Giáo trình môn học toán ứng dụng nghề quản trị mạng máy tính (trình độ cao đẳng nghề)

BỘ LAO ĐỘNG ­ THƯƠNG BINHVÀ XàHỘI TỔNG CỤC DẠY NGHỀ GIÁO TRÌNH Mơn học: TỐN ỨNG DỤNG NGHỀ: QUẢN TRỊ MẠNG MÁY TÍNH TRÌNH ĐỘ: CAO ĐẲNG NGHỀ ( Ban hành kèm theo Quyết định số:120/QĐ­TCDN ngày 25 tháng 02 năm 2013 của Tổng   cục trưởng Tổng cục dạy nghề) Hà Nội, năm 2013 TUN BỐ BẢN QUYỀN: Tài liệu này thuộc loại sách giáo trình nên các nguồn thơng tin có thể được phép  dùng ngun bản hoặc trích dùng cho các mục đích về đào tạo và tham khảo Mọi mục đích khác mang tính lệch lạc hoặc sử  dụng với mục đích kinh doanh  thiếu lành mạnh sẽ bị nghiêm cấm MàTÀI LIỆU: MH 11 LỜI GIỚI THIỆU Trong những năm qua, dạy nghề đã có những bước tiến vượt bậc cả về số lượng và   chất lượng, nhằm thực hiện nhiệm vụ đào tạo nguồn nhân lực kỹ thuật trực tiếp đáp ứng   nhu cầu xã hội. Cùng với sự  phát triển của khoa học cơng nghệ  trên thế  giới, lĩnh vực  Cơng nghệ thơng tin nói chung và ngành Quản trị mạng ở Việt Nam nói riêng đã có những   bước phát triển đáng kể Chương trình dạy nghề  Quản trị  mạng đã được xây dựng trên cơ  sở  phân tích nghề,  phần kỹ năng nghề được kết cấu theo các mơđun. Để  tạo điều kiện thuận lợi cho các cơ  sở  dạy nghề  trong q trình thực hiện, việc biên soạn giáo trình theo các mơđun đào tạo   nghề là cấp thiết hiện nay Mơn học 11: Tốn  ứng dụng là mơnhọc đào tạo nghề  được biên soạn theo hình thức  tích hợp lý thuyết và thực hành. Trong q trình thực hiện, nhóm biên soạn đã tham khảo  nhiều tài liệu liên quan, kết hợp với các kinh nghiệm trong thực tế.  Mặc dầu có rất nhiều cố  gắng, nhưng khơng tránh khỏi những khiếm khuyết,   rất  mong nhận được sự đóng góp ý kiến của độc giả để giáo trình được hồn thiện hơn                          Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 25 tháng 02 năm 2013 Tham gia biên soạn Chủ biên ThS. Nguyễn Như Thành ThS. Ngơ Thị Thanh Trang MỤC LỤC TỐN ỨNG DỤNG Mã mơn học: MH11 I. VỊ TRÍ, TÍNH CHẤT, Ý NGHĨA VÀ VAI TRỊ CỦA MƠN HỌC: ­ Vị trí: Mơn học được bố trí sau khi sinh viên học xong các mơn học chung ­ Tính chất: Là mơn học cơ sở nghề ­ Ý nghĩa: Đây là mơ đun đào tạo chun mơn nghề, cung cấp cho sinh viên các kỹ năng  cơ bản nhất của nghề Quản trị mạng II. MỤC TIÊU MƠN HỌC: ­ Vận dụng các kiến thức đã sinh viên viên xây dựng các thuật tốn tính : tổ hợp, hốn vị,   giải hệ phương trình, phương trình, tính tích phân; ­ Sử  dụng các kiến thức đã sinh viên viên xây dựng thuật tốn quay lại, các bài tốn tối  ưu, bài tốn tồn tại; ­ Là nền tảng để sinh viên học mơn cấu trúc dữ liệu và giải thuật, cài đặt các thuật tốn  trong tin học; ­ Bố trí làm việc khoa học đảm bảo an tồn cho người và phương tiện học tập III. NỘI DUNG CỦA MƠN HỌC: Số TT I II III IV Tên chương,  mục Quan   hệ   ­  Suy   luận  tốn học Quan hệ  hai  ngơi Suy   luận  tốn học Ma   trận   và  thuật tốn Ma trận Thuật tốn  Tính   