2) o> -5x46=0cox=2VxK= 3

Vậy, với x = 2 hoặc x = 3 thoả mãn điều kiện đầu bài

Chú ý: Một bài toán rất quen thuộc đối với phương trình trùng phương là: "Tim diéu kiện của tham số sao cho phương trình:

a+ bv tex +d =0,v6ia 20 (1)

có 3 nghiệm v„ và, xị lập thành cấp số cộng " Ta thực hiện như sau:

Điều kiện cẩn: Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt thành cấp số cộng, khi đó: Xi+X:=2X;, b b b Xp + Xt X= - — 9 3x,=- — Ox, =- — a a 3a

Véi x.=— A thay vao (1) ta duge:

a-2y Pte etapa

a( at Ot aa) tel ate 0

<> 2b ~ 0abc + 27a`d = 0 (2)

Trang 33

Điền kiện đủ: Từ (2) suy ra phương trình có nghiệm x;= — 2 Khi đó: Ja b b b 2 _, Ky PRE E a SONAR FS OM ERS 3a a 3a = OK, > X,.Xs,X, lap thành cấp số cộng Vậy, điều kiên cần và đủ để (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng là: 2b` ~ 9abc + 27a`d = 0

Với bài toán một tham số m, trong điều kiện đú ta có thể khẳng định bằng việc

chỉ ra nghiệm cụ thể của phương trình Hãy nhớ điều này rất quan trọng bởi khi đó

ta còn phải khẳng định phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt Vídụ2; - Xác định m để phương trình: x`~3x`~0x +m=0 (Œ) có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Giải Điều kiện cân: Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt thành cấp số cộng, khi đó: X, +X, = 2x, (*) X,+X1+X,=3 9 3x,=3 OX, = 1 ~ I thay vào (1) ta được: II=m=0«<>m= II

Đó chính là điều kiện cần để (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng

Điều kiện đủ: Với m=11, ta được:

x`~ 3x? - 9x 4 11 =O (x - I)(x?- 2x - 11) =0

xp=l- vi2

[x =I „ thoả mãn (*) [X37 1+ vi2

Vậy, với m=l 1 thoả mãn điều kiện đầu bài

Chú ý: Trong bài toán trên ở điều kiện đủ ta khẳng định được:

* Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

#8 Tacó x¡+xy= 2x:, tức là x,, xạ, x; lập thành cấp số cộng * Do đó, có kết luận m = l1 thoả mãn điều kiện đầu bài

Tuy nhiên, tồn lại bài toán mà các giá trị của tham số tìm được trong điều kiện cần không thoả mãn điều kiện đủ

Với

Bài toán trên có thể được giải bằng phương pháp hằng số bất định, như sau:

Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

Trang 34

Khi đó: x) 3x `~9x +m=|x = (x¿ = đ)](X - Xu)[x - (x,+ đ)] =(X~ Xj)[(x — xạ) = đÌ] =x`~3X4X + (3 xố — đ))x = xã + d4, —3=-—3Xụ xạ=l = 4-923x2-d œ 4d=22/3 m =x) +d°Xx9 m=Il

Vay, v6i m=11 thoả mãn điều kiện đầu bài

Chú ý: Một bài toán rất quen thuộc đối với phương trình trùng phương là:

"Tìm điều kiện của tham xố để phương trình

ax'+ bv += 0 (1)

có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp xố cộng "

Khi đó, ta thực hiện như sau:

Dat t =x", diéu kién t > 0

Khi đó, phương trình được biến đổi về dạng:

aU+ bL+c =0 (2)

Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt

A>U

<> {T=b/a>U0 Q)

c/a>0

và khi đó bốn nghiệm của (1) là -/t; - Yt) Vu ‹ ý -

Bốn nghiệm trên lập thành cấp số cộng khi:

