TỪ PHƯƠNG TRÌNH ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐẠI SỐ ĐẾN BÀI TOÁN QUỸ TÍCH HÌNH HỌC PHẲNG

1 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THỪA THIÊN-HUẾ TRƯỜNG THPT PHAN ĐĂNG LƯU  ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP NGÀNH TỪ PHƯƠNG TRÌNH ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐẠI SỐ ĐẾN BÀI TỐN QUỸ TÍCH HÌNH HỌC PHẲNG Chủ nhiêm đề tài: TƠN THẤT HIỆP Giáo viên Tốn trường THPT Phan Đăng Lưu Đề tài nghiên cứu Khoa học Tôn Thất Hiệp, cử nhân Toán học LỜI MỞ ĐẦU Theo văn nghị hội nghị lần II (khóa VII, 1997) BCHTƯ ĐCS Việt Nam có rõ: “Phải đổi phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện nếp tư sáng tạo người học Từng bước áp dụng phương tiên tiến phương pháp đại vào trình dạy học, đảm bảo điều kiện thời gian thời gian tự học, tự nghiên cứu học sinh sinh viên đại học” Trong tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên Trung học Phổ thông (THPT) chu kỳ III: Một số xu hướng đổi dạy học toán trường Trung học Phổ thông (TS.Trần Vui (chủ biên), Nhà xuất Giáo dục năm 2005) nhấn mạnh: “Đổi phương pháp dạy học mơn Tốn trường THPT tổ chức cho học sinh học tập hoạt động hoạt động tự giác, tích cực chủ động sáng tạo” Việc tạo toán hoạt động tự giác tích cực chủ động sáng tạo học sinh THPT có khả tốn học Tạo toán giáo viên dạy toán bậc THPT sinh viên đại học ngành Toán việc nên làm trình dạy học Vì vậy, dạy cho học sinh tư sáng tạo tốn phần rèn luyện cho học sinh tính sáng tạo tốn học cách sinh động cụ thể Xuất phát từ vấn đề trên, tiến hành đề tài nghiên cứu khoa học “TỪ PHƯƠNG TRÌNH ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐẠI SỐ ĐẾN BÀI TỐN QUỸ TÍCH HÌNH HỌC PHẲNG”, nhằm đưa quy trình tạo tốn quỹ tích hình học phẳng từ phương trình đồ thị hàm số Trong đề tài này, tơi cịn xây dựng tốn quỹ tích đại số tổng qt mà kết tốn quỹ tích đồ thị dạng hàm số y = k1.f1(x) + k2.f2(x)) (k1, k2 hai số thực khác không), y= f (x) , y = f1(x).f2(x), y = biết đồ thị thành phần y = f1(x), f(x) f1 (x) y = f2(x), y = f(x) Để thuận tiện cho việc thẩm định Hội đồng Khoa học, xin giới thiệu cấu trúc đề tài sau: A TỔNG QUAN Trình bày mục tiêu đề tài, tên đề tài, lịch sử đề tài, năm bắt đầu nghiên cứu Đề tài nghiên cứu Khoa học Tôn Thất Hiệp, cử nhân Toán hoïc năm kết thúc đề tài, phương pháp nghiên cứu kiến thức liên quan B NỘI DUNG I Quy trình tạo tốn quỹ tích hình học phẳng II Một số tốn quỹ tích hình học phẳng tạo từ phương trình đồ thị hàm số đại số Trình bày cách áp dụng quy trình tạo tốn quỹ tích hình học phẳng mục I, để tạo toán quỹ tích hình học phẳng từ hàm số đại số đơn giản y = ax, y = a/x, y = ax2, y = a/x2, y = ax3, y = ax4, y = a x ( a  ) III Bốn tốn quỹ tích hình học phẳng tổng qt từ số tốn tìm Đề xuất chứng minh tốn quỹ hình học phẳng tổng quát từ số toán quỹ tích hình học mục II mà kết đồ thị hàm số đa thức bậc n y = a n x n + a n-1x n-1 + + a x + a1x + a , (x  0, n  2, a  0) , đồ thị hàm số y= đồ thị hàm số y = an x ax +bx+c (d  0, a2 + b2 + c2 ≠0, tử mẫu dx+e khơng có nghiệm chung ), đồ thị hàm số y = an/xn + an–1/xn-1 + … + a1/x + a0 ( an  0, n N*) IV Các tốn quỹ tích tổng qt mà kết đồ thị hàm số Đề xuất chứng minh tốn quỹ tích mà kết đồ thị hàm số có dạng y = k1.f1(x) + k2.f2(x) (k1, k2 hai số thực khác không), y = y= , y = f1(x).f2(x), f(x) f (x) biết đồ thị thành phần y = f1(x), y = f2(x), y = f(x) f1 (x) C CÁC SẢN PHẨM CỦA ĐỀ TÀI Tổng kết lại kết đạt trình nghiên cứu D Ý NGHĨA CỦA KẾT QUẢ Nêu lên số ý nghĩa ứng dụng đề tài thực E HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI Nêu hai hướng phát triển đề tài G CÁC KẾT QUẢ KHẢO SÁT, THỰC