mot so bai tap chon loc ve dao ham

TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA I. Ñònh nghóa ñaïo haøm taïi moät ñieåm.. 1) Ñònh nghóa..[r]

Vấn đề ĐẠO HAØM

TÓM TẮT GIÁO KHOA I Định nghĩa đạo hàm điểm

1) Định nghóa

Cho hàm số yf x  xác định khoảnga b; và x0a b;  Nếu tồn :    

0

0

lim

x x

f x f x

x x 



 đạo hàm hàm số yf x tại điểm x0 :

     

0

0

0

' lim

x x

f x f x

f x

x x 

 



hay ' 0 limx 0 limx 0    0

f x x f x

y f x

x x

   

  



 

  , :

  x x x0,  y f x 0 x f x 0

2) Cách tính đạo hàm điểm

Bước 1. Giả sử x số gia x0, tính  y f x 0 x f x 0

Bước 2. Lập tỉ số y

x





Bước 3. Tính lim0

x y x  





II Các quy tắc tính đạo hàm

Giả sử u u x  và v v x  là hàm số có đạo hàm x thuộc khoảng xác định Ta có :

 ku'ku' (k số)

 u v ' u v' '

 u v ' u v' '

 u v ' u v uv'  '

  

'

2

' '

,

u u v uv

v x

v v



 

 

 

 

III Đạo hàm hàm số sơ cấp bản

  x ' .x1

  u ' u1 'u





'

1

x x

 



 

 

'

1 u'

u u

 



 

 

  

'

2

x

x

  

' '

2

u u

u



 sinx' cosx sinu' u'.cosu

 cosx' sinx cosu'u'.sinu

  ' 12

cos

tgx tg x

x

    ' 2' ' 1 

cos

u

tgu u tg u

u

  ' 12 1 

sin

cotgx cotg x

x

   cot ' 2' ' 1 

sin

u

gu u cotg u

u

  

  ex 'ex  eu ' u e' u

  ax 'ax.lna  au 'a uu '.lna

 ln x'

x

 lnu' u'

u



 log '

ln

a

x x

x a

 log ' '

ln

a

u u

u a



IV Đạo hàm cấp cao

Cho hàm số yf x  có đạo hàm cấp n1, kí hiệu fn1 x Nếu fn1 x có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp n f x , kí hiệu  n

y hay

 n  

f x .

 

   1  '

n n

f x  f  x 



  với n2

A CÁC VÍ DỤ

Ví dụ Tìm giá trị x để đạo hàm hàm số sau   sin sin

y x  x x x

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Phịng cháy Chữa cháy, 2001) Giải

Ta coù:  

' 2cos cos

y x   x x

 

' cos cos

y x    x x

 

5 2cos x cosx

    

2

4 cos x cosx

     

2

2cosx

  

3

cos cos

2

x 

   ,

6

x  k  k

    

Ví dụ Chứng minh hàm số :

6 2

sin cos 3sin cos 2001

y x x x x x

có đạo hàm y' khơng phụ thuộc vào x.

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Thái Nguyên, 2001) Giải

Ta coù:

6 2

sin cos 3sin cos 2001

y x x x x x

sin2 x3 cos2x3 3sin2 xcos2 x 2001x

   

sin2 x cos2 x sin4 x cos4 x sin2 xcos2 x 3sin2 xcos2 x 2001x

4 2

sin x cos x 2sin xcos x 2001x

   

sin2 x cos2 x2 2001x

  

 1 2001x

Do đó: y' 2001 (đpcm)

Ví dụ Cho hàm số   sin 1sin 2sin

3

f x  x x x

Tính đạo hàm f x'  giải phương trình f x'  0

(Trích ĐTTS vào Học viện Quan hệ Quốc tế, 2000) Giải

 f x' cosxcos 3x2 cos 5x

 f x'  0 cosxcos 3x2 cos5x0 cosx cos 5x cos 3x cos 5x

    

2cos cos 2x x cos cosx x

  

