Trªn ®©y lµ mét vµi kinh nghiÖm gióp häc sinh kh¾c phôc mét sè sai lÇm thêng gÆp khi gi¶i to¸n mang néi dung h×nh häc mµ t«i tÝch luü ®îc trong qu¸ tr×nh híng dÉn häc sinh häc to¸n. Thµn[r]
(1)Gióp häc sinh Kh¾c phơc mét sè sai lầm thờng gặp Khi giải toán MANG nội dung h×nh häc
Phan nghĩa (Trờng Tiểu học Sơn Long, Hơng Sơn, Hà Tĩnh) Do tính trừu tợng yếu tố hình học đặc điểm nhận thức học sinh Tiểu học nên việc tiếp thu kiến thức hình học em trở nên khó khăn Vì vậy, giải tốn mang nội dung hình học, em thờng mắc số sai lầm
Làm để giúp em khắc phục đợc số sai lầm giải tốn mang nội dung hình học điều mà thờng trăn trở Sau vài kinh nghiệm mà tơi tích luỹ đợc q trình dạy học, xin đợc trao đổi bạn
1 Sai lầm thay đổi vị trí hỡnh
Ví dụ: Khi quan sát hình thang vị trí
không ngắn (hình bên)
Một số em học sinh lớp không nhận dạng đợc hình
* Nhận xét: Ngun nhân sai lầm nhận thức học sinh cịn dựa vào trực giác cảm tính Các hình thang mà em quan sát đợc thờng đặt vị trí ngắn
* Biện pháp khắc phục: Để khắc phục sai lầm trên, đa mảnh bìa hình thang Đầu tiên cho học sinh quan sát mảnh bìa dán lên bảng vị trí ngắn sau xoay mảnh bìa cho học sinh quan sát mảnh bìa nhiều vị trí khác Điều "ngầm" giới thiệu cho học sinh: "Một hình thang khơng thể biến dạng ta đặt vị trí khác nhau"
Cuối cùng, đa số hình thang hình khơng phải hình thang để học sinh nhận dạng
* Bµi tập áp dụng: Trong hình dới đây, hình hình thang?
2 Sai lm m s hình
Ví dụ: Khi đợc hỏi có hỡnh tam giỏc
đ-ợc tạo thành hình bªn
Mét sè em häc sinh líp trả lời có hình tam giác, số em khác lại cho có hình tam giác (!)
(2)cha nắm dấu hiệu đặc trng yếu tố tạo thành hình học tơng ứng khả suy luận hạn chế, nên em khơng đếm đủ số hình hình đợc ghép lại với mà đếm đợc số hình đặt rời hình đơn lẻ dễ nhận thấy
* Biện pháp khắc phục: Để khắc phục sai làm trên, cho em giải nhiều bài tập nhận dạng hình hình học từ đơn giản đến phức tạp, hớng dẫn em phân loại các hình vận dụng thành thạo quy tắc, phơng pháp tính nh phơng pháp m s
đoạn thẳng; phơng pháp chung cạnh.
Lời giải (theo phơng pháp đếm số đoạn thẳng)
Điểm A nối với điểm cịn lại (5 - = 4) đợc đoạn thẳng Điểm B nối với điểm lại ta đợc đoạn thẳng Điểm C nối với điểm lại ta đợc đoạn thẳng Điểm D nối với điểm lại ta đợc on thng
Vậy tổng số đoạn thẳng là: + + + = 10 (đoạn th¼ng)
Tất hình tam giác có chung đỉnh M Mỗi đoạn thẳng có đợc đáy hình tam giác Vì số hình tam giác có hình số đoạn thẳng đếm đợc Số hình tam giác là: 10 hình
Lời giải (theo phơng pháp chung cạnh)
Các hình tam giác có chung cạnh MA là: MAB, MAC, MAD, MAE (4 hình) Các hình tam giác có chung cạnh MB là: MBC, MBD, MBE (3 hình)
Các hình tam giác có chung cạnh MC là: MCD, MCE (2 hình) Các hình tam giác có chung cạnhMD là: MDE (1 hình)
Vậy có tất số hình tam giác là: + + + = 10 (hình) * Bài tập áp dụng:
Đếm xem hình bên có tất bao nhiêu:
a) Hình tam giác? b) Hình tứ giác?
