Chuỗi số và sự hội tụ của chuỗi số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THANH THU CHUỖI SỐ VÀ SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn khoa học TS LÊ HỒNG TRÍ Đà Nẵng, N˚ am 2018 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hồng Trí LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy Lê Hồng Trí - người tận tình hướng dẫn để em hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa toán, Đại học Đà Nẵng dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Đà Nẵng, tháng 05 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Thu SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu Trang ii Mục lục CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA CHUỖI SỐ v 1.1 Các định nghĩa chuỗi số v 1.2 Một số tính chất chuỗi số vii SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ DƯƠNG xi 2.1 Các dấu hiệu so sánh chuỗi số dương xi 2.2 Các dấu hiệu hội tụ chuỗi dương xiv SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ CÓ DẤU BẤT KỲ xxv 3.1 Dấu hiệu Leibnitz xxv 3.2 Dấu hiệu Dirichlet xxvii 3.3 Sự hội tụ tuyệt đối bán hội tụ xxix iii Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hồng Trí LỜI MỞ ĐẦU Trong khóa luận em trình bày sơ lược lý thuyết chuỗi số, dấu hiệu để xét hội tụ chuỗi Bố cục khóa luận gồm chương: Chương khóa luận hệ thống lại định nghĩa, tính chất cớ chuỗi số Chương khóa luận giới thiệu chuỗi số dương dấu hiệu tính chất để xét hội tụ, phân kỳ chuỗi dương, ví dụ minh họa Chương khóa luận giới thiệu định lý để xét hội tụ chuỗi có dấu Do thời gian thực khơng nhiều, kiến thức hạn chế nên làm khóa luận khơng tránh khỏi hạn chế Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu Trang iv Chương CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA CHUỖI SỐ Chương trình bày số lý thuyết chuỗi số định nghĩa chuỗi số tính chất chuỗi số để phục vụ cho việc chứng minh chương 1.1 Các định nghĩa chuỗi số Định nghĩa Cho {un } dãy số thực S1 = u1 , S2 = u1 + u2 , Sn = u1 + u2 + + un : gọi tổng riêng thứ n Khi đó: u1 + u2 + + un + : gọi chuỗi số ∞ n=1 un Kí hiệu: · ∞ n=1 un gọi hội tụ lim Sn số thực S = lim Sn gọi tổng · n→∞ ∞ n=1 un n→∞ ∞ n=1 un ∞ n=1 un = S gọi phân kỳ lim Sn = ∞ lim Sn không tồn n→∞ n→∞ Ví dụ ∞ n n=0 q kí hiệu: = + q + q + + q n + v Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hồng Trí Gọi Sn tổng riêng thứ n ∞ n n=0 q − q n+1 Với q = ta có Sn = + q + + q = 1−q 1 • Nếu |q| < lim Sn = , ∞ qn = n=0 n→∞ 1−q 1−q • Nếu |q| > lim Sn = +∞ chuỗi cho phân kỳ n n→∞ Với q = ta có Sn = n + lim Sn = +∞ chuỗi cho n→∞ phân kỳ Với q = −1 chuỗi cho phân kỳ khơng tồn giới hạn dãy n chẵn Sn = n lẻ Như chuỗi số ∞ n n=1 q hội tụ |q| < Ví dụ Xét hội tụ ∞ n=1 n2 1 S = + + + n n2 22 n2 1 Xét lim Sn = lim (1 + + + ) n→∞ n→∞ n Sn+1 = Sn + ≥ Sn , ∀n ∈ N (n + 1)2 ⇒ {Sn } tăng 1 1 Sn = + + + ≤ + + + , ∀n ≥ 2 n 1.2 n(n − 1) 1 1 1 = + − + − + + − = − ≤ 2, ∀n ≥ 2 n−1 n n ⇒ {Sn } bị chặn ⇒ lim Sn = α ∈ R ⇒ ∞ hội tụ n=1 n→∞ n2 Tổng riêng thứ n ∞ n=1 Ví dụ Xét hội tụ ∞ n=1 SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu n Trang vi Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hồng Trí 1 Sn = + + + n n ∀n0 ∈ N, ∃n = 2n0 ≥ n0 , chọn p = n0 ∈ N ⇒ |Sn+p − Sn | = 1 n0 1 |S2n0 − Sn0 | = + + + ≥ = = ε0 n0 + n0 + 2n0 2n0 ⇒ {Sn } không dãy Cauchy ⇒ lim Sn không tồn ⇒ ∞ phân kỳ n=1 n→∞ n Tổng riêng thứ n 1.2 ∞ n=1 Một số tính chất chuỗi số Định lý 1.2.1 Nếu ∞ n=1 un hội tụ lim un = n→∞ Chứng minh Giả sử ∞ n=1 un hội tụ Sn tổng riêng thứ n ⇒ lim Sn = α ∈ R n→∞ ⇒ lim Sn−1 = α n→∞ ∞ n=1 un ∈ R ⇒ lim (Sn − Sn−1 ) = α − α = (đpcm) n→∞ Ví dụ − n+1 ) 2n + Ta viết số hạng tổng quát chuỗi dạng 2n ∞ n=1 ( Xét hội tụ chuỗi un = 2n−1 2n+1 = 1− n+1 2n+1 = 1− 2n+1 n+1 −2(n+1) − 2n+1 2n+1 Do lim un = lim ( n→∞ n→∞ 2n − n+1 ) = e−1 = 2n + Vậy chuỗi cho phân kỳ SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu Trang vii Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hồng Trí Định lý 1.2.2 ∞ n=1 un hội tụ ⇔ ∞ m=n+1 um ∀n ∈ N hội tụ Chứng minh ∞ m=n+1 um (⇒) ∀n ∈ N, gọi Vk tổng riêng thứ k ⇒ Vk = un+1 + un+2 + + un+k Gọi Sn+k tổng riêng thứ n + k ∞ n=1 un Lúc có Vk + Sn = Sn+k ⇒ Vk = Sn+k − Sn Do ∞ n=1 un hội tụ ⇒ lim Sn+k = α k→∞ ⇒ lim Vk = α − Sn ∈ R, ∀n ∈ N ∀n ∈ N k→∞ ⇒ ∞ m=n+1 un hội tụ (⇐) Do ∞ m=n+1 um hội ⇒ ∞ n=2 un hội tụ tụ ∀n ∈ N Gọi Sn tổng riêng thứ n ∞ n=1 un Vn tổng riêng thứ n ∞ n=2 un ⇒ lim Vn = α n→∞ ∈ R Vn = u2 + u3 + + un Sn = u1 + u2 + + un ⇒ Sn = Vn + u1 ⇒ lim Sn = α + u1 ⇒ n→∞ ∞ n=1 un hội tụ ·Dãy Cauchy:{un } gọi dãy Cauchy ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N cho ∀n ≥ n0 , ∀p ∈ N |un+p − un | < ε SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu Trang viii Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hồng Trí Định lý 1.2.3 Tiêu chuẩn Cauchy hội tụ chuỗi số ∞ n=1 un hội tụ ⇔∀ε > tồn n0 ∈ N, cho ∀n ≥ n0 , ∀p ∈ N |un+1 + un+2 + + un+p | < ε Chứng minh Gọi Sn dãy tổng riêng thứ n ∞ n=1 un hội tụ ⇔ lim Sn = α n→∞ ∞ n=1 un ∈ R ⇔ {Sn } dãy Cauchy ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N cho ∀n ≥ n0 |Sn+p − Sn | < ε ⇔ ∀ε > tồn n0 ∈ N, cho ∀n ≥ n0 , ∀p ∈ N |un+1 + un+2 + + un+p | < ε Hệ 1.2.4 ∞ n=1 un phân kỳ ⇔ ∃ε > cho ∀n0 ∈ N, tồn n ≥ n0 p ∈ N để |un+1 + un+2 + + un+p | > ε Ví dụ sin nx 2n Vì với ε > cho trước, tồn n0 = [log2 ( ) + 1] cho với ε n > n0 p ∈ N ta có Xét hội tụ chuỗi ∞ n=1 1 =ε < < 2n 2n0 2log2 ( ε ) sin(n + 1)x 1 sin(n + p)x 1 < + + ( + + ) = (1 − ) 2n+1 2n+p 2n 2p 2n 2p 1 6k−2 + 6k−1 k 6k−2 > − 6k với n0 , ta chọn n = 3k > n0 với p = 3k ta có |un+1 + + un+p | = |S6k − S3k | > ε = Theo tiêu chuẩn Cauchy, chuỗi cho phân kỳ Định lý 1.2.5 Cho ∞ n=1 an ; ∀α, β ∈ R ∞ n=1 bn hội tụ ∞ n=1 (αan + βbn ) có tổng A, B Khi đó, hội tụ có tổng αA + βB Chứng minh Đặt An = n k=1 ak ; n k=1 bk ∞ n=1 (αan Bn = Gọi Sn tổng riêng thứ n + βbn ) ⇒ Sn = (αa1 + βb1 ) + (αa2 + βb2 ) + + (αan + βbn ) = α(a1 + a2 + + an ) + β(b1 + b2 + + bn ) = αAn + βBn Do ∞ n=1 an , ∞ n=1 bn hội tụ ⇒ lim An = A ∈ R, lim Bn = B ∈ R n→∞ n→∞ ⇒ lim (αAn + βBn ) = αAn + βBn ∈ R n→∞ ⇒ ∞ n=1 (αan + βbn ) hội tụ có tổng αA + βB SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu Trang x Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hồng Trí an+1 chuỗi hội tụ phân kỳ Đặc biệt lim =1 n→∞ an an+1 đồng thời ≥ 1, ∀n ≥ n0 chuỗi ∞ n=1 an phân kỳ an+1 ≥ an ≥ an ≥ an0 tức an không dần n → ∞ Đinh lý 2.2.4 Dấu hiệu Raabe ∞ n=1 an , Cho chuỗi số dương giả sử tồn giới hạn hữu hạn hay vô hạn lim Rn = lim n.( n→∞ n→∞ an − 1) = R an+1 Khi đó: Nếu R > chuỗi cho hội tụ Nếu R < chuỗi cho phân kỳ Nếu R = Rn ≤ 1, ∀n ≥ n0 chuỗi cho phân kỳ Ví dụ 17 Xét hội tụ ∞ n=1 n! , (α > 0) (α + 1) (α + n) Ta có n Rn = n.( aan+1 − 1) = n = n.( α+n+1 n+1 − 1) = n! (α+1) (α+n) (n+1)! (α+1) (α+n)(α+n+1) −1 nα n+1 Suy lim Rn = α n→∞ Vậy theo dấu hiệu Raabe, α ∈ (0; 1] chuỗi phân kỳ, cịn α > chuỗi hội tụ Ví dụ 18 Xét hội tụ chuỗi SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu ∞ n=1 (2n − 1)!! (2n − 1)!! = (2n)!! 