Bài giảng toán đại số giải tích

1 Không gian véctơ Euclide Cho không gian véctơ V trường số phức R Một ánh xạ: V x V  R rr   ( x , y )  x y đgl tích vơ hướng V, thỏa mãn tiên đề sau: rr rr r r E1: x y  y.x ,  x , y  V r r r r r r r    E2: ( x1  x2 ) y  x1 y  x2 y ,  y , x , x  V r r rr   E3: (k x ) y  k ( x y ) ,  x , y  V,  k  C   rr r E4: x.x   x V Dấu “ =” xảy  x = Không gian véctơ V trang bị tích vơ hướng gọi không gian véctơ Euclide Ký hiệu: VE, VEn Bất đẳng thức Cauchy –Bunhiacopsky:   x, y |   |  | x |.| y |   Dấu xảy  { x , y } phụ thuộc tuyến tính Chứng minh + TH 1: Nếu hai véctơ véc tơ   + TH 2: Nếu { x , y } pttt khác     x , y  ky , y   + TH : Nếu { x , y } đltt    x  ky , x  ky Thay k = 0 , k  K r r  x, y  r r  y, y     x   2  k | y, y | k y    x  yk 0 ,  k  K | =  ky ,    x, y   | = | x |.| y | = :  = | x |.| y | , nên        x , x  k x, y  k x, y  k k y, y   ta được:                x , x y, y  x, y x, y  x , y x, y  x , y x, y   Vậy        x , y x , y  x , x y, y     x , y | x | | y |    x, y    | x |2 | y |2          x, y  | x | | y |  x , y “=”  { x , y } phụ thuộc tuyến tính Định lý chứng minh  |x|  |x Bất đẳng thức tam giác:    + |y|  x,y +  x Dấu xảy   y| = k   y với   y 0 , k  Chứng minh         Ta có: | x + y |  | x | + | y |  (| x + y | )2  (| x | + | y |)2    x  y, x  y  Nhưng    x  y, x  y        (| x | + | y |)2      x , x  y, y  Re x , y =     Và (| x + y | )2 = | x |2 + | y |2 + 2| x || y |   Nên | x + y |  | x | + | y |      Re x , y | x || y | Bất đẳng thức cuối suy từ thức Cauchy-Bunhicopski     Còn | x + y | = | x | + | y |  Mặt khác:    Re x , y   |   x, y      x, y |và bất đẳng     Re x , y  x , y || y | Nên | x + y | = | x | + | y |    |    |x |   Re x , y    Re x , y  |   x, y    | = | x || y |   Theo | x , y | = | x || y | { x , y } phụ thuộc tuyến       tính, y 0 nên x = k y Nhưng x = k y     Re x , y  x , y  k  Mọi hệ trực giao hệ độc lập tuyến tính Chứng minh    Cho hệ   1, m hệ trực giao, xét  k i 0 m i 1 Nhân vô hướng hai vế với Hay   k j a j , a j  = nên  Vậy hệ  a  i 1, m  a j ta k j  0, có:  m     a j ,  k i   a j ,0 0 ,  j m i 1 j  1, m hệ độc lập tuyến tính 3 Định lý Mọi khơng gian Unita VUn (hoặc không gian véctơ Euclide VnE ) (n1) tồn sở trực chuẩn Chứng minh Ta chứng minh định lý q trình trực giao hóa theo qui nạp + Với n = Xét VU1    a 0 ,  a V1U   a  đặt e  a  e sở trực chuẩn VUn + Giả sử định lý với n = k ; ta chứng minh định lý với n = k +1 Thật : Xét VUk+1 , tồn VUk không gian U VUk+1 theo giả thiết qui nạp V k tồn sở trực chuẩn    e  hệ  e  đltt VUk+1 , nên bổ sung vào hệ    U vectơ b thuộc V k+1 để ei , b 1, k cs VUk+1 i 1,k i 1, k Xét   k   a   b , ei  ei  b i 1   a 0   a ek 1   a    a  ei , i 1 , k nên hệ  e , a i  1, k hệ trực giao cuả V Đặt  e  hệ trực chuẩn VUk+1    ei  , k 1 sở trực chuẩn VUk+1, tồn sở trực chuẩn VUk+1 U k+1 Định lý với n = k + Vậy định lý với n 1 i , k 1 v) Điều kiện cần đủ để hai không gian P Q VUn ( VnE ) trực giao với P tìm sở trực   chuẩn  e  Q tìm sở trực chuẩn  e '  cho j 1, p i 1, p  e , e  i ' i 1 , p j j 1 , q hệ trực chuẩn VUn ( VnE ) Chứng minh Nếu P  Q