3 Sai lầm việc vẽ hình
Ví dụ: Khi vẽ đờng cao hình tam giác xuất phát từ đỉnh góc tù nhiều em học sinh khơng xác định đợc, chí nhiều em lúng túng xác định đờng cao hình tam giác cú mt gúc vuụng
Khi vẽ hình không gian (nh hình lập phơng, hình hộp chữ nhật) nhiều em thờng vẽ mặt bên nh nhìn hình học phẳng
* Nhn xột: Nguyờn nhõn sai lầm khả tởng tợng em cịn hạn chế, đợc luyện tập vẽ hình
* Biện pháp khắc phục: Để khắc phục sai lầm trên, kết hợp cho học sinh quan sát thao tác đồ vật có hình dạng hình cần vẽ với việc quan sát mơ hình tơng ứng tập vẽ hình; đồng thời hớng dẫn em sử dụng dụng cụ vẽ hình, kiểm tra hình vẽ
(3)4 Sai lầm tính độ dài cạnh hình
VÝ dơ: Cho hình vẽ: Biết ABMN hình
vuông ABCD hình chữ nhật (xem hình vẽ) Chu vi h×nh ABCD b»ng 108 cm Chu vi h×nh MCDN b»ng 58 cm
Tính cạnh AB, BC hình ABCD Một số học sinh giải nh sau:
Lời giải:
Chu vi hình ABMN là: 108 - 58 = 50 (cm) Đổi: 50 cm = 500 mm. Độ dài cạnh AB là: 500 : = 125 (mm).
Nöa chu vi hình chữ nhật ABCD là: 108 : = 59 (cm) §ỉi: 59 cm = 590 mm. Độ dài cạnh BC là: 590 - 125 = 465 (mm).
Đáp số: AB: 125 mm; BC: 465 mm. * Nhận xét: Bài giải mắc số sai lầm:
- Chu vi hình ABMN là: 108 - 58 = 50 (cm) Lời giải sai 108 - 58 = 50 (cm) nửa chu vi hình Từ đó, kết tính độ dài AB = 125 mm BC = 465 mm sai Do đáp số toán bị sai
- PhÐp tÝnh 108 : = 59 (cm) tính sai 108 : = 54 (cm)
* Biện pháp khắc phục: Để giúp học sinh khắc phục sai lầm cho học sinh giải tốn theo phơng pháp dùng sơ đồ hình nh sau
Lời giải: Theo đề bài, ta có sơ đồ sau:
H×nh H×nh 2
Quan sát hình hình 2, ta thấy: Nửa chu vi hình MCDN là: 58 : = 29 (cm) Nửa chu vi độ dài cạnh BC nên BC = 29 cm Nửa chu vi hình ABCD là: 108 : = 54 (cm) Độ dài cạnh AB 54 - 29 = 25 (cm)
* Bài tập áp dụng: Một miếng bìa hình chữ nhật có chu vi 208 cm Cắt miếng bìa đó thành hình vng hình chữ nhật tổng chu vi hai hình vừa cắt 296 cm Tính: a) Chiều dài, chiều rộng miếng bìa lúc đầu
(4)5 Sai lầm tính diện tích hình
Ví dụ 1: Cho hình chữ nhật ABCD Trên
cạnh AB lấy hai điểm M, N cho AM = MN = NB P điểm chia cạnh DC thành hai phần ND cắt MP O, nối PN (hình vẽ) Biết diện tích tam giác DOP lớn diện tích tam giác MON 3,5 cm2.
Tính diện tích hình ch÷ nhËt ABCD
Một số học sinh giải nh sau: Lời giải: Ta có SNPD = 1,5 x SMPN (có đáy
DP = 1,5 x MN; đờng cao chiều rộng hình chữ nhật) Hai tam giác có phần chung tam giác NOP nờn: SDOP =
1,5 x SMON, mặt khác SDOP - SMON = 3,5 cm2
nªn SDOP = 10,5 cm2, SMON = cm2.
Lại có: SDOP = SPOC (cùng đờng cao hạ từ
O xuống DC, đáy DP = PC) nên SDOC =
10,5 + 10,5 = 21(cm2) (1).
Tơng tự ta có: SAOM = SMON = SNOP (chung đờng cao hạ từ O xuống AB đáy AM =
MN = NB) nªn: SAOB = + + = 21 (cm2) (2) KỴ EF song song DC; IK vuông góc với
EF vuông góc với cạnh hình chữ nhật qua O.
