Giáo trình môn học Toán kinh tế (Nghề: Kế toán doanh nghiệp): Phần 1

BỘ GIAO THÔNG VẬN TẢI TRƯỜNG CAO ĐẲNG GIAO THÔNG VẬN TẢI TRUNG ƯƠNG I GIÁO TRÌNH MƠN HỌC TỐN KINH TẾ TRÌNH ĐỘ CAO ĐẲNG NGHỀ: KẾ TỐN DOANH NGHIỆP Ban hành theo Quyết định số 1661/QĐ-CĐGTVTTWI ngày 31/10/2017 Hiệu trưởng Trường Cao đẳng GTVT Trung ương I BỘ GIAO THÔNG VẬN TẢI TRƢỜNG CAO ĐẲNG GIAO THÔNG VẬN TẢI TRUNG ƢƠNG I GIÁO TRÌNH Mơn học: Tốn kinh tế NGHỀ: KẾ TỐN DOANH NGHIỆP TRÌNH ĐỘ: CAO ĐẲNG Hà Nội – 2017 MỤC LỤC Lời nói đầu………………………………………………………………………… Chương 1: Đại số tuyến tính Vectơ n chiều phép tính 1.1 Định nghĩa 1.2 Các phép toán vectơ 1.3 Độc lập phụ thuộc tuyến tính Ma trận 2.1 Các khái niệm 2.2 Các phép tính ma trận 2.3 Các phép biến đổi ma trận 11 Định thức 11 3.1 Cách xác định giá trị định thức 11 3.2 Tính chất định thức 13 Ma trận nghịch đảo 14 4.1 Định nghĩa 14 4.2 Cách tìm ma trận nghịch đảo 14 Hệ phƣơng trình tuyến tính 15 5.1 Khái niệm 15 5.2 Phƣơng pháp giải 16 Bài tập 19 Chương 2: Phương pháp đơn hình Bài tốn đối ngẫu 19 Các khái niệm, tính chất chung tốn quy hoạch tuyến tính 21 1.1 Một số ví dụ thực tế dẫn đến tốn quy hoạch tuyến tính 21 1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng đặc biệt 25 1.3 Phƣơng án cực biên 30 1.4 Các tính chất chung tốn quy hoạch tuyến tính 31 Phƣơng pháp đơn hình 31 2.1 Nội dung sở phƣơng pháp 31 2.2 Thuật tốn phƣơng pháp đơn hình 33 2.3 Thuật toán mở rộng 38 Bài toán đối ngẫu 40 3.1 Định nghĩa 40 3.2 Sơ đồ viết toán đối ngẫu 41 4.Bài tập 45 Chương 3: Toán xác suất 50 Giải tích tổ hợp 50 1.1 Tính giai thừa, hoán vị 50 1.2 Tổ hợp, chỉnh hợp 51 Phép thử, loại biến cố xác suất biến cố 53 2.1 Phép thử, biến cố 53 2.2 Các loại biến cố 53 2.3 Xác suất biến cố 54 Định lý cộng xác suất 55 Định lý nhân xác suất 55 Công thức Bernoull 56 5.1 Định nghĩa 56 5.2.Công thức Bernoulli 57 Công thức xác suất đầy đủ Bayes 59 Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất 61 7.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất 61 7.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc bảng phân phối xác suất 61 7.3 Hàm phân bố xác suất 61 7.4 Hàm mật độ xác suất 62 Các tham số đặc trƣng biến ngẫu nhiên 63 8.1 Vọng toán (kỳ vọng toán) 63 8.2 Phƣơng sai 63 8.3 Độ lệch chuẩn 64 Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng 65 9.1 Quy luật không - 65 9.2 Quy luật nhị thức- B(n,p) 65 9.3 Quy luật phân phối – U(a,b) 67 9.4 Quy luật phân phối chuẩn- N(µ,∂2) 68 9.5 Quy luật bình phƣơng 70 9.6 Quy luật Student Tn 70 10 Các định lý giới hạn 71 10.1 Bất đẳng thức Trêbƣsep 71 10.2 Định lý Trêbƣsep 71 11 Bài tập 71 Chương 4: Thống kê toán 75 1.Tổng thể nghiên cứu 75 1.1 Khái niệm 75 1.2 Các phƣơng pháp mô tả tổng thể 75 1.3 Các tham số đặc trƣng mẫu ngẫu nhiên 76 Quy luật phân phối xác suất số thống kê đặc trƣng mẫu 77 2.1 Biến ngẫu nhiên X phân phối theo quy luật chuẩn 77 2.2 Biến ngẫu nhiên X phân phối theo quy luật không - 78 Ƣớc lƣợng tham số 78 3.1 Ƣớc lƣợng điểm cho kỳ vọng, phƣơng sai xác suất 78 3.2 Ƣớc lƣợng khoảng tin cậy cho tham số P biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật - 81 3.3 Ƣớc lƣợng kỳ vọng toán biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn 81 3.4 Ƣớc lƣợng phƣơng sai biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn 82 Kiểm định giả thuyết thống kê 84 4.1 Khái niệm 84 4.2 Kiểm định tham số P biến ngẫu nhiên phân phối không - 85 4.3 Kiểm định giả thuyết kỳ vọng toán biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn 87 4.4 Kiểm định giả thuyết phƣơng sai biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn 90 Tài liệu tham khảo………………………………………………………………….93 Lời nói đầu Tốn kinh tế mơn khoa học nhằm vận dụng tốn học phân tích mơ hình kinh tế để từ hiểu rõ nguyên tắc quy luật kinh tế kinh tế thị trƣờng Toán kinh tế cung cấp cho nhà quản lý kiến thức để họ vận dụng vào việc định sản xuất Toán kinh tế (tiếng Anh Mathematical Economics) lĩnh vực Kinh tế, sử dụng công cụ phƣơng pháp tốn học để phân tích, đánh giá vấn đề kinh tế, kinh doanh Công cụ tốn học cho phép nhà kinh tế phân tích suy luận định lƣợng xây dựng mơ hình đánh giá, dự báo kinh tế, kinh doanh tƣơng lai Ngành Toán kinh tế ngành đào tạo cao đẳng, cử nhân đại học ngành Toán kinh tế có phẩm chất trị, đạo đức sức khỏe tốt; có kiến thức kinh tế - xã hội, quản lý quản trị kinh doanh; có kiến thức chuyên sâu Toán ứng dụng kinh tế, quản lý quản trị kinh doanh; có tƣ nghiên cứu độc lập; có lực tự học tập bổ sung kiến thức, nâng cao trình độ chuyên mơn thích nghi với thay đổi mơi trƣờng làm việc Chương 1: Đại số tuyến tính Vectơ n chiều phép tính 1.1 Định nghĩa Ta gọi tập hợp bao gồm n số thực từ x1, x2, …, xn y1, y2, yn đƣợc xếp theo thứ tự định (theo hàng theo cột) gọi véc tơ n chiều đƣợc ký hiệu X, Y, Z X = [ x1, x2,…, xn ] Y = [ y1, y2, , yn ] Ví dụ: X1 = [1, 2, 3, -1] X2 = [-1, 4, 4, 0] 1    X3 =   3    1 / 2 - Nếu xếp theo chiều ngang gọi véc tơ hàng (ví dụ X1, X2) - Nếu xếp theo chiều dọc gọi véc tơ cột (ví dụ X3) Chú ý: x1, x2, …, xn gọi thành phần véc tơ X Các xi gọi thành phần thứ i véc tơ X Nếu X = Y tức véc tơ X = véc tơ Y 1.2 Các phép toán véc tơ a Phép nhân véc tơ với số Cho véc tơ X = [x1, x2, …, xn ] số k (k  R) tích k X k.X = [ k.x1, k.x2, k.xn] Ví dụ: cho véc tơ X = [1, 2, 3, -1] k = tính tích k.X k.X = [2 x 1, x 2, x 3, x -1] = [ 2, 4, 6, -2] Chú ý: Nếu k = -1  k.X = -X( véc tơ đối