tốn  và xác suất Tính tốn Xác suất Phương  pháp tính Số xấp xỉ và  sai số Giải   gần    các  phương  trình Giải   hệ  thống  Thời gian  Tổng số Lý thuyết Thực hành  Bài tập Kiểm tra* LT hoặc TH 12 18 13 24 18 5 phương  trình   đại   số  tuyến tính Nội   suy   và  phương  pháp   bình  phương   cực  tiểu Cộng 60 45 12 Chương 1. QUAN HỆ VÀ SUY LUẬN TOÁN HỌC Mã chương: MH11­01 Mục tiêu: ­ Trình bày được các phép tốn trong quan hệ hai ngơi; ­ Trình bày được thứ tự các phép tốn trong biểu thức; ­ Biến đổi chính xác các quan hệ tương đương trong các bài tốn theo dạng quan hệ; ­ Trả lời chính xác các bảng trắc nghiệm về quan hệ hai ngơi và suy luận tốn học; ­ Kiểm tra tính đúng của một chương trình cụ thể; ­ Áp dụng được giải thuật quy nạp và đệ qui; ­ Thực hiện các thao tác an tồn với máy tính Nội dung: Quan hệ hai ngơi Mục tiêu: ­ Trình bày được các phép tốn trong quan hệ hai ngơi; ­ Trình bày được thứ tự các phép tốn trong biểu thức; ­ Biến đổi chính xác các quan hệ tương đương trong các bài tốn theo dạng quan hệ Khái niệm về quan hệ hai ngơi Giả sử cho tập X khác rỗng và một tính chất được thoả mãnvới một sốcặp phần tử  a, b nào đó của X . Khi đó ta nói a có quan hệ với bvà viết a b, cịn  được gọi là một quan   hệ hai ngơi trong X Ví dụ 1.1: 1) Trong tập R mọi số  thực, quan hệ  “a = b” hoặc quan hệ “a  b” là quan hệ  hai   ngơi 2) Trong tập mọi đường thẳng trên mặt phẳng, quan hệ vng góc giữa hai đường   thẳng là quan hệ hai ngơi 3) Trên tập N* các số ngun dương, “ a là ước số của b” là quan hệ hai ngơi 4) Trên tập P(E) các phân tập của tập E quan hệ bao hàm A B là quan hệ hai ngơi Các tính chất có thể có của quan hệ trong một tập hợp Quan hệ  trong tập X (tức X2) có thể có các tính chất sau: ­ Tính phản xạ : a  a a  X (tức là (a, a)a X ) ­ Tính đối xứng : a b  b a (tức nếu (a, b)  thì (b, a)  ) ­ Tính phản đối xứng : (ab và ba ) a = b ­ Tính bắc cầu : (ab) và (bc) ac Ví dụ 1.2: Trong tập hợp P(X) các phân tập của tập hợp X quan hệ bao hàm A B có tính phản   xạ, phản đối xứng và bắc cầu mà khơng có tính đối xứng Trong tập hợp mọi đa thức của một biến số thực, quan hệ bằng nhau có tính phản  xạ, đối xứng và bắc cầu Quan hệ tương đương Quan hệ  trong tập X   gọi là quan hệ  tương đương nếu nó có tính phản xạ, đối   xứng, bắc cầu Trong trường hợp này, ta viết a ~ b thay vì ab  Ví dụ1.3: Quan hệ song song giữa các đường thẳng trong tập mọi đường thẳng của  khơng gian (coi 2 đường thẳng trùng nhau là song song); quan hệ đồng dạng giữa các tam  giác; quan hệ cùng tỉnh của một tập hợp dân một thành phố là các ví dụ trực quan của quan   hệ tương đương Các lớp tương đương : Giả   sử   ~       quan   hệ   tương   đương     X   Với     phần   tử   aX,   ta ký hiệu C(a) là tập hợp mọi phần tử thuộc X tương đương với a và gọi nó là lớp tương  đương chứa a C(a) = {xX / x ~ a} Do   tính   phản   xạ   a   ≈   a   nên     tập     