Tich phan

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN 1. Phương pháp phân tích hàm dưới dấu tích phân thành tổng các hàm dễ lấy nguyên hàm Phương pháp này tính tích phân trực tiếp bằng cách phân tích hàm dưới[r]

(1)

TÍCH PHÂN

Phần 1: CƠNG THỨC

Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của

những hàm số sơ cấp thường gặp

Nguyên hàm hàm số

thường gặp Nguyên hàm nhữnghàm số hợp

C x dx  

 1

1

 

 



 

 

dx x C

x

 0

ln  



dxx x C x

C e dx ex x

  

0 1

ln   



a dx aa C a

x x

C x xdx  cos sin

C x xdx 

sin cos

C x dx

x  

cos12 tan

C x dx

x  

sin12 cot

  ax b C a

b ax

d    



     1

1

 

   



 



 ax b C

a dx b ax

 0

ln

 

 



axdxb a ax b C x

C e

a dx

eax b ax b 

 





  ax b C

a dx b

ax   

cos 1sin

  ax b C

a dx b

ax   

sin 1cos

axbdxa axbC

cos2 1tan

axbdx a axbC

sin2 1cot

C u du  

 1

1

 

 



 

 

du u C

u

 0

ln  



duu u C u

C e du

eu u

  

0 1

ln   



a dx aa C a

u u

C u

udu 

cos sin

C u udu 

sin cos

C u du

u  

cos12 tan

C u du

u  

(2)

Phần 2:

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN 1 Phương pháp sử dụng trực tiếp bảng nguyên hàm bản

VD Tính tích phân sau: a) 3sinx cos

six cos

x dx x

 

 ĐS 33 (sinx cos )2

2  x C b) (ax b dx)m



 với m 1; a 0 ĐS

1 (ax )

1 m

b

C a m

 

  c) xdx x

e e 

 ĐS arctanex C



d) 2

dx a x

 với a 0 ĐS 1arctan x C a a

e) 2dx 2

a  x với a > ĐS arcsin x

C a

2 Phương pháp phân tích hàm dấu tích phân thành tổng hàm dễ lấy nguyên hàm Phương pháp tính tích phân trực tiếp cách phân tích hàm dấu tích

phân thành tổng hàm số mà ta tính tích phân cách dễ dàng nhờ cơng thức tính nguyên hàm bản

VD Tính tích phân sau: a) 2

dx a  x

 ĐS ln

a x C a a x

 



b) ( ) (2 )2

dx x a x b

 ĐS

2

ln

( ) ( )( ) ( )

x a b x b

C a b x a x b a b x a

  

  

    

c) 1

x x

e dx e 

 ĐS ex arctanexC d)

4

1

x dx x

 

 ĐS arctanx13arctanx3C e)

3

6 4 4 1

x x

dx x x x



  

 ĐS

4

1

ln

2

x x

C x x

 



 

f) sin3 cos5

dx x x

 ĐS 2

1

3ln t anx tan tan

2 tan x x x C

    

Phương pháp đổi biến số

Nếu f(x) hàm liên tục đặt x( )t , ( )t với đạo hàm là hàm liên tục có hàm ngược ta có:

'

( ) ( ( )) ( )

f x dx f  t  t dt

 

VD Tính tích phân sau: a) (1 2)

dx x



 ĐS

1 arctan

2 2(1 )

x

x C

x

 

 b) (1 3)

xdx

x x

  

 ĐS 2 1 1 x2 C

  

c) 1

x dx x

 

 ĐS  arccosx 1 x2 C d)

6 1 x

dx x



 ĐS

6

1 1

1 ln

3 1 1

x

x C

x

 

  

 

e) ln

1 ln

xdx x  x

 ĐS 2(1 ln ) ln ln

(3)

Giả sử u x v x( ), ( ) hai hàm số có đạo hàm liên tục khoảng Trong

khoảng ta có:

( )

d uv udv vdu , hay udv d uv ( ) vdu  udv uv v du   (1)

(1) gọi cơng thức tích phân phần Loại 1: Tính tích phân dạng

( ) ln( )

P x x

 , P x e dx( ) x

 , P x( )sinaxdx, P x( ) cosaxdx, P(x) đa thức ẩn x.

Để tính tích phân loại đặt ulnx với P x( ) lnxdx; u P x ( )

với tích phân cịn lại.

