Nghiên cứu về hệ mô tả và ứng dụng

ĐẠIăHỌCăĐÀăN NG TRƯỜNGăĐẠIăHỌCăSƯăPHẠMă ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ DƯƠNGăTHỊăTHANH NGHIÊNăCỨUăVỀăHỆăMỌăTẢăVÀăỨNGăDỤNG LUẬNăV NăTHẠCăSĨăTOÁNăHỌC ĐàăN ngă- N mă2019 ĐẠIăHỌCăĐÀăN NG TRƯỜNGăĐẠIăHỌCăSƯăPHẠMă ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ DƯƠNGăTHỊăTHANH NGHIÊNăCỨUăVỀăHỆăMỌăTẢăVÀăỨNGăDỤNG Chuyên ngành: Tốn giải tích Mưăsố: 84.6.01.02 LUẬNăV NăTHẠCăSĨăTỐNăHỌC Ng iăh ngăd năkhoaăh c TS.ăLÊăHẢIăTRUNG ĐàăN ngă– N mă2019 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan Luận văn cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn trực tiếp TS Lê Hải Trung Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Đà Nẵng, tháng 05 năm 2019 Tác giả Dương Thị Thanh Mục lục MỞ ĐẦU Dẫn nhập hệ mô tả 1.1 1.2 Các khái niệm Ví dụ Tính điều khiển hệ mô tả 11 2.1 2.2 Hệ phương trình vi phân đại số với hệ số Hệ phương trình vi phân đại số với hệ số biến thiên 13 19 2.3 Hệ phi tuyến 32 Tính quy hóa hệ mơ tả 38 3.1 3.2 Hệ mơ tả tuyến tính với hệ số số Hệ mơ tả tuyến tính với hệ số biến thiên 39 43 3.3 Hệ mô tả phi tuyến 47 Tài liệu tham khảo 52 MỞ ĐẦU Lý lựa chọn đề tài Lý thuyết điều khiển hệ mô tả đóng vai trị quan trọng phát triển khoa học kỹ thuật Lĩnh vực hữu khắp nơi từ hệ thống phi thuyền không gian, hệ thống điều khiển tên lửa, máy bay không người lái, người máy, tay máy quy trình sản xuất đại, đời sống hàng ngày: điều khiển nhiệt độ, độ ẩm Vì vậy, việc nghiên cứu lý thuyết điều khiển hệ mô tả vấn đề cần thiết cần quan tâm Lĩnh vực Lý thuyết điều khiển thu hút nhiều quan tâm nhà toán học giới, kể đến như: S.P Zubova, Y.V Pakornưi, E.V Raeskaya, A Ailon, Lena Scholz Trong công trình tác giả nêu trên, mơ hình điều khiển nghiên cứu mô tả dạng hệ phương trình vi phân đại số có dạng: x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t) (1) x(0) = a, x(T ) = b (2) Ax(t) ˙ = Bx(t) + Du(t), (3) với điều kiện đầu : hệ mơ tả có dạng: x(t) gọi hàm trạng thái, u(t) gọi hàm điều khiển Các ma trận A, B, D hàm trạng thái điều khiển thuộc không gian tương ứng (với hàm ý thực phép nhân ma trận với nhau) Với mục đích tìm hiểu sâu hệ (1) (2) đồng thời nghiên cứu thêm dạng hệ điều khiển mô tả hệ số dạng: E x(t) ˙ = Ax(t) + f (t) (4) hệ điều khiển mô tả với hệ số biến thiên dạng: E(t)x(t) ˙ = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f (t) y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) + g(t), (5) x(t0 ) = x0 , với gợi ý từ TS Lê Hải Trung, định chọn đề tài : “Nghiên cứu hệ mô tả ứng dụng ” cho luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu - Hệ thống lại kiến thức tính giải phương trình, hệ phương trình vi phân đại số tài liệu tham khảo khác - Nghiên cứu hệ mơ tả tuyến tính, hệ mơ tả phi tuyến - Ứng dụng lý thuyết điều khiển hệ mô tả Đối tượng nghiên cứu Luận văn nghiên cứu hệ điều khiển mô tả hệ số dạng: E x(t) ˙ = Ax(t) + f (t) hệ điều khiển mô tả với hệ số biến thiên dạng: E(t)x(t) ˙ = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f (t) y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) + g(t), x(t0 ) = x0 Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu hệ E x(t) ˙ = Ax(t) + f (t) E(t)x(t) ˙ = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f (t) y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) + g(t), x(t0 ) = x0 không gian hàm biến thực Phương pháp nghiên cứu Các kiến thức liên quan đến việc thực luận văn thuộc lĩnh vực : Đại số tuyến tính, Giải tích, Lý thuyết phương trình vi phân, Lý thuyết hệ mô tả Chương Dẫn nhập hệ mô tả 1.1 Các khái niệm Một hệ điều khiển viết dạng = F (t, x, x, ˙ u), x(t0 ) = x0 y = G(t, x, u), (1.1) (1.2) F : I × Dx × Dx˙ × Du → Rl G : I × Dx × Du → Rp hàm liên tục, Dx , Dx˙ ⊆ Rn Du ⊆ Rm tập mở, x0 ∈ Rn I = [t0 , tf ] ⊂ R Phương trình (1.1) gọi phương trình trạng thái (1.2) gọi phương trình đầu Hàm khả vi liên tục x : I → Rn gọi hàm trạng thái hệ, u : I → Rm hàm đầu vào y : I → Rp hàm đầu hệ Ta đưa vào kí hiệu sau õy d d2 x(t) = x(t), xă(t) = x(t), dt dt đạo hàm x theo t F,x := ∂ ∂ F (t, x, x, ˙ u), F,x˙ := F (t, x, x, ˙ u) ∂x ∂ x˙ cho đạo hàm riêng x theo t Hình 1.1: Mơ hình cho Hệ Điều Khiển Mô Tả Nếu F,x˙ không thay đổi, phương trình trạng thái (1.1) biểu diễn lại phương trình vi phân thường (ODE): x˙ = φ(t, x, u), cách sử dụng định lý hàm ẩn Trong trường hợp này, (1.1) gọi phương trình vi phân đại số (DAE) Trong thực tiễn, hệ (1.1) (1.2) gọi hệ mô tả Các hệ thống (1.1) (1.2) phát sinh kỹ thuật khí, điện hóa học 1.2 Ví dụ Ví dụ 1.1 (Con lắc xe đẩy hàng) Xét lắc cứng có chiều dài l với điểm hội tụ m2 gắn vào xe đẩy hàng có khối lượng m1 di chuyển theo phương ngang Tình mơ tả hình 1.2 Chúng ta có kí hiệu sau đây: m1 khối lượng xe đẩy m2 khối lượng lắc l chiều dài lắc g trọng lực x1 vị trí ngang giỏ hàng (x2 , x3 ) vị trí khối lượng m2 u ngoại lực tác dụng lên xe Hệ 3.1 Để số mũ µ ˆ xác định rõ hệ (2.11) dạng trạng thái để đại lượng φ ω (như Định lý 2.33) không đổi I Tồn phản hồi tính trạng u = F (t)x + w cho hệ E(t)x˙ = (A(t) + B(t)F (t))x(t) + B(t)w + f (t) (3.5) không thay đổi (là hệ độc lập, nghĩa w ≡ 0) vˆ = dˆ + a ˆ = n Chứng minh Vì phản hồi tính trạng số hạng tỷ lệ thức viết thành biến đổi tương đương cặp (ε, A) dạng trạng thái, áp dụng phản hồi hệ gốc (1.5) sau tính tốn hệ thống rút gọn tính tốn hệ rút gọn ban đầu sau áp dụng phản hồi Theo đó, hệ vịng kín (3.5) khơng thay đổi hệ độc lập công thức rút gọn (2.12) với phản hồi chèn vào không thay đổi không hệ độc lập Theo giả định Định lý 2.33, việc xét hệ theo mẫu đủ x˙ 0 = A13 x3 + A14 x4 + B12 u2 + f1 , = x2 + B22 u2 + f2 , = A31 x1 + u2 + f3 , = f4 ˆ (d) (ˆ a − φ) (φ) (ˆ v Phương trình đầu không liên quan đến cân nhắc chúng tôi, thức đặt ω = cho x3 không xuất Đầu tiên, ta giả sử vˆ = dˆ + a ˆ = n, cho   ˆ x˙ = A14 x4 + B12 u2 + f1 , (d) x1   x =  x2  = x2 + B22 u2 + f2 , (ˆ a − φ) = A31 x1 + u1 + f3 , (φ) x4 Do x4 u1 có kích thước φ Áp dụng phản hồi tính trạng số hạng tỷ lệ thức u1 x4 − A31 x1 + w1 , = u2 w+2 có hệ vịng kín x˙ = A14 x4 + B12 u2 + f1 , = x2 + B22 w2 + f2 , = x4 + w + f , 45 ˆ (d) (ˆ a − φ), (φ) w = w1T w2T T = 0, có x˙ = A14 x4 + f1 , = x2 + f , = x4 + f , ˆ (d) (ˆ a − φ) (φ) không thay đổi không kỳ dị Trái lại, để (3.5) không thay đổi hệ độc lập với w = 0, thiết, cần vˆ = l = n = a ˆ + dˆ Hệ 3.2 Để số mũ µ ˆ xác định rõ cho hệ (2.11) dạng trạng thái để đại lượng φ ω (như Định lý 2.33) không thay đổi I Tồn phản hồi kết xuất u = F (t)y + w cho hệ vịng kín E(t)x˙ = (A(t) + B(t)F (t)C(t))x + B(t)w + f (t) + B(t)F (t)g(t) không thay đổi (là hệ độc lập) vˆ = n = a ˆ + dˆ φ = ω Chứng minh Như chứng minh Hệ 3.5 xét cơng thức rút gọn (2.14) D = thay (1.5) Giả sử vˆ = 0, n = a ˆ + dˆ φ = ω (2.14) Do đó, x4 chưa biết không xuất (2.14) u1 y1 có kích thước Sử dụng phản hồi u1 = y + w u2 = w2 , ta thu hệ vịng kín x˙ = A13 x3 + B12 w2 + f1 , = x2 + B22 w2 + f2 , = A31 x1 + y1 + w1 + f3 = A31 x1 + x3 + w1 + f3 + g1 , w1T Đối với w = w2T rank ˆ (d) (ˆ a − φ) (φ) T = hệ không thay đổi khơng mới, E1 A2  0 Idˆ   ˆ = n = rank  Iaˆ−φ  = dˆ + a A31 Iφ  46 ⇒ Để hệ vịng kín khơng thay đổi hệ độc lập Thì, vˆ = a ˆ + dˆ = n Đối với ma trận phản hồi F = φ m−φ F11 F12 F21 F22 có A + BF C  0 A13  A + BF C =  Iaˆ−φ A31 0  B12   A14  F11 F12 B   22  +  I  φ  F21 F22 Iφ   0 Iω C21 C22 0  B21 F22 C21 B12 F22 C22 A13 + B12 F12 A14   =  B22 F22 C21 I + B22 F22 C22 B22 F21  A31 + F12 C21 F12 C22 F11  ˆ (d) (ˆ a − φ) (φ) kích thước (dˆ+ a ˆ) × (dˆ+ a ˆ) Do hệ vịng kín khơng thay đổi không w =  Idˆ   B22 F22 C21 A31 + F12 C21  0  I + B22 F22 C22 B22 F21 0 F12 C22 F11 có hạng hàng đầy đủ theo điểm (khơng