C(a)   không   rỗng   Hơn       C(a)C(b)Ø thì c(a) = c(b) Thật vậy, giả sử cC(a)C(b), thì ta có : cC(a) và cC(b) Tức là c ~ a và c ~ b, hay b ~ c ~ a. Từ đó do tính chất bắc cầu, suy ra b ~ a, vậy   bC(a) Lập luận tương tự ta cũng có aC(b), tức là C(a) = C(b) Từ đó rút ra được định lý : Một quan hệ  tương đương trong X xác định một phân hoạch của X, mỗi phần tử  của phân hoạch này là một lớp tương đương Họ các lớp tương đương này được gọi là tập thương, ký hiệu X/~ Ví dụ 1.4: Trong tập các số ngun Z Xét quan hệ R :  aba – b = 2p a, b, p  Z Ta có : (a a)  a – a = 2p (p = 0) phản xạ (a b) a – b = 2p  (b – a) = ­2p (b a) đối xứng a – b = 2p, b – c = 2q  (a – c) = (a – b) + (b – c) = 2(p + q) bắc cầu Vậy là một quan hệ tương đương Ta có : a = b + 2p ­ Lớp tương đương ứng với b = 0 là các số chẳn ­ Lớp tương đương ứng với b = 1 là các số lẻ Quan hệ thứ tự Định nghĩa 1.1:Quan hệ trong X gọi là quan hệ thứ tự (hay quan hệ bộ phận) nếu   có tính phản đối xứng và bắc cầu Nếu ngồi ra với bất kỳ hai phần tử nào xX, y Y  đều có xy hoặc yx thìgọi là quan  hệ thứ tự tồn phần (hay thứ tự tuyến tính) Khilà một quan hệ thứ tự trong X ta nói X được xếp thứ tự bởivà thayvìxy  ta viết x   y và đọc “x bé hơn y” hoặc “x đi trước y”. Ta cũng viết y  x và đọc “y lớn hơn x” hoặc “y   đi sau x” Nếu x y  và x  y ta viết x  x) Ví dụ 1.5:  Quan hệ  0 và khi n = 0 thì a0 = 1. Vậy để tính an ta quy về các trường hợp có số mũ nhỏ hơn,  cho tới khi n = 0. Xem thuật tốn 1 sau đây : Thuật tốn 1: thuật tốn đệ quy tínhan Procedure power(a: số thực khác khơng ; n: số ngun khơng âm); Begin if n = 0 then power(a,n): = 1 elsepower(a,n): = a * power(a,n – 1); End; Định nghĩa đệ quy biểu diễn giá trị của hàm tại một số ngunqua giá trị của nó tại  các số ngun nhỏ hơn.Điều này có nghĩa là ta có thể xây dựng một thuật tốn đệ quy tính  giá trị của hàm được định nghĩa bằng đệ quy tại một điểm ngun Ví dụ 2.7: Thủ tục đệ quy sau đây cho ta giá rị của n! với n số ngun dương Giải: Ta xây dựng thuật tốn đệ quy như định nghĩa đệ quy của n! , đó là n! = n.(n­ 1)! với n>1 và khi n = 1 thì 1!=  1.  Thuật tốn 2: thuật tốn đệ quy tính giai thừa Procedure factorial(n: ngun dương); Begin if n = 1 then factorial(n): = 1 elsefactorial(n): =  n * factorial(n – 1); End; Có cách khác tính hàm giai thừa của một số  ngun từ  định nghĩa đệ  quy của   nó.Thay cho việc lần lược rút gọn việc tính tốn cho các giá trị  nhỏ  hơn, chúng ta có thể  xuất phát từ giá trị của hàm tại 1 và lần lược áp dụng định nghĩa đệ quy để tìm giá trị của   hàm tại các số ngun lớn dần.Đó là thủ tục lặp. Nói cách khác để tìm n! ta xuất phát từ n!  = 1 (với n = 1), tiếp theo lần lượt nhân với các số  nguncho tới khi bằng n. Xem thuật   tốn 3: Thuật tốn 3: Thủ tục lặp tính giai thừa Procedure  factorial(n: ngun dương); Begin x : = 1; for i : = 1 to n x : = i*x; End; {x là n!