2n + Trang xx Khóa luận tốt nghiệp 1.3.5 (2n − 1), GVHD: TS Lê Hồng Trí (2n)!! = 2.4.6 2n Ta có Rn = n (6n + 5)n (2n + 2)(2n + 3) an −1 = −1 =n an+1 (2n + 1)! (2n + 1)2 Do n(6n + 5) = >1 n→∞ (2n + 1)2 lim Rn = lim n→∞ Theo dấu hiệu Raabe chuỗi cho hội tụ Định lý 2.2.5 Dấu hiệu Gauss an µ θn = λ + + 1+ε an+1 n n Trong ε > 0, θn đại lượng bị chặn Khi đó, Cho chuỗi số dương ∞ n=1 an , giả sử Nếu λ > chuỗi hội tụ Nếu λ < chuỗi phân kỳ Nếu λ = µ > chuỗi hội tụ Nếu λ = µ ≤ chuỗi phân kỳ Ví dụ 19 Xét hội tụ chuỗi − 1)!! p ] , p tham số (2n)!! (2n)!! = 2.4.6 2n ∞ (2n n=1 [ (2n − 1)!! = 1.3.5 (2n − 1), Ta có an (2n − 1)!! = an+1 (2n)!! p (2n + 2)!! (2n + 1)!! p = 1+ 2n + p Theo khai triển Taylor (1 + x)p = + px + SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu p(p − 1) x + 0(x2 ), ∀|x| < Trang xxi Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hồng Trí Vậy ta có: 1+ 2n + p =1+ p p(p − 1) + ) + 0( 2n + 2(2n + 1)2 n2 Theo dấu hiệu Gauss p > nên chuỗi cho hội tụ p Nếu p ≤ µ = ≤ nên chuỗi cho phân kỳ Định lý 2.2.6 Nếu p > µ = Giả sử {an } đơn điệu giảm an ≥ 0, ∀n ∈ N Khi đó, ⇔ ∞ k k=1 a2k ∞ n=1 an hội tụ hội tụ Chứng minh (⇐) Giả sử ∞ k k=1 a2k hội tụ Gọi Sn tổng riêng thứ n ∞ n=1 an Vì Sn+1 = Sn + an+1 ≥ Sn , ∀n ∈ N ⇒ {Sn } đơn điệu tăng ⇒ Sn ≤ S2n −1 (vì 2n − ≥ n, ∀n ∈ N) Do tính chất đơn điệu giảm {an } 2k a2k ≥ a2k + a2k +1 + + a2k+1 −1 2 a4 ≥ a4 + a5 + a6 + a7 2a2 ≥ a2 + a3 Với ∀n ∈ N Sn ≤ S2n+1 −1 = a1 + (a2 + a3 ) + (a4 + a5 + a6 + a7 ) + +(a2n + + a2n+1 −1 ) ≤ a1 + 2a2 + 22 a4 + + 2n a2n ≤ a1 + 2a2 + 22 a4 + + 2n a2n + 2n+1 a2n+1 SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu Trang xxii Khóa luận tốt nghiệp ⇒ lim Sn ≤ lim ( n→∞ p→∞ GVHD: TS Lê Hồng Trí n+p k k=0 a2k ) = B (vì ∞ k k=1 a2k hội tụ) ⇒ {Sn } bị chặn ⇒ lim Sn = α ∈ N ⇒ n→∞ ∞ n=1 an hội tụ (⇒) Gọi tk tổng riêng thứ k chuỗi ∞ k k=1 a2k ⇒ tk = a1 + 2a2 + 4a4 + + 2k a2k tk+1 = tk + 2k+1 a2k+1 ≥ tk , ∀k ∈ N ⇒ {tk } đơn điệu tăng ∞ n=1 an Do hội tụ có tổng A tk = a1 + 2a2 + 4a4 + + 2k a2k a1 ≤ a1 2a2 ≤ a1 + a2 4a4 ≤ (a2 + a3 + a4 ) + a3 = (a3 + a4 ) + (a2 + a3 ) 8a8 ≤ (a4 + a5 + a6 + a7 + a8 ) + (a5 + a6 + a7 ) = (a5 + a6 + a7 + a8 ) + (a4 + a5 + a6 + a7 ) 2k a2k ≤ (a2k−1 + a2k−1 +1 + + a2k ) + (a2k−1 + a2k−1 +1 + + a2k −1 ) ⇒ tk ≤ S2k + S2k −1 ≤ 2.S2k ≤ 2.S2k +p , ∀p ∈ N ⇒ lim tk ≤ lim 2S2k +p p→∞ p→∞ ⇒ tk ≤ 2A, ∀k ∈ N ⇒ {tk } bị chặn ⇒ lim tk = α ∈ R ⇒ k→∞ ∞ k k=1 a2k hội tụ Ví dụ 20 Xét hội tụ chuỗi SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu ∞ n=1 nα Trang xxiii Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hồng Trí 1 Giả sử α > 0, { α } đơn điệu giảm, α ≥ 0, ∀n ∈ N n n 1 ∞ ∞ k hội tụ n=1 α hội tụ ⇔ k=1 n (2k )α k(1−α) 1−α k k ⇔ ∞ = ∞ ) = ∞ k=1 