[r]
(1)D·y Sè ViÕt theo quy luËt
B i to¸n à : TÝnh c¸c tæng sau
1 A = + + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210
2 B = + + 32 + 33 + 34 + + 3100
Gi¶i :
1 2A = + 22 + 23 + + 210 + 211 Khi : 2A – A = 211 –
2 3B = + 32 + 33 + + 3100 + 3101 Khi : 3B – B = 2B = 3101 –
VËy B =
Ta nghÜ tới toán tổng quát :
Tính tæng S = + a + a2 + a3 + + an , a ∈ Z+ , a > vµ n ∈ Z+
Nhân vế S với a ta có aS = a + a2 + a3 + a4 + + an + an+1 Rồi trừ cho S ta đợc : aS – S = ( a – 1)S = an+1– Vậy : 1 + a + a2 + a3 + + an =
Từ ta có cơng thức : an+1– = ( a – 1)( + a + a2 + a3 + + an) B i tập áp dụng à : Tớnh cỏc tổng sau:
2 2007
2 100
) 7
) 4
a A b B
c) Chøng minh r»ng : 1414 – chia hÕt cho 3
d) Chøng minh r»ng : 20092009 – chia hết cho 2008
Bài toán : TÝnh c¸c tỉng sau
1) A = + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100
2) B = + 73 + 75 + 77 + 79 + + 799
Gi¶i :
1) A = + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 Vấn đề đặt nhân hai vế A với số để
khi trừ cho A loạt lũy thừa bị triệt tiêu ?.Ta thấy số mũ liền cách đơn vị nên ta nhân hai vế với 32 , trừ cho A ta đợc :
32A = 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 + 3102
A = + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100
32A – A = 3102 – Hay A( 32 – 1) = 3102 – VËy A = ( 3102 – 1): 8
Tõ kết suy 3102 chia hết cho 8
) Tơng tự nh ta nhân hai vế B với 72 trừ cho B , ta đợc :
72B = 73 + 75 + 77 + 79 + + 799 + 7101
B = + 73 + 75 + 77 + 79 + + 799
72B – B = 7101 – , hay B( 72 – 1) = 7101 – VËy B = ( 7101 7) : 48
Tơng tự nh ta còng suy 7101 – chia hÕt cho 48 ; 7100- chia hÕt cho 48
Trong số trờng hợp gặp toán tính tổng hữu hạn Sn = a1 + a2 + an (1)
Bằng cách ta biết đợc kết (dự đoán , toán chứng minh cho biết kết quả) Thì ta nên sử dụng phơng pháp hầu nh chứng minh đợc
(2)Thö trùc tiÕp ta thÊy : S1 =
S2 = + =22
S3 = 1+ 3+ = = 32
Ta dự đoán Sn = n2
Với n = 1;2;3 ta thấy kết
gi¶ sư víi n= k ( k 1) ta cã Sk = k (2)
ta cần phải chứng minh Sk + = ( k +1 ) ( 3)
ThËt vËy céng vÕ cđa ( 2) víi 2k +1 ta cã 1+3+5 + + (2k – 1) + ( 2k +1) = k2 + (2k +1)
v× k2 + ( 2k +1) = ( k +1) 2 nên ta có (3) tức S
k+1 = ( k +1)
theo nguyên lý quy nạp toán đợc chứng minh Sn = 1+3=5 + + ( 2n -1) = n2
Tơng tự ta chứng minh kết sau phơng pháp quy nạp toán học 1, + 2+3 + + n =
2 ) ( n n
2, 12 + 2 2 + + n 2 =
6
) )(
(n n
n
3, 13+23 + + n3 =
2
) (
n n
4, 15 + 25 + + n5 =
12
.n2 (n + 1) 2 ( 2n2 + 2n – )
Bµi tËp cã HD
Bài1- Tính A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100
HD: 3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+ +99.100.(101-98)
