Một số nội dung về mặt cầu trong chương trình trung học phổ thông

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ĐÀ NẴNG KHOA TỐN () KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP MỘT SỐ NỘI DUNG VỀ MẶT CẦU TRONG CHƢƠNG TRÌNH THPT Giảng viên hướng dẫn: ThS Phan Thị Quản Sinh viên thực : Trƣơng Thị Minh Hoàng Lớp : 14ST Đà Nẵng, tháng năm 2018 Một số nội dung mặt cầu chương trình THPT LỜI CẢM ƠN Trong suốt q trình làm khóa luận, em gặp nhiều khó khăn bỡ ngỡ Nếu khơng có động viên, giúp đỡ nhiệt tình tạo điều kiện thuận lợi từ thầy cơ, bạn bè gia đình có lẽ em khó hồn thành đƣợc khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến cô Phan Thị Quản, ngƣời trực tiếp hƣớng dẫn em làm khóa luận Cơ dạy cho em kiến thức, kĩ kinh nghiệm học tập nghiên cứu khoa học Cảm ơn cô bên cạnh động viên, khích lệ em suốt q trình làm khóa luận Em gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô Ban Giám Hiệu, cán bộ, giảng viên Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Đà Nẵng, đặc biệt giảng viên Khoa Tốn trƣờng tận tình giảng dạy, dẫn em suốt trình học tập tạo điều kiện thuận lợi để em hồn thành đƣợc khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Một số nội dung mặt cầu chương trình THPT MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN PHẦN 2: MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN I MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH ĐA DIỆN II MẶT CẦU NỘI TIẾP HÌNH ĐA DIỆN .13 III ĐƢỜNG THẲNG TIẾP XÚC VỚI MẶT CẦU 18 IV CÁC BÀI TỐN CĨ QUỸ TÍCH LIÊN QUAN ĐẾN MẶT CẦU 22 V CÁC BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU HAY GẶP TRONG CHƢƠNG TRÌNH THPT 26 PHẦN 3: MẶT CẦU TRONG TỌA ĐỘ OXYZ 33 I PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU .33 II MỘT SỐ BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT LIÊN QUAN ĐẾN MẶT CẦU TRONG HỆ TỌA ĐỘ OXYZ 40 III ỨNG DỤNG CỦA MẶT CẦU VÀO GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH 46 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 Một số nội dung mặt cầu chương trình THPT MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Có thể nói Tốn học phần khơng thể thiếu sống chi phối nhiều hoạt động ngƣời nhiều lĩnh vực khác Việc dạy học Toán nhà trƣờng đƣợc coi trọng đƣợc đặt lên hàng đầu Trong đó, hình học đƣợc xem phần hay nhất, mang tính kích thích tƣ duy, tị mị sáng tạo cho em học sinh Thế nhƣng, đa số học sinh Phổ thơng sợ hình học ngại suy nghĩ tốn khó phức tạp, phần hình học khơng gian Hiện nay, toán mặt cầu khơng gian ln xuất kì thi Phổ thông nhƣ thi Đại học, thi Học sinh giỏi Các tốn mặt cầu thƣờng khơng q khó nhƣng địi hỏi phải có kiến thức tảng trí tƣởng tƣợng để liên hệ với thực tế giải đƣợc Với mong muốn tìm hiểu sâu tổng quát mặt cầu để giúp em học sinh nắm vững dạng tốn có liên quan đến mặt cầu, chọn đề tài “Một số nội dung mặt cầu chƣơng trình Trung học Phổ thơng” II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Làm rõ tính chất quan trọng mặt cầu khơng gian hệ thống lại kiến thức, phƣơng pháp giải tập mặt cầu cách tổng quát, dễ hiểu III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Tìm hiểu mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp hình đa diện mặt cầu tọa độ Phƣơng pháp giải tốn mặt cầu hay gặp chƣơng trình THPT Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng Trang Một số nội dung mặt cầu chương trình THPT IV ĐỐI TƢỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tƣợng: mặt cầu khơng gian giải tích, đại số Phạm vi nghiên cứu: Hình học sơ cấp, mặt cầu Phổ thông V PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Đọc nghiên cứu sách, giáo trình, tài liệu có liên quan đến mặt cầu; phân tích tổng hợp VI CẤU TRÚC ĐỀ TÀI Phần 1: Kiến thức Phần 2: Mặt cầu không gian Phần 3: Mặt cầu tọa độ Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng Trang Một số nội dung mặt cầu chương trình THPT PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN Các định nghĩa: - Tập hợp điểm không gian cách điểm O cố định khoảng R không đổi đƣợc gọi mặt cầu có tâm O bán kính R - Mặt cầu qua đỉnh hình đa diện  H  gọi mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện  H  hình đa diện  H  gọi nội tiếp mặt cầu - Một mặt cầu gọi nội tiếp đa diện (hay đa diện ngoại tiếp mặt cầu) mặt cầu tiếp xúc với mặt đa diện Phƣơng trình mặt cầu tọa độ : , mặt cầu tâm I  a, b, c  , bán kính R có phƣơng trình là: Trong hệ trục tọa độ  x  a    y  b   z  c Ngƣợc lại, phƣơng trình: 2  R2 x  y  z  2ax  2by  2cz  d   phƣơng trình mặt cầu thỏa mãn điều kiện a  b  c  d Khi I  a, b, c  tâm mặt cầu R  a  b2  c  d bán kính mặt cầu Nếu a  b  c  d phƣơng trình    xác định điểm I  a, b, c  Nếu a  b  c  d khơng có điểm thỏa mãn phƣơng trình    Thể tích diện tích mặt cầu: Cho mặt cầu có bán kính R Thể tích mặt cầu là: V   R Diện tích mặt cầu là: S  4 R Vị trí tƣơng đối hai mặt cầu: Cho hai mặt cầu S1  O1 , R1  , S2  O2 , R2  Để xét vị trí tƣơng đối hai mặt cầu này, ta tính O1O2 so sánh với R1  R2 R1  R2 Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng Trang Một số nội dung mặt cầu chương trình THPT - Nếu S1 S khơng giao O1O2  R1  R2 - Nếu S1 S cắt O1O2  R1  R2 - Nếu S1 S tiếp xúc ngồi O1O2  R1  R2 - Nếu S1 S tiếp xúc O1O2  R1  R2 Vị trí tƣơng đối mặt cầu mặt phẳng: Cho mặt phẳng  P  : Ax  By  Cz  D  mặt cầu  S  :  x  a    y  b    z  c   R2 2 Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng Trang Một số nội dung mặt cầu chương trình THPT Khi để xét vị trí tƣơng đối mặt cầu mặt phẳng, ta tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng so sánh với bán kính Nếu:   P  S  khơng có điểm chung  d  I ,  P    R   P tiếp xúc với  S  M  d  I ,  P    R   P cắt  S  theo đƣờng tròn  d  I ,  P    R Vị trí tƣơng đối mặt cầu đƣờng thẳng:  x  x0  a1t  Cho đƣờng thẳng  d  :  y  y0  a2t , t  R z  z a t  1 mặt cầu  S  :  x  a    y  b    z  c   R2 2  2 Để xét vị trí tƣơng đối  d   S  , ta thay (1) vào (2) đƣợc pt    , đó:  Nếu pt    vơ nghiệm  d   S  khơng cắt  d  I ,  d    R  Nếu pt    có nghiệm  d   S  tiếp xúc  d  I ,  d    R  Nếu pt    có nghiệm  d   S  cắt  d  I ,  d    R Phƣơng trình đƣờng tròn giao tuyến: Nếu mặt cầu ( S ) : x  y  z  2ax  2by  2cz  d  mặt phẳng ( P ) : Ax  By  Cz  D  cắt giao tuyến chúng đƣờng trịn có phƣơng  x  y  z  2ax  2by  2cz  d  trình là:   Ax  By  