Bài giảng Xử lý tín hiệu số: Phần 1 - ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Nam Định

Tập bài giảng Xử lý tín hiệu số được biên soạn cho đối tượng sinh viên cao đẳng và đại học các ngành thuộc lĩnh vực Công nghệ thông tin và Điện – Điện tử, trường Đại học Sư phạm kỹ thuật Nam Định. Nội dung phần 1 bài giảng này giúp các bạn nắm được các nội dung chính như: Tín hiệu và hệ thống rời rạc; Biểu diễn hệ thống và tín hiệu rời rạc trong miền Z. Mời các bạn cùng tham khảo!

LỜI NĨI ĐẦU Hiện nay, số hóa lĩnh vực Công nghệ thông tin Công nghệ kỹ thuật Điện - Điện tử thực toàn giới Việt Nam Chính xử lý tín hiệu số (DSP- Digital Signal Processing) trở thành lĩnh vực khoa học công nghệ quan trọng Xử lý tín hiệu số áp dụng hiệu lĩnh vực truyền thơng, truyền hình, đo lường, điều khiển, thông tin … dựa phép phân tích, tổng hợp, mã hóa, biến đổi tín hiệu sang dạng tín hiệu số Để tiếp cận với ngành khoa học đại này, cần trang bị kiến thức tín hiệu hệ thống rời rạc, phân tích tín hiệu miền Z, miền tần số liên tục, miền tần số rời rạc đặc biệt phương pháp để tổng hợp lọc số đơn giản Tập giảng Xử lý tín hiệu số biên soạn cho đối tượng sinh viên cao đẳng đại học ngành thuộc lĩnh vực Công nghệ thông tin Điện – Điện tử, trường Đại học Sư phạm kỹ thuật Nam Định Tập giảng chia làm chương: Chương 1: Tín hiệu hệ thống rời rạc Chương 2: Biểu diễn hệ thống tín hiệu rời rạc miền Z Chương 3: Biểu diễn hệ thống tín hiệu rời rạc miền tần số Chương 4: Tổng hợp lọc số có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn (FIR) Mỗi chương tập giảng hệ thống hóa kiến thức cần thiết Tương ứng với nội dung kiến thức có ví dụ minh họa cụ thể Đặc biệt, cuối chương có hệ thống tập hướng dẫn giải để giúp sinh viên dễ dàng việc tự học, tự nghiên cứu Nhóm biên soạn xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp khoa Công nghệ thông tin khoa Điện – Điện tử, đồng nghiệp trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Nam Định giúp chúng tơi hồn thành tài liệu Trong lần biên soạn đầu tiên, tập giảng khơng tránh khỏi sai sót, mong người đọc đóng góp ý kiến để tập giảng hồn thiện Mọi đóng góp ý kiến xin gửi Văn phịng Khoa Cơng nghệ thơng tin Văn phòng Khoa Điện - Điện tử, trường Đại học sư phạm kỹ thuật Nam Định Chúng xin chân thành cảm ơn! Nam Định, tháng 11 năm 2013 Nhóm biên soạn Th.s Hoàng Thị Hồng Hà Th.s Nguyễn Thị Thu Hằng Th.s Cao Văn Thế i MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU I MỤC LỤC II CHƯƠNG 1: TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC 1.1 Tín hiệu hệ thống xử lý tín hiệu 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Các hệ thống xử lý tín hiệu 1.2 Tín hiệu rời rạc 1.2.1 Biểu diễn tín hiệu rời rạc .5 1.2.2 Một số dãy rời rạc .7 1.2.3 Một số định nghĩa 12 1.3 Các hệ thống tuyến tính bất biến 18 1.3.1 Các hệ thống tuyến tính 18 1.3.2 Các hệ thống tuyến tính bất biến .20 1.3.3 Hệ thống tuyến tính bất biến nhân .28 1.3.4 Hệ thống tuyến tính bất biến ổn định 31 1.4 Phƣơng trình sai phân tuyến tính hệ số 32 1.4.1 Khái niệm 32 1.4.2 Phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số 33 1.5 Sơ đồ thực hệ thống 38 1.5.1 Các phần tử thực hệ thống .38 1.5.2 Sơ đồ thực hệ thống đệ quy không đệ quy .39 1.6 Tƣơng quan các tín hiệu 46 BÀI TẬP CHƢƠNG 50 CHƯƠNG 2: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠCTRONG MIỀN Z 56 2.1 Biến đổi Z 56 2.2.1 Biến đổi Z hai phía phía .56 2.2.2 Sự tồn biến đổi Z 63 2.2 Biến đổi Z ngƣợc 68 2.2.1 Định nghĩa biến đổi Z ngược .68 2.2.2 Các phương pháp biến đổi Z ngược 69 2.3 Các tính chất biến đổi Z 79 2.3.1 Tính chất tuyến tính .79 2.3.2 Tính chất trễ 80 2.3.3 Nhân với dãy hàm mũ an 80 2.3.4 Đạo hàm biến đổi Z 82 ii 2.3.5 Tích chập hai dãy 82 2.3.6 Định lý giá trị đầu dãy nhân 83 2.3.7 Tích hai dãy 84 2.3.8 Tương quan hai tín hiệu .84 2.4 Ứng dụng biến đổi Z xử lý tín hiệu hệ thống rời rạc 85 2.4.1 Hàm truyền đạt hệ thống rời rạc 85 2.4.2 Phân tích hệ thống miền Z .87 2.4.3 Độ ổn định hệ thống 93 2.4.4 Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số dùng biến đổi Z 98 BÀI TẬP CHƢƠNG 104 CHƯƠNG 3: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ 110 3.1 Biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc 110 3.1.1 Định nghĩa biến đổi Fourier 110 3.1.2 Sự tồn biến đổi Fourier 116 3.1.3 Biến đổi Fourier ngược 117 3.2 Các tính chất biến đổi Fourier 118 3.2.1 Tính chất tuyến tính 118 3.2.2 Tính chất trễ 119 3.2.3 Tính chất đối xứng 120 3.2.4 Tính chất biến đảo 123 3.2.5 Biến đổi Fourier tích chập hai dãy 124 3.2.6 Biến đổi Fourier tích hai dãy 124 3.2.7 Vi phân miền tần số 124 3.2.8 Trễ tần số 125 3.2.9 Công thức Parseval 126 3.2.10 Phổ tần số hàm tương quan hàm tự tương quan 127 3.3 So sánh biến đổi Fourier với biến đổi Z 128 3.4 Biểu diễn hệ thống rời rạc dùng biến đổi Fourier 129 3.5 Biến đổi Fourier rời rạc .132 3.5.1 Biến đổi Fourier rời rạc tín hiệu tuần hồn có chu kỳ N 133 3.5.1.1 Các định nghĩa 133 3.5.1.2 Các tính chất biến đổi Fourier rời rạc dãy tuần hoàn có chu kỳ N.138 3.5.2 Biến đổi Fourier rời rạc dãy khơng tuần hồn có chiều dài hữu hạn 146 3.5.2.1 Các định nghĩa 146 3.5.2.2 Các tính chất biến đổi Fourier rời rạc dãy có chiều dài hữu hạn 149 BÀI TẬP CHƢƠNG 155 iii CHƯƠNG TỔNG HỢP CÁC BỘ LỌC SỐ CÓ ĐÁP ỨNG XUNG CHIỀU DÀI HỮU HẠN (FIR) 162 4.1 Tổng quan lọc số .162 4.1.1 Khái niệm 162 4.1.2 Bộ lọc số lý tưởng 162 4.1.3 Bộ lọc số thực tế 173 4.2 Đặc tính xung lọc số FIR pha tuyến tính 174 4.3 Đặc tính tần số lọc số FIR pha tuyến tính 180 4.3.1 Đặc tính tần số lọc FIR pha tuyến tính loại 180 4.3.2 Đặc tính tần số lọc FIR pha tuyến tính loại 182 4.3.3 Đặc tính tần số lọc FIR pha tuyến tính loại 184 4.3.4 Đặc tính tần số lọc FIR pha tuyến tính loại 185 4.4 Tổng hợp lọc số FIR phƣơng pháp cửa sổ 187 4.4.1 Giới thiệu 187 4.4.2 Các bước tổng hợp lọc số theo phương pháp cửa sổ 187 4.4.3 Một số cửa sổ thường dùng tổng hợp lọc số FIR 188 BÀI TẬP CHƢƠNG 201 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 205 Đáp án chƣơng 205 Đáp án chƣơng 216 Đáp án chƣơng 226 Đáp án chƣơng 242 TÀI LIỆU THAM KHẢO .IV iv CHƯƠNG 1: TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC 1.1 Tín hiệu hệ thống xử lý tín hiệu Chương đề cập đến vấn đề biểu diễn tín hiệu hệ thống miền thời gian rời rạc n Đây miền biểu diễn tín hiệu sau lấy mẫu tín hiệu Để hiểu kiến thức chương này, nhắc lại số nội dung sau 1.1.1 Các định nghĩa a Định nghĩa tín hiệu Tín hiệu (signal) biểu diễn vật lý thơng tin Có nhiều loại tín hiệu khác nhau, ví dụ tín hiệu âm thanh, ánh sáng, sóng âm, sóng điện từ, tín hiệu điện Mỗi lĩnh vực kỹ thuật thường sử dụng số loại tín hiệu định Trong lĩnh vực có ứng dụng kỹ thuật điện tử, người ta thường sử dụng tín hiệu điện sóng điện từ, với đại lượng mang tin tức điện áp, dịng điện, tần số góc pha Mỗi loại tín hiệu khác có tham số đặc trưng riêng, nhiên tất loại tín hiệu có tham số độ lớn (giá trị), lượng cơng suất Chính tham số nói lên chất vật chất tín hiệu Tín hiệu biểu diễn dạng hàm biến thời gian x(t), hàm biến tần số X(f) hay X() Về mặt tốn học, ta mơ tả tín hiệu hàm theo biến thời gian x(t), hàm biến tần số X(f) hay X() hàm nhiều biến số độc lập khác Ví dụ hàm: x(t )  20t mơ tả tín hiệu biến thiên theo biến thời gian t Hay ví dụ khác, hàm: s( x, y)  3x  5xy  y mơ tả tín hiệu hàm theo hai biến độc lập x y, x y biểu diễn cho hai tọa độ không gian mặt phẳng b Phân loại tín hiệu Các phương pháp ta sử dụng xử lý tín hiệu phụ thuộc chặt chẽ vào đặc điểm tín hiệu Có phương pháp riêng áp dụng cho số loại tín hiệu Do vậy, trước tiên cần xem cách phân loại tín hiệu liên quan đến ứng dụng cụ thể Chúng ta chia tín hiệu làm nhóm lớn: tín hiệu liên tục tín hiệu rời rạc Định nghĩa tín hiệu liên tục: Nếu biến độc lập biểu diễn tốn học tín hiệu liên tục tín hiệu gọi tín hiệu liên tục Nhận xét: Theo định nghĩa tín hiệu liên tục từ liên tục hiểu liên tục theo biến số ia  x, y  ia  x0 , y0  y y0 x0 x Hình 1.1 Tín hiệu liên tục Nếu dựa vào hàm số (hay biên độ) ta phân loại tín hiệu liên tục thành hai loại: - Tín hiệu tương tự - Tín hiệu lượng tử hố Định nghĩa tín hiệu tƣơng tự: Nếu biên độ tín hiệu liên tục liên tục tín hiệu gọi tín hiệu tương tự Nhận xét: Tín hiệu tương tự liên tục theo biến hàm xa  t  t Hình 1.2 Tín hiệu tương tự Định nghĩa tín hiệu lƣợng tử hố: Nếu biên độ tín hiệu liên tục rời rạc tín hiệu gọi tín hiệu lượng tử hố Nhận xét: Tín hiệu lượng tử hố liên tục theo biến rời rạc theo hàm xq  t  8q 7q 6q 5q 4q 3q 2q q q:mức lượng tử hóa t Hình 1.3 Tín hiệu lượng tử hóa Định nghĩa tín hiệu rời rạc: Nếu biến độc lập biểu diễn toán học tín hiệu rời rạc tín hiệu gọi tín hiệu rời rạc Nhận xét: Theo định nghĩa tín hiệu rời rạc từ rời rạc hiểu rời rạc theo biến số Nếu dựa vào hàm số (hay biên độ) ta phân loại tín hiệu rời rạc làm hai loại: - Tín hiệu lấy mẫu - Tín hiệu số Định nghĩa tín hiệu lấy mẫu: Nếu biên độ tín hiệu rời rạc liên tục không bị lượng tử hố tín hiệu gọi tín hiệu lấy mẫu Nhận xét: Tín hiệu lấy mẫu rời rạc theo biến, liên tục theo hàm xs  nTs  Ts : Thêi gian lÊy mÉu Ts Ts 3Ts Ts 5Ts Ts nTs Hình 1.4 Tín hiệu lấy mẫu Định nghĩa tín hiệu số: Nếu biên độ tín hiệu rời rạc rời rạc tín hiệu gọi tín hiệu số Nhận xét: Tín hiệu số rời rạc theo biến theo hàm x d  nTs  8q 7q 6q 5q 4q 3q 2q q Ts Ts 3Ts Ts 5Ts Ts nTs Hình 1.5 Tín hiệu số Chú ý: Việc phân loại tín hiệu sở để phân loại hệ thống xử lý, chẳng hạn ta có hệ thống rời rạc hay hệ thống tương tự phân loại tương ứng với loại tín hiệu mà hệ thống xử lý tín hiệu rời rạc hay tín hiệu tương tự 1.1.2 Các hệ thống xử lý tín hiệu Trong lĩnh vực khoa học kỹ thuật, ta thường làm việc với tín hiệu tương tự Có thể xử lý trực tiếp tín hiệu hệ thống tương tự thích hợp, minh họa hình 1.6, tín hiệu đầu tương tự Vào Ra Tín hiệu tương tự ya  t Tín hiệu tương tự xa  t Hệ thống tương tự Hình 1.6 Xử lý tín hiệu tương tự Xử lý số phương pháp khác để xử lý tín hiệu tương tự Tín hiệu tương tự phải chuyển đổi thành dạng số nhờ biến đổi tương tự/ số (ADC) trước xử lý Tuy nhiên, trình chuyển đổi tương tự/ số cho tín hiệu số khơng phải biểu diễn xác cho tín hiệu tương tự ban đầu Khi tín hiệu tương tự chuyển thành tín hiệu số gần nhất, trình xử lý thực xử lý tín hiệu số DSP (Digital Signal Processor), tạo tín hiệu số Trong hầu hết ứng dụng, tín hiệu số cần chuyển đổi ngược lại thành tín hiệu tương tự nhờ biến đổi ngược số/ tương tự/ (DAC) cuối trình xử lý Hình 1.7 sơ đồ khối hệ thống xử lý tín hiệu phương pháp số Bộ xử lý tín hiệu số DSP mạch logic, máy tính số vi xử lý lập trình Vào T.h tương tự xa  t ADC DSP T.h số Ra DAC T.h số yd  t xd  t T.h tương tự ya  t Hệ thống số Hình 1.7 Xử lý tín hiệu số Ƣu điểm xử lý số so với xử lý tƣơng tự Có nhiều nguyên nhân khác khiến cho xử lý số ưa chuộng xử lý trực tiếp tín hiệu tương tự Trước tiên, hệ thống số lập trình được, tạo ta tính mềm dẻo việc cấu hình lại hoạt động xử lý cách đơn giản thay đổi chương trình, để cấu hình lại hệ tương tự, ta phải thiết kế lại phần cứng, kiểm tra thẩm định xem hoạt động có khơng Độ xác đóng vai trò qua trọng việc lựa chọn xử lý tín hiệu Độ sai lệch linh kiện tương tự khiến cho nhà thiết kế hệ thống vơ khó khăn việc điều khiển độ xác hệ thống tương tự Trong đó, việc điều khiển độ xác hệ thống số lại dễ dàng, cần ta xác định rõ yêu cầu độ xác định lựa chọn chuyển đổi ADC DSP có độ dài từ thích hợp, có kiểu định dạng dấu phẩy tĩnh hay dấu phẩy động Tín hiệu số dễ dàng lưu trữ thiết bị băng đĩa từ mà không bị mát hay giảm chất lượng Như tín hiệu số truyền xa xử lý từ xa Phương pháp xử lý số cho phép thực thuật toán xử lý tín hiệu tinh vi phức tạp nhiều so với xử lý tương tự, nhờ việc xử lý thực phần mềm máy tính số Trong vài trường hợp, xử lý số rẻ xử lý tương tự Giá thành thấp phần cứng số rẻ hơn, tính mềm dẻo xử lý số Tuy nhiên, xử lý số có vài hạn chế Trước tiên hạn chế tốc độ hoạt động chuyển đổi ADC xử lý số DSP Sau ta thấy tín hiệu băng thơng cực lớn yêu cầu tốc độ lấy mẫu ADC cực nhanh tốc độ xử lý DSP phải cực nhanh Vì vậy, phương pháp xử lý số chưa áp dụng cho tín hiệu tương tự băng thơng lớn Nhờ phát triển nhanh chóng cơng nghệ máy tính cơng nghệ sản xuất vi mạch mà lĩnh vực xử lý tín hiệu số (DSP) phát triển mạnh vài thập niên gần Ứng dụng DSP ngày nhiều khoa học cơng nghệ DSP đóng vai trị quan trọng phát triển lĩnh vực viễn thông, đa phương tiện, y học, xử lý ảnh tương tác người - máy Tóm lại, DSP lĩnh vực dựa nguyên lý toán học, vật lý khoa học máy tính có ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác Đối tượng phạm vi nghiên cứu lĩnh vực xử lý tín hiệu số hệ xử lý số, tín hiệu số dãy số liệu 1.2 Tín hiệu rời rạc 1.2.1 Biểu diễn tín hiệu rời rạc Trong phần định nghĩa tín hiệu rời rạc gồm loại tín hiệu lấy mẫu tín hiệu số, với kí hiệu sau: xs  nTs  : tín hiệu lấy mẫu xd  nTs  : tín hiệu số Ta thống ký hiệu chung tín hiệu rời rạc x (nTs ) Như nTs biến độc lập, n số nguyên, Ts chu kỳ lấy mẫu Để tiện cho cách biểu diễn tín hiệu rời rạc chuẩn hóa biến số độc lập nTs chu kỳ lấy mẫu Ts sau: nTs n Ts Như sau chuẩn hố ta có: chn hãa x(nTs )   x ( n) bëi T s Chú ý: Nếu miền biến số chuẩn hóa chu kỳ lấy mẫu Ts miền tần số phải chuẩn hóa tần số lấy mẫu Fs với Fs  Ts a Biểu diễn toán học Một tín hiệu rời rạc biểu diễn dãy giá trị thực phức Nếu tín hiệu hình thành giá trị thực gọi tín hiệu thực Cịn tín hiệu hình thành giá trị phức gọi tín hiệu phức Cách biểu diễn tốn học tín hiệu rời rạc x(n) sau : N1  n  N2 biĨu thøc to¸n x ( n)  n lại Vớ d 1: Cho vớ dụ biểu diễn tốn học tín hiệu rời rạc Giải: Ví dụ biểu diễn tốn học tín hiệu rời rạc:  n 1  x ( n)    0 Ở ta thấy: x(0) = 1; x(1) = 0n4 n cßn l¹i ; x(3) = ; x(4) = 4 b Biểu diễn đồ thị Cách biểu diễn đồ thị minh họa cách trực quan cho tín hiệu rời rạc Ví dụ 2: Hãy biểu diễn đồ thị cho tín hiệu rời rạc ví dụ Giải: Đồ thị ví dụ cho hình 1.8 x n ` -2 -1 4 n Hình 1.8 Biểu diễn tín hiệu đồ thị c Biểu diễn dãy số Trong cách biểu diễn tín hiệu dãy số, liệt kê giá trị x(n) thành dãy số sau: X(z) loại trừ cực điểm z p1  1,5 hàm truyền đạt H(z), làm cho y0(n) khơng cịn thành phần ổn định ứng với 1,5n u (n) Muốn xét tính ổn định hệ thống tuyến tính bất biến nhân theo điều kiện ổn định phải giải phương trình đặc trưng D(z) = để tìm tất cực điểm hàm truyền đạt H(z) Giải phương trình có bậc lớn phức tạp, người ta xây dựng tiêu chuẩn để xét tính ổn định hệ thống tuyến tính bất biến nhân mà khơng cần giải phương trình D(z) = b Tiêu chuẩn ổn định Jury Tiêu chuẩn Jury cho phép xác định tính ổn định hệ thống tuyến tính bất biến nhân theo hệ số phương trình đặc trưng D(z) = Xét phương trình D(z) = dạng lũy thừa z 1 : D( z)   a1 z 1  a2 z 2   aN 1z ( N 1)  aN z  N  (2.61) Hay dạng lũy thừa z 1 : D( z)  z N  a1z N 1  a2 z N 2   aN 1z  aN z 1  (2.62) Các phương trình có bậc N hệ số a0 = Sử dụng hệ số a0  aN phương trình, lập bảng Jury gồm (2N –3) hàng sau: Bảng Jury Hàng Hệ số 1 a1 a2 aN aN-1 aN-2 c0 c1 c2 cN-1 cN-2 cN-3 d0 d1 d2 dN-2 dN-3 dN-4 … … … … 2N- r0 r1 r2 … … … aN-2 aN-1 aN a2 a1 cN-2 cN-1 c1 c0 dN-2 d0 … Trong phần tử ci , di hàng 2, bảng Jury tính theo định thức ma trận sau : ci  a N i aN di  c0 c N 1i c N 1 ci  (ai  a N a N i )  (c0 ci  c N 1 c N 1i ) với i = , , , … , (N-1) với i = , , , … , (N-1) 95 Mỗi hàng bảng Jury có số phần tử giảm tính tương tự hàng thứ (2N – 3) cịn phần tử r0 , r1 , r2 ta dừng lại Tiêu chuẩn ổn định Jury phát biểu sau : Phương trình D(z) = có tất nghiệm nằm vịng trịn đơn vị |z|=1 thỏa mãn tất điều kiện sau : Giá trị đa thức D( z ) z   Giá trị đa thức z 1 Nếu N chẵn D( z ) z  1  Nếu N lẻ Các phần tử đầu cuối hàng bảng Jury thỏa mãn : | aN |  a0  | cN 1 |  | c0 | | d N 2 |  | d0 | … | r2 |  | r0 | Hệ thống tuyến tính bất biến nhân có phương trình đặc trưng khơng thỏa mãn tiêu chuẩn ổn định Jury khơng thỏa mãn điều kiện ổn định Ví dụ 2: Xét tính ổn định hệ thống tuyến tính bất biến nhân có hàm truyền đạt : H ( z)  z (2 z  z  1,5) Giải: Để sử dụng tiêu chuẩn Jury, xét phương trình đặc trưng (với a0 = 1) : D( z )  z  z  0,75  Vì D(z) có bậc N = số chẵn, nên bảng Jury có hàng theo hệ số D(z) Xét điều kiện tiêu chuẩn ổn định Jury : D( z ) z 1    0,75  0, 25  ; không thỏa mãn D( z ) z  1    0,75  3,75  ; thỏa mãn | a2 |  0,75  ; thoả mãn Hệ xử lý số cho không thỏa mãn tiêu chuẩn ổn định Jury, nên khơng thỏa mãn điều kiện ổn định Ví dụ 3: Xét tính ổn định hệ thống tuyến tính bất biến nhân có hàm truyền đạt : 96 H ( z)   3z  z 2  z 3  z 4 1 Giải: Để sử dụng tiêu chuẩn Jury, xét phương trình đặc trưng, với a0 = 1: 1 2 3 4 z  z  z  z 0 4 Vì D(z) có bậc N = số chẵn, nên bảng Jury có ba hàng với phần tử ai, D( z )   ci , di , phần tử hệ số D(z) : 1 ; a2  ; a3  ; a4  4 Tính phần tử hàng thứ hai c0 , c1 , c2 , c3 : a0  ; a1  1 15 c0   a4 a4    4 16 c1  a1  a4 a3  1 11   4 16 c2  a2  a4 a2  1   16 1   4 16 Tính phần tử hàng thứ ba d0 , d1 , d2 : c3  a3  a4 a1  d  c0 c0  c3 c3  d1  c0 c1  c3 c  d  c0 c  c3 c1  15 16 15 16 15 11 16 16 15 16 16    16 16 16 16 11 16 16  224 256  159  79 256 256 Xét điều kiện tiêu chuẩn ổn định Jury : 1 11 D( z) z         ; thỏa mãn 4 4 1 D( z) z         ; thỏa mãn 4 4 | a4 |   ; thỏa mãn | c3 |  15  | c0 |  ; thỏa mãn 16 16 | d2 |  79 224  | d0 |  ; thoả mãn 256 256 97 Hệ thống tuyến tính bất biến nhân cho thỏa mãn tiêu chuẩn Jury nên ổn định 2.4.4 Giải phƣơng trình sai phân tuyến tính hệ số dùng biến đổi Z Để tìm đáp ứng y(n) hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến nhân quả, giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số qua biến đổi Z dễ giải trực tiếp Các điều kiện ban đầu y(-1), y(-2), phương trình sai phân tuyến tính hệ số giá trị khởi tạo hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến nhân Khi kích thích vào vào hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến nhân dãy nhân x(n), đáp ứng y(n) dãy nhân Tuy nhiên, hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến nhân có giá trị khởi tạo y(-1), y(-2), khác khơng, thực tế đáp ứng y(n) dãy không nhân Vì thế, để giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số qua biến đổi Z , phải dùng biến đổi Z phía Để giản tiện, giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số qua biến đổi Z , dùng ký hiệu biến đổi Z hai phía, phải sử dụng tính chất trễ biến đổi Z phía Xét hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến nhân mơ tả phương trình sai phân tuyến tính hệ số dạng tổng quát bậc N : N M  a y (n  k )   b x(n  r ) k 0 k r 0 r Với kích thích vào x(n) dãy khơng nhân quả, điều kiện ban đầu y(-1), y(-2), , y(-N) khác không Lấy biến đổi Z hai vế phương trình sai phân, theo tính chất tuyến tính trễ biến đổi Z phía nhận : N k M r     Y ( z )  ak z  k   y (i ).z (i k )   X ( z ) br z  r   x(i ).z (i r )  k 0  i 1 r 0  i 1   Vậy: M r   N k X ( z ) br z  r   x(i ).z (i r )    y (i ).z (i k ) r 0  i 1  k 0 i 1 Y ( z)  N  ak z  k (2.63) k 0 Đáp ứng hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến nhân quả: Y ( z) A1 A2 1     z ( z  1) ( z  0,5) ( z  1) ( z  0,5) Trên thực tế thường gặp trường hợp hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến nhân có điều kiện khởi tạo khơng y(-1) = y(-2) = = y(-N) = , kích thích vào x(n) dãy nhân quả, x(-i) = với i > , biểu thức có dạng : 98 N M k 0 r 0 Y ( z ) ak z  k  X ( z ) br z  r M Vậy: Y ( z )  X ( z ) b z r 0 N a z k 0 r r  X ( z) H ( z) k k Đáp ứng y(n) hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến nhân tổng hai thành phần y0  n  y p  n  : y(n)  IZT Y  z   u (n)  0,5n u (n)  y p (n)  y0 (n) Trong đó, yp(n) phụ thuộc vào cực hàm kích thích vào X(z), tức phụ thuộc vào dạng kích thích vào x(n) y0(n) phụ thuộc vào cực hàm hệ thống H(z), phụ thuộc vào hệ số ar vế trái phương trình sai phân Như vậy, y0(n) phụ thuộc vào cấu trúc hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến nhân Theo dạng y0(n), xác định tính ổn định hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến nhân Ví dụ 1: Giải phương trình sai phân: y  n   3y  n  1  y  n    x  n  Với x  n   3n2 u  n  điều kiện ban đầu y  1  y  2   Hãy cho biết tính ổn định hệ thống Giải: Đây hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến nhân có điều kiện khởi tạo khơng kích thích vào x(n) dãy nhân quả: Y ( z )(1  3z 1  z 2 )  X ( z ) Vì có: X  z   ZT 3  n 2  z u  n    ZT 323n u  n     z  3 Nên : Y ( z)  X ( z) z z2   X ( z)H ( z)  3z 1  z 2 9( z  3) ( z  3z  2) Hay : Y ( z)  z3 z3  9( z  1)(z  2)(z  3) 9( z  3)(z  z  2) Trong cực zp1 = zp2 = hàm hệ thống H(z) chúng nghiệm phương trình z  3z   , cực zp3 = kích thích vào X(z) Để tìm đáp ứng y(n), phân tích hàm : 99 B3 B1 B2 z2     9( z  1)(z  2)(z  3) ( z  1) ( z  2) ( z  3) Y ( z) z Trong đó: B1  B2  z ( z  1) 9( z  3)(z  2)(z  1) z 1  z ( z  2) 9( z  3)(z  2)(z  1) z 2 z ( z  3) B3  9( z  3)(z  2)(z  1) z 3 Y ( z) Vậy z Suy :  Y ( z)  1 18 ( z  1)  ( z  2) B1   9(1  3)(1  2) B2    12 B3   18 22 9(2  3)(2  1) 32 9(3  2)(3  1)   2 ( z  3) z z z   18 ( z  1) ( z  2) ( z  3) Với RC[Y ( z)] :| z |  ta xác định được: y n  u  n   2n u  n   3n u  n   y0  n   y p  n  18 y0(n) phụ thuộc vào cực zp1 = zp2 = H(z) :  2 n    y0  n      u n 18   yp(n) phụ thuộc vào cực zp3 = kích thích vào X(z): 3n u n Thành phần yp(n) có dạng giống kích thích vào x(n) Vì hàm hệ thống H(z) có yp  n   cực với |zpk| nên y0(n)   n   , hệ thống cho khơng thỏa mãn điều kiện ổn định Ví dụ 2: Hãy giải phương trình sai phân sau: y  n   y  n  1  y  n    x  n  Với: x  n   3n2 , y  2    ; y  1   Giải: Đây hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến nhân có điều kiện khởi tạo khác khơng kích thích vào x(n) dãy nhân quả, nên: Y  z    z 1Y  z   y  1   z 2Y  z   z 1Y  z   y  2   X  z  100 Thay điều kiện đầu: y  2    ; y  1   Y  z  1  3z 1  z 2    z 1   X  z  Ta có: X  z   32 1 z  1  3z z 3 Biến đổi tiếp: Y  z Vậy:  z  1 z  2  Y  z  z 2 1 z z2    z 9 z  z  z  3 z  z  1 z  3 Để tìm y(n) ta phải tìm IZT[Y(z)], ta dùng phương pháp khai triển thành phân thức tối giản: y z A A   z z 1 z  A1 = -0,5 ; A2 = 0,5 Ta suy y(n) sau: y  n   0,5.1n u  n   0,5.3n u  n   0,5  3n  1 u  n  Các bảng tóm tắt chƣơng Bảng 2.1: Miền hội tụ biến đổi Z Dãy hữu hạn Loại dãy Nhân Phản nhân x(n)N n[n1, n2] , n1  n[n1, n2] , n2  Dãy vô hạn RC[X(z)] |z|> |z|<  x(n) n[n1, ] , n1 n[-, n2] , n2 n[-, ] n[n1, ] , Không nhân n[n1, n2] , n10 , n2 n1< 0 Rx|z|< Rx+ Rx-