} 2.4 Tính đúng đắn của chương trình Mở đầu Giả sử rằng chúng ta thiết kế được một thuật tốn để  giải một bài tốn nào đó và   dã viết chương trình để thể hiện nó. Liệu ta có thể tin chắc rằng chương trình có ln ln   cho lời giải đúng hay khơng ?Sau khi tất cả các sai sót về mặc cú pháp được loại bỏ, chúng  ta có thể  thử  chương trình với các đầu vào mẫu.Tuy nhiên, ngay cả  khi chương trình cho   kết quả  đúng với tất cả  các đầu vào mẫu, nó vẫn có thể  ln ln tạo ra các câu trả  lời   57 1 1,11998 ­1,11998 0,00000 ­1,00000 0,00000 ­1,0000 0,00000 3,0000 4,00000 2,0000 3,00000 1,0000 2,00000 Quá  trình  ngược 31.Nội suy và phương pháp bình phương cực tiểu Mục tiêu: ­ Xác định được bài tốn nội suy; ­ Mơ   tả     phương  pháp  nội  suy  đa  thức,   biết  cách   tìm     đa  thức   nội  suy  theo  cácphương pháp đó; ­ Xác định và giải được các bài tốn bằng phương pháp bình phương cực tiểu; ­ Biết cách đánh giá sai số của các phương pháp 4.1.1  Đa thức nội suy Trong thực tế, nhiều khi gặp  những hàm số y = f(x) mà khơng biết biểu thức giải  tích cụ thể f của chúng, ta chỉ biết các giá trị yo, y1,   yn của hàm số tại các điểm khác nhau  xo, x1,   xn  của đoạn [a,b]. Các giá trị  này có thể  nhận được thơng qua thí nghiệm, đo   đạc,  Khi sử dụng những hàm số trên, ta cần biết các giá trị của chúng tại các điểm khơng   trùng với xi (i = 0, 1, 2,  , n). Muốn thế, ta tìm cách xây dựng một đa thức : Pn(x) = aoxn + a1xn­1 +   + an­1x + an thoả mãn :  Pn(xi)  =  f(xi)  = yi, i = 0,1,2,  , n (4.1) Pn(x) gọi là đa thức nội suy của hàm f(x), các điểm xi, i =   gọi là các nút nội suy. Về  hình học, có nghĩa là tìm đường cong : Y = Pn(x) =  aoxn + a1xn­1 +   + an­1x + an Đi qua các điểm Mi(xi, yi) đã biết (i = ) của đường cong y = f(x) Hình 4.4: Đường cong y=f(x) và y=Pn(x) 58 Sau đó, ta dùng đa thức Pn(x) thay cho hàm số f(x) để tính gần đúng giá trị của hàm  số f(x) tại các điểm x   xi  (i = ). Nếu điểm x   (xo, xn) thì phép tính trên gọi là phiép tính  nội suy. Nếu điểm x   (xo, xn) (x ở ngồi (xo, xn)) thì phép tính trên gọi là phép tính ngoại  suy Sở dĩ ta chọn đa thức Pn(x) vì trong tính tốn, đa thức là hàm số dễ tính nhất Nhằm giảm bớt khối lượng tính, người  ta cũng dùng đa thức nội suy Pn(x) thay cho  hàm số f(x) để tính gần đúng giá trị của hàm số f(x) tại các điểm x   xi(i = ) trong trường  hợp biểu thức giải tích cụ thể của hàm số f(x) đã biết nhưng tương đối phức tạp, nhất là  khi phải tính nhiều giá trị Về sự duy nhất của đa thức nội suy, ta có định lý sau :  Định lý 4.1: Đa thức nội suy Pn(x) của hàm số f(x), nếu có, thì chỉ có một mà thơi Chứng minh : Giả sử  những điều kiện (4.1), ta xây dựng được hai đa thức nội suy   khác nhau Pn(x) và Qn(x) với : Pn(xi) = yi; Qn(xi) = yi (i =  ) Khi đó Pn(x) ­ Qn(x) là một đa thức bậc  khơng lớn hơn n, nhưng lại triệt tiêu tại n +   1 điểm xi khác nhau vì : Pn (xi) ­ Qn(xi) = yi ­ yi = 0(i =  ) Vậy : Pn(x) ­ Qn(x) = 