VD Tính tích phân sau: a) I xnlnxdx

 Với n 1 ĐS

1

2 ln

1 ( 1)

n n

x x

x C

n n

 

 

 

b) I x2sin 3xdx

 ĐS

2

os3 sin

27

x

c x x x C



 

c)I x c2 os2xdx ĐS

2

2 1

sin cos

4

x

x x x C



 

Loại 2: Tính tích phân dạng eaxsinbxdx

 ; eaxcosbxdx Đặt u eax

 (hoặc usinbx)

VD Tính tích phân sau: a) xsin x

e dx

 ĐS sinx cos

2

x

x e C



 b) e c2x os3xdx ĐS

(2cos3 3sin ) 13

x

e

x x C

Loại 3: Tính tích phân dạng

P x( ) arcsinxdx; P x( ) arc osc xdx; P x( ) arctanxdx; P x( ) arc cotxdx; với P(x) đa thức.

Đặt uarcsin ;x uarccos ;x uarctan ;x uarccot ;x

VD Tính tích phân sau:

a) xarccosxdx ĐS 2arccos 1arcsin 1

2 4

x

x x x  x

b) xarc sinxdx ĐS 1arctan

2

x

x x C



 

Loại 4: Tính tích phân dạng

I  x a dx I2  a2 x dx2

ĐS 2

1 ln

2

x a

I  x a x x a C;

2 2

2 arcsin

2

x a x

I a x C

a

   

Chú ý: Hai tích phân hay gặp phải quy trình tính tích phân Vì ta

Bổ xung chúng vào bảng nguyên hàm bản. Loại 5: Các tốn tổng hợp

VD Tính tích phân sau: a) sinx

1 cos x

e dx x

 

 ĐS 1 cos1 sinx 1 cos

x

x e

e C

x x



 

 

b) ln(x x2 1)dx

 

 ĐS xln(x x21) x21C

c)

1

2

ln(1 )

x x dx

 ĐS 1ln

2

  

d) e2xsin2xdx

(4)

TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH CỦA VÀI LỚP HÀM ĐẶC BIỆT

A Tích phân hàm phân thức I P x( )( ) Q x



1 Q(x) gồm toàn nghiệm đơn thức

1

( ) ( )( ) ( n)

Q x  x a x a   x a (degQ(x) = n)

Xác định số A A1, 2, An thỏa mãn đồng thức:

1

( )

n n

A A A

P x

Q x x a x a  x a Khi

1

1 2

( )

ln ln ln

n

n n

P x dx dx dx

I A A A

Q x x a x a x a A x a A x a A x a

    

  

      

   

VD Tính tích phân sau: a) 3 21

3

x

I dx

x x x

 

 

 ĐS

2 1 25

3 ln 4ln ln

2 2

x

I   x x  x  x C

b) 3 22

7 14

x x

dx x x x

 

  

 ĐS I 3ln x1 ln x ln x C

2 Q(x) gồm toàn nghiệm đơn thức nghiệm bội

Giả sử Q x( ) (x a x b)( ) (2 x c)3

   

Lúc ta phân tích

3

2

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

C

B B C C

P x A

Q x x a  x b x b  x c  x c  x c

Tìm số A A, , thay vào tính tích phân

VD Tính tích phân sau: a)

2

1 ( 1) ( 3)

x

I dx

x x

 

 

 . ĐS

1

ln

4( 1) 8( 1) 32

x

I C

x x x



   

  

b)

2

1 ( 1)

x x

I dx

x

  



 ĐS

3

ln

2( 1)

I x C

x x

    

 

c)

dx I

ax bx c



 

 , a   0; 0 ĐS 2

2

arctan

4

ax b

I C

ac b ac b



 

 

d) 4 52

3

x

I dx

x x



 

 ĐS

2

2ln( 2) ln( 1)

2

x

I   x   x  C

e)

xdx I

x

 

 ĐS

2

1 1

ln arctan

8

x

I x C

x



  



f)

2

2 13

( 2)( 1)

x x

I dx

x x

 



 

 ĐS   2

1

ln ln 4arctan

2 2( 1)

x

I x x x

x x

      

(5)

3 Sử dụng phép biến đổi để tính tích phân hàm hữu tỉ

Dùng thuật thêm, bớt để đưa dạng bản

Dạng : ( 0)

ax

dx

I a

b

 



  I a1 dax(axbb) 1aln axb C 



Dạng 2: ( 0)

ax

dx

I a

bx c

 

 





1 2

1 1

0 :

( )( ) ( )

dx

I dx

a x x x x a x x x x x x

 

      

      

  =  

1 2

1

ln x x C a x x x x

 