ta lấy P Q hai sở trực chuẩn tùy ý hiển nhiên hệ hợp thành chúng phải hệ trực chuẩn   Ngược lại, VUn có hệ trực chuẩn  e , e  ' i 1 , p j j 1 , q i  ei  1, p ,  ei  1, p sở trực chuẩn P Q với  x Q ta có: = p  y   xi ei , q  =  y e ' Suy j j j 1 i 1    x,y = p  x cho  y     ei , e ' j  = P, q  x y i j i 1 j 1 Vậy  x   y hay P trực giao với Q vi)Giả sử P, Q, R không gian VUn ( VnE ) Khi P trực giao với Q, P phần bù trực giao R Q không gian R Chứng minh Lấy  x  Q,  x Nhân vơ hướng Hay    y,y   VUn ( VnE) nên:  x  với y , ta được: = nên  y  = 0  x     x,y  = z  R  x = =  y  + z với    y,y   y    + z , y   P, z  R 5 Dạng song tuyến tính Cho khơng gian vectơ V trường số thực ánh xạ S: Vx V R     ( x , y )  S( x , y ) gọi song tuyến tính,  i)   ii )       S (x1  x , y )  S ( x1 , y )  S ( x , y )              ;   ,   R; x1 , x , y1 , y , x , y V S ( x , y1  y )  S ( x , y1 )  S ( x , y ) Đẳng cấu trực giao Đẳng cấu tuyến tính  : V E V’E gọi đẳng cấu trực r r r r   giao với x , y thuộc V E ta có:  ( x ). ( y )  x y Ký hiệu: V E V’E Phép biến đổi Unita Phép biến đổi Unita phép biến đổi tuyến tính từ  : V U V U bảo tồn tích vơ hướng Phép biển đổi trực giao Phép biển đổi trực giao phép biến đổi tuyến tính  : V E V E bảo tồn tích vơ hướng iv) Các giá trị riêng phép biến đổi Unita (hoặc phép biển đổi trực giao) có modul  Thật vậy: Giả sử  phép biến đổi Unita có x véctơ riêng, ứng với giá trị riêng  Khi đó:         ( x )  x , x 0    Ta có < x , x > = <  ( x ),  ( x ) > = <  x ,  x > = Nên  = suy ra: |  | =    Ánh xạ tuyến tính  : V U V U phép biến đổi Unita   bảo tồn module véctơ Chứng minh () Cho  phép biến đổi Unita Khi đó:        ( x ),  ( y ) x , y  x , y  V U !!! r r r r  2 Nên   ( x ),  ( x )  x , x  hay  ( x )  x Vậy  bảo tồn modul vectơ () Ngược lại cho axtt : V U V U bảo tồn module vectơ, tức    (x)  x với r r r  x  V U, hay r r r r r r r r   ( x ),  ( x )  x , x  !!! r Nên:   ( x  ay ),  ( x  ay )  x  ay, x  ay  EMBED Equation.DSMT4 r r x , y �V U, aC (*) r r r r r r r r Nhưng:   ( x  ay ),  ( x  ay )   ( x )  a ( y ),  ( x )  a ( y )  !!! r r r r r r r r   ( x ),  ( x )   a   ( x ),  ( y )   a   ( y ),  ( x )   a.a   ( y ),  ( y )           Và:  x  ay, x  ay x , x   a  x , y   a  y, x  a a  y, y  Vì vậy,ta có:         a   ( x ),  ( y )  a  ( y ),  ( x ) a  x , y  a  y, x  Cho a = 1:          ( x ), ( y )    ( y ), ( x ) x , y    y, x  Cho a = i:         i   ( x ), ( y )  i  ( y ), ( x )  i  x , y  i  y, x             ( x ),  ( y )    ( y ),  ( x )   x , y    y, x     Từ ta có:   ( x ), ( y ) x , y  , nên  bảo tồn tích vơ hướng  Giả sử  e  sở trực chuẩn V Un i 1, n     Khi   (ei ), (e j ) ei , e j  ij ,  nên   (e ) sở trực chuẩn VUn i 1, n   Gọi  pbđtt : V Un  V Un xác định hai sở  ei  1,n   (ei ) 1,n ,   tức  (ei )  (ei ), i 1, n    Lấy x  V Un, giả sử x =(x1, , xn) /  ei  1,n Khi xi n r r r r  x , e  = � i �  ( x ),  (ei )  n i 1 i 1   nên  ( x ) ( x1 , , xn ) /  (ei ) 1,n n n n      x  ( e ) Mặt khác: x =  xi ei nên  ( x ) =  i i =  xi (ei ) !!! i 1 i 1   Vì vậy:  ( x ) = ( x ),  i 1  x  V Un hay   Vậy  phép biến đổi tuyến tính bảo tồn tích vô