Giáo trình môn học Toán kinh tế (Nghề: Kế toán doanh nghiệp): Phần 2

Chương 3: Tốn xác suất Giải tích tổ hợp 1.1 Tính giai thừa, hốn vị a Tính giai thừa Số đếm đƣợc hình thành từ xa xƣa lịch sử Khi toán học phát triển, số nhà toán học làm tốn lại quan tâm đến tích nh ng số đếm nhƣ x 2, x x Ngƣời ta gọi tích n số đếm n giai thừa, kí hiệu n! Ví dụ: 2! = x = 2, 3! = x x = Dựa vào khái niệm giai thừa, ta thấy (n + 1)! = (n + 1) x n! Chẳng hạn với n = 5! = x 4! Thật vậy, 5! = x x x x 5, x 4! = x (1 x x x 4) Do 5! = x 4! Ngƣời ta gọi (n + 1)! = (n + 1) x n! công thức truy hồi Muốn tính giai thừa số, ta tính theo giai thừa số bé Biết 4! = 24, muốn tính 6!, ta làm nhƣ sau: 5! = x 4! = x 24 = 120, 6! = x 5! = x 120 = 720 Công thức giai thừa xuất nhiều toán nhƣ hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp, lý thuyết số, giới hạn, số nguyên tố hay nh ng khai triển toán học theo chuỗi số Chẳng hạn số cách xếp hàng ngang bạn để chụp ảnh gọi hốn vị 3, 3! = Ví dụ với bạn A, B, C cách xếp hàng ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA Với cánh số đoạn thẳng nối điểm đƣợc gọi tổ hợp Cơng thức tính 5! : (2! x (5 - 2)!) hay 5! : (2! x 3!) = 120 : (2 x 6) = 120 : 12 = 10 Em vẽ thử xem Ở số loại máy tính cầm tay, ngƣời ta viết phím nCk để tổ hợp k n Với tốn ngơi 5C2 Ta tính 5C2 theo cách liệt kê: Chọn điểm A, B, C, D, E đếm số đoạn thẳng AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE Ta đƣợc đáp số 10 đoạn thẳng Bây ta giải thích phải có kí hiệu 0! 1! Theo khái niệm n! tích n số đếm Theo cơng thức truy hồi 2! = x 1! hay = x 1!, từ 1! = Đến tốn tổ hợp, chẳng hạn tính số đoạn thẳng nối điểm Đáp số rõ ràng Tức 2C2 = hay 2! : (2! x (2 - 2)!) = Từ : (2 x 0!) = 1, x 0! = 2, 0! = Vậy để đầy đủ khái niệm giai thừa cho số tự nhiên, ngƣời ta quy ƣớc 0! = 1! = b Hốn vị Giả sử có n phần tử Một hốn vị n phần tử cách xếp có thứ tự n phần tử vào n vị trí khác 50 Nhƣ việc lập hốn vị chia làm n giai đoạn: Giai đoạn việc lấy phần tử từ n phần tử cho có n cách lấy Giai đoạn việc lấy phần tử từ (n-1) phần tử cịn lại có (n-1) cách lấy Giai đoạn thứ n việc lấy phần tử từ phần tử lại cuối có cách lấy Do theo luật tích số hốn vị n phần tử Pn = n(n-1)(n-2) = n! Ví dụ: Có ba phần tử (a, b, c) số hoán vị phần tử là: P3 = 3.2.1 = Đó hoán vị abc, bac, acb, bca, cba, cab 1.2 Tổ hợp, chỉnh hợp a Tổ hợp Cho tập E gồm n phần tử Tổ hợp chập k từ n phần tử (k ≤ n) nhóm gồm k phần tử không phân biệt thứ tự đƣợc lấy đồng thời từ tập cho đƣợc ký hiệu: C k n C k n =  k n k! = n! k!(n  k )! Các tính chất: a C b C nk n k n 1 = C k = C k n n , k = 0, n + C k 1 n , k = 1, n Nhận xét: Hai tổ hợp khác có phần tử khác Tổ hợp khác chỉnh hợp việc không lƣu ý đến thứ tự xếp phần tử Ví dụ a Mỗi đề thi gồm câu hỏi lấy 25 câu hỏi cho trƣớc Hỏi lập đƣợc đề thi khác nhau? b Một đa giác lồi có n cạnh có đƣờng chéo? Giải: a Số đoạn thẳng có đầu mút đỉnh đa giác lồi n đỉnh số tổ hợp n chập 2, tức C n Do đó, số đƣờng chéo đa giác b Số đề thi lập nên C 25 = 25 24 23 25! = = 2300 3!22! 