bat dang thuc

[r]

Chuyên đề: Bất đẳng thức a.mục tiêu:

1-Học sinh nắm vững số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức.

2-Một số phơng pháp tốn liên quan đến phơng trình bậc hai sử dụng công thức nghiệm cho học sinh học sau

3-Rèn kỹ pp chứng minh bất đẳng thức B- nội dung

PhÇn : kiến thức cần lu ý 1- Định nghÜa

2- TÝnh chÊt

3-Một số bất đẳng thức hay dùng

Phần 2:một số phơng phápchứng minh bấtđẳng thức 1-Phơng pháp dùng định nghĩa

2- Phơng pháp dùng biến đổi tơng đơng 3- Phơng pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc 4- Phơng pháp sử dụng tính chất bắc cầu 5- Phơng pháp dùng tính chất tỉ số 6- Phơng pháp làm trội

7- Phơng pháp dùng bất đẳng thức tam giác 8- Phơng pháp đổi biến s

9- Phơng pháp dùng tam thức bậc hai 10- Phơng pháp quy nạp

11- Phơng pháp phản chứng Phần :các tËp n©ng cao

PHầN : ứng dụng bất đẳng thức 1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị

2-Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình bất phơng trình 3-Dùng bất đẳng thức giải phơng trình nghiệm ngun

PhÇn I : kiến thức cần lu ý 1-Đinhnghĩa

0

A B A B

A B A B

   

 

   



2-tÝnh chÊt + A>B  B A

+ A>B vµ B >C  A C + A>B  A+C >B + C

+ A>B vµ C > D  A+C > B + D + A>B vµ C >  A.C > B.C + A>B vµ C <  A.C < B.C

+ < A < B vµ < C <D  < A.C < B.D + A > B >  An > Bn n

+ A > B  An > Bn víi n lỴ

+ A > B  An > Bn víi n ch½n

+ m > n > vµ A >  Am > An

+ m > n > vµ <A <  Am < An

+A < B vµ A.B >  B A

1



3-một số bất đẳng thức

+ A2  víi  A ( dÊu = x¶y A = ) + An  víi  A ( dÊu = x¶y A = ) + A 0 víi A (dÊu = x¶y A = )

+ - A < A = A

+ A B A  B ( dÊu = x¶y A.B < 0)

Phần II : số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Ph ơng pháp : dùng định nghĩa

KiÕn thøc : §Ó chøng minh A > B Ta chøng minh A –B >

Lu ý dùng bất đẳng thức M2  với M Ví dụ  x, y, z chứng minh :

a) x2 + y2 + z2  xy+ yz + zx b) x2 + y2 + z2  2xy – 2xz + 2yz c) x2 + y2 + z2 +3  (x + y + z) Gi¶i:

a) Ta xÐt hiÖu

x2 + y2 + z2- xy – yz - zx =

2

.2 ( x2 + y2 + z2 - xy – yz – zx) =

2

( )2 ( )2 ( )2  

  

 y x z y z

x với x;y;zR

V× (x-y)2 0 víix ; y DÊu b»ng x¶y x=y (x-z)2 0 víix ; z DÊu b»ng x¶y x=z (y-z)2 0 víi z; y DÊu b»ng x¶y z=y VËy x2 + y2 + z2  xy+ yz + zx DÊu b»ng x¶y x = y =z b)Ta xÐt hiÖu

x2 + y2 + z2- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x2 + y2 + z2 - 2xy +2xz –2yz

=( x – y + z)2 0 với x;y;zR

Vậy x2 + y2 + z2  2xy – 2xz + 2yz với x;y;zR Dấu xảy x+y=z

c) Ta xÐt hiÖu

x2 + y2 + z2 +3 – 2( x+ y +z ) = x2- 2x + + y2 -2y +1 + z2 -2z +1 = (x-1)2+ (y-1) 2 +(z-1)2  0 DÊu(=)x¶y x=y=z=1 VÝ dơ 2: chøng minh r»ng :

a)

2

2

2

2 

      b a b

a ;b) 2 2

3

3 

 

    



b c a b c

a

c) HÃy tổng quát toán

giải a) Ta xét hiÖu

2

2

2

2 

      b a b

a

=  

4

2a2 b2 a2 ab b2

   

= 2a 2b a b 2ab

1 2 2

   

=  

4

1

VËy

2

2

2

2 

      b a b

a

DÊu b»ng x¶y a=b b)Ta xÐt hiƯu

2 2

3 

       

b c a b c

a

=       

1 2

    

 b b c c a a VËy 2 2

3 

       

b c a b c

a

DÊu b»ng x¶y a = b =c c)Tỉng qu¸t 2 2 2

1

             n a a a n a a

a n n

Tóm lại bớc để chứng minh AB tho định nghĩa Bớc 1: Ta xét hiệu H = A - B

Bớc 2:Biến đổi H=(C+D)2 hoặc H=(C+D)2 +….+(E+F)2 Bớc 3:Kết luận A  B

Ví dụ:(chuyên Nga- Pháp 98-99) Chứng minh m,n,p,q ta có

m2 + n2 + p2 + q2 +1 m(n+p+q+1) Gi¶i: 4 4 2 2 2                                    

 m mn n m mp p m mq q m m

0 2 2 2 2                                

 m n m p m q m (ln đúng)