3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ +99.100.101-98.99.100 3A = 99.100.101
Bài 2- Tính A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 HD:
A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+ +99(100+1) A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+ +99.100+99
A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99) Bài 3- Tính A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102
HD: A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+ +99(100+2) A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+ +99.100+99.2 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+2(1+2+3+ +99) Bài Tính:
A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100
HD: 4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+ +98.99.100.(101-97)
(3)4A = 98.99.100.101
Bài 5- Tính A = 12+22+32+ +992+1002
HD: A = 1+2(1+1)+3(2+1)+ +99(98+1)+100(99+1) A = 1+1.2+2+2.3+3+ +98.99+99+99.100+100 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99+100) Bài 6- Tính A = 22+42+62+ +982+1002
HD: A = 22(12+22+32+ +492+502)
Bài 7- Tính A = 12+32+52+ +972+992
HD: A = (12+22+32+ +992+1002)-(22+42+62+ +982+1002)
A = (12+22+32+ +992+1002)-22(12+22+32+ +492+502)
Bài 8- Tính A = 12-22+32-42+ +992-1002
A = (12+22+32+ +992+1002)-2(22+42+62+ +982+1002)
Bài 9- Tính A = 1.22+2.32+3.42+ +98.992
HD: A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.100-98.99
A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+ +98.99) Bài 10 - Tính A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100
Bài 11-Tính:A = 12+22+32+ +992+1002
Bài 12-Tính :A = 22+42+62+ +982+1002
Bài 13-Tính A = 12+32+52+ +972+992
Bài 14-Tính A = 12-22+32-42+ +992-1002
Bài 15-Tính:A = 1.22+2.32+3.42+ +98.992
II Ph ơng pháp khử liên tiếp :
Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta biểu diƠn , i = 1,2,3 ,n , qua hiƯu hai số hạng
liên tiếp dÃy số khác , xác , giả sử : a1 = b1 - b2
a2 = b2 - b3
an = bn – bn+
khi ta có :
Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + + ( bn – bn + )
= b1 – bn +
VÝ dô : tÝnh tæng : S =
100 99
1 13
12
1 12 11
1 11 10
1
Ta cã :
11 10
1 11 10
1
,
12 11
1 12 11
1
,
100 99
1 100 99
1
Do : S =
100 100
1 10
1 100
1 99
1 12
1 11
1 11
1 10
1
Dạng tổng quát
Sn = ( 1)
1
3
1
1
n
(4)= 1-
1
1
n
n n
VÝ dơ : tÝnh tỉng Sn = ( 1)( 2)
1
5
1
1
1
n n n
Ta cã Sn =
) )( (
1 )
1 (
1
1
1
1
1
n n n
n
Sn =
) )( (
1 )
1 (
1
4
1
1
1
1
n n n
n Sn =
) )( (
) ( )
2 )( (
1
1
n n
n n n
n
VÝ dơ : tÝnh tỉng Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + + n n! ( n! = 1.2.3 n )
Ta cã : 1! = 2! -1! 2.2! = ! -2! 3.3! = 4! -3!
n.n! = (n + 1) –n!
VËy Sn = 2! - 1! +3! – ! + 4! - 3! + + ( n+1) ! – n!
= ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - VÝ dơ : tÝnh tỉng Sn =
2
2
) (
1 )
3 (
5 )
2 (
3
n n
n
Ta cã :
( 1) ;
1
) (
1
2
2
i i i
i i
i = ; ; 3; ; n
Do Sn = ( 1-
2 2 2 2
2
) (
1
1
1 )
1
n n = 1- ( 1)2
) ( ) (
1
n
n n n
III Ph ơng pháp giải ph ơng trình với ẩn tổng cần tính:
Ví dụ : TÝnh tæng S = 1+2+22 + + 2100 ( 4)
ta viÕt l¹i S nh sau :
S = 1+2 (1+2+22 + + 299 )
S = 1+2 ( +2+22+ + 299 + 2 100 - 2100 )
=> S= 1+2 ( S -2 100 ) ( 5)
Tõ (5) suy S = 1+ 2S -2101
S = 2101-1
VÝ dơ : tÝnh tỉng Sn = 1+ p + p + p3 + + pn ( p 1)
Ta viÕt l¹i Sn díi d¹ng sau :
(5)Sn = + p ( 1+p +p2 + + p n-1 + p n –p n )
Sn = 1+p ( Sn –pn )
Sn = +p.Sn –p n+1
Sn ( p -1 ) = pn+1 -1
Sn =
1
1
p Pn
VÝ dô : TÝnh tæng Sn = 1+ 2p +3p + + ( n+1 ) pn , ( p 1)
Ta cã : p.Sn = p + 2p + 3p3 + + ( n+ 1) p n +1
= 2p –p +3p 2 –p2 + 4p3–p3 + + (n+1) pn - pn + (n+1)pn –pn + ( n+1) pn+1
= ( 2p + 3p2 +4p3 + +(n+1) pn ) – ( p +p + p + pn ) + ( n+1) pn+1
= ( 1+ 2p+ 3p2+4p3+ + ( n+1) pn ) – ( + p+ p2 + + p n) + ( n +1 ) pn+1
p.Sn=Sn-
1
) (
1
n
n
P n P
P
( theo VD ) L¹i cã (p-1)Sn = (n+1)pn+1 -
1 1
P pn
Sn = 2
1
) (
1
) (
P p p
P
n n n
IV Ph ơng pháp tính qua tổng biết
C¸c kÝ hiÖu : n
n i
i a a a a
a
3 1
C¸c tÝnh chÊt :
1,
n i
n i
n i i i i
i b a b
a
1 1
) (
2,
n i
i n
i
i a a
a a
1
VÝ dơ : TÝnh tỉng :Sn= 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n( n+1)
Ta cã : Sn =
n i n
i
n i n
i
i i
i i i
i
1
1
2
1
) ( ) (
V× :
6 ) )( (
2 ) (
3
1
n n
n i
n n n i
n i
n i
(Theo I )
cho nªn : Sn =
3 ) )( (
) )( (
)
(
n n n n n n
n n
VÝ dơ 10 : TÝnh tỉng :Sn =1.2+2.5+3.8+ +n(3n-1)
ta cã : Sn =
n i
n i
i i i
i
1
2 )
3 ( )
1
( =
n i n i
i i
1
2
(6)Theo (I) ta cã : Sn = ( 1)
2 ) (
) )( (
3n n n n n n2 n
VÝ dơ 11 TÝnh tỉng Sn = 13+ +23 +53 + + (2n +1 )3
ta cã : Sn = [( 13 +2 +33 +43 + +(2n+1)3 ] –[23+43 +63 + +(2n)3]
= [13+23 +33 +43 + + (2n +1 )3] -8 (13 +23 +33 +43 + + n3 )
Sn =
4 ) (
) 2 ( )
( 2 2
n n n
n ( theo (I) – )
=( n+1) 2(2n+1) 2 – 2n2 (n+1)2 = (n +1 )2 (2n2 +4n +1)
V/ Vận dụng trực tiếp cơng thức tính tổng số hạng dãy số cách (Học sinh lớp ) Cơ sở lý thuyết :
+ để đếm số hạng dãy số mà số hạng liên tiếp dãy cách số đơn vị , ta dùng công thức:
Sè số hạng = ( số cuối số đầu ) : ( khoảng cách ) +
+ tính tổng số hạng dãy số mà số hạng liên tiếp cách số đơn vị , ta dùng công thức:Tổng = ( số đầu – số cuối ) ( số số hạng ) :
VÝ dơ 12 : TÝnh tỉng A = 19 +20 +21 + + 132
Sè sè hạng A : ( 132 19 ) : +1 = 114 ( sè h¹ng ) A = 114 ( 132 +19 ) : = 8607
VÝ dơ 13 : TÝnh tỉng B = +5 +9 + + 2005 +2009 sè sè h¹ng cđa B lµ ( 2009 – ) : + = 503 B = ( 2009 +1 ) 503 :2 = 505515
VI / Vân dụng số cơng thức chứng minh đợc vào làm tốn
Ví dụ 14 : Chứng minh : k ( k+1) (k+20 -9k-1)k(k+1) = 3k ( k +1 ) Từ tính tổng S = 2+2.3 + 3.4 + + n (n + 1)
Chøng minh : c¸ch : VT = k(k+1)(k+2) –(k-1) k(k+1)
= k( k+1) (k 2) (k 1) = k (k+1) = 3k(k+1)
C¸ch : Ta cã k ( k +1) = k(k+1)
3
) ( ) (k k
=
3 ) )( (
) )(
(
k k k k
k k
* 3k ( k-1) = k (k+1)(k+2) – (k-1) k(k+1)
=> 1.2 = 1.2.3 0.1.2
3
2.3.4 1.2.3 2.3
3
( 1)( 2) ( 1) ( 1) ( 1)
3
n n n n n n n n
(7)S = 1.2.0 ( 2) ( 1) ( 1) ( 2)
3 3
n n n n n n
Ví dụ 15 : Chứng minh : k (k+1) (k+2) (k+3) – (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2) từ tính tổng S = 1.2 + 2.3 +3.4.5 + + n(n+1) (n+2)
Chøng minh : VT = k( k+1) (k+2) (k 3) (k 1)
= k( k+1) ( k +2 ) Rót : k(k+1) (k+2) =
4
) )( ( ) (
) )( )(
(
k k k k k k
k k
¸p dơng : 1.2.3 =
4
4
2.3.4 =
4
5
n(n+1) (n+2) =
4
) )( ( ) (
) )( )(
(
n n n n n n
n n
Cộng vế với vế ta đợc S =
4
) n )( n )( n (
n
* Bài tập đề nghị :
TÝnh c¸c tỉng sau 1, B = 2+ +10 + 14 + + 202 2,
a, A = 1+2 +22 +23 + + 26.2 + 2
b, S = + 52 + 53 + + 5 99 + 5100
c, C = + 10 + 13 + + 76 3, D = 49 +64 + 81+ + 169
4, S = 1.4 + + 3.6 + 4.7 + + n( n +3 ) , n = 1,2,3 , 5, S =
100 99
1
4
1
1
1
6, S =
61 59
4
4
4
7, A =
66 61
5 26 21
5 21 16
5 16 11
5
8, M = 0 1 2 2005
3
1
1
1
9, Sn = ( 1)( 2)
1
4
1
1
n n n 10, Sn =
100 99 98
2
4
2
2
11, Sn = ( 1)( 2)( 3)
1
5
1
1
n n
(8)12, M = + 99 + 999 + + 99
50 ch÷ sè 13, Cho: S1 = 1+2 S3 = 6+7+8+9
S2 = 3+4+5 S4 = 10 +11 +12 +13 + 14
TÝnh S100 =?
Trong trình bồi dỡng học sinh giỏi , tơi kết hợp dạng tốn có liên quan đến dạng tính tổng để rèn luyện cho em , chẳng hạn dạng tốn tìm x :
14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) + + ( x+100 ) = 5070 b, + + + + + x = 820
c, + 119891991
) (
2 10
1
x x
Hay toán chứng minh chia hÕt liªn quan
15, Chøng minh : a, A = 4+ 22 +23 +24 + + 220 lµ l thõa cđa
b, B =2 + 22 + 2 3 + + 2 60
; 7; 15
c, C = + 33 +35 + + 31991 13 ; 41
d, D = 119 + 118 +117 + + 11 +1
ph©n sè viÕt theo quy luËt DÃy 1: Sử dụng công thức tổng quát
Chøng minh
n a a n a a
a n
a a
n a n
a a
a n a n a a
n
1 ) ( ) ( ) (
) ( ) (
Bµi 1: TÝnh
a)