Cz  D  Đƣờng trịn giao tuyến có tâm hình chiếu tâm mặt cầu  S  lên mặt phẳng  P  có bán kính r  R  d  I ;  P   (Với I R lần lƣợt tâm bán kính mặt cầu  S  ) Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng Trang Một số nội dung mặt cầu chương trình THPT PHẦN 2: MẶT CẦU TRONG KHƠNG GIAN I MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH ĐA DIỆN Dƣới ta trình bày tiêu chuẩn để hình chóp hình lăng trụ nội tiếp mặt cầu cách xác định tâm, bán kính mặt cầu Bài tốn 1: Chứng minh hình chóp nội tiếp mặt cầu đáy đa giác nội tiếp đƣờng trịn Giải:  Nếu hình chóp S A1 A2  An nội tiếp mặt cầu đỉnh A1 A2  An đáy hình chóp, vừa nằm mặt phẳng đáy hình chóp, vừa đồng thời nằm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp nên chúng nằm đƣờng tròn giao tuyến mặt phẳng đáy mặt cầu Vậy đa giác đáy hình chóp nội tiếp đƣờng trịn    Nếu hình chóp S A1 A2  An có đáy A1 A2  An đa giác nội tiếp đƣờng trịn (C) ta gọi  trục đƣờng trịn gọi O giao điểm  với mặt phẳng trung trực cạnh bên chẳng hạn cạnh SA1 Khi đó, ta có: OS  OA1 (do O nằm mặt phẳng trung trực SA1 ) Lại có: OA1  OA2    OAn (do O nằm trục  đƣờng tròn) Suy ra: OS  OA1  OA2    OAn Vậy hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp mặt cầu tâm O , bán kính R  OS (Đpcm) Hệ quả: Hình tứ diện có mặt cầu ngoại tiếp Thật vậy, hình tứ diện xem hình chóp mà đáy tam giác tam giác ln nội tiếp đƣờng trịn nên tứ diện ln nội tiếp mặt cầu Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng Trang Một số nội dung mặt cầu chương trình THPT Bài tốn 2: Chứng minh hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng với đáy đa giác nội tiếp đƣờng tròn Giải:   Nếu  H  hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp mặt bên hình bình hành có đƣờng trịn ngoại tiếp nên phải hình chữ nhật Vậy  H  hình lăng trụ đứng Ngồi ra,  H  có mặt cầu ngoại tiếp nên mặt đáy phải đa giác có đƣờng tròn ngoại tiếp    Ngƣợc lại cho  H  hình lăng trụ đứng có đƣờng tròn  C  ,  C   ngoại tiếp đa giác đáy Gọi I I ' tâm đƣờng trịn II ' trục hai đƣờng trịn Vì thế, gọi O trung điểm II ' ta có: OIA1  OIA2    OIAn  OI ' A '1  OI ' A '2    OI ' A 'n (Các tam giác vng có hai cạnh góc vng nhau) Suy ra: OA1  OA2    OAn  OA '1  OA '2    OA 'n Do đó: O cách tất đỉnh hình lăng trụ cho Vậy hình lăng trụ cho có mặt cầu ngoại tiếp mặt cầu tâm O , bán kính OA (với A đỉnh nằm mặt đáy hình lăng trụ) Bài tốn 3: Chứng minh hình chóp cụt có mặt cầu ngoại tiếp đáy hình chóp cụt nội tiếp đƣờng tròn cạnh bên Giải:   Giả sử hình chóp cụt  H  nội tiếp mặt cầu mặt bên hình thang có đƣờng trịn ngoại tiếp nên phải hình thang cân Vậy cạnh bên  H  Ngồi ra,  H  có mặt cầu ngoại tiếp nên mặt đáy phải đa giác có đƣờng trịn ngoại tiếp Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng Trang Một số nội dung mặt cầu chương trình THPT Bài 6: Viết phƣơng trình mặt cầu qua điểm tiếp xúc với mặt cầu Giải: Giả sử tìm đƣợc mặt cầu: x  y  z  2ax  2by  2cz  d  T  thỏa mãn yêu cầu toán Do A, B, C thuộc T  nên ta có hệ:  20  4a  8c  d   a  2  c    68  4a  16b  d    b   c 68  12a  8b  8c  d  d  12  12c   Suy T  : x2  y  z   c   x    c  y  2cz  12  12c  Từ đó, ta có:  S  có