0 (nghĩa là Pn(x) ­ Qn(x) bằng khơng với mọi x), hay : P n(x) =  Qn(x). Đó là điều phải chứng minh 4.1.2  Tính giá trị của đa thức : sơ đồ Hcne Cho đa thức bậc n : Pn(x) = aoxn + a1xn­1 +    + an­1x + an Với hệ số thực ak (k = 0, 1, 2,  , n), cần tính giá trị của đa thức tại x = c : Ph(c) = aocn + a1cn­1 +   + an­1c + an (4.2) Cách tính Pn(c) tiết kiệm nhất về số phép tính như sau : ta viết (4.2) dưới dạng :  Pn(c) = ( ((((aoc + a1)c + a2)c + a3)c +   + an ­1)c + an) Vậy để tính Pn(c), chỉ cần tính lần lượt các số : bo =   ao b1 =   a1 + boc b2 =   a2 + b1c b3 =   a3 + b2c bn = an + bn ­ 1c = Pn(c) Để tiện tính tốn, người ta thường dùng sơ đồ sau, gọi là sơ đồ Hcne : ao + bo a1 a2 an boc b1c bn­1c b1 B2 bn =  Pn(c) Ví dụ : Dùng sơ đồ Hcne, tính giá trị của : P3(x) =  3x3 + 2x2 ­ 5x + 7 C 59 Tại x = 3 Giải : Ta có :  + ­5 33 84 11 28 91= P3(3) 4.1.3 a.i.1.a  Đa thức nội suy Lagrăng Thành lập đa thức nội suy Lagrăng  Giả sử trên [a,b] cho  n +1 giá trị khác nhau của đối số : x o, x1,  , xn và biết, đối với  hàm số y = f(x), những giá trị tương ứng : Bây giờ  ta xây dựng đa thức nội suy L n(x), bậc khơng cao hơn n, thoả  mãn điều  kiện : Theo cách của Lagrăng Trước hết, xây dựng đa thức li(x) thoả mãn điều kiện :  (*) Vì đa thức li(x) phải tìm triệt tại n điểm xo, x1,  , xi­1,  xi+1,   , xn nên li(x) có thể  viết dưới dạng :  li(x) = Ci(x ­ x0) (x ­ x1)   (x ­ xi­1)(x ­ xi+1)   (x ­ xi+1)   (x ­ xn)   (4.3) trong đó Ci là  hằng số phải tìm Đặt x  =  xi trong  (4.3) và để ý điều kiện (4.3), ta có :  li(xi) = Ci(xi ­ x0) (xi ­ x1)   (xi ­ xi­1)(xi ­ xi­1)   (xi ­ xi+1)   (xi ­ xn)  Trong đó : Thay vào (6.32), ta có :  (4.4) Đa thức li(x) bậc n được gọi là đa thức Lagrăng cơ bản Bây giờ, ta xét đa thức sau : (4.5) Dễ thấy rằng bậc của đa thức Ln(x) khơng cao hơn n và do điều kiện (*), có : (4.6) Vậy đa thức Ln(x), xác định bởi (4.44) là đa thức nội suy phải tìm. Thay biểu thức   của li(x) từ (4.44) vào (4.45), nhận được :  (4.7) Đây là đa thức nội suy Lagrăng Sau đây là sẽ xét hai trường hợp hay sử dụng của đa thức nội suy Lagrăng i) Nội suy bậc nhất hay nội suy tuyến tính : Khi n = 1, ta có hai nút nội suy xo và x1, và : (4.8) Phương trình y = L1(x) chính là phương trình đường thắng đi qua hai điểm Mo(xo,  yo) và M1(x1 , y1) 60 ii) Nội suy bậc hai : Khi n = 2, ta có nút nội suy xo, x1, x2 và : (4.9) Phương   trình   y   =   L2(x)       phương   trình   đường   parabol     qua   ba   điểm  Mo(xo,yo), M1(x1, y1) và M2(x2, y2) Ví dụ 4.1:  Hãy xây dựng đa thức nội suy Lagrăng của hàm số y =  sin x, chọn các  nút nội suy là : xo = 0, x1 =  và x2 =  Giải: Ta có : yo =  sin0 = 0;  y1 = sin. Áp dụng cơng thức (4.9), nhận được :  Ví dụ 4.2 : Cho bảng giá trị hàm số y = log10x X 300 304 305 307 Y 2,4771 2,4829 2,4843 2,4871 Tính gần đúng log10301 bằng đa thức nội suy Lagrăng Giải : Dùng (6.35) với n = 3, ta có :                   +                    = 1,2739  +  4,9 658 ­ 4,4717  + 0,7106  =  2,4786  a.i.1.b Đánh giá sai số : Để đánh giá độ lệch giữa đa thức nội suy Lagrăng Ln(x) và hàm số f(x) tại các điểm  x   xi (i = ) ta xét định lý sau :  Định lý 2 : Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm liên tục đến cấp n   + 1 trong  (a,b) thì sai số nội suy Rn(x) = f(x) ­ Ln(x) có dạng sau : (4.10) Trong đó c phụ thuộc x và   [a,b],  n+1(x) = (x ­ xo)(x ­ x1)   (x ­ xn) Chứng minh : Xét hàm số phụ sau :  u(x) = f(x) ­ Ln(x) ­ k n+1(x) (4.11) Trong đó k là hằng số sẽ lựa chọn sau Hàm số  u(x) có n+1 nghiệm tại các điểm x o, x1,   , xn. Bây giờ  ta chọn k sao cho   hàm số  u(x) có nghiệm thứ  n + 2 tại một điểm bất kỳ  nhưng cố  định   của [a,b], khơng   trùng với các nút nội suy. Muốn thế, chỉ cần cho : f() ­  Ln() ­ k n+1() = 0 Vì k n+1()   0 nên : Với giá trị  k vừa chọn, hàm số  u(x) bằng 0 tại n + 2 điểm : xo, x1, x2,  , xn,  trên  [a,b]. Ap dụng định lý Rơn, thấy rằng đạo hàm u’(x) có khơng ít hơn n+1 nghiệm trên [a,b].  Lại áp dụng định lý Rơn vào đạo hàm u’(x), thấy rằng đạo  hàm cấp hai u’’(x) có khơng ít   hơn nghiệm trên [a,b]. Tiếp tục lập luận như trên, thấy rằng trên [a,b] đạo hàm u (n+1)(x) có  ít nhất một nghiệm c, nghĩa là :  u(n+1)(c) = 0 Vì  Nên theo (4.11) có :   ! 61 Tại x = c, nhận được : hay (4.12) Từ (6.40) và (6.41) suy ra : và : (4.13) Vì  là một điểm bấ kỳ của [a, b] khơng trùng với các nút nội suy, nên có thể viết lại   (4.13) dưới dạng : (4.14) trong đó : c phụ thuộc x và nằm trên [a,b]. Đó là cơng thức xác định số hạng dư của   đa thức nộ suy Ln(x) Chú ý rằng (4.14) đúng với mọi điểm của [a,b], kể cả những điểm nút nội suy Đặt Mn+1=  , nhận được đánh giá sau đối với sai số  tuyệt đối của đa thức nội suy   Lagrăng : (4.15) Ví dụ 4.3 : Cho bảng giá trị của hàm số y = sinx như sau : X Y 0,707 Tính gần đúng sin bằng đa thức nội suy Lagrăng và đánh giá sai số  của giá trị  gần  đúng nhận được Giải : Dùng (4.9), ta có :  Để đánh giá sai số của giá trị gần đúng nhận được, ta dùng (4.15) Vì , nên :  và  4.1.4  Đa thức nội suy Newton Bây giờ ta xét một cách khác để xây dựng đa thức nội suy: cách của Niutơn. Trước   hết ta đưa vào khái niệm tỉ hiệu Giả sử hàm y = y(x) có bảng giá trị là bằng 4­1 ở mục 1. Tỉ hiệu cấp một của y tại  xi, xjlà : Tỉ hiệu cấp hai của y tại xi, xj, xklà : Với y(x) = P(x) là một đa thức bậc 2 thỉ tỉ hiệu cấp một tại x, là : Là một đa thức bậc n ­1, tỉ hiệu cấp hai tại x, xo, x1 là  Là một đa thức bậc n ­2,    tỉ hiệu cấp n + 1  62 Từ định nghĩa của các tỉ hiệu ta suy ra : Pn(x)  = Pn(xo) + (x ­ xo) Pn (x, xo) Pn[x, xo]  =  Pn[xo, x1] + (x ­ x1) Pn(x, xo, x1) Pn[x, xo, x1]  = Pn[xo, x1, x2]  + (x ­ x2)Pn [x, xo, x1, x2]  . . . .  