2009 2006
3
14 11
3 11
3
3
A b)
406 402
1
18 14
1 14 10
1 10
1
B c)
507 502
10
22 17
10 17 12
10 12
10
C d)
258 253
4
23 18
4 18 13
4 13
4
D
Bµi 1: TÝnh:
a)
509 252
1
19
1
1
1
A b)
405 802
1
17 26
1 13 18
1 10
1
B c)
405 401
3 304
301
2
13
3 10
2
3
2
C
Bµi 1: Tìm số tự nhiên x, thoả mÃn:
a)
8 120
1 21
1 15
1 10
1
2008
x b)
45 29 45 41
4 17 13
4 13
4
4
x c)
93 15 ) )( (
1
9
1
1
1
x x
a n 1 a 1 n) a.(a
(9)Bài 4: Chứng minh với số tự nhiên n khác ta có:
a)
4 ) )( (
1
11
1
1
1
n n n
n b)
3
5 ) )( (
5
15 11
5 11
5
5
n n n
n
Bµi 5: Chøng minh r»ng víi mäi nN; n ta cã:
15 ) )( (
3
24 19
3 19 14
3 14
3
n n
Bµi 6: Cho
403 399
4
23 19
4 19 15
4
A
chøng minh:
80 16 81
16 A
Bµi 7: Cho d·y sè : ;
25 18
2 ; 18 11
2 ; 11
2
a) Tìm số hạng tổng quát dÃy
b) Gọi S tổng 100 số hạng dÃy Tính S
Bài8: Cho 2 2 2 2
9
1
1
1
A Chøng minh
9
2 A
Bµi 9: Cho 2 2 2 2
2007
2
2
2
A Chøng minh:
2008 1003
A
Bµi 10: Cho 2 2 2 2
2006
1
1
1
B Chøng minh:
2007 334
B
Bµi 11: Cho 2 2 2
409
1
1
S Chøng minh:
12
S
Bµi 12: Cho 2 2 2 2
305 17
9 11
9
9
A Chøng minh:
4
A
Bµi 13: Cho 2
201 202 200 49 48 25 24
B Chøng minh: B 99,75
Bµi14: Cho
1764 1766
25 27 16 18 11
A Chøng minh:
21 20 40 43
20
40 A
Bµi15: Cho
100 98
99
5
4
3
22 2 2
B Tìm phần nguyên B
Bài 16: Cho
2500 2499
16 15
C Chøng minh C > 48
Bµi 17: Cho
59
1
4
1
2
1
M Chøng minh
(10)Bµi18: Cho 100 99 101 98
N Chøng minh 97 < N < 98
Më réng víi tÝch nhiÒu thõa sè:
) )( ( ) ( ) )( ( n a n a n a a n a n a a n Chøng minh: ) )( ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) ( ) )( ( n a n a n a a n a n a a a n a n a a n a n a n a a a n a n a n a a n ) )( )( ( ) )( ( ) )( )( ( n a n a n a n a n a a n a n a n a a n
Bµi 19: TÝnh
39 38 37 2 S
Bµi 20: Cho
20 19 18 1
A Chøng minh
4
A
Bµi 21: Cho
29 27 25 36 36 36
B Chøng minh B <
Bµi 22: Cho
308 305 302 14 11 11 5
C Chøng minh
48
C
Bµi 23: Chøng minh víi mäi n N; n > ta cã: 1 3 3
3
n A
Bµi 24: TÝnh
30 29 28 27 1 M
Bµi 25: TÝnh
100 99 1 100 52 51 P
Bµi 26: TÝnh:
2007 2005 1004 1002 ) )( ( ) )( ( 3 n n n n Q
Bµi 27: TÝnh:
2007 2005 2006 4 3
22 2
R
Bµi 28: Cho
1 2005 2005 2005 2005 2005 2005 2 2006 2 2 n n S
So s¸nh S víi
1002 HD k m k m k m k m ) k )( k ( m mk m mk k m k m 2
(11)áp dụng vào toán với m {2; , ., } v k { 2005, 2005 , …200522006} ta cã:
1 2005
2
2005
2005
2
1 2005
2
2005 2005
2
2
2
2
2
D·y 2: D·y luü thõa
n
a
1
víi n tự nhiên.
Bài 1: Tính : 2 3 100
2
1
1
A
Bµi 2: TÝnh: 2 3 4 99 100
2
1
1
1
1
B
Bµi 3: TÝnh: 3 5 99
2
1
1
C
Bµi 4: TÝnh: 4 7 10 58
2
1
1
1
D
Bµi 5: Cho A n n
3 27 26
2
Chøng minh
2 n
A
Bµi 6: Cho 98
98
3 27 28 10
4
B Chøng minh B < 100
Bµi 7: Cho 2 3 99
4
5
5
C Chøng minh:
3
C
Bµi 8: Cho 2 2 2 2 2 2 2 2
10
19
7
5
3
D Chøng minh: D <
Bµi 9: Cho 2 3 100
3 100
3
2
E Chøng minh:
4
E
Bµi 10: Cho F nn
3 10
7
3
víi n N* Chøng minh:
4 11
F
Bµi 11: Cho 2 3 100
3 302 11
8
G Chøng minh:
2
5
(12)Bµi12: Cho 2 3 100
3 601 19 13
H Chøng minh:
9
3 H
Bµi 13: Cho 2 3 100
3 605 23 17 11
I Chøng minh: I <
Bµi 14: Cho 2 3 101
3 904 22 13
K Chøng minh:
4 17
K
Bµi 15: Cho 2 3 100
3 403 15 11
L Chøng minh: L < 4,5
D·y 3: D·y d¹ng tÝch phân số viết theo quy luật: Bài 1: TÝnh:
2500 2499 25 24 16 15
A
Bµi 2: Cho d·y sè: ,
35 1 , 24
1 , 15
1 , 1 , 1
a) Tìm số hạng tổng quát dÃy
b) Tính tích 98 số hạng dÃy
Bµi 3: TÝnh:
780 1 15
1 10
1 1 1
B
Bµi4:Cho
200 199
C Chøng minh:
201
2
C
Bµi 5: Cho
100 99
D Chøng minh:
10 15
1
D
Bµi 6: TÝnh:
99 1 1 1
E
Bµi 7: TÝnh:
100 1 1 1
F
Bµi 8: TÝnh: 2 2 2 2
30 899 15
8
3
G
Bµi 9: TÝnh:
64 31 62 30 10
4
H
Bµi 10: TÝnh: 101.10001.100000001 100 0001
/
s c
n
I
Bµi 11: Cho
100 1
1
1
1
2
2
K So sánh K với
(13)Bài 12: So s¸nh 20 1 1 1 1
L víi
21
Bài 13: So sánh
100 1 16 1 1 1
M víi
19 11
Bµi 14: TÝnh:
51 49 50
22 2
N
Bµi 15: TÝnh
10 7 1 P
Bµi 16: TÝnh:
2007 Q
Bµi 17: TÝnh:
99 T
Bài 18: So sánh:
40 23 22 21 39
U vµ
1 20 V
Bµi 19: Cho
101 99 1 1 1 1
V Chøng minh V <
Bµi 20: Cho
199 200
S Chøng minh: 201 400
S
Bµi 21: Cho
210 208 12 10
A Chøng minh:
25
A
Bµi 22: TÝnh:
101 100 100 3 2
12 2
B
Bµi 23: TÝnh:
1999 1000 1000 1000 1 1000 1000 1999 1999 1999 1 1999 C
Bµi 24: TÝnh:
2 ) ( 1 25 1 n
D , víi n N, n1
Bµi 25: Cho
n E 1 1 1 vµ n n
F 2 víi n N* TÝnh
F E
Bµi 26: Cho
1024 1 256 1 16 1 1 1
G vµ 2047
2
(14)TÝnh: G + H
Bµi 27: Cho n
n n
I
2 2
2
2 ) )( ( 65536
2 257 255 256
2 17 15 16
2
2
1
víi n N
Chøng minh:
3
I
Bµi 28: Cho d·y sè: ;
3 1 ;
1 ;
1 ;
1 ;
1 2 4 8 16
a) T×m sè hạng tổng quát dÃy
b) Gọi A tích 11 số hạng dÃy Chứng minh
A
2
1
số tự nhiên
c) Tìm chữ số tận cïng cña
A B
2
3
Bµi 29: Cho n
n n
A
2 2
6 97 13
5
vµ 2 1
6
n
B víi n N
a) Chøng minh :
B A
M số tự nhiên b) Tìm n để M số ngun tố
Bµi 30: Cho n
n
A
2
2
3 1297 37
7
n
B
2
4
3 1
1
1
1
1 víi n N
a) Chøng minh : 5A – 2B lµ sè tù nhiªn
b) Chøng minh víi mäi sè tự nhiên n khác 5A 2B chia hÕt cho 45
Bµi 31: Cho n
n n
A
2 2
3 3 97 13
5