NGHIỆM Phân tích số liệu thơng kê phiếu khảo sát đánh giá buổi ngoại khóa H KẾT LUẬN PHỤ LỤC Đề tài nghiên cứu Khoa học Tôn Thất Hiệp, cử nhân Toán học Gồm: mẫu phiếu khảo sát đề tài, giấy chứng nhận Sáng tạo Khoa học Kỹ thuật (là ứng dụng kỹ thuật đề tài) Các nội dung ngoại khóa, giấy xác nhận tổ chức ngoại khóa kết đạt buổi ngoại khóa Các viết đăng tạp chí trang Web TÀI LIỆU THAM KHẢO Đề tài nghiên cứu Khoa học Tôn Thất Hiệp, cử nhân Toán học A.TỔNG QUAN I Mục tiêu đề tài: Với tầm quan trọng việc giáo dục cho học sinh tư sáng tạo toán học, tiến hành nghiên cứu đề tài “TỪ PHƯƠNG TRÌNH ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐẠI SỐ ĐẾN BÀI TỐN QUỸ TÍCH HÌNH HỌC PHẲNG”, nhằm hai mục tiêu sau: Rèn luyện tư sáng tạo toán học cho học sinh THPT thơng qua cách tạo tốn quỹ tích hình học phẳng từ phương trình đồ thị hàm số Làm phong phú thêm số lượng tốn quỹ tích hình học phẳng Bổ sung tốn quỹ tích hình học phẳng hồn tồn mà quỹ tích tốn đồ thị hàm số đại số II Đối tượng phạm vi áp dụng: Học sinh giỏi bậc THPT, sinh viên khoa Toán trường đại học, giáo viên dạy toán bậc THPT toàn quốc giới III Lịch sử vấn đề: Trước đây, mơn hình học giải tích chưa đời tốn quỹ tích hình học phát biểu, diễn tả ngôn ngữ hình học tổng hợp kết tốn quỹ tích đường hình học bản: đường thẳng, đường tròn, đoạn thẳng, tia, cung tròn v,v Cho đến hình học giải tích đời, tốn quỹ tích hình học phẳng, giải phương pháp toạ độ kết tốn quỹ tích tập hợp điểm có toạ độ (x; y) thoả mãn phương trình hai ẩn F(x; y) = Như vậy, với phương trình đường F(x; y) = tồn tốn quỹ tích hình học phẳng mà kết đường có phương trình F(x; y) = Từ đó, tơi nảy ý tưởng tìm cách tạo tốn quỹ tích hình học phẳng từ phương trình đồ thị hàm số đại số Giải vấn đề mở cách mới, để tạo nhiều tốn quỹ tích hình học phẳng từ phương trình đồ thị hàm số Năm 1999, thành công tìm tốn quỹ tích hình học phẳng (bài tốn đề tài) từ phương trình Prabol dạng tắc y2 = 2px để làm nguyên lý cho dụng cụ vẽ đường Parbol liên tục Năm 2000, tơi bắt đầu tìm cách tạo tốn quỹ tích hình học phẳng từ phương trình đồ thị hàm số Sau thời gian dài nghiên cứu, Đề tài nghiên cứu Khoa học Tôn Thất Hiệp, cử nhân Toán học (tháng năm 2007), tơi hồn thành đề tài khoa học mình, đề tài mang tên “TỪ PHƯƠNG TRÌNH ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐẠI SỐ ĐẾN BÀI TỐN QUỸ TÍCH HÌNH HỌC PHẲNG” IV Phương pháp nghiên cứu * Phương pháp nghiên cứu phương pháp phân tích tổng hợp * Sử dụng phần mềm hình học The Geometer’s Sketchpad để vẽ hình để kiểm tra tốn tìm V Các kiến thức liên quan Hệ trục toạ độ Đề-các vng góc mặt phẳng, toạ độ điểm véc tơ mặt phẳng, phương trình đường thẳng mặt phẳng (xem chương I sách giáo khoa Hình học lớp 12 (sách chỉnh lý hợp năm 2002) tác giả Văn Như Cương biên soạn) Đường lối chung để giải toán quỹ tích hình học phẳng phương pháp toạ độ mặt phẳng Định nghĩa đồ thị hàm số: Cho hàm số y = f(x) xác định D Đồ thị (G) hàm số tập hợp tất điểm M(x; y) mặt phẳng toạ độ Oxy với x D y = f(x) Công thức y = f(x) gọi phương trình đồ thị (Trần văn Hạo – Cam Lễ, Đại số 10, nhà xuất Giáo dục năm 2002, trang 25) Ở ta cần ý đến hai tính chất đặc biệt véc tơ Cho hai véc tơ OM = (x; y) , ON = (x; y) , ta có * x.x + y.y =  OM  ON * x.y - y.x =  ON phương OM  điểm O, M, N thẳng hàng Từ ta có hai ý quan trọng: 1/ Nếu có x.x+ y.y =0 (a) chọn cặp véc tơ vng góc OP , OQ có toạ độ thoả mãn (a) chẳng hạn OP = (x.x; y) , OQ = (1; y) 2/ Nếu có x.y - y.x = (b) chọn cặp véc tơ phương OP , OQ có toạ độ thoả mãn (b) chẳng hạn OP = (x.y; y) , OQ = (x; 1) Đề tài nghiên cứu Khoa học Tôn Thất Hiệp, cử nhân Toán học B NỘI DUNG