DÊu b»ng x¶y

                   2 2 m q m p m n m               2 2 m m q m p m n         q p n m

phơng pháp : Dùng phép biến đổi tơng đơng L

u ý:

Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức bất đẳng thức đợc chứng minh

Chú ý đẳng thức sau:  2 2

2AB B A

B

A   

A B C2 A2 B2 C2 2AB 2AC 2BC

       

A B3 A3 3A2B 3AB2 B3

 

  

VÝ dô 1:

a) a b ab

2

b)a2b21abab

c)a2b2 c2d2 e2 abcde

Gi¶i:

a) a b ab

2

4a2 b2 4ab

 

  4a2  4ab2 0 2 2

 

 a b (bất đẳng thức đúng)

VËya b ab

2

2 (dÊu b»ng x¶y 2a=b)

b) a2b21abab 2(a2 b2  2(ab a b)

     

2 2 2 1 2 1 0

        

 a ab b a a b b

( )2 ( 1)2 ( 1)2      

 a b a b Bất đẳng thức cuối Vậy a2b21abab

DÊu b»ng x¶y a=b=1

c) a2 b2 c2 d2e2 abcde

 4 a2 b2c2 d2e2 4abcde

  4 2  4 2  4 2  4 2           

 ab b a ac c a ad d a ac c

a

 a 2b2 a 2c2a 2d2a 2c2 0

Bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2:

Chøng minh r»ng: a10 b10a2 b2 a8b8a4 b4 Gi¶i:

a10 b10a2 b2 a8 b8a4 b4

 

 

  a12a10b2a2b10b12 a12a8b4 a4b8b12  2 2 8 2

  

 b a b b a a

b a

 a2b2(a2-b2)(a6-b6)  a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4)  0 Bất đẳng thứccuối ta có điều phải chứng minh

VÝ dơ 3: cho x.y =1 vµ x.y Chøng minh

y x

y x

 

2

2

Gi¶i:

y x

y x

 

2

2 :x y nên x- y x2+y2 2 2( x-y)  x2+y2- 2 2 x+2 2y 0 x2+y2+2- 2 2 x+2 2y -2 0

 x2+y2+( 2)2- 2 2 x+2 2y -2xy

0 x.y=1 nên 2.x.y=2

(x-y- 2 )2  Điều luôn Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 4:

1)CM: P(x,y)=9 2    

y xy y

y

x x,yR

2)CM: a2b2c2 a b c (gợi ý :bình phơng vế)

3)choba số thực khác không x, y, z tháa m·n:

    

    

 z y x z y x

z y x

1

1

Chứng minh :có ba số x,y,z lớn (đề thi Lam Sơn 96-97)

XÐt (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz(

z y x

1 1



 )=x+y+z - (11 1) 

z y

x (v×x y z

1 1



 < x+y+z theo gt)  số x-1 , y-1 , z-1 âm ba sỗ-1 , y-1, z-1 dơng

N trng hợp sau xảy x, y, z >1  x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy trờng hợp tức có ba số x ,y ,z số lớn

Ph ơng pháp : dùng bất đẳng thức quen thuộc A/ số bất đẳng thức hay dùng

1) Các bất đẳng thức phụ: a) x2 y2 2xy

 

b) x2y2  xy dÊu( = ) x = y = c) xy2 4xy

d)  2 a b b a

2)Bất đẳng thức Cô sy: n n aa a an

n

a a

a a

3

2

    

Víi ai 0

3)Bất đẳng thức Bunhiacopski

    2

221 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2

2 aa n xxa n axa  xaxnn

4) Bất đẳng thức Trê- b-sép: Nếu

  

 

 

C B A

c b a



3 3

C B A c b a cC bB

aA    

  

NÕu

  

 

 

C B A

c b a



3 3

C B A c b a cC bB

aA    

  

DÊu b»ng x¶y

  

 

 

C B A

c b a

b/ c¸c vÝ dô

vÝ dô Cho a, b ,c số không âm chứng minh (a+b)(b+c)(c+a)8abc

Giải: Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ: xy2 4xy

Tacã a b2 4ab



 ; bc2 4bc ; ca2 4ac

  2

b

a   2

c

b   2

a

c  64a2b2c2 8abc2



 (a+b)(b+c)(c+a)8abc DÊu “=” x¶y a = b = c

ví dụ 2(tự giải): 1)Cho a,b,c>0 a+b+c=1 CMR: 1119 c b

a (403-1001) 2)Cho x,y,z>0 vµ x+y+z=1 CMR:x+2y+z4(1 x)(1 y)(1 z)