Ta có: SAIO = SAEO; SBOI = SBOF nªn SAEO + SBOF = SAIO + SBOI = 21 cm2 (3).
T¬ng tù: SEOD + SFOC = SDOK + SCOK = 21 cm2 (4).
Tõ (1), (2), (3), (4) ta cã: SABCD = 21 + 21 + 21 + 21 = 84 (cm2).
* Nhận xét: Lời giải nêu SNPD = 1,5 x SMPN (đúng) Hai tam giác có phần chung
là tam giác NOP (đúng) nên SDOP = 1,5 x SMON (sai) Từ bớc giải sai ny kộo theo thờm
nhiều bớc sai khác nên kết cuối sai Nguyên nhân sai lầm chỗ lập tỉ số:
SNPD SDOP + SNOP SDOP
= ; = ; = SMPN SMON + SNOP SMON
Các em bớt tử số mẫu số SNOP Khi tỉ số thay đổi khơng
thĨ b»ng
2
đợc
Lời giải (Tóm tắt): SNDP =
4
SABCD (1); SPMN =
6
SABCD(2) Tõ (1) vµ (2) ta cã:
SDOP = SNDP - SNOP =
4
SABCD - SNOP (3) SMON = SPMN - SNOP =
6
SABCD - SNOP (4)
Tõ (3) vµ (4) ta cã: SDOP - SMON =
4
SABCD -
6
SABCD =
12
SABCD.
Vì SDOP - SMON = 3,5 (cm2) nên diƯn tÝch ABCD lµ 3,5 x 12 = 42 (cm2).
(5)* Bài tập áp dụng: Cho hình thang ABCD, hai đờng
chéo AC BD cắt O Tính tỷ số đáy hình thang biết diện tích tam giác AOB = cm2, diện tích
tam gi¸c DOC = cm2.
Bài giải: Kí hiệu S diện tích Tam giác ABC vµ BDC
có chung chiều cao chiều cao hình thang nên tỷ số diện tích tỷ số hai đáy.
SABC AB
= SBDC DC
Nhng tam giác ABC BDC có phần chung BCO SAOB AB 1
VËy: = = . SDOC DC 4
Theo em tỷ số tính cha? Nếu sai sai đâu?
Ví dụ 2: Hình chữ nhật ABCD có chu vi 68 cm, đợc chia thành hình chữ nhật nh hỡnh v
Tính diện tích hình chữ nhËt ABCD
(§Ị thi OLYMPIC To¸n tiĨu häc Sin - ga - po)
Một số học sinh giải nh sau:
Từ hình ta thấy chiều dài AB hình chữ nhật ABCD phải số chia hết cho 2 nên chữ số tận Do nửa chu vi hình ABCD 34 cm, nên chiều dài AB 10; 20; 30 AB khơng thể 10 cm nh AB < AD; AB không thể 30 cm AD cm diện tích hình ABCD 30 x = 120(cm2),
mµ 120 không chia hết cho Vậy AB 20 cm; AD = 14 cm. DiƯn tÝch ABCD lµ 20 x 14 = 280(cm2).
* Nhận xét: Lời giải lập luận sai từ bớc đầu tiên: "Chiều dài AB hình chữ nhật ABCD phải số chia hết cho 5" Nh ngộ nhận số đo chiều dài AB phải số tự nhiên (mà đề điều kiện này)
* BiƯn ph¸p khắc phục: Để khắc phục sai lầm cho em làm quen luyện giải nhiều tập dạng nh
* Li giải đúng: Nhìn vào hình vẽ ta thấy AB gấp lần chiều rộng hình chữ nhật nhỏ gấp lần chiều dài nên tỉ số chiều rộng chiều dài hình chữ nhật nhỏ
5
Coi chiều rộng hình chữ nhật nhỏ phần chiều dài phần nh Do AD + = (phần), AB x = 10 (phần) Hay tỉ số chiều rộng (AD) chiều dài (AB)
10
(6)* Bài tập áp dụng: Quảng Ninh: ''Vờn
nhà hình chữ nhật có chu vi 62 m, đợc chia thành 10 mảnh nhỏ hình chữ nhật có diện tích (nh hình vẽ) Cậu có biết diện tích vờn nhà mét vng khơng?'' Ninh nghĩ lúc lắc đầu chịu thua Em có tính giúp Ninh đợc khơng
(§Ị thi "Vận dụng toán vào sống" giao lu Toán Tuổi Thơ lần thứ hai - 2006) 6 Sai lầm xÐt thiÕu trêng hỵp
Ví dụ 1: Trong vờn hoa hình chữ nhật dài 60 m, rộng 30 m ngời ta làm bốn luống hoa hình chữ nhật Xung quanh luống hoa có đờng rộng m
Tính diện tích đờng vờn hoa
Một số học sinh giải nh sau: Giả sử luống hoa dời đến góc vờn nh hình vẽ dới đây.