hướng nên phép biến đổi Unita Hệ 3: Ánh xạ  : VE  VE phép biến đổi trực giao   bảo tồn tích vơ hướng Chứng minh ()  : VE  VE phép biến đổi trực giao  k > cho r r rr  ( x ). ( y )  xy (theo định nghĩa) r r rr r r () Ánh xạ  : VE  VE ,  ( x ). ( y )  xy , x , y � VE   phép biến đổi trực giao Thật vậy,  Giả sử  ei  1,n cstc VE , ta có: r r r r r  (ei ). (e j )  ei e j  kij suy ra:   (ei ) 1,n cstc VE Nên tồn phép biến đổi tuyến tính : VE  VE xác định hai cs r  ei  1,n   (ei ) 1,n , tức  (eri )   (eri ), i  1, n    Lấy x VE, giả sử x =(x1, , xn) /  ei  1,n r r r r rr  ( x )  ( x , , x ) / {  ( e  ( x )  ( e )  ( x e )  x Khi n i )}1, n i i i  n n n r r r r  ( x )   ( x e )  x  ( e )  x  ( e Mặt khác: � i i � i i � i i) i 1 i 1 r i 1 r   ( x )  ( x1 , , xn ) / { (ei )}1,n    Nên:  ( x ) =  ( x ),  x VE hay    Vậy  phép biến đổi tuyến tính bảo tồn tích vô hướng, nên  phép biến đổi trực giao Cách r r rr () Ta có :  ( x ). ( y )  xy r r r r r r rr rr Suy :  ( x  y ) ( z )  ( x  y ) z  ( xz )  ( yz ) r r r r r r r =  ( x ) ( z )   ( y ) ( z )  ( ( x )   ( y )) ( z ) r r r r  ( x  y )   ( x )   ( y )  r r Tương tự:  (a.x )  a. ( x ) Nên  ánh xạ tuyến tính r r rr r r Ta có  ( x ). ( x )  x.x �|  ( x ) || x | r r Vậy  ánh xạ tuyến tính |  ( x ) || x | nên  phép biến đổi trực giao iv) Cho điểm A phẳng P En P tồn điểm H cho: d(A,P) = d(A, H) H gọi hình chiếu vng góc điểm A lên phẳng P Chứng minh Gọi Q phẳng qua A bù trực giao với P,  H = P  Q.Khi đó:  M  P: HM  P AH  Q Tacó: AM AH  HM  AM ( AH  HM )  AH  AH HM  HM !!! 2  AM  AH  HM  d ( A, M ) d ( A, H )  d ( H , M ) �d ( A, H ) d ( A, M ), M P Dấu = xảy  d ( M , H ) 0  M H Vậy: d ( A, H ) min{d ( A, M ), M  P} = d (A,P) (đpcm) v) Phép biến đổi đồng dạng biến sở trực chuẩn thành sở trực giao Chứng minh Xét pbđ đd hệ số k : VEn  VEn  Giả sử  ei  1,n sở trực chuẩn VEn Khi đó, 10 r r r r   (ei ). (e j )  k (ei e j )  k ij nên   (ei ) 1,n sở trực giao VEn Từ sở trực giao cstc? vi) Ánh xạ  : VE  VE phép biến đổi đồng dạng  k >       cho   x    y   k x y ,  x , y V E Chứng minh ()  : VE  VE phép biến đổi đồng dạng  k > cho       x    y   k x y (theo định nghĩa)     r r () Ánh xạ  : VE  VE , k > để   x    y   k x y , x , y � VE   phép biến đổi đồng dạng Thật vậy,  Giả sử  ei  1,n cstc VE , ta có: r r r r r  (ei ). (e j )  k (ei e j )  k ij suy ra:   (ei ) 1, n cstg VE Nên tồn phép biến đổi tuyến tính : VE  VE xác định hai cs r  ei  1,n   (ei ) 1,n , tức  (eri )   (eri ), i  1, n    E  e x x Lấy V , giả sử =(x1, , xn) / i  1,n r r r rr r Khi  ( x ). (ei )  k ( x.ei )  kxi   ( x )  ( kx1 , , kxn ) / { (ei )}1, n n n n r r r r Mặt khác:  ( x )   (�x i ei )  �x i (ei )  �x i  (ei ) i 1 i 1 i 1 r r  ( x )  ( x , , x ) / {  ( e  n i )}1, n    Nên:  ( x ) = k ( x ),  x VE hay   k       Vậy  phép biến đổi tuyến tính   x    y   k x y ,  x , y V E nên  phép biến đổi đồng dạng 11 vii) Mọi ánh xạ tuyến tính  : V E  V E phép biển đổi đồng    dạng   k cho   x   k x  x  V E Chứng minh 12 BÀI TẬP CHƯƠNG I Bài1 Trong không gian R2 ta định nghĩa tích vơ hướng: (a1, a2)*(b1, b2) = a1b1 + (a1b2 + a2b1)/2 + a2b2/3 Chứng tỏ rằng: R2 khơng