Pn[x, xo,  , xn­1] =  Pn[xo,  , xn] + (x ­ xn)Pn[x, xo,  , xn] Từ đó và vì  Pn[x, xo,  , xn] = 0 ta có :  Pn(x) = Pn(xo)  + (x ­ xo) Pn(xo, x1) + (x ­ xo) (x ­ x1) Pn(xo, x1, x2) +                          + (x ­ xo)   (x ­ xn­1)Pn[xo,  , xn]  (4.16) Nếu Pn(x) = pn(x) là đa thức nội suy của hàm y = f(x) thì :  Pn(xi) =  pn(xi) = f(xi) = yi, i  =  0, 1,   n Do đó các tỉ  hiệu từ cấp một đến cấp n của P n và của y  ở (4.16) là trùng nhau. Vì  vậy thay cho (4.16) ta có :  pn(x) = yo + (x ­ xo) y [xo, x1] + (x ­ xo)(x ­ x1) y [xo, x1, x2] +   + (x ­ xo) (x ­ x1)   (x ­  xn­1) y [xo  , xn]  (4.17) Đa thức này goi là đa thức Niutơn tiến xuất phát từ nút xo của hàm y = f(x) Đa thức sau đây là đa thức Niutơn lùi xuất phát từ nút xn của hàm y = f(x) Pn(x) = yn +  (x ­ xn) y [xn, xn­1] + (x ­ xn) (x ­ xn­1) y[xn, xn­1, xn­2] +   + (x ­ xn) (x ­ xn­ (4.18) 1)   (x ­ x1) y [xn,   xo] Chú ý rằng, theo định nghĩa, các tỉ hiệu có tính đối xứng :  y[xi, xj]      =  y[xj, xi] y[xi, xj, xk] =  y[xk, xj, xi] Chú thích : Đa thức Niutơn (4.17) trùng với đa thức Lagrangiơ  nhưng bố  trí cách  thức khác. Theo cách của Niutơn khi thêm một nút xn+1 vào lưới nội suy ta chỉ  phải thêm  vào pn(x) một số hạng pn+1(x) = pn(x) + (x ­ xo)   (x ­ xn) (x ­ xn+1), y [xo, , xn, xn+1] mà không phải xây dựng lại tất cả các đa thức cơ sở như cách làm của Lagrange a Trường hợp của nút cách đều  Giả sử các nút xj cách đều : xi =  xo + ih, i = 0, 1,  , n i) Trước hết ta đưa vào khái niệm sai phân tiến  Sai phân tiến cấp một tại i : yi = yi+1 ­ yi Sai phân tiến cấp hai tại i : yi  =   ( yi) = yi+2 ­ 2yi+1 +  yi Sai phân tiến cấp n tại i là : n yi  =   ( n­1yi)  Khi đó ta có :  63 Bây giờ đặt x = xo + ht trong đa thức Niutơn tiến ta được : Gọi là đa thức Niutơn tiến xuất phát từ xo trong trường hợp nút  cách đều Với n = 1 ta có :  (4.19) Với n = 2 ta có :  (4.20) ii) Một cách tương tự, với khái niệm sai phân lùi tại i   .  Ta có đa thức nội suy Niutơn lùi xuất phát từ xn trong trường hợp nút cách đều : (4.21) Ví dụ 4.4: Cho một số giá trị của hàm sin x : Bảng 1 X 0.1 0.2 0.3 0.4 Sinx 0,09983 0,19867 0,29552 0,38942 Hãy tính gần đúng sin (0,14) và sin (0,46) Giải  : Dựa vào bảng các giá trị đã cho của sinx, ta thay hàm sinx bằng một đa thức   nội suy. Vì các nút xj  ở đây cách đều với h = 0,1, nên ta sẽ áp dụng đa thức Niutơn. Trước  hết ta lập bảng các sai phân : Bảng 2  I x sinx 0,1 0,09983 y y y 9884 0,2 0,19867 ­199 9685 0,3 0,29552 ­96 ­295 9390 0,4 0,38942 I x Sinx y y y a) Tính : sin(0,14). Vì 0,1 0 Lấy lơgarit nhập phân hai vế ta được : Logy = loga + bxloge Đặt : logy = Y, loga = A, bloge = B, x = X Ta có : Y = A + BX Đây là quan sát hệ dạng y  = a + bx Từ bảng số liệu về x,y ta suy ra bảng số liệu về X, Y với chú ý : X = x, Y = logy Sau đó áp dụng cách làm ở mục 2 ta thu được A, B rồi từ đó suy ra a         và b Bây giờ giả sử :  Y = axb,  a  >  0, x   > 0 Lấy Logarit hai vế ta được :  Logy = loga + blogx Đặt : logy = Y, loga = A, b = B, logx = X Ta có : Y = A + BX Đó là quan hệ dạng y = a + bx Ta lại