suy biến khúc) Điều ngụ ý ω − φ = ⇐⇒ φ = ω 3.3 Hệ mô tả phi tuyến Xét hệ ( 1.1) cho F (t, x, x, ˙ u) = x(t0 ) = x0 y − G(t, x) = cơng thức hóa hệ rút gọn tương ứng (2.16) cho Fˆ1 (t, x, x, ˙ u) = Fˆ2 (t, x, u) = y − G(t, x) = 47 x(t0 ) = x0 đạt cách áp dụng giả thiết 2.2 Bây giờ, câu hỏi là: Chúng ta tìm điều khiển phản hồi u cho tốn rút gọn khơng thay đổi không kỳ dị ? Tất nhiên, cần n = d + a Áp dụng phản hồi tính trạng u = K(t, x) dẫn đến hệ thống vịng kín Fˆ1 (t, x, x, ˙ K(t, x)) = Fˆ2 (t, x, K(t, x)) = (3.6) Hệ vịng kín khơng thay đổi khơng Fˆ1,x˙ Fˆ2,x + Fˆ2,u K,x (3.7) khơng suy biến theo điểm Vì hệ rút gọn 2.16 xác định vùng, nên đủ để đáp ứng điều kiện (3.7) vùng Do đó, ˜ giới hạn tới phản hồi tính trạng tuyến tính Kx(t) + w(t) ˜ = K,x Trong mục 2.3 thấy cho K Fˆ1,x˙ Fˆ2,x Fˆ2,u có hạng hàng đầy đủ d + a Do sử dụng E1 (t) := Fˆ1,x˙ , A2 (t) := Fˆ2,x , B2 (t) := Fˆ2,u tương tự ( 2.13), tồn ma trận phản hồi phù ˜ = K,x xảy từ Hệ 3.5 Hàm điều khiển w(t) sử hợp K dụng để thỏa mãn điều kiện ban đầu dạng ˜ (l) + w(l) (t0 ) = u(l) u(l) (t0 ) = Kx 0 l = 0, , µ + Cùng với đó, chứng minh định lý sau Định lý 3.3 Giả sử toán điều khiển (1.1) dạng tính trạng thỏa mãn giả thiết với giá trị đặc trưng µ, a, d, v để d + a = n Hơn nữa, để (µ+1) zµ,o = (t0 , x0 , u0 , , x0 (µ+1) , u0 ) ∈ Lµ Sau đó, tồn phản hồi tính trạng u = K(t, x) thỏa mãn u0 = K(t0 , x0 ) u˙ = K,t (t0 , x0 ) +K,x (t0 , x0 )x˙ cho toán rút gọn vịng kín (3.6) khơng thay đổi kỳ dị 48 Ví dụ 3.2 Xét hệ mơ tả từ Ví dụ 2.42 cho F (t, x, x, ˙ u) = x˙ =0 log(x2 ) + sin(u) dạng rút gọn Chúng ta thấy ví dụ 2.42 hệ độc lập với u(t) ≡ khơng kỳ dị Để đạt hệ vịng kín không thay đổi kỳ dị ˜ cho cần tìm K Fˆ1,x˙ Fˆ2,x + Fˆ2,u K,x khơng suy biến Ta có Fˆ1,x˙ = x12 cos(u) Fˆ2,x Fˆ2,u Tại z0,0 = (t0 , x1,0 , x2,0 , u0 , x˙ 1,0 , x˙ 2,0 , u˙ )T ∈ L0 cho z0,0 = (0, 0, 1, 0, 0, 0, 0) có Fˆ1,x˙ = , Fˆ2,x Fˆ2,u 1 ˜ = cho chọn K Fˆ1,x˙ = 1 Fˆ2,x + Fˆ2,u K,x ˜ + w(t) = x1 + w(t) Rõ ràng không suy biến z0,0 tức u(t) = Kx = u0 = u(t0 ) = x1 (t0 ) + w(t0 ) = x1,0 + w(t0 ) = w(t0 ) = u˙ = u(t ˙ ) = x˙ (t0 ) + w(t ˙ ) = x˙ 1,0 + w(t ˙ ) = w(t ˙ ) Do đó, chọn w(t) ≡ Hệ vịng lặp tương ứng cho x˙ = 0 = log(x2 ) + sin(u) không thay đổi vùng z0,0 Đối với x1 (0) = x1,0 = 0, x2 (0) = x2,0 = ta có nghiệm x1 (t) ≡ 49 x2 (t) ≡ Bây giờ, muốn xét phản hồi đầu dạng u = K(t, y), cách chèn vào tốn rút gọn (2.16) có tốn rút gọn vịng lặp kín Fˆ1 (t, x, x, ˙ K(t, G(t, x))) = Fˆ2 (t, x, K(t, G(t, x))) = Và, điều kiện Fˆ1,x˙ không suy biến (B2) Fˆ2,x + Fˆ2,u K,y G,x phải thỏa mãn Đối với y = x lại trịn trường hợp phản hồi tính trạng Hơn nữa, tiến hành Mục 3.2 hệ tuyến tính Đặt E1 := Fˆ1,x˙ , A2 := Fˆ2,x , B2 := Fˆ2,u C := G,x Chúng ta xác định đại lượng φ ω điểm (t0 , z0 , z˙0 ) cho zµ,0 ∈ Lµ Định lý 2.6 Theo cách có hệ phi tuyến tính Hệ 3.2 Hệ 3.3 Giả sử toán điều khiển (1.1) dạng trạng thái khái quát hóa sử dụng z = x T uT y T T thỏa mãn giả thiết 2.2 với giá trị đặc trưng µ, a, d, v d + a = n Hơn nữa, để φ = ω hệ (t0 , z0 , z˙0 ) chơ zµ,0 ∈ Lµ Tồn phản hồi đầu u = K(t, y) thỏa mãn u0 = K(t0 , y0 ) u ˆ0 = K,t (t0 , y0 ) + K,y (t0 , y0 )y˙ cho tốn rút gọn vịng kín khơng thay đổi không kỳ dị Chứng minh Theo giả định cho áp dụng lý thuyết tương tự tốn tuyến tính để thu ma trận phù hợp ˜ ,y cho (B2) bao hàm Thì, sử dụng phản hồi kết xuất K ˜ tuyến tính u(t) = Ky(t) + w(t), hàm điều khiển w(t) sử dụng để thỏa mãn điều kiện ban đầu cho 50 KẾT LUẬN Qua thời gian nghiên cứu, học hỏi từ số tài liệu hướng dẫn nhiệt tình TS Lê Hải Trung, tơi hồn thành luận văn với số kết đạt sau : Hệ thống hóa lại kiến thức tính giải phương trình, hệ phương trình vi phân đại số Trình bày cách có hệ thống kiến thức hệ mơ tả tuyến tính, hệ mơ tả phi tuyến Ứng dụng lý thuyết điều khiển hệ mơ tả để giải tốn thực tế cho trước liệu đầu vào Tuy nhiên, thời gian kiến thức có hạn, đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót định Kính mong nhận nhận xét ý kiến đóng góp từ quý thầy cô quý độc giả để đề tài hoàn thiện 51 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Phương Hà, Lí thuyết Điều khiển Tự động, Nxb ĐH Quốc gia, 2005 [2] Lương Văn Lăng, Cơ sở tự động, Nxb ĐH Quốc gia, 2002 [3] Nguyễn Doãn Phước, Lý thuyết Điều khiển tuyến tính, Nxb Khoa học Kỹ thuật Hà Nội, 2002 [4] Lê Đình Thịnh, Phương pháp sai phân, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004 [5] Richard C.Dorf, Robert H.Bishop Modern Control System, Tenth Edition, Pearson Prentice Hall, 2005 52 ... tính, hệ mơ tả phi tuyến - Ứng dụng lý thuyết điều khiển hệ mô tả Đối tượng nghiên cứu Luận văn nghiên cứu hệ điều khiển mô tả hệ số dạng: E x(t) ˙ = Ax(t) + f (t) hệ điều khiển mô tả với hệ số... cứu hệ mô tả ứng dụng ” cho luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu - Hệ thống lại kiến thức tính giải phương trình, hệ phương trình vi phân đại số tài liệu tham khảo khác - Nghiên cứu hệ mơ tả tuyến... số với hệ số biến thiên 13 19 2.3 Hệ phi tuyến 32 Tính quy hóa hệ mô tả 38 3.1 3.2 Hệ mô tả tuyến tính với hệ số số Hệ mơ tả tuyến tính với hệ số biến