gian véctơ Euclide hai chiều Khi sở trực chuẩn Bài Xét C không gian vectơ thực hai chiều Chứng minh ánh xạ: f : C x C  R cho f(x,y) =  xy  xy  tích vơ hướng C Tìm sở trực chuẩn f Bài Trong không gian ma trận vuông cấp n hệ số thực, với phép toán cộng hai ma trận phép nhân số với ma trận, lập thành R- không gian véctơ Ta định nghĩa ánh xạ *: Mn(R)xMn(R)  R với hai véctơ A = [aij ], B = [bij ] sau: n A*B =  a b ij ij i , j 1 Hãy xét xem với ánh xạ này, ta có xây dựng Mn(R) trở thành không gian véctơ Euclide hay không? Bài Trong không gian C[a,b] - tập hợp hàm số thực xác định, liên tục [a,b] Ta định nghĩa tích vơ hướng hai véctơ r r rr x = x(t), y = y(t) x.y b = x(t ) y(t )dt a 1.Chứng minh với định nghĩa C[a,b] khơng gian véctơ Euclide 2.Tìm góc tam giác không gian C [-1,1] tạo nên véctơ x1(t) = 1, x2(t) = -t, x3(t) = 1- t Bài Trong không gian hàm số thực, xét hàm số: f1 : x  cos x; f : x  sin x ; f : x  cos x ; f : x  sin x Chứng minh F = { f1, f2, f3, f4} độc lập tuyến tính 13 Gọi V không gian véctơ sinh F Xác định ánh xạ  : V x V  R cho  ( f , g)   2 f ( x)  g ( x)dx Chứng minh  tích vơ hướng V Hãy xác định sở trực chuẩn V  Bài Trong VEn cho hệ véctơ { a }1.m ký hiệu: i    Gr( a , a , , a ) = m  a1 a1   a a1    a m a1  a1 a   a2 a2    am a2   a1 a m    a2 am      am am  Gọi định thức Gram hệ { a }1.m i    Chứng minh rằng: Hệ { a }1.m độc lập tuyến tính  Gr( a , a , , ) >0 i  am    Chứng minh rằng:Hệ { a }1.m phụ thuộc tuyến tính  Gr( a , a  , , a ) = i VUn (hoặc : VEn  m Bài Chứng minh rằng: Nếu ánh xạ : VUn VEn) thỏa:            = < x , ( y ) > ( ( x ) y > = x ( y ) ) với x , y thuộc VUn (hoặcVEn )  ánh xạ tuyến tính Bài Chứng minh rằng:   Nếu : VUn  VUn ánh xạ tuyến tính thỏa: =  với x thuộc VUn  ánh xạ khơng   2.Nếu : VEn  VEn ánh xạ tuyến tính thỏa: ( x ) x = với        x thuộc VEn ( x ) y = - x ( y ) với x , y thuộc VEn điều tương dương với ma trận A f trong sở trực chuẩn VEn phải ma trận phản xứng Bài Trong không gian véctơ Euclide VE4 với sở trực chuẩn chọn, ch véctơ  a =(1, 1, 1, 2),    b =(1,2,3,-3), c =(1,-2,1,0), d =(25,4,-17,-6) 1    { a, b , c , d } 14 có phải hệ trực giao không?   2.Gọi W không gian sinh a , b Z khơng gian sinh bở Khi W Z có phải hai khơng gian bù trực giao không? Bài 10 Trong VE3 cho sở trực chuẩn vectơ r r r r r r a   1, 2,  , b   3,1,  ; c   3,1,1 a '   2, 4,  , b '   6, 2,0  , c '   6, 2,  1.Chứng tỏ có phép biến đổi tuyến tính  :      VE3  VE3 biến vectơ a, b , c theo thứ tự thành a ' , b ' , c ' 2.Chứng tỏ  phép biển đổi đồng dạng hệ số  ... chuẩn Bài Xét C không gian vectơ thực hai chiều Chứng minh ánh xạ: f : C x C  R cho f(x,y) =  xy  xy  tích vơ hướng C Tìm sở trực chuẩn f Bài Trong không gian ma trận vuông cấp n hệ số thực,... đổi đồng    dạng   k cho   x   k x  x  V E Chứng minh 12 BÀI TẬP CHƯƠNG I Bài1 Trong khơng gian R2 ta định nghĩa tích vơ hướng: (a1, a2)*(b1, b2) = a1b1 + (a1b2 + a2b1)/2 + a2b2/3 Chứng... Mn(R) trở thành không gian véctơ Euclide hay không? Bài Trong không gian C[a,b] - tập hợp hàm số thực xác định, liên tục [a,b] Ta định nghĩa tích vơ hướng hai véctơ r r rr x = x(t), y = y(t) x.y