ENE - fic + Yin = 2 Theo định li Viét ta cé: 3/0 c>ts=0t, (4) tị +tạ ==b/a i s (08) tt =sc/a Thay (4) vào (I) được : a b 9t, =—b !— "Ta 2 t, +9, đã ¬—¬ a 6) t,.(9t,)=c/a ge 10a 9a 10a

Kết hợp (5) và (3) nhận được điều kiện của tham số

Trang 35

Vidy 3: Cho phương trình:

4 2(m + I)x`+ 2m + =0 qd)

Xác định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số công

Giải Patt = x°, diéu kien t > 0

Khi đó, phương trình được biến đổi về dạng:

t - 2(m+ 1)L+ 2m+1=0 (2)

Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt

€> phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt đương ƠƯ < t, <t,

A>0 (m+ 1)? -2m-1>0

<> j-b/a>0< 42(m+1)>0 e-5 <m20,

c/a>0 2m+l>0

và khi đó bốn nghiệm của (I) là - ýl;, - yt) ty vo

Trang 36

Bài tập 3 Cho phương trình:

xÌ+ ax”+ bx +c =0

có 3 nghiệm phân biệt x,, x;, x; Chứng minh rằng 3 nghiệm đó lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi 2a` - 9ab + 27c = 0

Bài tập 4 Xác định m để các phương trình sau có các nghiệm lập thành một cấp SỐ cong : a x'=3x'+mx+2-m=0 b 2x'+mxÌ`+2=0 c x'`-2(m+I)x2+2m + =0 mxỶ - 2(m - Ï)xÌ+m - =0 Bài toán ìm các phần tử của một cấp số cộng (u,) PHƯƠNG PHÁP CHUNG

“Thông thường bài toán được chuyển về xác định u, và công sai d

Ví dụ l; Cho cấp số cộng (u,) thoả mãn u; - uy + u; = 10 và u, + t, = l7 a Tim s6 hang dau tiên và công sai

b Tinh tổng số của 20 số hạng đầu tiên

¢ Tính tổng § =u; + u, + + tị

Giải

a.- Gọi d là công sai của cấp số cộng (u,), ta có:

0ạ—uy+ú; =10 — [(u,+d)—(0, +24)+ (uy + 4đ) = 10

Trang 37

Giải Xét \ABC vuông tại A, có ba góc Â, B.C lập thành một cấp số cộng Ta được: | A =90° A=90" A=90" B+C=90° @ {B+C=90" {B=60" |Ã-ê-zẽ 2B-C=90" |Ê=30" Vay, ta duoc A = 90°, B= 60°, C=30" Vidy3: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng I6 và tổng bình phương của chúng bằng 84 Giải

Gọi d= 2x là công sai, ta có bốn số là a — 3x, a - x,a +x.a + 3x

Khi đó, từ giả thiết ta có: (a ~3x)+(a-x)4(a+x)+(a+3x) = 16 a +(a=x) + (atx)? + (at 3x) = 84 {4a=16 mm 143.5.7 © : § 2 © j 4a? 4 20x? = 84 {x= +1 13.4, 1 Vậy, bốn số cần tìm là 1, 3, 5, 7 Chú ý: Nếu không biết biểu diễn bốn số dưới dạng đối xứng như trên thì sẽ phải giải một hệ bậc hai khá phức tạp, cụ thể: Gọi d là công sai của cấp số cộng x, y, Z„ t thoả mãn điều kiện đầu bài, ta có: xty+7ztt=l4 x +(x +d) +(x + 2d) +(x +3d) = 14 2 3 2 2 ©° 3 3 2 2 x+y +25 +0 394 x +(x 4d) +(x + 2d) +(x 43d) = 94 2x+3d=7 c 2 5 2 2x” + 6xd + 7d° = 47 Nhu vay:

*® _ Với ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, ta đặt;

a~=x,a,a +x, trong đó x là công sai

* _ Với bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, ta đặt;

a-=3x,a~x,a+x,a+3x, trong đó x là cơng sai

® _ Với năm số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, ta đặt:

a-=2x,a-x,a,a+x,a + 2x, trong đó x là công sai

Trang 38

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bai tap 1 Cho cấp số cộng (u,) thoả mãn u; = u; + u, = 10 va u, + u, = 36 Tìm số

hạng đầu tiên và công

ài tập 2 Cho cấp số cộng (u,) thod man u, - uy = 8 và u;.u; = 75 Tìm số hạng

tiên và công sai

tập 3 Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng, bằng 20 và tổng bình phương của chúng bằng 120 Bai tap 4 Tìm năm số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 25 và tổng bình phương của chúng bằng 165 Bài toán 5: Tính tổng PHƯƠNG PHÁP CHUNG Thông thường bài toán được chuyển về tính tổng cúa một cấp số cộng Vídụ 1; Tính tổng sau: S= 105 + 110 + 115 + + 995 Giải

Xét cấp số cộng (u,) có u, = 105 và công sai d = 5, ta được: 995 =u, =u, +(n—- l)đ= I05+5(n- l)c»n= 179

S=S, = = (Uy + Uy) = 12 (105 + 995) = 98450

Vidy2: Tinh tong sau: S= 100° - 99° + 98° - 97° + +2°- 1

` Giải

Viết lại tổng S dưới dang: S = 199 + 195 + + 3

Trang 39

CHU DE 4 CẤP SỐ NHÂN 1 KIÊN THỨC CƠ BẢN 1 ĐINH NGHĨA Đấy xở (uy) được vác định bởi jm=u (lu, =u„4.VneN' (u, q là hai số thực khác 0 cho trước) được gọi là cấp số nhân ®" su là số hạng đầu tiên ® q là cơng bội Đặc biệt khi q 2 CÁC TÍNH CHẤT thì (u,) là dãy số trong đó tất cả các số hạng đều bằng nhau " - Số hạng thứn được cho bởi công thức: * ` PHƯƠNG PHÁP CHUNG Câu hỏi thường được đặt ra là: “Cho ba s6 a,b, ¢ lập thành cấp số nhàn, chứng mình tính chất K " khi đó, ta thực hiện theo các bước sau: Ỷ

Bước Ú: — Từ giả thiết a, b, c lập thành một cấp số nhân, ta được:

a.c=b*

Buje 2: Chứng mình tính chất K

Trang 40

Khi đó:

(a` + b?)(bỶ + c*) = a’b? + aŸc? + bÝ + bỀc? = a?b + acb” + acbÌ + bÌc` =a’b’ + 2ab’c + b’c? = (ab + be)”, đpem

Vidu2: Cho (a,) là một cấp số nhân Chứng minh rang: Si È 8ä §sgvnV6FKSf; 22x TÌ Giải Ta có ngay: 1 VT =a,.a, = a.a.g"7 1= a2 g7 VP=aia, , ta, q7 La,g" TS alg’! suy ra VT = VP, dpem BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài tập 1 Cho ba số a, b, c lập thành một cấp số nhân Chứng minh rằng: a (ab + be + ca)` = abc(a + b + c)` b (a+b+c)(a-b+c)=a'+bl+c' | 1 1 c (= "Te" 3] abc =a tb tc’ Bai tap 2 Cho cấp số nhân (a,) Có thể (a,) cũng lập thành một cấp số cộng hay không ? Bai tap 3 Cho (a,) là một cấp số nhân Hỏi các dãy số sau có phải là cấp số nhân không ?

A AY, Ag, Agy sa Bạn ~gy

b as, ag, ayy Bài tập 4 Cho ( không ? là một cấp số nhân Hỏi các dãy số sau có phải là cấp số nhân

a (a,+p), với p là số thực tuỳ ý b (p.a,), với p là số thực khác 0

c (E) với p là số thực khác 0 d (ak), với ke Z*

Định dạng
Số trang	240
Dung lượng	25,36 MB