tâm I 1; 0;  , R T  có tâm I '   c 2 ; c 4;  c  , R  3c  32 II   3c  6c  21 Vì mặt cầu T  tiếp xúc với mặt cầu  S  nên có trƣờng hợp:  Trƣờng hợp tiếp xúc ngoài: II   R  R '  3c  6c  21   3c  32  3c  6c  21  3c  37  5(3c  32)  6c  16  5(3c  32)  3c   5(3c  32) 3c     2 9c  48c  64  15c 160  3c   3c     : VN c  c  96  c    Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng Trang 38 Một số nội dung mặt cầu chương trình THPT  Trƣờng hợp tiếp xúc trong: II   R  R '  3c  6c  21   3c  32  3c  6c  21  3c  37  5(3c  32)  6c  16  5(3c  32)  3c   5(3c  32) 3c     2 9c  48c  64  15c 160  3c   3c     c4  c4 6c  48c  96  Vậy ta tìm đƣợc T  có phƣơng trình: x  y  z  x  z  60  Bài 7: Trong hệ trục tọa độ , cho mặt cầu điểm thuộc mặt cầu điểm Giả sử có điểm ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ thỏa mãn đƣờng trịn, tính bán kính Chứng minh quỹ tích đƣờng trịn Giải: Gọi M  x; y; z  MA2  2MB.MC   ( x  1)2  y  z  2(2  x)( x)  2(1  y)(2  y)  2(3  z)(3  z)    x2  y  z  2x  y    C '  C ' có tâm I ' 1;1;  , có bán kính R '  3;  C  có tâm I  3; 3;  , có bán kính R  Vì II '   R  R ' nên  C   C ' cắt Lại có: M thuộc  C   C ' suy tập hợp M đƣờng tròn Phƣơng trình mặt phẳng chứa đƣờng trịn giao tuyến  C   C ' thỏa hệ:  x  32   y  32   z  2    x y  z 5   2 x  y  z  x  y     1.3  1.3  1.2  d  I ;  P    12  12  12  P Vậy bán kính đƣờng trịn giao tuyến là: r  R  d  I ;  P      Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng Trang 39 Một số nội dung mặt cầu chương trình THPT II MỘT SỐ BÀI TỐN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT LIÊN QUAN ĐẾN MẶT CẦU TRONG HỆ TỌA ĐỘ OXYZ Trong hệ tọa độ Oxyz , ngồi tốn viết phƣơng trình mặt cầu có nhiều dạng tốn tìm giá trị lớn – giá trị nhỏ có liên quan đến mặt cầu Hầu hết tốn đƣợc giải dựa vị trí tƣơng đối mặt cầu yếu tố cho Dƣới đây, ta trình bày số kĩ thuật để giải tốn hai điểm M , N Bài 1: Tìm mặt cầu cho khoảng cách từ M N tới mặt phẳng tƣơng ứng lớn nhỏ Giải: Mặt cầu có tâm I 1; 2;3 , bán kính R  Vì d  I ,  P    R nên  S   P  khơng có điểm chung Do để khoảng cách từ M , N đến mp  P  tƣơng ứng lớn nhỏ M , N nằm đƣờng thẳng qua tâm mặt cầu vng góc với  P   x   3t  Phƣơng trình đƣờng thẳng MN là:  y   z   4t  Tọa độ M , N nghiệm ( x, y, z ) hệ:  x  12   y  2   z  32  25    x; y; z    4; 2;7  x   3t  ⇔  y2  x; y; z    2; 2; 1   z   4t  Khoảng cách từ điểm  4; 2;7  điểm  2;2; 1 đến  P  lần lƣợt 59  5 Vậy M  4; 2;7  ; N  2 ; 2; 1  Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng Trang 40 Một số nội dung mặt cầu chương trình THPT Bài 2: Cho ba số thực thỏa Tìm GTLN GTNN của: Giải: Xét mặt cầu  S  : x  y  z  có tâm O  0; 0; 0 , R 1 Xét mặt phẳng   : x  y  z   Lấy M  x, y, z  thuộc mặt cầu  S  Khoảng cách từ M đến mặt phẳng   là: d  M ,     2x  y  z  Nhƣ vậy: F  3d  M ,    Do đó, ta cần tìm M , M ' thuộc mặt cầu  S  để khoảng cách từ M , M ' đến mặt phẳng   lần lƣợt đạt GTLN GTNN Vì d  O,     2.0  2.0     R nên  S    khơng có điểm chung Tƣơng tự trên, ta thấy M , M ' giao điểm mặt cầu  S  với đƣờng thẳng qua tâm mặt cầu vng góc với    x  2t  Phƣơng trình đƣờng thẳng MM ' là:  y  2t  z  t  Tọa độ M , M ' nghiệm ( x, y, z ) hệ:  x2  y  z     2 1  x; y; z    ; ;   t     x  2t  3 3  ⇔    y  2t  2 2  t    x; y; z    ; ;       z  t  3 3   2 1   2 2  Khoảng cách từ điểm  ; ;  điểm  ; ;  đến   lần lƣợt 3 3   3 3  2 2   2 1  ; ;  Fmin   x; y; z    ; ;   3 3 3 3  Vậy Fmax  12  x; y; z    Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng Trang 41 Một số nội dung mặt cầu chương trình THPT Bài 3: Trong hệ trục Tìm điểm cho mặt cầu thuộc đạt giá trị nhỏ cho Giải: Bài tốn tìm điều kiện nhỏ P để hệ sau có nghiệm: 2   x     y  1   z  1     P  x  y  2z S    Đây giao mặt cầu  S  mặt phẳng   nên để hệ tồn ta phải có: d  I s ;     Rs () Mặt cầu  S  có tâm I s  2;1;1 , có bán kính Rs  Mặt phẳng   : x  y  z  P  Nên ()  6P   3  P  15 Xét P  3 Khi đó: d  I s ;     Rs nên M tiếp điểm mặt cầu  S  mặt phẳng   Phƣơng trình đƣờng thẳng  d  qua tâm mặt cầu  S  vng góc với mặt phẳng   là:  x  2t   y   2t  z   2t  M giao điểm đƣờng thẳng  d  mặt phẳng   P  3 nên tọa độ M nghiệm hệ pt:  x  2t  x 1  y   2t    t  1   y  1  M (1; 1; 1)   z   2t   z  1  x  y  z   Kết luận: Pmin  3 M 1; 1; 1 Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng Trang 42 Một số nội dung mặt cầu chương trình THPT Bài 4: Cho số thực thỏa mãn: { Tìm để biểu thức đạt giá trị nhỏ Giải: Xét toán hệ trục tọa độ Oxyz Xét mặt phẳng  Q  : x  y  z   Mọi điểm A  n, p, m  thỏa mãn 1 thuộc mp  Q  Xét mặt cầu  C  : x  y  z  x  y  z   có tâm I 1;1;  , có bán kính R  Mọi điểm B  a, b, c  thỏa mãn   nằm mặt cầu  C  Ta thấy P  AB nên để tìm giá trị nhỏ P , ta cần tìm A  mp  Q  B   C  cho khoảng cách A B nhỏ Ta có: d  I ,  Q    1     2   2 2   R nên mp  Q  mặt cầu  C  không cắt Gọi d đƣờng thẳng qua tâm I vng góc với mp  Q  Để AB nhỏ thì: A  d   Q  B  d   C   x  1 t  Phƣơng trình đƣờng thẳng d có dạng:  y   2t , t  R  z   2t  x  1 t   y   2t   t  1  A  0;3;0 Vì A  d   Q  nên tọa độ A thỏa hệ:  z   t   x  y  z   Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng Trang 43 Một số nội dung mặt cầu chương trình THPT x  1 t   y   2t   9t   Vì B  d   C  nên tọa độ B thỏa hệ:  z   t   x  y  z  x  y  z   t 1 4 8 2 4  B1  ; ;  t    B2  ; ;  3 3 3  3 3 Ta có: AB1  , AB2   AB2  AB1 Vậy Pmin  A  0;3;0   n  0, p  3, m    AB      B2  ; ;   a  , b  , c     2 Bài 5: Trong hệ trục tọa độ qua hai điểm cắt cho hai điểm ; mặt cầu Mặt phẳng theo đƣờng tròn có bán kính nhỏ Tính Giải: Mặt cầu  S  có tâm I 1; 2; 3 , R  AB   3;3;6  , phƣơng trình đƣờng thẳng  x  t  AB :  y   t  z  2t  Gọi M hình chiếu I lên đƣờng thẳng AB thì: M  t;1  t; 2t  IM  AB ⇒ M 1;0;2  Giả sử đƣờng trịn giao tuyến có tâm H , bán kính r , ta có: IH  r  R  25 Do r nhỏ IH lớn Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng Trang 44 Một số nội dung mặt cầu chương trình THPT Ta có: IH  d  I ;  P    d  I ; AB   IM đạt lớn H  M hay IM vng góc với  P  Hay  IM ; n p   O ,  P  qua A, B nên có hệ:  3a  2b  6c   a    b20 ⇔ b    2c  b; a; 2a    0;0;0   c    Vậy T  a  b  c  Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng Trang 45 Một số nội dung mặt cầu chương trình THPT III ỨNG DỤNG CỦA MẶT CẦU VÀO GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH Ta thấy dùng túy đại số