51 C n -n b Chỉnh hợp * Chỉnh hợp: Chỉnh hợp chập k từ n phần tử nhóm có thứ tự gồm k phần tử lấy từ n phần tử cho Đó nhóm gồm k phần tử khác đƣợc xếp theo thứ tự định Số chỉnh hợp nhƣ vậy, ký hiệu là:  = n(n-1) … (n – k + 1) = k n n! (n  k )! Ví dụ 1.2 Cho ch số 2, 3, 4, 5, 6,7 Hỏi a Có số tự nhiên gồm ch số đƣợc thành lập từ ch số này? b Có số tự nhiên gồm ch số khác chia hết cho đƣợc thành lập từ ch số này? Giải: a.Mỗi số gồm ch số thành lập từ ch số chỉnh hợp lặp chập Vậy, số số gồm ch số lập từ ch số là: F = = 216 b Số chia hết cho đƣợc thành lập từ ch số phải có tận ch số Do đó, cách thành lập số có ch số khác chia hết cho cách thành lập số có ch số khác từ ch số lại 2, 3, 4, 6, Vậy, số số có ch số khác chia hết cho thành lập từ ch số là: A 5! = 20 3! = * Chỉnh hợp lặp: Chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử nhóm có thứ tự gồm k phần tử giống lấy từ n cho Đó nhóm gồm k phần tử lặp lại đƣợc xếp theo thứ tự định Số chỉnh hợp lặp nhƣ vậy, ký  hiệu  k n = n k Ví dụ a Có cách xếp sách vào ngăn? b Một đề thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu, câu có phƣơng án trả lời Hỏi thi có tất phƣơng án trả lời? Giải: a Mỗi cách xếp sách vào ngăn chỉnh hợp lặp chập (mỗi lần xếp sách vào ngăn xem nhƣ chọn ngăn ngăn, có sách nên việc chọn ngăn đƣợc tiến hành lần) Vậy số cách xếp   = = 243 52 b Mỗi phƣơng án trả lời thi chỉnh hợp lặp chập 10, nên số phƣơng án trả lời thi   = 10 Phép thử, loại biến cố xác suất biến cố 2.1 Phép thử, biến cố Trong tự nhiên xã hội, tƣợng gắn liền với nhóm điều kiện tượng ảy nhóm điều kiện gắn liền với thực Do muốn nghiên cứu tƣợng ta cần thực nhóm điều kiện Nói cách khác, tượng tự nhiên ảy số điều kiện liên quan đến thực Việc thực h iện số điều kiện liên quan gọi phép thử Mỗi phép thử có nhiều kết khác nhau, kết gọi biến cố Ví dụ: a) Bật cơng tắc đèn, bóng đèn sáng không sáng Việc bật công tắc đèn thực phép thử, cịn bóng đèn sáng không sáng nh ng biến cố b) Gieo đồng xu (thực phép thử) hai biến cố xảy ra: xuất mặt sấp (biến cố A) xuất mặt ngửa (biến cố B) c) Bắn viên đạn vào bia (thực phép thử): viên đạn trúng đíc h viên đạn khơng trúng đích biến cố d) Gieo xúc xắc khối lập phƣơng (thực phép thử) có khả xảy ra: xuất mặt chấm, xuất mặt chấm, …, xuất mặt chấm Đó biến cố Vậy biến cố ảy phép thử thực Phép thử ngẫu nhiên phép thử thực ngƣời ta khơng đốn biết trƣớc đƣợc kết số kết có xảy Phép thử lý thuyết phải hiểu theo nghĩa rộng, nh ng thí nghiệm, quan sát, đo lƣờng, … chí q trình sản xuất sản phẩm đƣợc coi phép thử 2.2 Các loại biến cố Trong thực tế biến cố đƣợc chia làm ba loại a) Biến cố ngẫu nhiên: Là kết phép thử ngẫu nhiên Các biến cố ngẫu nhiên thƣờng đƣợc ký hiệu ch A, B, C … 53 b) Biến cố chắn: Là biến cố định xảy phép thử đƣợc thực Biến cố chắn ký hiệu ch U c) Biến cố khơng thể có: Là biến cố xảy phép thử đƣợc thực Biến cố khơng thể có đƣợc ký hiệu ch V Ví dụ: a Để cốc nƣớc nhiệt độ bình thƣờng ( 20 c ) (phép thử), “nƣớc đóng băng” biến cố khơng thể có b.Gieo xúc sắc (thực phép thử) Có biến cố ngẫu nhiên sau: Xuấthiện mặt chấm … Xuất mặt chấm U: “ xuất số chấm nhỏ 7” U biến cố chắn V: “ xuất mặt chấm” V biến cố khơng thể có Trong thực tế lấy ví dụ biến cố chắn biến cố khơng thể có nh ng tƣợng hiển nhiên vô lý khuôn khổ phép thử Tất biến cố mà gặp thực tế thuộc ba loại biến cố trên, nhiên biến cố ngẫu nhiên biến cố thƣờng gặp 2.3 Xác suất biến cố Ta thấy việc biến cố ngẫu nhiên xảy hay không xảy kết phép thử điều đoán trƣớc đƣợc, nhiên trực quan ta nhận thấy biến cố ngẫu nhiên khác có khả ảy khác Chẳng hạn biến cố “xuất mặt sấp” tung đồng xu có khả xảy lớn nhiều so với biến cố “xuất mặt chấm” tung xúc xắc Khi lặp lặp lại nhiều lần phép thử nh ng điều kiện nhƣ nhau, ngƣời ta thấy tính chất ngẫu nhiên biến cố dần khả ảy biến cố thể theo quy luật định Từ ta thấy đo lƣờng (định lƣợng) khả khách quan xuất biến cố Nói cách khác, khả xuất biến cố ngẫu nhiên nói chung khác nhau, để đo khả này, ngƣời ta phải tìm cơng cụ, cơng cụ xác suất Xác suất biến cố số đặc trưng khả khách quan uất biến cố thực phép thử 54 Khả khách quan nh ng điều kiện xảy phép thử quy định không tùy thuộc ý muốn chủ quan ngƣời Vậy chất xác suất biến cố số xác định Để tính xác suất biến cố, ngƣời ta xây dựng định nghĩa xác suất Có nhiều định nghĩa khác xác suất là: định nghĩa cổ điển, định nghĩa thống kê, định nghĩa hình học định nghĩa theo tiên đề Định lý cộng xác suất Từ định nghĩa xác suất, ta suy đƣợc tính chất sau xác suất: + Nếu A, B hai biến cố xung khắc P(A + B) = P(A) + P(B) + Tổng quát, A1, A2, , An n biến cố xung khắc đơi - Nếu A, B hai biến cố P(A  B) = P(A) + P(B) – P(AB) - Nếu A, B, C ba biến cố P(A  B  C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC) Ví dụ Trong lớp học, tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi mơn Tốn 10%, tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi môn Anh 9% giỏi hai môn 5% Chọn ngẫu nhiên học sinh lớp Tính xác suất để học sinh khơng đạt điểm giỏi mơn Tốn lẫn mơn Anh? Giải: Gọi A biến cố “Sinh viên đạt điểm giỏi mơn Tốn”, B biến cố “Sinh viên đạt điểm giỏi mơn Anh” Theo giả thiết P(A) = 0,01, P(B) = 0,09 P(AB) = 0,05 gọi C biến cố “Sinh viên khơng đạt điểm giỏi mơn Tốn lẫn mơn Anh” C biến cố “Sinh viên đạt điểm giỏi mơn Tốn mơn Anh” hay C = A  B Theo định lý cộng xác suất (1.3), ta có P(C) = P(A  B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,01 + 0,09 – 0,05 = 0,14 Suy P( C ) = – P(C) = – 0,14 = 0,86 Định lý nh n xác suất a Xác suất có điều kiện Xác suất có điều kiện biến cố A với điều kiện B xảy ra, ký hiệu P( A | B) , đƣợc xác định công thức: P( A | B) = P( AB ) P( B) Ví dụ: Một hộp chứa 10 viên bi giống nhau, có bi xanh bi trắng Ngƣời thứ lấy ngẫu nhiên bi (không trả lại vào hộp) Tiếp đó, ngƣời thứ lấy bi Tính xác suất để ngƣời thứ lấy đƣợc bi xanh biết ngƣời thứ lấy đƣợc bi xanh? 55 Giải: Gọi A biến cố “Ngƣời thứ lấy đƣợc bi xanh” B biến cố “Ngƣời thứ lấy đƣợc bi xanh” Khi đó, xác suất P(B) phụ thuộc vào việc A xảy hay không xảy + Nếu A xảy xác suất B 5/9 ký hiệu P(B | A) = 5/9 + Nếu A không xảy xác suất B 6/9, ký hiệu P( B | A ) = 6/9 Nhƣ vậy, việc xảy hay không xảy A ảnh hƣởng đến khả xảy B Xác suất B điều kiện A xảy đƣợc gọi xác suất có điều kiện B điều kiện A xảy ra, ký hiệu P(B | A) b Định lý nhân xác suất Với A, B biến cố bất kỳ, ta có P(A.B) = P(B) P(A/B) = P(A) P(B/A) Tổng quát với A1, A2, , An n biến cố bất kỳ, ta có: P( A1 An ) = P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 ) P( An | A1 A2 An-1 ) Hệ quả: - Nếu hai biến cố A B độc lập với P( AB) = P( A).P(B) - Tổng quát {A1, A2, , An} độc lập tồn thể P( A1 A2 An ) = P( A1 ) P( An ) Ví dụ Hai xạ thủ bắn ngƣời viên vào mục tiêu Xác suất trúng đích xạ thủ 0,7; xạ thủ 0,6 Tính xác suất để mục tiêu bị trúng đạn? Giải: Gọi A biến cố “xạ thủ bắn trúng mục tiêu” B biến cố “xạ thủ bắn trúng mục tiêu” H biến cố “mục tiêu bị trúng đạn” Lúc đó, P(A) = 0,7, P(B) = 0,6 H = A  B Theo công thức cộng xác suất, P(H) = P(A  B) = P(A) + P(B) – P(AB) Mặt khác, hai biến cố A B độc lập với nên P(AB) = P(A).P(B) = 0,7.0,6 = 0,4 Suy ra, xác suất để mục tiêu bị trúng đạn : P(H) = 0,7 + 0,6 – 0,42 = 0,88 Công thức Bernoull 5.1 Định nghĩa Một phép thử biến cố A xảy với xác suất p không xảy với xác suất q = – p đƣợc gọi phép thử Bernoulli Tiến hành lặp lại phép thử Bernoulli n lần độc lập nhau, ta có dãy n phép thử Bernoulli hay cịn gọi lƣợc đồ Bernoulli 56 Ví dụ: tỷ lệ nảy mầm loại hạt giống 75%, ngƣời ta gieo thí điểm 10 hạt Đó dãy 10 phép thử Bernoulli 5.2.Cơng thức Bernoulli Bài tốn đặt ra: Tìm xác suất để n phép thử Bernoulli, biến cố A xuất k lần Định lý: Xác suất để n phép thử Bernoulli, biến cố A xuất k lần, ký hiệu Pn (k ) , đƣợc tính theo công thức: k Pn (k ) = C n p k q nk với k = 0, 1, ……, n Ví dụ1 Xác suất thành cơng thí nghiệm sinh học 0,7 Một nhóm gồm sinh viên tiến hành thí nghiệm cách độc lập Tính xác suất để thí nghiệm: a Có thí nghiệm thành cơng a Có từ đến thí nghiệm thành cơng b Có thí nghiệm thành công Giải: a Gọi A biến cố “thí nghiệm thành cơng” Khi đó, P(A) = p = 0,7 Xác suất để có thí nghiệm thành cơng đƣợc tính theo cơng thức Bernoulli P(3; 0, 7) = C3 (0, 7)3 (0, 3)2 = 0,3087 b Xác suất để có từ đến thí nghiệm thành cơng P(2, 4) = C2 (0, 7)2 (0, 3)3 + C5 (0, 7) (0, 3) + C5 (0, 7) (0, 3) = 0,80115 c.Gọi B biến cố “có thí nghiệm thành cơng” Khi đó, B biến cố “khơng có thí nghiệm thành cơng” Ví dụ 2: Sản phẩm nhà máy đƣợc đóng thành kiện, kiện gồm 10 sản phẩm, số sản phẩm loại A hộp X có phân phối nhƣ sau: X P 0,9 0,1 Khách hàng chọn cách kiểm tra nhƣ sau: Từ kiện lấy sản phẩm; thấy sản phẩm loại A nhận kiến đó; ngƣợc lại loại kiện Kiểm tra 144 kiện (trong nhiều kiện) a Tính xác suất để có 53 kiện nhận đƣợc 57 b Tính xác suất để có từ 52 đến 56 kiện nhận đƣợc c Phải kiểm tra kiện để xác suất có kiện đƣợc nhân không nhỏ 95% ? Bài giải Trƣớc hết ta tìm xác suất p để kiện nhận đƣợc Gọi C biến cố kiện hàng đƣợc nhận Ta cần tìm p = P(C) Từ giả thiết ta suy có hai loại kiện hàng: Loại I: Gồm 6A, 4B chiếm 0,9 = 90% Loại II: Goomg 8°, 2B chiếm 0,1 = 10% Gọi A1, A2 lần lƣợt biến cố kiện hàng thuộc loại I, II A1, A2 hệ đầy đủ, xung khắc đơi ta có P(A1) = 0,9; P(A2) = 0,1 Theo công thức xác suất đầy đủ ta có: P(C) = P(A1) P(C/A1) + P(A2) P(C/A2) Theo giả thiết, từ kiện lấy sản phẩm; sản phẩm thuộc loại A nhận kiện Do P(C/A1) = P2(2) = CC C = = 28 45 10 P(C/A2) = P2(2) = CC C 10 Suy P(C) = 0,9 1/3 + 0,1 28/35 = 0,3622 Vậy xác suất để kiện đƣợc nhận p = 0,3622 Bây giờ, kiểm tra 144 kiện Gọi X số kiện đƣợc nhận 144 kiện đƣợc kiểm tra, X có phân phối nhị thức X ~ B(n,p) với n = 144, p = 0,3622 Vì n = 144 lớn p = 0,3622 không gần khơng q gần nên ta xem X có phân phối chuẩn nhƣ sau: X ~ N(  , ) Với  = n.p = 144 0,3622 = 52,1568  = npq = 144.0,3622.(1  0,3622) = 5,7676 c.Phải kiểm tra kiện để xác suất có kiện đƣợc nhận không nhỏ 95%? Gọi n số kiện cần kiểm tra D biến cố có kiện đƣợc nhận Yêu cầu toán xác định n nhỏ cho P(D) ≥ 0,95 58 Biến cố đối lập D D : khơng có kiện đƣợc nhận Theo chứng minh trên, xác suất để kiện đƣợc nhận p = 0,3622 Do Theo cơng thức Bernoulli ta có: P(D) = – P( D ) = - q n = – (1 – 0,3622)n = – (0,6378)n Suy ra: P(D) ≥ 0,95 ↔ – (0,3622)n ≥ 0,95 ↔ (0,3622)n ≤ 0,05 ↔n ln (0,3622)n ≤ ln 0,05 ↔n≥ ln 0,05  6,6612 ln (0,6378) ↔n≥7 Vậy kiểm tra kiện Ta có P(B) = P(0;0,7)C0(0,7)0 (0,3)5 = 0,00243 Suy ra: P( B ) = – P(B) = – 0,00243 = 0,99757 Công thức xác suất đầy đủ Bayes a) Hệ đầy đủ biến cố Hệ biến cố (B1, B2, …, Bn) đƣợc gọi đầy đủ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: - B1, B2, …, Bn biến cố xung khắc đôi nghĩa là: BiBj =  ( i  j )  = B1  B2  …  Bn Hệ (B, B ) hệ đầy đủ, biến cố b) Công thức xác suất đầy đủ Giả sử (B1, B2, …, Bn) hệ đầy đủ biến cố với P(Bi) > với i = 1, 2, …, n Khi với biến cố A, ta có P(A) = P(B1)P(A/B1) + P(B2)P(A/B2) + … + P(Bn)P(A/Bn) Ví dụ: Có hộp giống Hộp thứ đựng 10 sản phẩm, có phẩm, hộp thứ hai đựng 15 sản phẩm, có 10 phẩm, hộp thứ ba đựng 20 sản phẩm, có 15 phẩm Lấy ngẫu nhiên hộp từ lấy ngẫu nhiên sản phẩm Tìm xác suất để lấy đƣợc phẩm Lời giải: Ký hiệu Bk biến cố: “Sản phẩm lấy thuộc hộp thứ k“, k = 1, 2, cố: “Lấy đƣợc phẩm” Khi B1, B2, …, Bn hệ đầy đủ biến cố 59 biến ... 1 (1 – 3,5 )2 + (2 – 3,5 )2 + (3 – 3,5 )2 + (4 – 3,5 )2 + (5 – 3,5 )2 6 6 35 (6 – 3,5 )2 = 12 Chúng ta sử dụng cách tính: D(X) = E(X2) – E2(X) E(X2) = 2 2 2 91 + + + + + = 6 6 6 7   ? ?2? ?? 91 Vậy D(X)... P(A2) P(C/A2) Theo giả thiết, từ kiện lấy sản phẩm; sản phẩm thuộc loại A nhận kiện Do P(C/A1) = P2 (2) = CC C = = 28 45 10 P(C/A2) = P2 (2) = CC C 10 Suy P(C) = 0,9 1/3 + 0,1 28 /35 = 0,3 622 Vậy... chập 2, tức C n Do đó, số đƣờng chéo đa giác b Số đề thi lập nên C 25 = 25 24 23 25 ! = = 23 00 3 !22 ! 51 C n -n b Chỉnh hợp * Chỉnh hợp: Chỉnh hợp chập k từ n phần tử nhóm có thứ tự gồm k phần