I Quy trình tạo tốn quỹ tích hình học phẳng: * Từ phương trình đồ thị (G) hàm số y = f(x) ta viết dạng y – f(x) = hay F(x; y) = (1) * Từ đẳng thức (1) ta chọn cặp véc tơ vng góc thỏa mãn (1) hay cặp véc tơ phương thỏa mãn (1) (ta chọn nhiều cặp véc tơ phương vng góc thỏa mãn (1)) * Sau đó, dựa vào mối liên hệ điểm M(x; y)  (G) với quan hệ hình học từ mối quan hệ vng góc quan hệ phương cặp véc tơ mà ta chọn trên, cần ý đến đối tượng hình học “động” “tĩnh”, để ta phát tốn quỹ tích hình học phẳng (ta cần phải vẽ hình để dễ thấy mối quan hệ hình học đối tượng cách trực quan) Trên sở tốn quỹ tích hình học tìm ra, ta sử dụng tốn cách hợp lý để tạo tốn quỹ tích hình học khác Có thể tóm tắt quy trình tạo tốn hình học phẳng dạng lược đồ sau: Phương trình đồ thị (G) Quan hệ cặp véc tơ Quan hệ hình Bài tốn học quỹ hàm số (cùng phương M(x; y)(G) tích y = f(x) viết vng với đối hình dạng góc) F(x; y) = tượng hình học “tĩnh” “ động ” học phẳng Thực chất việc lập luận lơgíc theo quy trình cách lập luận phần đảo “mở” phép chứng minh toán quỹ tích hình học phẳng (Phần đảo “mở” phần lập luận lơ-gíc để đưa hay nhiều tốn tốn quỹ tích hình học phẳng mà khơng thiết tốn quỹ tích mà ta giải) Có thể nói, quy trình tạo tốn quỹ tích hình học phẳng nói cách “sản xuất” nhiều tốn quỹ tích hình học phẳng mà “nguyên vật liệu” phương trình số đồ thị hàm số đại số Đề tài nghiên cứu Khoa học Tôn Thất Hiệp, cử nhân Toán học II.Một số tốn quỹ tích hình học tạo từ phương trình đồ thị hàm số đại số: Trong phần này, tơi trình bày cách áp dụng quy trình để tạo tốn quỹ tích hình học phẳng từ hàm số đơn giản y = ax, y = a/x, y = ax2, y = a/x2, y = ax3, y = ax4, y = a x ( a  ) Để chứng minh toán tạo ta cần chứng minh phần thuận, phần đảo trình bày trình hình thành tốn Những tốn tạo khơng thiết phải giải tác giả mà giải nhiều cách khác Đồ thị hàm số y = ax ( a  ) (1) * Ta biến đổi sau: (1)  y.1 – a.x =  OM phương OH0  điểm O, M, H0 thẳng hàng Với OM = (x; y) , OH = (1, a) suy H0 giao điểm hai đường thẳng (d1): y = a, (d2): x = M(x; y)  (G) , đồ thị (G) đường thẳng OH0 (xem hình vẽ 1) Từ ta có tốn sau Bài tốn 1: Cho hai đường thẳng vng góc (d1) (d2) vng góc với O điểm khơng nằm hai đường thẳng đó, M0 điểm nằm đường thẳng (d1) Gọi H0 hình chiếu M0 lên đường (d2) Đường thẳng qua M0 vng góc với (d1) cắt đường thẳng OH0 M1 Tìm quỹ tích điểm M1 M0 chạy đường thẳng (d1) Hình * Ta biến đổi sau (1)  y.1 – a.x =  OC  OD Đề tài nghiên cứu Khoa học Tôn Thất Hiệp, cử nhân Toán học Với OC = (x; 1) , OD = (-a; y) suy C  (d1 ) : y = , D  (d2 ) : x = -a Gọi M giao điểm đường thẳng qua C vuông góc với (d1) đường thẳng qua D vng góc với (d2) ta có M(x; y)  (G) (xem hình vẽ 2) Từ ta có tốn sau Bài toán 2: Cho hai đường thẳng (d1) (d2) vng góc với nhau, O điểm cố định khơng nằm hai đường thẳng Trên đường thẳng (d1) lấy điểm C, đường thẳng qua O vng góc với OC cắt (d2) D Đường thẳng qua C vng góc với (d1) cắt đường thẳng qua D vng góc với (d2) M Tìm quỹ tích điểm M C chạy (d1) Hình 2 Đồ thị hàm số y = a (2) (a  0) x * Ta biến đổi sau: (2)  y.x + (-1).a = , (x  0)  OP  OQ Trong đó: OP = (x; -1) , OQ = (y; a) suy P (d2 ) : y = -1 , Q  (d1 ) : y = a , OP  OQ Vẽ đường thẳng (d3): y = x , đường thẳng qua Q vng góc với (d1) cắt đường thẳng (d3) S Gọi M giao điểm đường thẳng qua P vng góc với (d 1) đường thẳng qua S phương với (d1) ta có M(x; y)  (G) (xem hình vẽ 3) Từ ta có tốn sau Bài toán 3: Cho ba đường thẳng (d1), (d2), (d3) (d1) song song với (d2) (d1) hợp với (d3) góc 450, O điểm cố định nằm (d3) O  (d1 )  (d ) Trên đường thẳng (d3) lấy điểm S, qua S vẽ đường thẳng vng góc với (d 1) Q Đường Đề