X) Nếu k =  0.X = b Tổng hiệu hai vec tơ Cho véc tơ X = [x1, x2, …, xn ] có n chiều, véc tơ Y= [y1, y2, …, yn ] có n chiều điều kiện để hai véc tơ cộng trừ cho chúng phải chiều (hay hƣớng) X  Y = = [x1  y1, x2  y2, …, xn  yn] Ví dụ: Cho véc tơ X = [1, 2, 3, -1] véc tơ Y= [2, 2, 6, -2] tính X + Y X + Y = [ + 2, + 2, + 6, -1 + -2] = [ 3, 4, 9, -3] Các tính chất: 1, X + Y = Y + X 2, X – Y = Y – X (X – Y) X 3, X – Y  Y – X (X + Y) 1.3 Độc lập phụ thuộc tuyến tính a Định nghĩa: Cho V không gian véc tơ; S = {x1, x2, ,xn}  V Xét điều kiện: α1x1 + α2x2 + + αnxn =  (*) Nếu điều kiện (*) xẩy α1 = 0, α2 = 0, ,αn = S gọi hệ véc tơ độc lập tuyến tính S khơng độc lập tuyến tính S gọi phụ thuộc tuyến tính, tức  αi  mà điều kiện (*) xẩy b Tính chất - Hệ có véc tơ vec tơ   độc lập tuyến tính - Mọi hệ hệ độc lập tuyến tính độc lập tuyến tính - Hệ vec tơ chứa hệ phụ thuộc tuyến tính phụ thuộc tuyến tính - Hệ vec tơ chứa véc tơ tổ hợp tuyến tính véc tơ cịn lại phụ thuộc tuyến tính Ma trận 2.1 Các khái niệm - Khái niệm ma trận: Ngƣời ta gọi bảng gồm m x n số thực đƣợc xếp thành m hàng n cột gọi ma trận cấp m x n  a11  Ký hiệu: A =  a21   am1 a a 12 22 a m2   2n    amn  a a 1n Trong đó: - Mỗi số nằm ma trận đƣợc gọi phần tử, phần tử nằm ô hàng i, cột j đƣợc ký hiệu j - a11, a22, …, amn đƣợc gọi đƣờng chéo ma trận - mn: Đƣợc gọi cấp ,a trận - a11, a12, …, a1n đƣợc gọi hàng thứ ma trận Ma trận viết dƣới dạng tổng quát là: A = (ai j) m x n - Khái niệm ma trận vuông: Ma trận vng ma trận có số hàng số cột ( m = n) - Ma trận có tất phần tử gọi ma trận không, ký hiệu - Ma trận đối: Cho ma trận A = (ai j) m x n ma trận – A = (-ai j) mxn gọi ma trận đối ma trận A - Ma trận chuyển vị: Cho ma trận A = (ai j) m x n , ma trận chuyển vị ma trận A la At (aj i) m x n ( nghĩa ta đổi hàng thành cột cột thành hàng ta đƣợc ma trận chuyển vị At) 1  1  t Ví dụ: Cho ma trận A =   A = 2  1    0 5  - Ma trận nhau: Cho ma trận A = (ai j)  j = bi j,  i  1, m ; J  1, n - Ma trận tam giác: Là ma trận vng có 2.2 Các phép tính ma trận a Phép nhân ma trận với số m x n; B = (bi j) m x n, ma trận A = B ... = a 11 11  A ma trận cấp 2: A =  a 11 a22   det(A) = a 11 M 11 – a12 M12 22 a a 12 3 .1. 3 Các phương pháp tính định thức a Định thức cấp 2: |A| = a a a a 11 12 21 22 = a 11 x a22 – a12 x a 21. .. a a a 11 12 21 22 31 32 a a a 13 23 = a11a22a33+a12a23a 31+ a21a32a13- a13 a22 a 31 - a 21 a12 a33 - a23 a32 a 11 33 - Các số hạng mang dấu cộng đƣợc tính tích phần tử nằm đƣờng chéo tích hai phần. .. A -1 |A|  Ta có |A| = = -1    A -1 Ta có: A 11 = ( -1) 1 +1 = 40; A12 = -13 ; A13 = -5 A 21 = -16 ; A22 = 5; A23 = 2; A 31 = -9; A32 = 3; A33 =  40  13  5  40  16  9  40  16  9  t -1 