làm như ở mục 2 Ví dụ 4.6 : Cho biết các cặp giá trị của x và y theo bảng sau: x i xy ii 0.65 0.65 0.96 0.75 0.85 0.95 1.15 1.06 1.17 1.29 1.58 bx Lậpcơngthứcthựcnghiệmcủaydạngae Giải bx Tacó:y=ae 67 Lấy Logarit cơ số e hai vế:Lny = lna + bx Đặt Y = lny; A = lna; B = b; X = x Ta đưa về dạng: Y = A + BX X  = x i i  Y  = lny i i Y =lny i  i 0.65 0.65 ­0.04 0.75 0.85 0.95 1.15 0.06 0.18 0.25 0.46 ­0.04 4.35 3.93 0.92 x i 0.89 Phương pháp bình phương bé nhất: A, B là nghiệm hệ phương trình Giải hệ phương trình ta được:  A = ­.069,   B = 1 Suy ra: , b = B =1 Vậy   f(x) =  68 Bài tập chương11­04 Bài 1:  Dùng phương pháp tiếp tuyến tìm nghiệm gần đúng của phương trình: f(x) = x3­  0,2x2 ­ 0,2x ­ 1,2 = 0. Biết khoảng phân ly nghiệm là : (1,1 ; 1,4) Bài 2:  Dùng phương pháp dây cung tìm nghiệm gần đúng của phương trình:   f(x) = x 3­  0,2x2 ­ 0,2x ­ 1,2 = 0. Biết khoảng cách phân ly nghiệm là : (1,1 ; 1,4) Bài 3: Chứng minh rằng phương trình : x5+ 5x + 1 = 0 có một nghiệm thực đơn duy nhất trong khoảng [­1, 0] và tính  nghiệm ấy chính xác đến 0,01 bằng phương pháp hỗn hợp Bài 4: Dùng phương pháp dây cung tìm nghiệm dương của phương trình : x4­ 2x ­ 4 = 0 (Tính 3 bước, lấy đến 3 số lẻ) Bài 5: Bằng phương pháp tiếp tuyến giải phương trình : x4­ 2x ­ 4 = 0 (Tính 3 bước, lấy đến 3 số lẻ) Bài 6: Bằng phương pháp phối hợp tìm nghiệm gần đúng của phương trình : x3 + x2 ­ 11 = 0 trong khoảng (1 ; 2) với độ chinh xác đến 0,001 Bài 7: Cho hàm f(x) thoả mãn: x i x ) 0.65 F(x ii ­1 Tìm hàm nội suy của f(x), tính f(5) Bài 8: Cho bảng các giá trị : x 10 12 y 7,32 8,24 9,20 10,19 11,01 12,05 Dùng phương pháp bình phương cực tiểu, hãy tìm cơng thức thực nghiệm có dạng : y = a + bx Bài 9:  Cho bảng các giá trị : x 0,78 1,56 2,34 3,12 3,81 y 2,5 1,2 1,12 2,25 4,28 Hãy tìm cơng thức nghiệm có dạng : y = a + bx + cx2 69 Hướng dẫn thực hiện bài tập chương 11­04 Bài 1: Dùng cơng thức: tìm nghiệm gần đúng x1 trên khoảng phân ly nghiệm (1.1 ; 1.4).  Lặp lại q trình trên đối với điểm (x1, f(x1)) ta  thu được nghiệm gần đúng Lặp lại q trình trên đối với điểm (x2, f(x2)) ta  thu được nghiệm gần  đúng  x3 là nghiệm gần đúng của phương trình trên khoảng phân ly nghiệm  (1.1 ; 1.4) Bài 2: Dùng cơng thức: tìm nghiệm gần đúng x1 trên khoảng phân ly nghiệm  (1.1 ; 1.4).  Lặp lại q trình trên đối với điểm (x1, f(x1)) ta  thu được nghiệm gần đúng Lặp lại q trình trên đối với điểm (x2, f(x2)) ta  thu được nghiệm gần  đúng  x3 là nghiệm gần đúng của phương trình trên khoảng phân ly nghiệm  (1.1 ; 1.4) Bài 3:  Bước 1: Chứng minh [­1,0] là khoảng phân ly nghiệm phương trình Bước 2: Dùng phương pháp phối hợp tìm nghiệm gần đúng trên khoảng phân  ly nghiệm [­1,0] với độ chính xác 0.01 Dùng phương pháp tiếp tuyến: tìm nghiệm gần đúng x1 trên khoảng phân ly nghiệm  (­1,0).  Dùng phương pháp dây cung: tìm nghiệm gần đúng x1 trên khoảng phân  ly nghiệm (­1,0).  Nếu