tài nghiên cứu Khoa học Tôn Thất Hiệp, cử nhân Toán học 10 thẳng qua O vng góc với OQ cắt (d2) P Đường thẳng qua P vng góc với (d1) cắt đường thẳng qua S phương với (d1) M Hình Tìm quỹ tích điểm M S chạy đường thẳng (d3) Lời giải tốn 3: Hình 3' Phần thuận : * Chọn hệ trục toạ độ Oxy hình vẽ 3’ Giả sử (d1): y = a , (d2) : y = b, (d3) : y = x M(x; y) thoả mãn toán Vì P  (d ) , PM  (d2 ) , Q  (d1 ) MS  Oy , S  (d3 ) nên P(x; b) Q(y; a) Theo giả thiết OQ  OQ , nên ta có : OP  OQ  x.y + b.a =  y = -ab ,( x  0) (*) x * Ở x  x = M, POy nên đường thẳng qua OQ song song với (d1) Đề tài nghiên cứu Khoa học Tôn Thất Hiệp, cử nhân Toán học 40 hình chiếu vng góc M2 lên đường thẳng (d1), đường thẳng qua M1 vng góc với Oy cắt đường thẳng (d2) S, đường thẳng qua S vng góc với x’Ox cắt đường thẳng OH2 H1 Gọi M hình chiếu vng góc H1 lên đường thẳng (d) Tìm quỹ tích điểm M M1 chạy đồ thị (C1) Lời giải: Giả sử M(x; yM) với x  D1  D2 D1 D2 hai tập xác định hai hàm số f1(x) f2(x), từ giả thiết ta có M1(x; f1(x)), S(f1(x); f1(x)), M2(x; f2(x)), H2(1; f2(x)), H1(f1(x); yM) Ta có: OH = (1; f (x)), OH1 = (f1 (x); y M ) phương  yM = f1 (x).f2 (x)  1.yM - f1 (x).f2 (x) = Vậy quỹ tích điểm M đường đồ thị hàm số y = f1 (x).f (x) Hình vẽ 28 đồ thị hàm số y = x2sin(x + 1) suy từ hai đồ thị hai hàm số y = x2 y = sin(x+1) Hình 28 Áp dụng : Dựa tốn quỹ tích mà kết đồ thị hàm số tích hai hàm số, tơi kết hợp hai tốn quĩ tích hình học đường trịn (C) : (y – b )2 + (x – a)2 = r2 tốn quỹ tích hình học đồ thị hàm số y = (x – a)n + b để sáng tạo tốn quỹ tích hình học phẳng mà kết đường bướm (tác giả tự đặt tên) Đề tài nghiên cứu Khoa học Tôn Thất Hiệp, cử nhân Toán học 41 có phương trình (Bn): (x - a)2n + + (y - b)2 = r (x - a)2n , n  N* (r > 0) Bài tốn phát biểu dạng sau Bài toán 25: Cho ba đường thẳng (d1), (d2) (d3) (d1), (d2) vng góc với I, (d3) song song với (d1), A điểm nằm (d1), B điểm nằm (d2) cho AB = 2r số dương không đổi Gọi M0 trung điểm đoạn AB Qua M0 vẽ đường thẳng (d) phương với (d3) Qua M0 vẽ đường thẳng vng góc với (d3) H0, đường thẳng IH0 cắt đường thẳng (d) M1 Qua M1 vẽ đường thẳng vng góc với (d3) H1, đường thẳng IH1 cắt đường thẳng (d) M2 Cứ thế…,qua Mn-1 vẽ đường thẳng vng góc với (d3) Hn-1, đường thẳng IHn –1 cắt đường thẳng (d) Mn Tìm quỹ tích điểm Mn đoạn thẳng AB di động Hình vẽ 29 12 bướm ứng với r = AB = 2,01 n = 0; 1; 2; Hình 29 Quỹ tích toán đồ thị hàm số y = f2(x)/ f1(x): Bài toán IV: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai đồ thị (C1): y = f1(x), (C2): y = f2(x) hai đường thẳng (d1): x = 1, (d2) : y = x Lấy điểm M1 đồ thị (C1) cho đường thẳng (d) qua M1 vng góc với x’Ox cắt đồ thị (C2) điểm M2 Qua M1 kẻ Đề tài nghiên cứu Khoa học Tôn Thất Hiệp, cử nhân Toán học 42 đường thẳng vng góc với Oy cắt (d2) H1 Đường thẳng qua M2 vng góc với Oy cắt đường thẳng qua H1 vng góc với Ox H2 Đường thẳng OH2 cắt đường thẳng (d1) K Gọi M hình chiếu vng góc K lên đường thẳng (d) Tìm quỹ tích điểm M M1 chạy đồ thị (C1) Hình vẽ 30 đồ thị hàm số y = x + 2x + 3x + suy từ đồ x + 2x - x + thị hai hàm số y = f (x) = x + 2x + 3x + y = f1 (x) = x + 2x - x + Áp dụng : Sử dụng toán 21 tốn IV ta có tốn 26 mà kết tốn quỹ tích đồ thị hàm số phân thức với tử mẫu đa thức Hình 30 Bài tốn 26: Trong mặt phẳng cho ba đường thẳng phân biệt (d1), (d1’), (d3) hai đường thẳng (d2), (d2’), (d2) (d2’) vng góc với hai đường thẳng (d1), (d1’), đồng thời (d1) hợp với (d3) góc 450 Giả sử (d2) (d3) cắt O Trên đường thẳng (d2) lấy n điểm T0, T1, …, Tn –2, Tn –1, đường thẳng (d2) ta lại lấy m điểm T0’, T1’, …, Tm –2’, Tm –1’ Lấy điểm M0 (d1) Qua M0 vẽ đường thẳng vng góc