 

 2

0

0 :

( )

dx I

a x x

  



 ( với

2

b x

a

 )

0

1

I

a x x



 



  0:

2

2 2

1 1 4

arctan ( )

2

2 2 4

dx dx a a b

I x C

a b a b a a

x x

a a a a

    

   



       

   

     

     

 

Dạng 3:

( )

( 0; 0)

ax

mx n dx

I a m

bx c



  

 



Dùng phân tích: 2 (ax22 )' 2

ax ax ax

mx n bx c

bx c  bx c  bx c

  

 

      Ta được:

2 ln ax

ax

dx I bx c

bx c

 

   

 



Dạng 4:

( )

( )(ax )

P x dx I

x  bx c



  

 ( với P(x) đa thức bậc 2)

Dùng phân tích ( ) ( )

( )(ax )

P x f x

x  bx c



  

  0, 1,2

1

( ) A B C

x f x

x x x x x



    

  

  0,

0

( )

A B C

x f x

x x x x x



    

  

 ( ) 2

ax

A Bx C f x

x  bx c



    

   ,

2

x

I dx

x x



 

 ĐS 12ln 2 103 ln 21

2

x

I x x C

x



    



b)

3

3 ( 1)

x x

I dx

x x x

 



 

 ĐS I  x 2ln x 4ln xx1x41C

 

c) 22

1

x I dx

x

 



 ĐS

1

ln

2 2

x x

I C

x x

 

 

 

d) 1

xdx I

x

 

 ĐS

2

1

ln arctan( )

8

x

I x C

x



  

(6)

e)

4

( 1)

( 1)( 1)

x dx I

x x x x

 

  

 ĐS

5

1

ln

5

x x

I C

x x



 

 

f)

2 ( 1)

x

I dx

x

 

 ĐS

2

6

12( 1)

x x

I C

x

 

 



g) 6 7 3

dx I

x x x



 

 ĐS I  31ln x 332 ln 2x 3113 ln 3x 1 C

Tích phân hàm vơ tỉ

Dạng 1: R x,n ax b dx

cx d





  

 

  

 

 Đặt t n ax b

cx d

 

 Đổi biến số

1

x

I dx

x

 



 ĐS 133 15 3(3 1)2

I   x  x  C

 

b)

1

xdx I

x



 

 ĐS (2 1)3 2 12

6

I  x  x C

c)

3

1

x dx I

x



 

 ĐS 33( 1)2 33 ( 1) 3ln 1 1

8 4

I  x   x    x  C

d) 1

1

x

I dx

x x

 



 ĐS

1

1 1

6arctan 4ln

1

x

x x

I C

x x

x

 

 

  

 

 

e)

3 2

x dx I

x





 ĐS I 13 (x2 2)3  x2 2 C

Dạng 2:

ax

dx

b cx d



   

Thực phép nhân liên hợp VD: Tính tích phân sau:

a)

1

0 1

dx I

x x



  

 ĐS ( 1)3 ( 1)3

3

I   x  x  C

 

b)

1

dx I

x x



  

 ĐS

1

1 1

ln

2 2

1

x x

I x x C

x

x x

   



 

    

  



 

 

Dạng 3: 2

( ) ax

dx

mx n bx c



   

 Đặt t

mx n



 đổi biến.

VD: Tính tích phân sau:

a) 2

2

dx I

x x x



 

 ĐS

2

1

ln 1 ;

1

ln 1 ;

C x

x x

I

C x

x x



 

        

  

 

  

     

  

 

(7)

b) ( 1) 2 2

dx I

x x x



  

 ĐS

2

1 2

ln

2 2 2 1

x x

I C

x x

  

 

  

B Tích phân hàm số lượng giác

Dạng 1: Tích phân cách sử dụng cơng thức lượng giác Công thức cộng:

tan( ) t an a tan tan tan

b a b

a b



 

 (1) Nếu cho

( ) ( )

a f x b m f x

  

 

 thì

(1) tan t anf ( ) tan( ( )) tan ( ) tan( ( ))

x b f x m

f x m f x

 

 

 

1

tan ( ) tan( ( )) (tan f( ) tan( ( )) tan

f x m f x x m f x m

     

VD: Tính tích phân sau: tan( ) tan( )

3

x   x dx

 ĐS

os( )

1 3

ln

3 os( )