Bốn luống hoa ghép lại đợc hình chữ nhật có chiều rộng là: 30 - x = 21 (m). Chiều dài là: 60 - x = 51 (m) Diện tích bốn luống hoa là: 51 x 21 = 1071 (m2)
DiƯn tÝch vên hoa lµ: 60 x 30 = 1800 (m2).
Diện tích đờng là: 1800 - 1071 = 729(m2).
* Nhận xét: Bài giải xem xét trờng hợp luống hoa với đờng đi xung quanh luống hoa Tuy nhiên tốn cịn có thêm hai trờng hợp khác nh hình vẽ dới
(7)Trêng hỵp 2 Lêi giải (Trờng hợp 1):
Diện tích luống hoa lµ: (60 - x 2) x (30 - x 5) = 810 (m2).
DiƯn tÝch c¸c lối là: 60 x 30 - 810 = 990 (m2).
(Trêng hỵp 2): DiƯn tÝch lng hoa lµ: (60 - x 5) x (30 - x 2) = 1080 (m2).
DiƯn tÝch c¸c lối là: 60 x 30 - 1080 = 720 (m2).
Ví dụ 2: Bác Phong có mảnh đất hình chữ nhật, chiều rộng mảnh đất dài m Bác ngăn mảnh đất thành hai phần, phần để làm nhà, phần lại để làm vờn Diện tích phần đất làm nhà
2
diện tích mảnh đất cịn chu vi phần đất làm nhà
3
chu vi mảnh đất Tính diện tích mảnh đất bác
* Nhận xét: Phần lớn học sinh giải toán giải trờng hợp sau: Gọi mảnh đất hình chữ nhật ABCD và
phần đất làm nhà AMND Vì diện tích phần đất làm nhà nửa diện tích mảnh đất nên M, N lần lợt trung điểm AB và CD Do AM = MB = CN = ND. Chu vi phần đất làm nhà là: (AM + AD) x = (AM + 8) x =
= AM x + x = AB + 16 Chu vi mảnh đất là: (AB + AD) x = (AB + 8) x = = AB x + x = AB x + 16 Hiệu chu vi mảnh đất chu vi phần đất làm nhà là: (AB x + 16) - (AB + 16) = AB Hiệu so với chu vi mảnh đất chiếm: -
3
=
3
(chu vi mảnh đất) Do ta có: AB x = AB x + 16, ta tìm đợc AB = 16 (m). Vậy diện tích mảnh đất là: 16 x = 128 (m2).
Tuy nhiên toán có trờng hợp (xem hình vÏ)
Lời giải (Trờng hợp 2): Lập luận tơng tự trờng hợp tìm đợc AB = m Điều vơ lí AB chiều dài mảnh đất hình chữ nhật, đơng nhiên phải lớn m
Do trờng hợp bị loại
VÝ dơ 3: Mét thưa rng h×nh chữ nhật có chiều dài gấp lần chiều rộng Ngời ta mở rộng bên trái, bên phải phía bên m diện tích ruộng tăng thêm 120 (m2) Hỏi diện tích ruộng ban đầu bao nhiêu?
(8)Mở rộng bên trái, bên phải và phía bên m ta đợc phần diện tích tăng thêm hình A, B, C, D, E (hỡnh bờn).
Diện tích hình vuông B (hay D) lµ: x = (m2).