với (d2’) H0 qua M0 vẽ đường thẳng (d) phương với với (d2’), đường thẳng H0T0 cắt đường thẳng (d) M1 Qua M1 vẽ đường thẳng vng góc với (d2’) H1, đường thẳng H1T1 cắt đường thẳng (d) Đề tài nghiên cứu Khoa học Tôn Thất Hiệp, cử nhân Toán học 43 M2.Cứ thế…,qua Mn -1 vẽ đường thẳng vng góc với (d2’) Hn –1, đường thẳng Hn -1Tn -1 cắt đường thẳng (d) Mn Đường thẳng (d) cắt đường thẳng (d1’) M0’, qua M0’ vẽ đường thẳng vng góc với (d2’) H0’, đường thẳng H0’T0’ cắt đường thẳng (d) M1’.Qua M1’ vẽ đường thẳng vng góc với (d2’) H1’, đường thẳng H1’ T1’ cắt đường thẳng (d) M2’ Cứ thế…,qua Mm –1’ vẽ đường thẳng vng góc với (d2’) Hm –1’, đường thẳng Hm –1’ Tm –1’ cắt đường thẳng (d) Mm’ Đường thẳng qua Mm’ vng góc với (d2) cắt đường thẳng (d3) Pm’ Đường thẳng qua Mn vng góc với (d2) cắt đường thẳng qua Pm’ vng góc với (d1) P Đường thẳng OP cắt đường thẳng (d2’) K Gọi M hình chiếu vng góc K lên đường thẳng (d) Tìm quỹ tích điểm M M0 chạy đường thẳng (d1) Giải toán phương pháp tọa độ, ta có quỹ tích điểm M đồ thị hàm số phân thức với tử đa thức bậc n cịn mẫu đa thức bậc m có dạng thu gọn an x n + an - x n - + + a2 x + a1 x + a0 (an bm  0, m, n  y= bm x m + bm - x m - + + b2 x + b1 x + a0 * ) Có thể nói, áp dụng toán I, II, III, VI dựa sở tốn quỹ tích (đại số hình học) biết, ta tạo nhiều tốn quỹ tích mà quỹ tích tốn đồ thị hàm số Đề tài nghiên cứu Khoa học Tôn Thất Hiệp, cử nhân Toán học 44 C CÁC SẢN PHẨM CỦA ĐỀ TÀI Tạo 20 tốn quỹ tích hình học phẳng (bài tốn đến tốn 20) từ phương trình đồ thị hàm số số hàm số đơn giản y = ax, y = a/x, y = ax 2, y = a/x2, y = ax3, y = ax4, y = a x ( a  ) Xây dựng tốn quỹ tích đại số tổng qt tốn I, tốn II, toán III, toán IV mà kết tốn quỹ tích đồ thị hàm số có dạng hàm số y = k1.f1(x k2) + k2.f2(x)) (k1.k2≠ 0), y = y = f1(x).f2(x) , y = , f(x) f (x) biết đồ thị thành phần y = f1(x), y = f2(x), f1 (x) y = f(x) Đề xuất tốn quỹ tích hình học phẳng tổng qt mới, : * Bài tốn 21 với kết tốn quỹ tích đồ thị hàm số đa thức bậc n có dạng thu gọn y = a n x n + a n - 1x n - + + a x + a1x + a ,(a n  0,n  N, n  1) * Bài toán 22 với kết tốn quỹ tích đồ thị hàm số có dạng thu gọn y = a n x (x  0, n  2, a  0) * Bài toán 23 với kết toán quỹ tích đồ thị hàm số có dạng thu gọn y = ax + bx + c , (d  0) dx + e * Bài toán 24 với kết tốn quỹ tích đồ thị hàm số có dạng thu gọn y= an a a + nn 11 + + + a (a n  0, n  N, n  1) n x x x * Bài toán 25 với kết tốn quỹ tích “đường bướm” (tác giả tự đặt tên) có phương trình dạng thu gọn : (x - a)2n + + (y - b)2 = r (x - a)2n , n  N* (r > 0) * Bài toán 26 với kết tốn quỹ tích đồ thị hàm số có dạng thu gọn: a n x n + a n - 1x n - + + a x + a1x + a y= (a n bm  0, m, n  N* ) bm x m + bm - 1x m - + + b x + b1x + a Đề tài nghiên cứu Khoa học Tôn Thất Hiệp, cử nhân Toán học 45 D Ý NGHĨA CỦA KẾT QUẢ Với toán tạo đề tài này, hy vọng làm phong phú mặt số lượng tốn quỹ tích hình học phẳng, bổ sung vào dạng tốn quỹ tích hình học phẳng hồn tồn mà quỹ tích tốn đồ thị hàm số đại số, dĩ nhiên, cách giải toán phương pháp tọa độ mặt phẳng Với toán tạo từ đề tài cho phép phát biểu số đồ thị hàm số đại số thông qua tốn quỹ tích hình học phẳng Đối với đồ thị hàm số đa thức bậc n ( n 1) ta có định nghĩa tổng qt dựa tốn 21, mà trước đây, sách giáo khoa lớp 12, định nghĩa đồ thị hàm số bậc (đường Parbol) thơng qua tốn quỹ tích Việc phát biểu số đồ thị hàm số đại số mặt phẳng ngơn ngữ hình học (bài tốn quỹ tích hình học phẳng) tạo ý tưởng vẽ nhiều đồ thị hàm số đại số thơng qua tốn quỹ tích hình phẳng tương ứng Các hình vẽ minh họa đề tài này, sử dụng phần mềm The Geometer’s Sketchpad để vẽ đồ thị hàm số thông qua tốn