Bài soạn HS gioi 04-05

UBND huyện Châu Thành CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO Độc lập – Tự do – Hạnh phúc  ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2004 - 2005 Môn thi : Toán Thời gian : 90 phút ( không kể thời gian phát đề ) (Học sinh không phải chép đề vào giấy thi) ĐỀ Bài 1: (4 điểm) a) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n, ta có 25n 4 + 50n 3 – n 2 – 2n chia hết cho 24. b) Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: ( ) 2 2 2 2 3 2 x x x P x x − + = − + Bài 2: (3 điểm) Cho đa thức f(x) = x 3 + ax 2 + bx + 6 a) Xác đònh a, b để f(x) chia hết cho x 2 + 3x + 2 b) Với a, b tìm được ở câu a. Chứng minh f(x) chia hết cho 6 với mọi x ∈ Z . Từ đó suy ra nghiệm của phương trình f(x) = 0. Bài 3: (3,5 điểm) Rút gọn rồi tính giá trò của biểu thức : 3 3 3 2 2 2 3a b c abc A a b c ab bc ca + + − = + + − − − với a = 2004 ; b = 2005 ; c = 2006 Bài 4: (3 điểm) Giải phương trình : 1 1 2 2 4 x x x+ + + + = Bài 5: (3,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD. Trên các cạnh AB , BC , CD , DA ta dựng về phía ngoài các hình vuông lần lượt có tâm là O 1 , O 2 , O 3 , O 4 . Chứng minh rằng: Tứ giác O 1 O 2 O 3 O 4 là hình vuông. Bài 6: (3 điểm) Cho tam giác ABC , AD là đường phân giác trong của góc A (D ∈ BC). Chứng minh rằng: AD 2 = AB. AC – DB. DC ----------HẾT---------- UBND huyện Châu Thành CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO Độc lập – Tự do – Hạnh phúc  ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Môn thi : Toán - Năm học 2004 - 2005 Bài 1: (4 điểm) a) 25n 4 + 50n 3 – n 2 – 2n = n( 25n 3 + 50 n 2 – n – 2 ) = n( n + 2 )( 25n 2 – 1 ) = n( n + 2 )24n 2 + n( n + 2 )( n 2 – 1 ) = 24n 3 ( n + 2 ) + ( n – 1 ). n( n + 1 )( n + 2 ) Biểu thức cuối cùng này có số hạng thứ nhất chia hết cho 24. Còn số hạng thứ hai có là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 1. 2. 3. 4 = 24 (2đ) b) x x P x x x x x x − + = = − = − − + − + − + 2 2 2 2 2 2 3 1 1 ( ) 2 2 1 7 2 2 ( ) 2 4 Ta thấy: P(x) nhỏ nhất khi x x− + 2 1 2 lớn nhất và x x− + 2 1 2 lớn nhất khi x x x− + = − + 2 2 1 7 2 ( ) 2 4 nhỏ nhất ; x 2 – x + 2 nhỏ nhất bằng 7 4 khi x = 1 2 (2đ) Bài 2: (3 điểm) f(x) = x 3 + 4x 2 + bx + 6 a) Phân tích g(x) = x 2 + 3x + 2 = ( x + 1 ) ( x + 2 ) f(x) M g(x) ⇔ f(x) M ( x + 1 )( x + 2 ) f a b a f a b b − = − = − =    ⇒ ⇔ ⇔    − = − = =    ( 1) 0 5 6 ( 2) 0 2 1 11 (1,5đ) b) f(x) = x 3 + 6x 2 + 11x + 6 = ( x + 1 )( x + 2 )( x + 3 ) f(x) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên f(x) M 6 Khi đó: f(x) = 0 ⇔ ( x + 1 )( x + 2 )( x + 3 ) = 0 Nghiệm của f(x) = 0 là : x = – 1 ; x= – 2 ; x= – 3 (1,5đ) Bài 3: (3,5 điểm) Áp dụng hằng đẳng thức ( a + b ) 3 = a 3 + b 3 + 3ab( a + b ) a 3 + b 3 = ( a + b )( a 2 – ab + b 2 ) a b c abc ab a b A a b c ab bc ca a b c a b a b c c ab a b c a b c ab bc ca a b c a b c ab bc ca a b c ab bc ca a b c + + − − + = + + − − −   + + + − + + − + +   = + + − − − + + + + − − − = + + − − − = + + 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( )( ) Vậy A = 2004 + 2005 + 2006 = 6015 Bài 4: (3 điểm) Giải phương trình : 1 1 2 2 4 x x x+ + + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 Đặt 0 4 4 1 1 1 1 PT (1) 2 4 4 4 2 1 1 1 1 2 4 2 4 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 (loại) 2 2 1 1 x= 2 2 4 t x x t t t t t t t t t t t t t t t = + ≥ ⇒ = −   ⇔ − + + + = − + + =  ÷     ⇔ − + + = + + = + =  ÷     + = = −   ⇔ ⇔     + = − = − −       ⇔ − −  ÷   2 2 Vậy nghiệm của PT là : 2 2x = − = − Bài 5: (3,5 điểm) Chứng minh: Tứ giác O 1 O 2 O 3 O 4 là hình vuông. 1 1 A B C D O 1 O 2 O 3 O 4 * Xét BO 1 O 2 và CO 3 O 2 Có BO 1 = CO 3 ( =1/2 đ. chéo của 2 h.vuông bằng nhau) (1) O 1 BO 2 = 90 0 + B 1 O 3 CO 2 = 90 0 +C 1 ⇒ O 1 BO 2 = O 3 CO 2 (2) B 1 = C 1 (cùng bù ABC) BO 2 = CO 2 ( = 1/2 đ. chéo hình vuông tâm O 2 ) (3) Từ (1), (2), (3) ⇒ BO 1 O 2 = CO 3 O 2 (c.g.c) ⇒ O 1 O 2 = O 2 O 3 * Chứng minh tương tự ta được : BO 1 O 2 = CO 3 O 2 =DO 3 O 4 = AO 1 O 4 ⇒ O 1 O 2 = O 2 O 3 = O 3 O 4 = O 4 O 1 - Mặt khác : O 1 O 2 O 3 = BO 2 C = 90 0 (hai đ. Chéo hình vuông) Vậy tứ giác O 1 O 2 O 3 O 4 là hình vuông. Bài 6: (3 điểm) Chứng minh rằng: AD 2 = AB. AC – DB. DC A * Trên tia AD lấy điểm E sao cho AEB = ACB ⇒ AEB ∼ ACD ( A 1 = A 2 ; C = E ) . . .( ) AB AD AB AC AD AE AD AD DE AE AC ⇒ = ⇔ = = + = AD 2 + AD.DE (1) * Ta có : DBE ∼ DAC ( D 1 = D 2 ; C = E ) . . (2) DB DE AD DE DB DC AD DC ⇒ = ⇔ = Từ (1) và (2) ⇒ AB.AC = AD 2 + DB.DC AD 2 = AB.AC – DB.DC B C E D . + + − − − với a = 2004 ; b = 2005 ; c = 2006 Bài 4: (3 điểm) Giải phương trình : 1 1 2 2 4 x x x+ + + + = Bài 5: (3,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD. Trên. b) Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: ( ) 2 2 2 2 3 2 x x x P x x − + = − + Bài 2: (3 điểm) Cho đa thức f(x) = x 3 + ax 2 + bx + 6 a) Xác đònh a, b để f(x)