Vì ba hình chữ nhật A, C, E có chiều m chiều cịn lại hình C gấp 3 lần chiều cịn lại hình A (hay E) nên tổng diện tích ba hình A, C, E lần diện tích hình A bằng: 120 - x = 102 (m2)
DiƯn tÝch h×nh A lµ: 102 : = 20,4 (m2) ChiỊu réng cđa ruộng ban đầu là: 20,4 : 3
= 6,8 (m) Chiều dài ruộng ban đầu là: 6,8 x = 20,4 (m). DiƯn tÝch cđa thưa ruộng ban đầu là: 20,4 x 6,8 = 138,72 (m2).
Bài toán giải trờng hợp là: Thửa ruộng ban đầu có chiều dài theo phơng nằm ngang Học sinh bỏ sót trờng hợp ruộng ban đầu có chiều dài theo phơng thẳng đứng (nh hình vẽ phía dới).
Khi hình chữ nhật A có chiều 3m chiều chiều rộng ruộng ban đầu có diện tích là: 102 : =
7 102
(m2).
ChiỊu réng cđa thưa rng ban đầu là:
7 102
: =
7 102
(m)
ChiỊu dµi ruộng ban đầu là:
7 34
x =
7 102
(m)
Diện tích ruộng ban đầu là:
7 102 x 102 = 49 3468
(m2).
* Biện pháp khắc phục: Một giải trọn vẹn giải phải xét tất tr-ờng hợp xảy (nếu có) tình cho Để khắc phục sai lầm cho em làm quen luyện giải nhiều tập dạng nh
* Bài tập áp dụng: Một hình chữ nhật có chu vi 200 m Nếu tăng cạnh m và giảm cạnh m hiệu diện tích hình cũ hình 175 m2.
Tính diện tích hình ban đầu 7 Một số sai lầm khác
Vớ d 1: Khi mơ tả hình, học sinh tiểu học thờng không mô tả đầy đủ dấu hiệu đặc trng hình, có mơ tả thừa, có mơ tả thiếu dấu hiệu Chẳng hạn học sinh có mơ tả nh sau:
- Hình vuông hình có cạnh góc - Hình vuông hình chữ nhật có cạnh góc b»ng
- Hình vng hình tứ giác có cạnh góc nhau, góc vng
* Nhận xét: Nguyên nhân sai lầm học sinh không nắm khái niệm về hình hình học cần mô tả
(9)Ví dụ 2: Khi dùng chữ để đọc viết hình hình học, học sinh tiểu học thờng tự tiện đổi chỗ chữ tên gọi hình Chẳng hạn, em coi cách đọc viết hình tứ giác ABCD nh hình tứ giác ACDB, ADBC, ADCB,…
* Nhận xét: Nguyên nhân sai lầm khả suy luận học sinh tiểu học thờng dựa vào phán đốn khơng có cứ, em bị ảnh hởng tính chất giao hốn phép cộng phép nhân số tự nhiên, số thập phân, thực hành em bị ảnh hởng phép đo đạc đoạn thẳng AB BA có độ dài nh nhau, đổi chỗ chữ kí hiệu tên gọi tam giác ABC tam giác ACB tam giác Từ dẫn em tới suy luận sai lầm: "Việc đổi chỗ chữ kí hiệu tên gọi hình tứ giác khơng làm thay đổi hình tam giác đó"
* Biện pháp khắc phục: Để khắc phục sai lầm trên, nên phân tích hình vẽ cho em thấy đợc đổi chỗ thứ tự chữ kí hiệu gọi hình tứ giác, đoạn thẳng đóng vai trị yếu tố cạnh hình tứ giác trở thành đờng chéo hình tứ giác Trên vài kinh nghiệm giúp học sinh khắc phục số sai lầm thờng gặp giải toán mang nội dung hình học mà tơi tích luỹ đợc q trình hớng dẫn học sinh học tốn
Thành công lớn mà kinh nghiệm mang lại học sinh khắc phục đợc sai lầm thờng gặp giải tốn mang nội dung hình học Tạo hứng thú, óc phân tích khả sáng tạo cho học sinh
Một thành công mà kinh nghiệm mang lại giúp cho học sinh có đợc kinh nghiệm giải tốn q báu là: Trong q trình làm em phải bình tĩnh đọc kĩ đề bài, cần sử dụng linh hoạt sáng tạo kiến thức bản, để không mắc phải sai lầm đáng tiếc nh kinh nghiệm nêu, để không bị rơi vào "bẫy" sai mà toán "giăng"