quỹ tích hình học phẳng tương ứng đồ thị Một ứng dụng nữa, chủ động tạo nhiều tốn quỹ tích hình học phẳng mà kết đồ thị hàm số mà ta xét, để từ ta chọn số tốn làm ngun lý tốt cho việc sáng chế thành công dụng cụ vẽ đồ thị hàm số cách xác trực quan Xin nói thêm, tơi sử dụng tốn (trình bày phần nội dung đề tài) để làm nguyên lý cho việc sáng chế dụng cụ vẽ đường Parabol liên tục dụng cụ đạt giải Hội thi Sáng tạo kỹ thuật tỉnh Thừa Thiên – Huế lần thứ I (2002-2003) đạt giải ba Hội thi sáng tạo Khoa học Kỹ thuật Việt Nam lần thứ VII ( 2002 – 2003) Áp dụng toán I, II, III, IV ta tạo nhiều tốn quỹ tích hình học phẳng từ tốn quỹ tích hình học biết Bài toán 25, toán 26 kết việc sử dụng toán Quy trình tạo tốn quỹ tích hình học phẳng từ phương trình đồ thị hàm số đại số đăng thẩm định tạp chí Giáo dục số 155, kì 1-2/ 20007 Bộ Giáo dục Hai báo “Vẽ đồ thị hàm số đại số thông thường phần mềm The Geometer’s Sketchpad thơng qua tốn quỹ tích hình học phẳng” “Phép dựng Đề tài nghiên cứu Khoa học Tôn Thất Hiệp, cử nhân Toán học 46 đồ thị hàm số tổng, tích, thương hai hàm số phần mềm The Geometer’s Sketchpad” tạp chí Tin học nhà trường số 82, 83, 85, 86 năm 2006 Hội Tin học Việt Nam đánh giá tốt Hai viết đưa lên trang Web www.vnschool.net Công ty Công nghệ Tin học Nhà trường, nhiều người quan tâm; từ tháng năm 2006 đến có đến gần 12000 lượt người đọc (xem báo “Vẽ đồ thị hàm số đại số” http://www.vnschool.net/modules.php?name=News&file=article&sid=362# ) Hai đề tài “Vẽ đồ thị hàm số đại số thông thường phần mềm The Geometer’s Sketchpad thơng qua tốn quỹ tích hình học phẳng” “Phép dựng đồ thị hàm số tổng, tích, thương hai hàm số phần mềm The Geometer’s Sketchpad” với nội dung hai báo đạt giải thưởng Hội thi Sáng tạo kỹ thuật tỉnh Thừa Thiên – Huế lần thứ III (2006-2007) Đề tài dùng để viết thuật toán vẽ đồ thị hàm số dựa phần mềm GSPVietnam (tác giả biên soạn tài liệu “HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG PHẦN MỀM GSP 4.07VIETNAM ĐỂ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐẠI SỐ CƠ BẢN THÔNG QUA BÀI TỐN QUỸ TÍCH HÌNH HỌC PHẲNG”) Đề tài nghiên cứu Khoa học Tôn Thất Hiệp, cử nhân Toán học 47 E HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI Tìm quy trình tạo tốn quỹ tích hình học khơng gian, để từ chủ động sáng tạo tốn quỹ tích hình học khơng gian từ phương trình đường mặt khơng gian Sử dụng tốn quỹ tích: tốn I, II, III, IV thuật tốn vẽ đồ thị hàm số đa thức bậc n dựa tốn 21 đề tài (từ dịng 11 trang 28 đến hết dịng trang 29), để viết phần mềm vẽ đồ thị hàm số có tính hình học động có thêm phép dựng đồ thị hàm số mới, so với phần mềm The Geometer’s Sketchpad Để thực ý tưởng đó, tác giả mong hợp tác đồng nghiệp, nhà chuyên môn vấn đề Đề tài nghiên cứu Khoa học Tôn Thất Hiệp, cử nhân Toán học 48 G CÁC KẾT QUẢ KHẢO SÁT VÀ THỰC NGHIỆM ĐỀ TÀI I Tổng hợp, thống kê phân tích số liệu phiếu khảo sát đề khoa học cấp ngành 1.Mẫu phiếu khảo sát: (Xem mẫu phiếu khảo sát mục phụ lục) 2.Thành phần khảo sát: - Giảng viên khoa Toán trường ĐHSP Huế : 02 - Giảng viên khoa Toán trường ĐHKH Huế : 01 - Giáo viên Toán trường THPT Phan Đăng Lưu : 11 - Giáo viên Toán trường THPT Quốc Học : 05 - Giáo viên Toán trường THPT Hóa Châu : 04 - Giáo viên Tốn trường THPT Hai Bà Trưng : 02 - Giáo viên Toán trường THPT Nguyễn Huệ : 02 - Giáo viên Toán trường THPT Gia Hội : 02 - Giáo viên Toán trường THPT Thuận An : 02 - Giáo viên Toán trường THPT Đặng Trần Cơn : 01 - Giáo viên Tốn trường THPT Vinh Lộc : 01 - Giáo viên Toán trường TCN Tư Thục Âu Lạc : 01 - Giáo viên Toán Trung tâm BDTX thành phố Huế : 01 - Sinh viên năm thứ ba (năm học 08-09) khoa Toán Toán trường ĐHSP Huế : 23 Tổng cộng số người khảo sát : 58 Các số liệu thống kê liên quan: a) Cơ sở lý luận Giá trị biến lượng xi 03 13 42 0.00 5,17 22,42 72.41 Tần số ni Tần suất fi  ni ( 0) N Trung bình cộng: X   i 1 N = + 13 + 42 = 58 ni xi  3, 67 N Biểu đồ biểu diển tần suất: (Xem biểu đồ 1) Phân tích : Về sở lý luận, theo kết khảo sát 72.41 % đánh giá mức điểm cao (điểm 4), điều chứng tỏ đề tài phù hợp với quan điểm Đảng, Nhà Đề tài nghiên cứu Khoa học Tôn Thất Hiệp, cử nhân Toán học 49 nước Ngành Giáo dục vấn đề giáo dục học sinh có tính chủ động sáng tạo học tập Điểm số trung bình 3,67 nói lên điều Biểu đồ b) Tính đề tài Giá trị biến lượng xi 0 15 43 0,00 0,00 25,87 74,13 Tần số ni Tần suất fi  ni ( 0) N Trung bình cộng: X   i 1 ni xi  3, 74 N N = 15 + 43 =58 Biểu đồ Biểu đồ biểu diển tần suất: (Xem biểu đồ 2) Phân tích: Tần suất 74.13% mức điểm cao 3,74 điểm trung bình, điều chứng tỏ đa số nhận thấy đề tài có tính mới, cụ thể c) Mục tiêu đề tài Giá trị biến lượng xi Tần số ni Tần suất fi  ni ( 0) N Trung bình cộng: X   i 1 Đề tài nghiên cứu Khoa học 0 43 15 0,00 0,00 74,13 25,87 N = 43 + 15 = 58 ni xi  3, 26 N Tôn Thất Hiệp, cử nhân Toán học 50 Biểu đồ biểu diển tần suất: (Xem biểu đồ 3) Phân tích: Tần suất 74,13 % mức điểm điểm trung bình 3,26, diều chứng tỏ mục tiêu đề rõ ràng, có tính thực tiển chưa đến mức tốt cụ thể Biểu đồ d) Nội dung Nội dung 1: Giá trị biến lượng xi 0 15 43 0,00 0,00 25,87 74,13 Tần số ni Tần suất fi  ni ( 0) N Trung bình cộng: X nd   i 1 N = 15+ 43 = 58 ni xi  3, 74 N Biểu đồ biểu diển tần suất: (Xem biểu đồ 4) Phân tích: Tần suất 74,13% số thầy dạy mơn Tốn sinh viên khoa toán trường ĐHSP Huế đánh giá mức cao Như vậy, đa số cho Quy trình đề xuất cụ thể, áp dụng cho học sinh giỏi THPT, sinh viên đại học ngành Toán giáo viên dạy toán bậc THPT Biểu đồ Đề tài nghiên cứu Khoa học Tôn Thất Hiệp, cử nhân Toán học 51 Nội dung 2: Giá trị biến lượng xi 2,5 0 58 0,00 0,00 100 Tần số ni Tần suất fi  ni ( 0) N Trung bình cộng: X nd   i 1 ni xi 4 N N = 58 Biểu đồ Biểu đồ biểu diển tần suất: (Xem biểu đồ 5) Phân tích: Tần suất đạt đến 100% ,chứng tỏ phép chứng minh tác giả tốn giúp ta có cách nhìn số đồ thị hàm số đại số quan điểm hình học dựa mối quan hệ điểm đường thẳng mặt phẳng Nội dung 3: Giá trị biến lượng xi Tần số ni Tần suất fi  ni ( 0) N Trung bình cộng: X nd   i 1 2,5 01 57 0,00 1,72 98,28 N = 1+ 57 = 58 ni xi  3,97 N Biểu đồ biểu diển tần suất: (Xem biểu đồ 6) Biểu đồ Phân tích: Tần suất cao đến 98,28% mức đánh giá cao nhất, chứng tỏ “phép tốn” quỹ tích đúng, đa số cho có tác dụng tạo nhiều tốn quỹ tích từ tốn quỹ tích biết Đề tài nghiên cứu Khoa học Tôn Thất Hiệp, cử nhân Toán học 52 e) Sản phẩm đề tài ứng dụng: Giá trị biến lượng xi 0 19 39 0,00 0,00 32,76 67,24 Tần số ni Tần suất fi  ni ( 0) N Trung bình cộng: X   i 1 N = 19 + 39 = 58 ni xi  3, 67 N Biểu đồ biểu diển tần suất: (Xem biểu đồ 7) Phân tích: Tần suất 67,24 % đánh giá mức cao so với 32,76 % đánh giá mức điểm, điều chứng tỏ nhiều người cho sản phẩm đề đánh giá tốt, có ứng dụng thực tế giảng dạy mơn Tốn liên quan đến vẽ đồ thị phần mềm GSP thông qua tốn quỹ tích hình học phẳng Dựng đồ thị hàm số phép dựng đồ thị hồn tồn Các tốn quỹ tích hình học phẳng đề tài sử dụng làm nguyên lý tốt cho việc sáng chế dụng cụ vẽ số đồ thị hàm số Con số 32,76 % đánh giá mức điểm chưa thấy tiện dụng ứng dụng thấy sản phẩm chưa có kiểm nghiệm cần phải đem đề tài ứng dụng cho phù hợp với đối tượng công việc người sử dụng Biểu đồ f) Hướng phát triển đề tài Giá trị biến lượng xi Tần số ni Tần suất fi  Đề tài nghiên cứu Khoa học ni ( 0) N 58 0,00 100 N = 58 Tôn Thất Hiệp, cử nhân Toán học 53 Trung bình cộng: X   i 1 ni xi =3 N Phân tích: Sử dụng thuật tốn vẽ đồ thị hàm số toán 21 phép dựng đồ thị để viết phần mềm vẽ đồ thị hàm số dựa toán I, II, III, IV hướng phát triển đề tài có tính khả thi cao Một hướng phát triển đề tài khác khả thi cơng cụ để nghiên cứu chưa xác định Cho nên, việc tìm quy trình tạo tốn quỹ tích hình học khơng gian có trở ngại Nói tóm lại, đề tài thầy cô sinh viên (trong 58 người đuợc khảo sát) đánh giá cao tính mới, cụ thể, đề tài mặt ứng dụng tiết dạy mơn Tốn bậc THPT có liên quan đến vẽ đồ thị hàm số đại số phần mềm hình học động Quy trình mục I dùng để tạo toán quỹ tích hình học phẳng Đề tài cịn có ứng dụng như: tạo sử dụng toán quỹ tích hình học để làm ngun lý tốt cho việc sáng chế dụng cụ vẽ số đồ thị hàm số đại số II Ngoại khóa liên quan đến đề tài: Nội dung ngoại khóa: Nội dụng 1: Vẽ đồ thị hàm số đại số phần mềm GSP4.07Vietnam thơng qua tốn quỹ tích hình học phẳng Nội dung 2: Quy trình tạo tốn quỹ tích hình học phẳng từ phương trình đồ thị hàm số đại số Đánh giá buổi ngoại khóa: Buổi ngoại khóa nhiều sinh viên khoa Tốn ĐHSP Huế năm thứ ba (năm học 08-09) hưởng ứng Sinh viên cảm thấy hứng thú có cách vẽ đồ thị hàm số vết điểm tốn quỹ tích thơng qua thuật tốn vẽ lạ, hấp dẫn có tính học động thật, kỹ vẽ hình cơng cụ vẽ tay phần mềm GSP4.O7Vietnam sinh viên chưa thành thạo Bước đầu tìm hiểu quy trình, sinh viên tiếp thu qua tài liệu hướng dẫn nhanh, tạo số tốn quỹ tích đơn giản Như thế, việc tìm hiểu quy trình đạt yêu cầu Sinh viên hỏi nhiều vấn đề liên quan đến nội dung ngoại khóa đề tài Các vấn đề liên quan đến ngoại khóa, xếp vào mục phụ lục Đề tài nghiên cứu Khoa học Tôn Thất Hiệp, cử nhân Toán học 54 H KẾT LUẬN Như vậy, quy trình tạo tốn quỹ tích hình học phẳng từ phương trình đồ thị hàm số đại số quy trình tốt, đóng vai trị quan trọng, việc tạo nhiều toán quỹ tích hình học phẳng hồn tồn từ phương trình đồ thị xét Và từ quy trình tơi tạo tốn quỹ tích đại số tổng qt; tốn xem phép toán “phép toán” “cộng, trừ nhân chia lấy nghịch đảo” tốn quỹ tích để từ tạo nhiều tốn quỹ tích hình học đại số Đề tài cịn có ứng dụng như: tạo sử dụng tốn quỹ tích hình học làm ngun lý tốt cho việc sáng chế dụng cụ vẽ số đồ thị hàm số Ngoài ra, đề tài cịn dùng để vẽ đồ thị hàm số thơng qua tốn quỹ tích hình học phẳng, dùng để viết thuật tốn vẽ đồ thị hàm số, từ viết phần mềm vẽ đồ thị hàm số khác với phần mềm The Geometer’s Sketchpad Đề tài này, áp dụng cho học sinh giỏi, sinh viên đại học ngành Toán giáo viên dạy tốn bậc Trung học Phổ thơng hy vọng góp phần vào việc nâng cao tư sáng tạo học toán học sinh, dạy học mơn Tốn giáo viên Mặc dầu nỗ lực để hoàn thành đề tài, nhiên, thiếu sót điều khơng thể tránh khỏi Vậy tác giả mong muốn nhận ý kiến đóng góp, trao đổi, nhà chuyên môn, đồng nghiệp, bạn bè để tác giả hoàn chỉnh kết phát triển hướng nghiên cứu có ý nghĩa Phú Vang, tháng năm 2007 Tác giả đề tài khoa học Tôn Thất Hiệp Đề tài nghiên cứu Khoa học Tôn Thất Hiệp, cử nhân Toán học ... thẩm định Hội đồng Khoa học, xin giới thiệu cấu trúc đề tài sau: A TỔNG QUAN Trình bày mục tiêu đề tài, tên đề tài, lịch sử đề tài, năm bắt đầu nghiên cứu Đề tài nghiên cứu Khoa học Tôn Thất Hiệp,... trình đồ thị hàm số Sau thời gian dài nghiên cứu, Đề tài nghiên cứu Khoa học Tôn Thất Hiệp, cử nhân Toán học (tháng năm 2007), tơi hồn thành đề tài khoa học mình, đề tài mang tên “TỪ PHƯƠNG TRÌNH... Đề tài nghiên cứu Khoa học Tôn Thất Hiệp, cử nhân Toán học A.TỔNG QUAN I Mục tiêu đề tài: Với tầm quan trọng việc giáo dục cho học sinh tư sáng tạo tốn học, tơi tiến hành nghiên cứu đề tài “TỪ