3

c x I x

c x

    



tan tan sin( ) cos cos

a b a b

a b



  (1) Nếu cho a b m  (1) t an a tan

sin cos cos

b

m a sb



 

tan tan sin( ) cos cos

a b a b

a b



  (2) Nếu cho a b m  (2) t an a - tan

sin cos cos

b

m a sb

 

cot cot sin( ) sin sin

a b a b

a b



  (3) Nếu cho a b m  thì (3) cot cot

sin sin sin

a b

m a b



 

cot cot sin( ) sin sin

b a a b

a b



  (4) Nếu cho b a m  thì (4) cot cot

sin sin sin

a b

m a b



 

VD: Tính tích phân sau :

cos(2 ) cos( )

4

dx I

x   x



 

 ĐS 1ln ( os(2x+ ) ln( os(2 )

7 2 4 2 3

sin 12

I c  c x 



 

    

 

Công thức biến đổi tích thành tổng

a) I cos5 cos 7x xdx ĐS sin12 1sin

24

I  x x C

b) I sin cos 2x xdx ĐS os8 os4

16

I  c x c x C

Dạng 2: Tính tích phân phương pháp liên hợp

Nếu tính tích phân I khó khăn ta liên hợp với tích phân J sau tính I JI J BA   

Rồi từ suy

2

A B I

A B J

 

   

    

(8)

a) cos

cos sinx

x

I dx

x





 J  cossinxx sinxdx 



Ta có:

1

( ln cos sinx )

ln cos sinx

( ln cos sinx )

I x x C

I J x

I J x C

J x x C



   

  



 



 

   



     

 

b) os2

os2

c x I dx

c x



2 sin

os2

x J dx

c x

 ĐS

1 sin

ln

2 sin

1 sin

ln

2 sin

x

I x C

x x

J x C

x

   

  

  



  



  

    

   



Dạng 3: Dựa vào tính liên tục hàm số cận tích phân

1 Cho hàm số yf x( ) hàm số liên tục đoạn 0;1 CMR: 2

0

(sinx) (cos x)

f dx f dx

 



 

2 Cho hàm số yf x( ) hàm số liên tục a b;  f a b x(   )f x( ) CMR:

( ) ( )

2

b b

a a

a b

xf x dx  f x dx

 

VD: Tính tích phân sau : a) 3

0 sin sinx cos

x

I dx

x







 ĐS I 41



  b)

4

0

sin sin x cos

x

I dx

x







 ĐS I

 

c)

sin

I x xdx



 ĐS

I   d)

sin os

I x xc xdx



 ĐS

3

I 

Dạng 4: Tích phân hàm số lượng giác xen lẫn hàm số mũ

Cho hàm số yf x( ) hàm số chẵn liên tục R CMR:  a 0 Ta có

0 ( )

( )

x

f x dx

f x dx a

 

 

 

 

2 sin

3x

x I dx



  



 ĐS I 0

Dạng 5: Tích phân lượng giác hóa hàm vơ tỉ + Nếu I ( ;x a2 x dx2)

  Đặt

 

a sin ; ;

2 acos ; 0;

x t t x t t

  

  

  

  

 



  



thực đổi biến + Nếu I ( ;x a2 x dx2)

  Đặt xa tant

VD: Tính tích phân sau : a)

2

4

I   x dx ĐS I  b)

1

2

0

dx I

x x



 

 ĐS

4

I 

c)

1

6 1 x

I dx

x



 ĐS

15

I  d)

2 1 x

I dx

x



 ĐS 2 1ln 2

2

3 2

I       

(9)

Dạng 6: Tích phân dạng I = a sin cos

b

a

dx

x b x c

 Đặt tan

2

x t 

VD: Tính tích phân sau :

2

01 sinx cos

dx x



 

 ĐS ln

Dạng 7: Dùng hệ số bất định Nếu (sinx;cos )(sinx;cos )

b

a

U x

I dx

V x

 ta phân tích U A B.V' C

V   V V

VD: Tính tích phân sau:

0

sinx cos 4sin 3cos

sx I

x x



 



 

 ĐS I 61 ln95



  

C CÁC BÀI TÍCH PHÂN THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 - 2009

1 A-09.1 2 

I cos x cos x.dx 

 

2 A-2008

t cos

g x I dx

x





B - 08

 

4

0

sin

4 .

sin 2 sin cos

x dx I

x x x

   



 

 



  



4 D - 08

2

ln

x

I dx

x



5 DB-KA1- 08 :   

3

2 /

1 2x xdx

I 6 DB-KA2- 08:   

2 /

0 4sin cos2 sin 

dx x x

x I

7 DB-KB1- 08:

0

x

I dx

x

 



 8 DB-KB2- 08: 

 

1

0

3 x dx

x I

9 DB-KD1- 08: 

  

1

0

2 )

4

( dx

x x e

x

I x

10.A – 07: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng y = (e + 1)x y = (1 + ex)x 11.B – 07: Cho hình phẳng H giới hạn đờng : y =xlnx ,y = 0, x =e.