3)Cho a>0 , b>0, c>0 CMR:

2     

 a b

c a c

b c b

a

4)Cho x0,y0 tháa m·n x y 1 ;CMR: x+y

 vÝ dơ 3: Cho a>b>c>0 vµ 2 1

  b c

3 3 1

a b c

b c a c a b      Gi¶i:

Do a,b,c đối xứng ,giả sử abc 

   

    

 

b a

c c a

b c b

a a b c

2 2

¸p dơng BĐT Trê- b-sép ta có

  

 

     

     

 a b

c c a

b c b

a c b a b a

c c c a

b b c b

a

a

3

2 2

2

=

= VËy

2

3 3

    

 a b

c c a

b c b

a

DÊu b»ng x¶y a=b=c= vÝ dơ 4:

Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 .Chøng minh r»ng :

      10

2 2

        

b c d ab c bc d d c a

a

Gi¶i: Ta cã a2 b2 2ab

 

c2d2 2cd

Do abcd =1 nªn cd = ab

1

(dïng

2 1

 

x

x )

Ta cã 2 2 2(  )2(  )4 ab ab cd

ab c

b

a (1)

Mặt khác: abcbcddca

=(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)

= 1 222 

 

 

     

 

     

 



bc bc ac ac ab ab

VËy 2 2       10

        

b c d ab c bc d d c a

a

vÝ dô 5: Cho sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng: (ac)2 (bd)2  a2b2  c2 d2

Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski tacó ac+bd a2 b2. c2 d2

 

mµ a c2 b d2 a2 b2 2ac bd c2 d2

        

 2 2 2 2

2 a b c d c d

b

a      



 (ac)2 (bd)2  a2 b2  c2d2

vÝ dô 6 : Chøng minh r»ng

a2b2c2abbcac Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) (a,b,c) ta có

12 12 12(a2 b2 c2) 1.a 1.b 1.c2

     



 3a2b2c2a2b2c22abbcac

a2b2c2abbcac Điều phải chứng minh DÊu b»ng x¶y a=b=c

Ph ơng pháp : Sử dụng tính chất bắc cầu L

Cho a, b, c ,d >0 tháa m·n a> c+d , b>c+d Chøng minh r»ng ab >ad+bc

Gi¶i: Tacã

  

 

 

d c b

d c a



  

  

  

0

c d b

d c a

 (a-c)(b-d) > cd  ab-ad-bc+cd >cd

ab> ad+bc (điều phải chøng minh) vÝ dô 2:

Cho a,b,c>0 tháa m·n

3

2

2b c 

a Chøng minh

abc c b a

1 1

   Gi¶i:

Ta cã :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc)   ac+bc-ab 

2

( a2+b2+c2)  ac+bc-ab

6

  Chia hai vÕ cho abc > ta cã

c b a

1 1

  

abc vÝ dô

Cho < a,b,c,d <1 Chøng minh r»ng (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d Gi¶i:

Ta cã (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab Do a>0 , b>0 nªn ab>0  (1-a).(1-b) > 1-a-b (1) Do c <1 nªn 1- c >0 ta cã  (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c

 (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d)

=1-a-b-c-d+ad+bd+cd  (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d

(§iỊu ph¶i chøng minh) vÝ dơ

1- Cho <a,b,c <1 Chøng minh r»ng 2a32b32c3 3a2bb2cc2a

Gi¶i :

Do a <  a2 1 vµ Ta cã 1 2.1 

 

 a b  1-b-a2+a2b > 0

 1+a2 b2 > a2 + b

mµ 0< a,b <1  a2 > a3, b2 > b3

Tõ (1) vµ (2)  1+a2 b2> a3+b3

VËy a3+b3 < 1+a2 b2

T¬ng tù b3+c3 1 b2c



c 3+a3 1 c2a

Cộng bất đẳng thức ta có :

2a32b32c3 3a2bb2cc2a

b)Chøng minh r»ng : NÕu 2 2 1998

   b c d

a th× ac+bd =1998

(Chuyên Anh 98 99) Giải:

Ta cã (ac + bd)2 + (ad – bc )2 = a2c2 + b2d2 2abcd a2d



 b2c2-2abcd= = a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982

rá rµng (ac+bd)2  2  2 19982

 



bd ad bc

ac

 acbd 1998

chøng minh r»ng : a12 +a22 a32  a 20032

2003

 ( đề thi vào chuyên nga pháp 2003- 2004Thanh hóa )

2,Cho a;b;c 0 tháa m·n :a+b+c=1(?) Chøng minh r»ng: (1  1).(1  1).(1 1)8

c b

a

Ph ơng pháp 5: dùng tính chấtcủa tỷ số KiÕn thøc

1) Cho a, b ,c số dơng a Nếu

b a th× c b c a b a   

b – NÕu 1

b a th× c b c a b a    2)NÕu b,d >0 th× tõ

d c d b c a b a d c b a       `

vÝ dô :

Cho a,b,c,d > Chøng minh r»ng

2

            b a d d a d c c d c b b c b a a Gi¶i :

Theo tÝnh chÊt cđa tØ lƯ thøc ta cã d c b a d a c b a a c b a a          

 (1)

Mặt khác :

d c b a a c b a a     

 (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã

d c b a a  

 < a b c a



 <a b c d d a     (3) T¬ng tù ta cã

d c b a a b d c b b d c b a b          

 (4)

d c b a c b a d c c d c b a c          

 (5)

d c b a c d b a d d d c b a d          

 (6)

céng vÕ víi vÕ cđa (3); (4); (5); (6) ta cã              b a d d a d c c d c b b c b a a

điều phải chứng minh vÝ dô :

Cho: b a < d c

vµ b,d > Chøng minh r»ng b a < d c d b cd ab    2 Gi¶i: Tõ

b a < d c 2 d cd b ab    d c d cd d b cd ab b ab    

 2 2 2

2 VËy b a < d c d b cd ab   

2 điều phải chứng minh

tìm giá trị lớn d b c a

giải : Không tính tổng quát ta giả sử : c a

d b  Tõ :

c a

d b 

d b d c

b a c a

    

1  c a

v× a+b = c+d a, NÕu :b 998 th×

d b

998

 

d b c a

  999 b, NÕu: b=998 th× a=1 

d b c a

 =

d c

999

Đạt giá trị lớn d= 1; c=999 Vậy giá trị lớn

d b c a

 =999+ 999

1

khi a=d=1; c=b=999 Ph ơng pháp 6: Phơng pháplàm trội

L u ý:

Dùng tính bất đẳng thức để đa vế bất đẳng thức dạng tính đợc tổng hữu hạn tích hữu hạn

(*) Phơng pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1u2 un

Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát uk hiệu hai số hạng liên tiếp nhau:

uk ak  ak1

Khi :

S = a1 a2  a2 a3 an an1a1 an1 (*) Phơng pháp chung tính tích hữu hạn

P = u1u2 un

Biến đổi số hạng uk thơng hai số hạng liên tiếp nhau:

uk=

1 

k k

a a

Khi P =

1 1

2

1 .

 



n n

n

a a a

a a

a a a

VÝ dô :

Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng

4 1

       

n n n

n Gi¶i:

Ta cã

n n n k

n

1 1

  

 với k = 1,2,3,…,n-1 Do đó:

2 2

1

1

1 1

        

 n

n n n

n n

n VÝ dô :

Chøng minh r»ng:

2 1

1

1     n

n Với n số nguyên Gi¶i :

Ta cã  k k

k k k

k    12 1

2

2

> 2  1

2 2

1

 

………  n n

n 2 1

1

Cộng vế bất đẳng thức ta có

2 1

3

1     n  n

VÝ dô :

Chøng minh r»ng 2







n

k k

n Z Gi¶i:

Ta cã

k  k k

k k

1 1 1

2     

Cho k chạy từ đến n ta có

1

1

1

1 1

3

1

2 1

1

2

2 2

    

  

 

 

n n n n

VËy 2







n

k k

Ph ¬ng ph¸p 7:

Dùng bất đẳng thức tam giác L

u ý: NÕu a;b;clµ số đo ba cạnh tam giác : a;b;c> Vµ |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a

Ví dụ1: Cho a;b;clà số đo ba cạnh tam gi¸c chøng minh r»ng a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)

b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)

Giải

a)Vì a,b,c số đo cạnh tam giác nên ta cã

    

  

  

  

b a c

c a b

c b a

0 0

     

 

 

 

) (

) (

) (

2 2

b a c c

c a b b

c b a a

Cộng vế bất đẳng thức ta có a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) b) Ta có a > b-c   a2 a2 (b c)2> b > a-c   b2 b2 (c a)2> c > a-b   2 ( )2

   c a b

c

 

       

     

a b c b c a c a b

abc b a c a c b c b a c b a b a c a c b c b a c b a                         2 2 2 2 2 2 2

VÝ dô2: (404 – 1001)

1) Cho a,b,c lµ chiỊu dài ba cạnh tam giác

Chứng minh r»ng ab bc ca a2 b2 c2 2(ab bc ca)        

2) Cho a,b,c chiều dài ba cạnh tam gi¸c cã chu vi b»ng Chøng minh r»ng 2 2 2

  

b c abc a

Ph ơng pháp 8: đổi biến số Ví dụ1:

Cho a,b,c > Chøng minh r»ng

2     

 a b

c a c b c b a (1) Gi¶i :

Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a=

x z y 

; b =

y x z 

; c =

z y x 

ta cã (1) 

z z y x y y x z x x z y 2         

  1  1   13

z y z x y z y x x z x y

 (  )(  )(  )6

z y y z z x x z y x x y

Bất đẳng thức cuối (  2;

y x x y

 2 z x x z

;  2

z y y z

nên ta có điều ph¶i chøng minh

VÝ dơ2:

Cho a,b,c > vµ a+b+c <1 Chøng minh r»ng

2 2 2     

 bc b ac c ab

a (1)

Giải:

Đặt x = a2 2bc

; y = b2 2ac ; z = c2 2ab Ta cã  2

    

y z a b c

x

(1)  1119

z y

x Víi x+y+z < vµ x ,y,z >

Theo bất đẳng thức Côsi ta có xyz3.3 xyz

   z y x 1

3 .3

xyz

   1 19          z y x z y x

Mµ x+y+z < VËy 1119

z y

x (®pcm)

VÝ dô3:

Cho x0 , y0 tháa m·n x y 1 CMR

Đặt x u , y v 2u-v =1 vµ S = x+y =u 2 v2 v = 2u-1 thay vµo tÝnh S min

Bµi tËp

1) Cho a > , b > , c > CMR: 25 16 8    

 a b

c a c

b c b

a

2)Tỉng qu¸t m, n, p, q, a, b >0 CMR

 m n p m n p

b a

pc a c

nb c b

ma

     

    

2

2

Ph ơng pháp 9: dùng tam thøc bËc hai L

u ý :

Cho tam thøc bËc hai f x ax2 bxc

NÕu 0 th× a.f x 0 x R NÕu 0 th× a.f x 0

a b x 

NÕu 0 a.f x với x x1 x x2 (x 2 x1) a.f x 0 víi x1xx2

VÝ dô1:

Chøng minh r»ng

 ,       

x y xy x y

y x

f (1)

Gi¶i:

Ta cã (1)  2 2 1     

 x y y y

x

2 12     

 y y y

 1

3 4

2

2

    

  

  

y

y y y

y

VËy fx,y0 víi mäi x, y VÝ dơ2:

Chøng minh r»ng

fx,y x2y4 2x2 2.y2 4xy x2 4xy3

     

Gi¶i:

Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với 2 2 4

 

  

 x y xy x xy

y x

( 1)2 1 2   

 

 y x y y x y

Ta cã 21 22 2 12 16  

  

 

 y y y y y

V× a =  12  

y vËy fx,y0 (®pcm)

Ph ơng pháp 10: dùng quy nạp toán học Kiến thøc:

Để chứng minh bất đẳng thức với n n0ta thực bớc sau :

– Kiểm tra bất đẳng thức với n n0

3- Ta chứng minh bất đẳng thức với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh biến đổi để dùng giả thiết quy nạp)

– kết luận BĐT với n n0

VÝ dô1:

Chøng minh r»ng n n 2 1 2

2      nN;n1 (1) Gi¶i :

Víi n =2 ta cã

2

1   (đúng) Vậy BĐT (1) với n =2

Giả sử BĐT (1) với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) với n = k+1

ThËt vËy n =k+1 th× (1) 

1 ) ( 1 1 2 2         k k k Theo giả thiết quy nạp



1 1 ) ( 1 1 2 2             k k k k k 

k  k

k k 1 1 ) ( 1 2        

 2 ( 2) ( 1)2 ) ( 1         k k k k k k

 k2+2k<k2+2k+1 Điều Vậy bất đẳng thức (1)đợc chứng minh

VÝ dô2: Cho n N vµ a+b>

Chøng minh r»ng

n b a       

2 

n

n b

a 

(1) Giải Ta thấy BĐT (1) với n=1

Giả sử BĐT (1) với n=k ta phải chứng minh BĐT với n=k+1 Thật với n = k+1 ta có

(1) 

1      

ab k

 1    k k b a  b a b

a k 

        1    k k b

a (2)

 VÕ tr¸i (2) 

2 1

1   

       

 k k k k k k k

k b a b a ab a b b a b

a  1 1         

 k k k k k

k b a ab a b b

a

 ak  bk.a b0 (3) Ta chøng minh (3)

(+) Gi¶ sư a b giả thiết cho a -b  a  b  ak bk bk



  ak  bk.a b0

(+) Giả sử a < b theo gi¶ thiÕt - a<b  k k k k

b a b

a     ak  bk.a b0 Vậy BĐT (3)luôn ta cú (pcm)

Ph ơng pháp 11: Chứng minh ph¶n chøng

1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức , ta giả sử bất đẳng thức sai kết hợp với giả thiết để suy điều vơ lý , điều vơ lý điều trái với giả thiết , điều trái ngợc Từ suy bất đẳng thức cần chứng minh

2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “G  K” phép toán mệnh đề cho ta :

Nh để phủ định luận đề ta ghép tất giả thiết luận đề với phủ định kết luận Ta thờng dùng hình thức chứng minh phản chứng sau :

A - Dùng mệnh đề phản đảo : G

K  

B – Phủ định rôi suy trái giả thiết : C – Phủ định suy trái với điều D – Phủ định suy điều trái ngợc E – Phủ định suy kết luận :

VÝ dô 1:Cho ba sè a,b,c tháa m·n a +b+c > , ab+bc+ac > , abc > 0 Chøng minh r»ng a > , b > , c >

Gi¶i :

Giả sử a  từ abc >  a a < Mà abc > a <  cb <

Tõ ab+bc+ca >  a(b+c) > -bc > V× a < mµ a(b +c) >  b + c <

a < vµ b +c <  a + b +c < trái giả thiết a+b+c > Vậy a > t¬ng tù ta cã b > , c >

VÝ dô 2:Cho sè a , b , c ,d tháa m·n ®iỊu kiÖn

ac  2.(b+d) Chứng minh có bất đẳng thức sau sai: a2 4b

 , c2 4d Gi¶i :

Giả sử bất đẳng thức : a2 4b

 , c2 4d cộng vế ta đợc a2 c2 4(b d)

 

 (1)

Theo gi¶ thiÕt ta cã 4(b+d)  2ac (2) Tõ (1) vµ (2)  a2 c2 2ac



 hay a c2 0 (v« lý)

Vậy bất đẳng thức a2 4b

 c2 4d có bất đẳng thức sai Ví dụ 3: Cho x,y,z > xyz = Chứng minh

NÕu x+y+z >

z y x

1 1



có ba số lớn Gi¶i :

Ta cã (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1=x + y + z – (

z y x

1 1



 ) v× xyz = theo gi¶ thiÕt x+y +z >

z y x

1 1



 nªn (x-1).(y-1).(z-1) > Trong ba sè x-1 , y-1 , z-1 chØ cã mét sè d¬ng

Thật ba số dơng x,y,z >  xyz > (trái giả thiết) Còn số dơng (x-1).(y-1).(z-1) < (vơ lý) Vậy có ba số x , y,z lớn

Phần iii : tập nâng cao 1/dùng định nghĩa

1) Cho abc = vµ 36



a Chøng minh r»ng 

2

a

b2+c2> ab+bc+ac Gi¶i

Ta cã hiƯu: 

2

a

b2+c2- ab- bc – ac = 

4

2

a

 12

2

a b2+c2- ab- bc – ac = ( 

4

2

a b2+c2- ab– ac+ 2bc) +  12

2

=( a

-b- c)2 +

a abc a 12 36  =( a

-b- c)2 +

a abc a 12 36 3

>0 (v× abc=1 a3 > 36 nên a >0 ) Vậy : 

3

2

a

b2+c2> ab+bc+ac §iỊu ph¶i chøng minh 2) Chøng minh r»ng

a) 4 2 ( 1)      

y z x xy x z

x

b) víi mäi sè thùc a , b, c ta cã 5 4 2 6 3 0

    

 b ab a b a

c) a22b2 2ab2a 4b20

Gi¶i :

a) XÐt hiÖu H = x4 y4 z2 2x2y2 2x2 2xz 2x

     

 =  2 22  2  2

1    

 y x z x

x

H0 ta cã ®iỊu phải chứng minh

b) Vế trái cã thÓ viÕt H =  12  12    

 b b

a H > ta có điều phải chứng minh c) vÕ tr¸i cã thĨ viÕt H =  12  12

  

 b b

a  H  ta có điều phải chứng minh Ii / Dùng biến đổi t ơng đ ơng

1) Cho x > y vµ xy =1 Chøng minh r»ng  

 2 2    y x y x

Gi¶i : Ta cã 2  2  2      

y x y xy x y

x (v× xy = 1)

  2 22  4 4. 2     

y x y x y

x

Do BĐT cần chứng minh tơng đơng với x y4 4x y2 4 8.x y2

     

  4 4 2    

 y x y

x

  2 22 0  

 y

x

BĐT cuối nên ta có điều phải chứng minh 2) Cho xy  Chứng minh

xy y

x    

 1 1 2

Gi¶i :Ta cã

xy y

x    

 1 1 2  1 1 1 1 2

2 

                

x y y xy



1 .1  1 2.1 

2 2         xy y y xy xy x x xy 

   1 .1 

) ( ) (

2   

     xy y y x y xy x x y x     

1  .1 .1 

1 2       xy y x xy x y

BĐT cuối xy > Vậy ta có điều phải chứng minh Iii / dùng bất đẳng thức phụ

1) Cho a , b, c số thực a + b +c =1 Chøng minh r»ng

3

2

2b c 

a Giải : áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho số (1,1,1) vµ (a,b,c) Ta cã 1.a 1.b 1.c2 1 1 1.a2 b2 c2

      

 a b c2 3.a2 b2 c2



3

2 2

  b c

a (vì a+b+c =1 ) (đpcm)

2) Cho a,b,c số dơng Chứng minh r»ng   1 19   

 

  



c b a c b

a (1)

Gi¶i (1)  1   1   19 a c a c c b a b c a b a

 9

    

       

       

 

b c c b a c c a a b b a

áp dụng BĐT phụ

x y y x

Với x,y > Ta có BĐT cuối ln

VËy   1 19   

 

  



c b a c b

a (®pcm)

Iv / dùng ph ơng pháp bắc cầu 1) Cho < a, b,c <1 Chøng minh r»ng : 2a3 2b3 2c3 3 a2b b2c c2a

     

Gi¶i :Do a <1 a2<1 b <1

Nên 1 2 .1 2 2       

 a b a b a b

Hay 1a2ba2b (1)

Mặt khác <a,b <1 a 2 a3 ; b b3

 1a2a3b3

VËy a3 b3 1a2b

 

T¬ng tù ta cã

a c c

a

c b c

b

2

3

2

3

1   

  

 2a3 2b3 2c3 3 a2b b2c c2a

    

(đpcm)

2) So sánh 3111 1714 Gi¶i Ta thÊy 3111 < 3211  25 11 255 256

  

MỈt kh¸c 256 24.14  24 14 1614 1714

   

Vëy 3111 < 1714 (®pcm) V/ dïng tÝnh chÊt tØ sè

1) Cho a ,b ,c ,d > Chøng minh r»ng : a b b c c d d a

a b c b c d c d a d a b

   

    

       

Gi¶i :

V× a ,b ,c ,d > nªn ta cã

a b a b a b d

a b c d a b c a b c d

   

 

        (1)

b c b c b c a

a b c d b c d a b c d

    

 

        (2)

d a d a d a c

a b c d d a b a b c d

   

 

        (3)

Cộng vế bất đẳng thức ta có :

a b b c c d d a

a b c b c d c d a d a b

   

    

        (®pcm)

2) Cho a ,b,c số đo ba cạnh tam giác Chứng minh r»ng a b c

b c c a a b

   

  

V× a ,b ,c số đo ba cạnh tam giác nên ta có a,b,c > Và a < b +c ; b <a+c ; c < a+b

Tõ (1) a a a 2a

b c a b c a b c



  

     Mặt khác

a a

b c a b c  VËy ta cã a a 2a

a b c  b c a b c  T¬ng tù ta cã

2

b b b

a b c  a c a b c  c c 2c

a b c  b a a b c  Cộng vế ba bất đẳng thức ta có :

a b c

b c c a a b

   

   (®pcm)

V/ ph ơng pháp làm trội : 1) Chứng minh B§T sau :

a) 1 1 1.3 3.5  (2n1).(2n1) 2 b) 1

1.2 1.2.3 1.2.3 n

    

Gi¶i :

a) Ta cã

   

2 1 (2 1)

1 1 1

2 2 (2 1).(2 1) 2

k k

n n k k k k

    

    

       

Cho n chạy từ đến k Sau cộng lại ta có

1 1

1.3 3.5 (2n 1).(2n 1) 2n

 

      

    

(®pcm) b) Ta cã

 

1 1 1

1

1.2 1.2.3 1.2.3 n 1.2 1.2.3 n n

        

 < 1 1 1 2

2 n n n

     

          

      (®pcm)

Phần iv : ứng dụng bất đẳng thức 1/ dùng bất đẳng thức để tìm c c trị

L u ý

- NÕu f(x)  A f(x) có giá trị nhỏ A - Nếu f(x) B f(x) có giá trị lớn B

Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| Gi¶i :

Ta cã |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x|  |x-1+4-x| = (1)

Vµ x  x  x  3 x  x 3  x 1 (2) VËy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|  1+3 =

Ta cã tõ (1)  DÊu b»ng x¶y 1 x 4 (2)  DÊu b»ng x¶y 2 x 3 Vậy T có giá trị nhá nhÊt lµ 2 x 3

VÝ dụ : Tìm giá trị lớn

S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) víi x,y,z > x+y+z =1 Giải :

Vì x,y,z > ,áp dụng BĐT Côsi ta cã

x+ y + z 3 xyz3 1

3 27

xyz xyz

   

 2 3 3x y  . y z  . z x  DÊu b»ng x¶y x=y=z=1 VËy S  8

27 27 729 VËy S cã giá trị lớn

729 x=y=z=

VÝ dô : Cho xy + yz + zx = T×m giá trị nhỏ x4y4z4

Giải :

áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho sè (x,y,z) ;(x,y,z)

Ta cã xy yz zx  2 x2y2z22  1x2y2z22 (1) Ap dơng B§T Bunhiacèpski cho (x y z2, 2, 2) vµ (1,1,1)

Ta cã

2 2 2 2 4 2 2 4

( ) (1 1 )( )

( ) 3( )

x y z x y z

x y z x y z

      

     

Tõ (1) vµ (2)  3( x4y4z4) 4

3

x y z

 Vậy x4y4z4 có giá trị nhỏ lµ

3 x = y = z = 3  VÝ dơ 4: Trong tam gi¸c vuông có cạnh huyền , tam giác vuông cã diƯn tÝch lín nhÊt Gi¶i :

Gọi cạnh huyền tam giác 2a Đờng cao thuộc cạnh huyền h

Hình chiếu cạnh góc vuông lên cạnh huyền lµ x,y Ta cã S =1. 

2 x y h a h a h   a xy Vì a khơng đổi mà x+y = 2a

VËy S lín nhÊt x.y lín nhÊt  xy

Vậy tam giác có cạnh huyền tam giác vng cân có diện tích lớn Ii/ dùng b.đ.t để giải ph ơng trình hệ ph ng trỡnh

Ví dụ : Giải phơng trình 4 3x2 6x 19 5x2 10x 14 2x x2

       

Gi¶i :

Ta cã 3x2 6x 19

  3.(x22x1) 16

3.(x1)216 16 5x210x14 5. x12 9

VËy 4 3x2 6x 19 5x2 10x 14 5

       

DÊu ( = ) x¶y x+1 =  x = -1

VËy 4 3x2 6x 19 5x2 10x 14 2x x2

        x = -1

VËy ph¬ng tr×nh cã nghiƯm nhÊt x = -1

Ví dụ : Giải phơng trình x 2 x2 4y2 4y 3

    

Giải :

áp dụng B§T BunhiaCèpski ta cã :

x 2 x2  121 x22 x2  2 2 DÊu (=) x¶y x =

Mặt khác 4y24y 3 2y12 2 2 Dấu (=) x¶y y = -1

VËy x 2 x2 4y2 4y 3 2

      x =1 vµ y =-1 VËy nghiƯm cđa phơng trình

1

x y

   

  

Ví dụ : Giải hệ phơng trình sau 4 x y z4 4

x y z xyz

   



Giải : áp dụng BĐT Côsi ta có

4 4 4 4 4

2 2 2

2 2 2 2 2 2 x

2 2

2 2

x y y z z x

y z

x y y z z x

x y y z z y z z x z y x

  

    

  

  

  

2 2

.( )

y xz z xy x yz xyz x y z

  

  

V× x+y+z = 1)

Nên x4y4z4 xyz Dấu (=) xảy x = y = z =1 VËy 4 x y z4 4

x y z xyz

   



  



cã nghiÖm x = y = z =1 VÝ dơ : Gi¶i hƯ phơng trình sau

2

4

2

xy y

xy x

   



  

(1) (2)

Tõ ph¬ng tr×nh (1)  8 y2 0 hay y  Từ phơng trình (2) x2 x y 2 x

2

2

2 2

( 2)

2

x x

x x x

   

  

 

 

NÕu x = 2 th× y = 2 NÕu x = - 2 th× y = -2 2

Vậy hệ phơng trình có nghiệm 2

x y

 

 

  

vµ 2 2

x y

 

 

  

Iii/ dùng B.Đ.t để giải ph ơng trình nghiệm nguyên 1) Tìm số nguyên x,y,z thoả mãn

x2y2z2 xy3y2z Gi¶i :

 

2 2

2

2

3

3

3

4

x y z xy y z

y y

x xy y z z

       

   

          

   

 

2

2

3 1

2

y y

x z

   

          

   

(*)

Mµ  

2

2

3 1

2

y y

x z

   

     

   

   

x y R,   

2

2

3 1

2

y y

x z

   

          

   

0

2 1

1

2

1

y x

x y

y z z



 



  

 

      

  

   

 

C¸c sè x,y,z phải tìm

x y z

  

    

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình 1 1

x yz 

Gi¶i :

Không tính tổng quát ta giả sử x y z Ta cã 1 2z

x y z z

     

Mµ z nguyên dơng z =

Thay z = vào phơng trình ta đợc 1

x y 

Theo gi¶ sư xy nªn = 1

x y

1

y

y2 mà y nguyên dơng Nên y = y =

Với y = không thích hợp

Víi y = ta cã x =

VËy (2 ,2,1) lµ nghiệm phơng trình

Hoỏn v số ta đợc nghiệm phơng trình (2,2,1) ; (2,1,2) ; (1,2,2)

VÝ dô : Tìm cặp số nguyên thoả mÃn phơng trình x x y (*) Giải :

(*) Víi x < , y < phơng trình nghĩa (*) Víi x > , y >

Ta cã x x y x x y2

  

x y2 x0

Đặt x k (k nguyên dơng x nguyên dơng ) Ta cã k k.( 1)y2

Nhng k2 k k 1  k12  k y k

Vậy phơng trình cã nghiƯm nhÊt lµ : 0

x y

  