việc giải hệ phƣơng trình nhiều ẩn tốn nhiều thời gian trình rút thế, ngồi số tốn hệ phƣơng trình có tham số m khiến gặp khó khăn biện luận Vì vậy, số hệ phƣơng trình, ta biết cách đƣa hình học vào tốn trở nên đơn giản Sau ta trình bày số tốn ứng dụng mặt cầu vào hệ phƣơng trình Bài 1: Giải hệ phƣơng trình: { Giải: Xét mặt cầu  S  : x  y  z  x  y  z  có tâm I 1; 2;3 , có bán kính R  14 Xét mặt phẳng ( ) : 3x  y  z   mặt phẳng (  ) : 3x  y  z  12  Nghiệm hệ phƣơng trình cho tọa độ giao điểm mặt cầu  S  hai mặt phẳng ( ), (  ) Gọi  d  giao tuyến hai mp ( ), (  ) ( ) có VTPT n  (3; 2; 2) , (  ) có VTPT n  (3;3; 4) nên suy VTCP ud  (2;6;3)  x  2t   d  qua điểm A  0; 4;0  nên phƣơng trình  d  là:  y   6t  z  3t  Tọa độ giao điểm  d  mặt cầu  S  nghiệm hệ phƣơng trình:  x2  y  z  2x  y  6z   t   x  2t   t   10 y   t  49   z  3t  20 136 30  ;   Từ  d   S  có giao điểm  0; 4;0   ; 49   49 49  20 136 30  ;   Vậy hệ phƣơng trình cho có nghiệm  0; 4;0   ; 49   49 49 Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng Trang 46 Một số nội dung mặt cầu chương trình THPT Bài 2: Giải hệ phƣơng trình: { Giải: Mặt cầu  S  : x  y  z   có tâm O  0;0;0  , có bán kính R  măt phẳng (): x  y  z –  tiếp xúc với d  O, ( )   3 12  12  12  3R   x  y  z  1 có nghiệm  2 x  y  z      Dễ thấy nghiệm x  y  z 1 nghiệm thỏa phƣơng trình Do hệ phƣơng trình x  y3  z  Vậy hệ cho có nghiệm x  y  z 1 Bài 3: Tìm để hệ phƣơng trình sau có nghiệm, tìm nghiệm đó: { (1) Giải: Nghiệm hệ phƣơng trình (nếu có) tọa độ giao điểm mặt cầu (S): x  y  z 1 , (S) có tâm O  0; 0;  , bán kính R1 mặt phẳng   :2 x  y  z  m  Do hệ (1) có nghiệm (S) () tiếp xúc  d  O, ( )   m m  1   m   22  (1)  22 TH1: Xét m Nghiệm hệ tọa độ hình chiếu vng góc H O 1  : x – y  z –3  Đƣờng thẳng  qua O vng góc với 1  Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng  x  2t  có phƣơng trình  y   t  t  R   z  2t  Trang 47 Một số nội dung mặt cầu chương trình THPT Tọa độ điểm H nghiệm hệ phƣơng trình:  x   x  2t  y  t 1    t   y    3  z  2t  2 x – y  z –   z   2 2 Vậy nghiệm hệ phƣơng trình m  ;  ;  3 3 TH2: Xét m3   2 Làm tƣơng tự nhƣ trên, ta có nghiệm hệ phƣơng trình m3   ; ;   3 2  2 Vậy m hệ có nghiệm  ;  ;  , 3 3   2 m3 hệ có nghiệm   ; ;   3 Bài 4: Tìm số thực  để phƣơng trình sau có nghiệm nhất: √ √ √ Giải: Điều kiện xác định:  x  Đặt X  x  ; Y   x  x ; Z   x ; X ; Y ; Z  1   X  Y  2Z  m 2  X Y  Z  Ta có hệ:   P C   P  : X  Y  2Z  m  phƣơng trình mặt phẳng  C  phƣơng trình mặt cầu có tâm O  0; 0;  bán kính R  Để phƣơng trình có nghiệm  P  tiếp xúc với  C  tức là: d  I ;  P   R  2.0   2.0  m 22  12  22   m  (do m  ) Khi đó, tọa độ tiếp điểm tọa độ hình chiếu vng góc H O  P  : X Y  2Z –9  Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng Trang 48 Một số nội dung mặt cầu chương trình THPT Đƣờng thẳng  qua O vng góc với  P  X  2t  có phƣơng trình Y  t  t  R   Z  2t  Tọa độ điểm H nghiệm hệ phƣơng trình:  X  2t X  Y  t    t   Y    Z  2t  Z   X  Y  Z –   Ta có:  X ;Y ; Z    2;1;  thỏa mãn điều kiện 1  x2    Lúc đó:   x  x   x    2x    Nghiệm x  thỏa mãn điều kiện xác định nghiệm phƣơng trình Vậy giá trị m cần tìm m Nhƣ vậy, qua tốn phần gợi mở cho ta thêm hƣớng suy nghĩ gặp toán giá trị lớn - giá trị nhỏ số cách giải phƣơng trình, hệ phƣơng trình Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng Trang 49 Một số nội dung mặt cầu chương trình THPT ỨNG DỤNG CỦA MẶT CẦU TRONG ĐỜI SỐNG Ngƣời ta ứng dụng mặt cầu để chế tạo gƣơng cầu lồi gƣơng cầu lõm Gƣơng cầu lồi gƣơng cầu lõm có bề mặt phần hình cầu Gƣơng cầu lồi đƣợc sử dụng làm gƣơng chiếu hậu cho xe ôtô xe máy, làm gƣơng quan sát đƣờng bộ, thƣờng đƣợc đặt góc cua để ngƣời điều khiển phƣơng tiện giao thơng thơng qua quan sát tránh phƣơng tiện khác Ngồi cịn đƣợc sử dụng máy rút tiền tự động (ATM) giúp cho ngƣời rút tiền quan sát tƣơng đối phía sau Gƣơng cầu lõm biến đổi chùm tia sáng tới song song thành chùm tia phản xạ hội tụ, ánh sáng mặt trời chiếu vào nung nóng vật đốt cháy vật Các lăn ổ bi có dạng hình cầu Ổ bi có tác dụng chuyển ma sát trƣợt thành ma sát lăn Nhờ sử dụng ổ bi giảm đƣợc lực cản lên vật chuyển động khiến cho máy móc, linh kiện hoạt động dễ dàng Ngƣời ta ứng dụng mặt cầu để làm dụng cụ chơi thể thao nhƣ banh, bóng tập yoga,… Đó số hình ảnh quen thuộc có dạng mặt cầu xung quanh Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng Trang 50 Một số nội dung mặt cầu chương trình THPT KẾT LUẬN Qua trình nghiên cứu, từ kết thu đƣợc, tơi kết luận rằng: Đề tài hệ thống lại cách tổng quát “Mặt cầu khơng gian” Đề tài trình bày chi tiết tính chất “Mặt cầu khơng gian” , nhƣ dấu hiệu nhận biết hình đa diện có mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp Đề tài trình bày rõ ràng phƣơng pháp giải dạng toán “Mặt cầu” chƣơng trình THPT Đề tài nêu lên đƣợc ứng dụng “Mặt cầu” Đại số Hi vọng tài liệu bổ ích em học sinh Phổ thông bạn sinh viên ngành Tốn có nhu cầu tham khảo Vì kiến thức tơi cịn hạn chế nên q trình làm khơng thể tránh khỏi sai sót Kính mong nhận đƣợc đóng góp ý kiến từ quý thầy cô bạn đọc để đề tài đƣợc hoàn chỉnh Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng Trang 51 Một số nội dung mặt cầu chương trình THPT TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa, sách tập nâng cao 12 (2015), NXB Giáo Dục Việt Nam Tài liệu chun tốn Hình học 12 (2012), NXB Giáo Dục Việt Nam Các đề thi Đại học năm 2017 Bộ Giáo Dục Đào Tạo Viêt Nam Các đề thi thử Đại học trƣờng THPT Việt Nam Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản Sinh viên: Trương Thị Minh Hoàng Trang 52 ... Hoàng Trang 32 Một số nội dung mặt cầu chương trình THPT PHẦN 3: MẶT CẦU TRONG TỌA ĐỘ OXYZ I PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU Trong hệ trục tọa độ , mặt cầu tâm I  a, b, c  , bán kính R có phƣơng trình là:... Trang Một số nội dung mặt cầu chương trình THPT PHẦN 2: MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN I MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH ĐA DIỆN Dƣới ta trình bày tiêu chuẩn để hình chóp hình lăng trụ nội tiếp mặt cầu cách... Minh Hoàng Trang 25 Một số nội dung mặt cầu chương trình THPT V CÁC BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU HAY GẶP TRONG CHƢƠNG TRÌNH THPT Dƣới đây, ta trình bày cách xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình