Sự ổn định của phương trình hàm trên c∗ đại số

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– HỒNG THỊ THU HẢI SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN C ∗-ĐẠI SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Đà Nẵng - Năm 2020 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– HOÀNG THỊ THU HẢI SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN C ∗-ĐẠI SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lương Quốc Tuyển Đà Nẵng - Năm 2020 LỜI CAM ĐOAN Chúng xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng chúng tơi Các số liệu, kết nêu đề tài trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Hồng Thị Thu Hải LỜI CẢM ƠN Lời đề tài tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Lương Quốc Tuyển tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình thực để tác giả hồn thành khóa luận Tác giả Hoàng Thị Thu Hải MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Không gian metric 1.2 Không gian định chuẩn - Không gian Banach 1.3 Đai số Banach C ∗ -Đại số 14 CHƯƠNG SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG ĐẠI SỐ BANACH 16 2.1 Đẳng cấu đại số Banach 16 2.2 Đạo hàm đại số Banach 21 CHƯƠNG SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG C ∗ -ĐẠI SỐ 27 3.1 Định lý điểm bất động Banach 27 3.2 Sự ổn định phương trình hàm C ∗ -đại số 31 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Năm 1940, Ulam đề xuất tốn ổn định phương trình hàm sau: Bài tốn Cho nhóm G1 , nhóm G2 với metric d ε > Khi đó, có tồn hay khơng số δ > cho f : G1 → G2 ánh xạ thõa mãn d(f (xy), f (x)f (y)) ≤ δ với x, y ∈ G1 , tồn đồng cấu h : G1 → G2 cho d(h(x), f (x)) ≤ ε với x ∈ G1 Đến năm 1941, Hyers đưa câu trả lời riêng cho toán trường hợp điều kiện xấp xỉ ánh xạ G1 , G2 không gian Banach, cụ thể: Định lí Giả sử X Y khơng gian Banach, ε > Khi đó, với ánh xạ g thõa mãn sup g(x + y) − g(x) − g(y) ≤ ε, x,y∈X tồn ánh xạ: f : X → Y cho sup g(x) − f (x) ≤ ε; x,y∈X f (x + y) = f (x) + f (y) với x, y ∈ X Đến năm 1980, Forti chứng minh định lý sau Định lí Giả sử (S, +) nửa nhóm bất kỳ, E không gian Banach f : S → E ánh xạ thõa mãn sup f (x + y) − f (x) − f (y) ≤ ε, x,y∈X tồn giới hạn f (2n x) với x ∈ S g(x) = lim n→∞ 2n g : S → E ánh xạ thõa mãn f (x) − g(x) ≤ ε; g(2x) = 2g(x) Từ đến nay, cách sử dụng kỹ thuật chứng minh Forti, người ta đưa nhiều kết đồ sộ ổn định phương trình hàm khơng gian Banach Đồng thời, người ta tập trung nghiên cứu đưa nhiều kết ổn định phương trình hàm C ∗ -đại số Những kết nghiên cứu đem lại nhiều lợi ích phục vụ cho lĩnh vực nghiên cứu Bởi lý định hướng thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển, định chọn đề tài “Sự ổn định phương trình hàm C ∗ -đại số” để làm đề tài nghiên cứu khoa học Mục đích nghiên cứu Nhằm hiểu thấu đáo ổn định phương trình hàm C ∗ -đại số Ngồi ra, chúng tơi mong muốn đưa kết phục vụ cho lĩnh vực nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Sự ổn định phương trình hàm đại số Banach, ổn định phương trình hàm C ∗ -đại số, phép đẳng cấu đại số Banach, phép đòng cấu C ∗ -đại số Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu ổn định phương trình hàm đại số Banach, C ∗ -đại số liên hệ chúng Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trình thực đề tài Trước tiên, thu thập báo khoa học tác giả trước liên quan đến ổn định phương trình hàm Sau đó, cách tương tự hóa, khái quát hóa kết đó, chúng tơi đưa kết cho đề tài Ý nghĩa khoa học thực tiễn Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết, tài liệu tham khảo cho quan tâm đến mảng nghiên cứu Cấu trúc nghiên cứu Trong đề tài này, chúng tơi trình bày chứng minh số định lý ổn đinh phương trình hàm đại số Banach C ∗ -đại số Nội dung đề tài trình bày ba chương Ngồi ra, luận văn có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận, Tài liệu tham khảo Chương 1, trình bày kiến thức sở Mục 1.1 trình bày khơng gian Metric Mục 1.2, trình bày Không gian định chuẩn - Không gian Banach Mục 1.3, trình bày đại số Banach C ∗ -đại số Chương 2, trình bày chứng minh chi tiết định lý ổn định phương trình hàm đại số Banach Chương 3, trình bày định lý chứng minh chi tiết định lí ổn định phương trình hàm C ∗ -đại số CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương dành cho việc trình bày lý thuyết sở không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Banach, đại số Banach C ∗ đại số Các kết chương lấy [1], [2], [3] 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 ([2]) Giả sử X = ∅, ánh xạ f : X × X → R gọi metric X điều kiện sau thõa mãn với x, y, z ∈ X 1) d(x, y) ≥ 0; d(x, y) = ⇐⇒ x = y ; 2) d(x, y) = d(y, x); 3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) Lúc này, (X, d) gọi không gian metric Định nghĩa 1.1.2 ([2]) Cho không gian metric (X, d), dãy {xn } X gọi dãy hội tụ đến x ∈ X lim d(xn , x) = 0, n→∞ nghĩa với ε > 0, tồn n0 ∈ N∗ cho d(xn , xn ) < ε với n ∈ N∗ mà ≥ n0 30 1) Ánh xạ J có điểm bất động x∗ ∈ X ; 2) Điểm bất động x∗ lim J n x = x∗ n→∞ với x ∈ X ; 3) Các bất đẳng thức sau tương đương d(J n X, x∗ ) ≤ Ln d(x, x∗ ) d(J n x, J n+1 x) d(J n x, x∗ ) ≤ 1−L f (x, x∗ ) ≤ d(x, Jx) 1−L với x → X n ≥ Định lí 3.1.4 ([3]) Giả sử (x, d) không gian metric đầy đủ J : X → X ánh xạ co với số Lipschitz L < Khi với x ∈ X , mà d J n x, J n+1 x = ∞ với n ≥ tồn số nguyên dương n0 cho 1) d J n x, J n+1 x < ∞ với n ≤ n0 ; 2) Dãy (J n x) hội tụ tới điểm bất động y ∗ J ; 3) y ∗ điểm bất động J tập Y = y ∈ Y : d(J n0 x, y) < ∞; 4) d(y, y ∗ ) ≥ d(y, Jy) với y ∈ Y 1−L 31 3.2 Sự ổn định phương trình hàm C ∗ -đại số Giả sử rẳng A C ∗ -đại số số với chuẩn A B C ∗ -đại số số với chuẩn B Với ánh xạ f : A → B ta định nghĩa Dµ f (x, y) = µf x+y + µf x−y − f (µx) với µ ∈ T = {υ ∈ C : υ = 1} x, y → A Bây ta chứng minh ổn định Hyers Ulam phép đồng cấu C ∗ -đại số cho phương trình hàm Dµ f (x, y) = Định lí 3.2.1 Cho f : A → B ánh xạ tồn hàm ϕ : A2 → [0, ∞) cho ∞ 2−j ϕ(2j x, 2j y) < ∞ (3.5) j=0 Dµ f (x, y) B ≤ ϕ(x, y) (3.6) f (x, y) − f (x)f (y) ≤ ϕ(x, y) (3.7) f (x∗ ) − f (x)∗ ≤ ϕ(x, x) (3.8) với µ ∈ T x, y ∈ A Khi đó, tồn L < cho ϕ(x, 0) ≤ 2Lϕ x ,0 , (3.9) tồn phép cấu C ∗ -đại số số H : A → B cho với x ∈ A f (x) − H(x) ≤ L ϕ(x, 0) 1−L 32 Chứng minh Xét không gian hàm X := {g : A → B} metric X định nghĩa sau d(g, h) = inf{C ∈ R+ : g(x) − h(x) ≤ Cϕ(x, 0) với x ∈ A} Khi theo (1.1) ta có (X, d) không gian metric đầy đủ Bây giờ, ta xét ánh xạ tuyến tính J : X → X xác định Jg(x) := g(2x) với x ∈ A Ta đặt A = {C ∈ R+ : Jg(x) − Jh(x) ≤ Cϕ(x, 0) với x ∈ X}; B = {α ∈ R+ : g(x) − h(x) ≤ αϕ(x, 0) với x ∈ X} Khi đó, với x ∈ X , ta có Jg(x) − Jh(x) = 1 g(2x) − h(2x) 2 g(2x) − h(2x) ≤ αϕ(x, 0) = Mặt khác, theo (3.15) ta có ϕ(x, 0) ≤ 2Lϕ x , với L < Suy x Jg(x) − Jh(x) ≤ α2Lϕ , 2 x ⇐⇒ Jg(x) − Jh(x) ≤ αLϕ , , kéo theo αL ∈ A với α ∈ B Do đó, 33 d(Jg, Jh) = inf A ≤ αL với α ∈ B Như vậy, ta có d(Jg, Jh) ≤ inf αL = L inf α = L d(g, h) α∈B α∈B Do đó, d(Jg, Jh) ≤ Ld(g, h) với g, h ∈ X (3.10) Chọn µ = y = Từ (3.6) ta có Df (x, 0) ≤ ϕ(x, 0), kéo theo f x x +f − f (x) ≤ ϕ(x, 0) 2 Suy 2f x − f (x) ≤ ϕ(x, 0) với x ∈ A Do đó, với x ∈ A ta có 2f (x) − f (2x) ≤ ϕ(2x, 0), kéo theo 1 2f (x) − f (2x) ≤ ϕ(2x, 0) 2 Suy 1 f (x) − f (2x) ≤ ϕ(2x, 0) 2 Mặt khác, ϕ(2x, 0) ≤ 2Lϕ(x, 0) nên với x ∈ A ta có f (x) − f (2x) ≤ Lϕ(x, 0) (3.11) 34 Suy d(f, Jf ) ≤ L Theo Định lý 3.1.4, tồn ánh xạ H : A → B thỏa mãn khẳng định sau (1) H điểm bất động J Thật vậy, ta có H(2x) = 2H(x) với x ∈ A (3.12) Ánh xạ H điểm bất động J tập Y = {g ∈ X : d(f, g) < ∞}, kéo theo H thỏa mãn (3.11) cho tồn C ∈ (0, ∞) mà H(x) − f (x) ≤ Cϕ(x, 0) (2) Cho d(J n f, H) → n → ∞ ta lim J n f (x) = H(x) với x ∈ A n→∞ Do đó, f (2n x) = H(x) với x ∈ A n n→∞ lim (3) d(f, H) ≤ (3.13) d(f, Jf ) 1−L Thật vậy, d(f, H) ≤ 1−L nên tồn bất đẳng thức f (x) − H(x) ≤ ϕ(x, 0) 1−L (3.14) 35 Bây ta chứng minh H đồng cấu Thật vậy, từ (3.5), (3.6), (3.13) ta có x−y x+y +H − H(x) 2 x−y x+y + f 2n = lim n f 2n n→∞ 2 H − f (2n x) = lim f 2n−1 (x + y) + f 2n−1 (x − y) − f (2n x) n→∞ 2n x + n y = lim f n→∞ n n ≤ lim ϕ(2 x, y) +f 2n x − 2n y + f (2n x) n→∞ = Suy x+y 0≤ H +H x−y − H(x) ≤ 0, kéo theo H x−y x+y +H − H(x) = 2 H x−y x+y +H − H(x) = 2 Do đó, Như vậy, H x+y x−y +H = H(x) 2 Bây giờ, ta chọn z= x+y x−y , z= 2 Thay z, w vào (3.15) ta H(z) + H(w) = H(z + w) với z, w ∈ A (3.15) 36 Do ánh xạ H : A → B Cachy cộng tính H(z + w) = H(z) + H(w) với z, w ∈ A Tiếp theo, ta chọn y = x thay vào (3.6) Khi đó, với x ∈ A, µ ∈ T , ta có µf (x) = f (µx) Tương tự chứng minh ta có µHx = H(µx) với µ ∈ T −1 , với x ∈ A Suy H : A → B ánh xạ tuyến tính Theo (3.7), với x, y ∈ A ta có f (2n x2n y) − f (2n x)f (2n y) n n→∞ = lim n f (4n xy) − f (2n x)f (2n y) n→∞ ≤ lim n ϕ(2n x, 2n y) n→∞ ≤ lim n ϕ(2n x, 2n y) n→∞ = H(xy) − H(x)H(y) = lim Do đó, với x, y ∈ A ta có ≤ H(x, y) − H(x)H(y) ≤ 0, kéo theo H(x, y) − H(x)H(y) = Suy H(xy) = H(x)H(y) với x, y ∈ A 37 Từ (3.8) với x, y ∈ A ta có f (2n x∗ ) − f (2n x)∗ n n→∞ ≤ lim n ϕ(2n x, 2n x) n→∞ = H(x∗ ) − H(x)∗ = lim Do đó, H(x∗ ) = H(x)∗ Như vậy, H đồng cấu C ∗ -đại số số Cuối ta chứng minh H Thật vậy, xét ánh xạ T : A → B thõa mãn (3.14), ta có H(2n x) − T (2n x) n ≤ n f (2x x) − H(2n x) + f (2n x) − T (2n x) 1 ϕ(2n x, 0) + ϕ(2n x, 0) ≤ n 1−L 1−L 1 = n−1 ϕ(2n x, 0) = 1−L H(x) − T (x) = Do đó, H(x) = T (x) Như vậy, H : A → B ánh xạ thõa mãn yêu cầu toán Kết luận: Ánh xạ H : A → B đồng cấu C ∗ -đại số thỏa mãn f (x) − H(x) ≤ Như vậy, định lí chứng minh L ϕ(x, 0) 1−L 38 Bây giờ, chứng minh ổn định Hyers-Ulam đạo hàm C ∗ -đại số cho phương trình hàm Dµ f (x, y) = Định lí 3.2.2 Cho f : A → A ánh xạ mà tồn hàm ϕ : A2 → [0, ∞) thỏa mãn (3.5) cho Dµ f (x, y) A ≤ ϕ(x, y); f (xy) − f (x)y − xf (y) A ≤ ϕ(x, y) (3.16) (3.17) với µ ∈ T1 x, y ∈ A Nếu tồn L < cho ϕ(x, 0) ≤ 2Lϕ x ,0 (3.18) với x ∈ A Khi đó, tồn đạo hàm δ : A → A cho f (x) − δ(x) A ≤ L ϕ(x, 0) 1−L (3.19) với x ∈ A Chứng minh Trên không gian hàm X := {g : A → A} ta xét metric X định nghĩa sau d(g, h) = inf C ∈ R+ : g(x) − h(x) ≤ Cϕ(x, 0) với x ∈ A Khi theo Định lý 1.1 ta có (X, d) không gian metric đầy đủ Bây giờ, ta xét ánh xạ tuyến tính J : X → X cho Jg(x) := g(2x) với x ∈ A Ta đặt A = C ∈ R+ : Jg(x) − Jh(x) ≤ Cϕ(x, 0) với x ∈ X ; 39 B = α ∈ R+ : g(x) − h(x) ≤ αϕ(x, 0) với x ∈ X Khi đó, với x ∈ X , ta có Jg(x) − Jh(x) = 1 g(2x) − h(2x) 2 g(2x) − h(2x) ≤ αϕ(x, 0) = Mặt khác, theo (3.15) ta có ϕ(x, 0) ≤ 2Lϕ x , với L < Suy x Jg(x) − Jh(x) ≤ α2Lϕ , 2 x ⇐⇒ Jg(x) − Jh(x) ≤ αLϕ , Điều chứng tỏ αL ∈ A với α ∈ B , kéo theo d(Jg, Jh) = inf A ≤ αL với α ∈ B Như vậy, d(Jg, Jh) ≤ inf αL, α∈B d(Jg, Jh) ≤ L inf α = L.d(g, h) α∈B Do ta có d(Jg, Jh) ≤ Ld(g, h) với g, h ∈ X (3.20) Chọn µ = y = Từ (3.16) ta có Df (x, 0) ≤ ϕ(x, 0) x x ⇐⇒ f +f − f (x) ≤ ϕ(x, 0) 2 Điều tương đương với ⇐⇒ 2f x − f (x) ≤ ϕ(x, 0) với x ∈ A (3.21) 40 Do đó, với x ∈ A 2f (x) − f (2x) ≤ ϕ(2x, 0) 1 ⇐⇒ 2f (x) − f (2x) ≤ ϕ(2x, 0) 2 1 ⇐⇒ f (x) − f (2x) ≤ ϕ(2x, 0) 2 Hơn nữa, ϕ(2x, 0) ≤ 2Lϕ(x, 0) nên ta suy với x ∈ A, ta có f (x) − f (2x) ≤ Lϕ(x, 0) Suy d(f, Jf ) ≤ L Theo Định lý (3.1.4), tồn ánh xạ δ : A → A cho (1) δ điểm bất động J δ(2x) = 2δ(x), ∀x ∈ A (3.22) Ánh xạ δ điểm bất động J tập Y = {g ∈ X : d(f, g) < ∞}, kéo theo δ ánh xạ thỏa mãn (3.21) cho tồn C ∈ (0, ∞) thỏa mãn δ(x) − f (x) ≤ Cϕ(x, 0) (2) d(J n f, δ) → n → ∞ Do đó, lim J n f (x) = δ(x) với x ∈ A n→∞ 41 Suy f (2n x) = δ(x) với x ∈ A n n→∞ lim (3) d(f, δ) ≤ (3.23) d(f, Jf ) 1−L d(f, δ) ≤ L 1−L Do đó, ta có bất đẳng thức f (x) − δ(x) ≤ L ϕ(x, 0) 1−L (3.24) Bây ta chứng minh δ đạo hàm Thật vậy, từ (3.16), (3.17), (3.23) ta có f (2n x2n y) f (2n x)2n y 2n xf (2n y) − − n→∞ 4n 4n 4n = lim n f (4n xy) − f (2n x)2n y − 2n xf (2n y) n→∞ ≤ lim n ϕ(2n x, 2n y) n→∞ ≤ lim n ϕ(x, y) n→∞ = δ(xy) − δ(x)y − xδ(y) = lim Khi đó, ta có ≤ δ(xy) − δ(x)y − xδ(y) ≤ Suy δ(xy) − δ(x)y − xδ(y) = 0, kéo theo δ(xy) − δ(x)y − xδ(y) = Do đó, δ(xy) = δ(x)y + xδ(y) (3.25) 42 Như vậy, δ đạo hàm C ∗ -đại số Cuối cúng ta chứng minh δ Thật vậy, xét ánh xạ γ : A → A thỏa mãn (3.24), ta có ( δ(2n x) − γ(2n x) ) n ≤ n ( f (2x x) − δ(2n x) + f (2n x) − γ(2n x) ) L L ≤ n ϕ(2n x, 0) + ϕ(2n x, 0) 1−L 1−L L ϕ(2n x, 0) = = n 1−L δ(x) − γ(x) = Suy δ(x) = γ(x) Như vậy, δ : A → A ánh xạ thỏa mãn yêu cầu toán Kết hợp với (3.25) ta suy kết luận ánh xạ H : A → B đạo hàm C ∗ -đại số thỏa mãn f (x) − δ(x) ≤ L ϕ(x, 0) 1−L Do đó, định lý chứng minh xong 43 KẾT LUẬN Trong q trình làm nghiên cứu khoa học nhóm em tìm hiểu, nghiên cứu ổn định phương trình hàm C ∗ -đại số đạt kết sau 1) Củng cố lại số kiến thức không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian metric, ánh xạ liên tục, ánh xạ tuyến tính 2) Trình bày khái niệm, định lý đại số Banach, C ∗ -đại số 3) Trình bày chứng minh chi tiết số kết ổn định phương trình hàm có dạng f (qx + qy + qz) = f (x) + f (y) + f (z) q 4) Trình bày chứng minh chi tiết định lý ổn đinh phương trình hàm Jensen có dạng f C ∗ -đại số x+y x−y +f = f (x) 2 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đậu Thế Cấp (2003), Giải tích hàm, NXB Giáo Dục [2] Nguyễn Xuân Liêm (2005), Giải tích hàm, NXB Giáo Dục Tiếng Anh [3] Y Cho, C T M Rassias, R Saadati (2015), Stability of Functional Equations in Banach Algebras, Springer ... định lý ổn định phương trình hàm đại số Banach 4 Chương 3, trình bày định lý chứng minh chi tiết định lí ổn định phương trình hàm C ∗ -đại số 5 CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương dành cho việc trình. .. f đạo hàm A 27 CHƯƠNG SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG C ∗-ĐẠI SỐ Trong chương nghiên cứu ổn định số phương trình hàm quan trọng C ∗ -đại số cách sử dụng cách chứng minh trực tiếp phương. .. trình hàm C ∗ -đại số Ngồi ra, chúng tơi mong muốn đưa kết phục vụ cho lĩnh vực nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Sự ổn định phương trình hàm đại số Banach, ổn định phương trình hàm C ∗ -đại số,