k=1 (2 k=1 q Chuỗi cho phân kỳ |q|≥ Chuỗi hội tụ |q| < ⇔ 21−α < ⇔ − α < ⇔ α > SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu Trang xxiv Chương SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ CĨ DẤU BẤT KỲ Chương trình bày khái niệm chuỗi hội tụ tuyệt đối bán hội tụ định lý để xét hội chuỗi có dấu 3.1 Dấu hiệu Leibnitz Định lý 3.1.1 Dấu hiệu Leibnitz Nếu dãy {an } giảm lim an = chuỗi n→∞ ∞ n−1 n=1 (−1) · an hội tụ Chứng minh Do dãy {an } giảm dần nên an ≥ 0, ∀n ∈ N∗ ta có A2m+2 = A2m + (a2m+1 − a2m+2 ) ≥ A2m Ngoài A2m = a1 − [(a2 − a3 ) + + (a2m−2 − a2m−1 ) + a2m ] < a1 Vậy {A2m } dãy tăng bị chặn a1 ∃ lim A2m = A m→∞ Mặt khác A2m+1 = A2m + a2m+1 mà lim a2m+1 = nên m→∞ lim A2m+1 = lim A2m + lim a2m+1 = A m→∞ (1) m→∞ m→∞ Vậy từ (1) (2) suy lim An = A tức chuỗi n→∞ xxv (2) ∞ n−1 · an n=1 (−1) hội Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hồng Trí tụ Ví dụ 21 (−1)n−1 Xét hội tụ chuỗi n Dễ thấy an = dãy giảm lim an = n→∞ n Theo tiêu chuẩn Leibnitz ta có chuỗi cho hội tụ ∞ n=1 Ví dụ 22 + (−1)n Xét hội tụ chuỗi n + (−1)n Ta có an = lim an = dãy không đơn điệu giảm, n→∞ n không áp dụng dấu hiệu Leibnitz ∞ n−1 (−1) n=1 Dễ thấy ∞ (−1) n=1 Khi n−1 + (−1)n = n ∞ n−1 n=1 (−1) ∞ ∞ (−1) n=1 n−1 − n n=1 n hội tụ theo dấu hiệu Leibnitz, chuỗi n phân kỳ Do chuỗi cho phân kỳ ∞ n=1 n Ví dụ 23 (−1)n−1 n Xét hội tụ chuỗi n2 + n + n Xét un = ≥ 0, ∀n ∈ N n +n+1 n ⇒ lim un = lim =0 n→∞ n→∞ n + n + x ; x ∈ [1; +∞) Xét f (x) = x +x+1 −x2 + ⇒ f (x) = ≤ 0, ∀x ∈ [1; +∞) (x + x + 1)2 ⇒ f hàm số giảm ∞ n=1 ⇒ {un } đơn điệu giảm Theo định lý Leibnitz ⇒ SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu ∞ n=1 (−1)n−1 n hội tụ n2 + n + Trang xxvi Khóa luận tốt nghiệp 3.2 GVHD: TS Lê Hồng Trí Dấu hiệu Dirichlet Định lý 3.2.1 Dấu hiệu Dirichlet Giả sử chuỗi Chuỗi ∞ n=1 an bn ∞ n=1 an thỏa mãn đồng thời điều kiện có tổng riêng bị chặn, tức tồn M > cho |An | = |a1 + + an | ≤ M, ∀n ∈ N∗ Dãy {bn } đơn điệu lim bn = n→∞ Khi chuỗi ∞ n=1 an bn hội tụ Chứng minh Ta xem dãy {bn } giảm khơng ta xét dãy {−bn } Do lim bn = nên ∀ε > 0, ∃n0 > cho ∀n > n0 ta có ≤ ε Khi ∀p > bn < 2M n→∞ |an+1 bn+1 + an+2 bn+2 + + an+p bn+p | = |(An+1 − An )bn+1 + (An+2 − An+1 )bn+2 + + (An+p − An+p−1 )bn+p | = | − An bn+1 + An+1 (bn+1 − bn+2 ) + + An+p−1 (bn+p−1 − bn+p ) + An+p bn+p | ≤ M.|bn+1 + (bn+1 − bn+2 ) + + ε (bn+p−1 − bn+p ) + bn+p | = 2.M.bn+1 < 2.M 2.M =ε Vậy với ε > tồn n0 > cho ∀n > n0 , ∀p > ta có |an+1 bn+1 + + an+p bn+p | < ε Theo tiêu chuẩn Cauchy chuỗi SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu ∞ n=1 an bn hội tụ Trang xxvii Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hồng Trí Ví dụ 24 cosnx , (α > 0) nα 1 Nếu x = 2mπ, chuỗi có dạng ∞ n=1 α hội tụ α > 1, phân kỳ n α ≤ 1 Nếu x = 2mπ, đặt an = cos nx, bn = α n ∞ n=1 Xét hội tụ chuỗi n An = = = cos kx = sin x2 n cos kx sin x2 k=1 k=1 n x sin(2k + 1) − sin(2k sin x2 k=1 x x sin x2 sin(2n + 1) − sin − 1) x2 ∗ x , ∀n ∈ N | sin | Mặt khác, dễ thấy dãy bn = α đơn điệu giảm dần n cosnx Vậy theo dấu hiệu Dirichlet chuỗi ∞ hội tụ n=1 nα Do |An | ≤ Định lý 3.2.2 Dấu hiệu Abel ∞ n=1 an bn Giả sử chuỗi ∞ n=1 an Chuỗi thỏa mãn đồng thời điều kiện hội tụ Dãy{bn } đơn điệu bị chặn Khi chuỗi ∞ n=1 an bn hội tụ Chứng minh Do ∞ n=1 an hội tụ nên dãy tổng riêng An bị chặn Dãy {bn } đơn điệu bị chặn nên tồn lim bn = b n→∞ Đặt αn = b − bn , {αn } dãy đơn điệu lim αn = Theo dấu hiệu Dirichlet chuỗi SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu ∞ n=1 an αn n→∞ hội tụ Trang xxviii Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hồng Trí ∞ n=1 ban Mặt khác, chuỗi Do chuỗi ∞ n=1 an bn =b ∞ n=1 an ∞ n=1 an (b = hội tụ − αn ) = ∞ n=1 ban − ∞ n=1 αn an hội tụ Ví dụ 25 √ n sin(π n2 + 1) n+1 √ Trước hết ta chứng minh chuỗi ∞ sin(π n2 + 1) hội tụ n=1 Xét hội tụ chuỗi ∞ n=1 Thật √ √ π sin(π n2 + 1) = (−1)n sin π( n2 + − n) = (−1)n sin √ n2 + + n π Dễ thấy dãy an = sin √ đơn điệu giảm dần 0, theo dấu hiệu n2√+ π ∞ n + 1) = √ n (−1) sin Leibnitz ta có ∞ sin(π hội n=1 n=1 n2 + + n tụ n đơn điệu tăng bị chặn Mặt khác, dãy bn = n+1 √ n n2 + 1) hội tụ Theo dấu hiệu Abel ta có chuỗi ∞ sin(π n=1 n+1 3.3 Sự hội tụ tuyệt đối bán hội tụ Định nghĩa 3.3.1 Chuỗi ∞ n=1 |un | ∞ n=1 un gọi hội tụ tuyệt đối chuỗi hội tụ Định lý 3.3.2 Nếu ∞ n=1 un hội tụ tuyệt đối ∞ n=1 un hội tụ Chứng minh Gọi Sn tổng riêng thứ n ∞ n=1 un ⇒ Sn = u1 + u2 + + un Gọi Vn tổng riêng thứ n ∞ n=1 |un | ⇒ Vn = |u1 | + |u2 | + + |un | SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu Trang xxix Khóa luận tốt nghiệp Do ∞ n=1 |un | GVHD: TS Lê Hoàng Trí hội tụ ⇒ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N cho ∀n ≥ n0 , ∀ ∈ N ||un+1 | + |un+2 | + + |un+p || < ε ⇒ |un+1 + un+2 + + un+p | ≤ |un+1 | + |un+2 | + + |un+p | < ε ⇒ ∞ n=1 un hội tụ Chú ý Điều ngược lại định lý không Ví dụ: ∞ n=1 hội tụ theo dấu hiệu Leibnitz Tuy nhiên ∞ n−1 n=1 (−1) (−1)n−1 = n ∞ n=1 n phân kỳ Định nghĩa 3.3.3 Nếu chuỗi ∞ n=1 an ∞ n=1 an hội tụ ∞ n=1 |an | phân kỳ gọi bán hội tụ hay hội tụ có điều kiện Ví dụ 26 n (−1)n ∞ (−1) √ bán hội tụ Thật vậy, chuỗi n=1 √ hội tụ Chuỗi n n theo dấu hiệu Leibnitz chuỗi ∞ n=1 √ phân kỳ có dãy tổng n √ riêng lớn n ∞ n=1 Ví dụ 27 Xét hội tụ chuỗi Ta có ∞ n=1 Có chuỗi Vậy chuỗi ∞ n=1 (−1)n cos( π (−1)n cos( ) n! = n π ) n! n2 π cos( ) ∞ n! n=1 n π hội tụ, dãy b = cos( ) đơn điệu bị chặn n n2 n! π (−1)n cos( ) ∞ n! hội tụ n=1 n2 ∞ n=1 SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu Trang xxx n Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hồng Trí Ví dụ 28 ∞ n=1 an Cho ∞ n=1 hội tụ Chứng minh an hội tụ n |an | ≥ 0, ∀n ∈ N n = a2n ≥ 0, ∀n ∈ N ∞ ∞ v n n=1 n=1 hội tụ n ⇒ ∞ n=1 (vn + ) hội tụ n 2|an | βn = a2n + ≥ ≥ 0, ∀n ∈ N n n ∞ 2|an | Do ∞ hội tụ n=1 βn hội tụ ⇒ n=1 n |an | hội tụ ⇒ ∞ n=1 n an ⇒ ∞ hôi tụ n=1 n Thật vậy: Cho un = Định lý 3.3.4 Giả sử đối Khi ∞ ∞ n=0 an = A, n=0 bn = B, ∞ n=0 cn hội tụ có tổng ∞ n=0 an ∞ n=0 bn hội tụ tuyệt A.B, cn = n i=0 an−i bi Chứng minh Gọi An , Bn , Cn tổng riêng ∞ n=0 an , ∞ n=0 bn , ∞ n=0 cn Đặt βn = Bn − B ⇒ lim βn = lim (Bn − B) = n→∞ n→∞ ∞ Cn = cn = c0 + c1 + + cn n=0 = a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 ) + + (a0 bn + a1 bn−1 + + an b0 ) = a0 Bn + a1 Bn−1 + + an B0 = a0 (B + βn ) + a1 (B + βn−1 ) + + an (B + β0 ) = An B + a0 βn + a1 βn−1 + + an β0 Do ∞ n=0 an Đặt α = hội tụ tuyệt đối nên ∞ n=0 |an | ∞ n=0 |an | hội tụ ∀ε > 0, lim βn = nên tồn n0 ∈ N, SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu n→∞ Trang xxxi Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hồng Trí cho∀n ≥ n0 |βn | < ε 4(α + 1) |γn | = |(an β0 + + an−n0 βn0 ) + (an−n0 −1 βn0 +1 + + a0 βn )| ≤ |an β0 + + an−n0 βn0 | + |an−n0 −1 βn0 +1 + + a0 βn | ≤ |an β0 + + an−n0 βn0 | + |an−n0 −1 ||βn0 +1 | + + |a0 ||βn | ε ε + + |a0 | 4(α+1) ≤ |an β0 + + an−n0 βn0 | + |an−n0 −1 | 4(α+1) ε = |an β0 + + an−n0 βn0 | + (|a0 | + |a1 | + + |an−n0 −1 |) 4(α+1) ε.α ≤ |an β0 + + an−n0 βn0 | + 4(α + 1) ε ≤ |an β0 + + an−n0 βn0 | + Đặt M = |β0 | + |β1 | + + |βn0 | + > Do ∞ n=0 an hội tụ ⇒ lim an = n→∈ ε ε Do > ⇒ tồn n1 ∈ N, cho ∀n ≥ n1 |an | < 4M 4M Chọn n2 = n0 + n1 + ∈ N ⇒ n2 − n0 > n1 Khi đó, ∀n ≥ n2 ⇒ n − n0 > n2 − n0 > n1 |γn | ≤ |an ||β0 | + + |an−n0 ||βn0 | + 4ε < ε 4M (|β0 | + + |βn0 |) + ε < ε 4M M + ε = ε