12 D - 07 I =

1

ln

e

x xdx

 13 A - 07 I =

1

2 1

1 2 1

x

dx x



 

(10)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình phẳng (H) giới hạn đờng 4y2=x y=x Tính thể tích mọt vật thể trịn xoay quay(H)

quanh trơc Ox trän mét vßng

15 DBKB – 07: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng y =  

2

1 1

x x

y x

 

 .

16 DBKB – 07: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tính diện tích hình phẳng giới hạn đ-ờng :y = x2 y = 2 x2



17 DBKD – 07: I = dx x

x x

 

1

0

2 4

) (

18 DBKD – 07:





2

π

xdx x

I cos .

19 KA – 06: I = 2

2

0

sin 2

cos 4sin

x

dx

x x







20 DBKA – 06:

.

2 1 4 1

dx I

x x



  



21 DBKA - 06: Tính diện tích hình phẳng giíi h¹n bëi Parabol (P) : y = x2 - x +3 đ-ờng thẳng d: y = 2x +1

22 KB - 06 : 

 

 

5 ln

3

ln ex 2e x

dx I

23 DBKB – 06: I = 

 

10

5 x 2 x

dx

24 DBKB – 06:

ln

1

dx x x

x I

e

 



25 D - 06 :

2

( 2) x

I x e dx

26 DBKD – 06 : I = 2 

1 sin 2 .

x xdx







27 DBKD – 06: I =

(x 2)lnxdx.



28 KA - 05

sin 2x sin x

I dx

1 3cosx



 





29 DBKA - 05

3

x 2

I dx

x 1  





30 DBKA - 05

3 2

e

ln x

I dx

x ln x 1 



(11)

31 KB - 05 I sin x cos xdx cos x

0 π 



 .

32 DBKB - 05 I 2( x )cos xdx.2

2 π

 

33 DBKB – 05 I 2sin xtgxdx2

π

 .

34 D - 05 I   

 

2 sin x

e cos x cos x.dx

35 DBKD - 05 I =

ln .

e

x xdx



36 DBKD - 05 I tgx esin xcos x dx. π

 

0

37 A- 04 I x dx x

11



 

 .

38. DB -KA-0) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh phép quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn trục Ox đờng y = x sin x(0 x π).

39 DB-KA-04 dx x

x x I 

   

2

4

40 DB-KB-04 I = 



3

1

x x

dx

41 DB-KB-04





2

2 π

sin

cos xdx

e

I x

42 D-04    

3

2 xdx

x

I ln .

43 DB-KD-04 I x.sin x.dx

44 DB-KD-04  

8

2 1

ln ln

e dx e

I x x

45 A-03 

 

3

5x x2

dx

I .

46 A-03 Ix  x dx

1

2 1

47 DB -KA-03 I=  

4

01

π

cos xdx

x  2sin x

(12)

49 DB -KB-03  



1

x x e

dx e I

50. Ix  xdx

2

51 DB -KD-03 I x ex dx





1

2

. 52 DB -KD-03 ln xdx

x x I

e

 



1

53 A-02 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng : yx2 4x3, y x 3 54 DB -KA-02 I =

 

2

5

6

1 π

xdx x

x.sin cos cos

55 DB -KA-02 I = x(e x x )dx.

2

1



 



56 B-02:Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng :

y=

4

2 x

 vµ y=

2 x

57 DB -KB-02

 

ln



 

3

0 x 13 x

e dx e I

58 DB -KD-02 

 

1

2

1dx x

x I

59)   1

0

1 xdx

x

I 60)

0

I xtg xdx





61) I = dx x(x )

3

1 1

 62)  

8

2

1

ln ln

e dx e

I x x

63) I 2( x )cos xdx.2

2

π

  64) Ix  x dx

1

2

1

65)





2

2 π

sin

cos xdx

e

I x 66) 





1

x x e

dx e I

- HẾT

-CỐ GẮNG KIÊN TRÌ THÌ THÀNH CƠNG

Chú ý : Phương pháp giải đáp số Đề thi Đại học từ 2002 – 2009 có tài liệu :