4cos3x 3cosxcos 2x cos cosx x 0

   

 

cosx 4cos x cos 2x cos 4x

     

 

cosx 2cos 2x cos 2x 2cos 2x 1

      

 

cosx cos 2x cos 2x

   

2

cos

4cos cos

x

x x

 

 

  



cos

1 17

cos cos

8

1 17

cos cos

8

x x x

  

 



 

  

 

 

 



 

2 2

x k

x k k

x k

  

 

 

 

  

   

 

   



Ví dụ Cho hàm số f x xlog 2x x0,x1 Tính đạo hàm f x'  giải bất phương trình f x'  0

Giải Với điều kiện x0,x1, ta có:

  log 2x

f x x ln ln

x x

 ln

ln

x x



 

ln

' ln

ln

x f x

x



 

   

 

 '  ln 2

ln

x f x

x



 

   

 

lnx

   (do ln2x0, x vaø x1) lnx

   0x e

Ví dụ Chứng minh hàm số y x 3cos ln x4sin ln x thoả mãn phương trình:

2 '' ' 2 0

x y  xy  y

Giải Ta có:

 y' 3cos ln x 4sin ln x x 3sin ln x 4cos ln x

x x

 

     

 

7 cos ln xsin ln x

 y'' 7sin ln x 1cos ln x

x x

 

Do đó:

2 '' ' 2

x y  xy y

           

2 7sin ln 1cos ln 7 cos ln sin ln 2 3cos ln 4sin ln

x x x x x x x x x

x x

 

           

 

           

7 sin lnx x xcos lnx cos lnx x xsin lnx cos lnx x sin lnx x

     

0

 (đpcm)

Ví dụ Cho hàm số y 2000x

 Tính đạo hàm y' theo định nghĩa

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y khoa Hà Nội, 2000) Giải

Ta coù:

   

0

' lim lim

x x

y x x y x

y y

x x

   

  



 

 

0

2000 2000

lim

x x x

x x

  

 



lim 2000 0 2000

x x

x x

  

  

  



 

ln 2000

1

lim 2000 ln 2000

ln 2000

x x x

e x   

  

  



 

2000 ln 2000x



Chú ý lim0 1

x x

e x 

  



 

 

Ví dụ Cho hàm số ylog20 x.Tính đạo hàm y' theo định nghĩa

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y khoa Hà Nội, 1998) Giải

Ta coù:

   

0

' lim lim

x x

y x x y x

y y

x x

   

  



 

 

20  20

0

log log

lim

x

x x x

x  

  



20 log lim x x x x             ln ln 20 lim x x x x x x             0 ln 1 lim ln 20 x x x x x x                        ln 20 x 

Chú ý  

0 ln lim x x x   

Ví dụ Tìm a để hàm số sau có đạo hàm x0:

   21

1

x

x e khi x

f x

x ax khi x

           

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Giao thơng Vận tải Hà Nội, 2000) Giải

Ta coù:

      

0

0

' lim

x

f x f

f x        1 lim x x x e x       lim x x x e e x              

1   

      

0

0

' lim

x

f x f

f x      1 lim x x ax x          lim

x  x a

   a

 

f x có đạo hàm điểm x0  f  0 f  0  0a  a0 Vậy giá trị cần tìm là: a0

Ví dụ Cho hàm số y xex



1) Tính đạo hàm cấp y' đạo hàm cấp hai y'' hàm số Tổng quát, tìm đạo hàm cấp n  n

y 2) Chứng minh :

'' ' y  y y

Giaûi 1) Ta coù:

 

' x x x

y e xe  x e

 

'' x x x x

y e e xe  x e

 

''' x

y  x e

 

 

4

4 x

y  x e Suy ra:

 

 

n x

y  x n e (*) (*) n1, 2,3 Giả sử (*) n k , ta có:

 

 

k x

y  x k e (**)

Ta chứng minh (*) n k 1, tức là:

 

 

1

1

k x

y  x k e

  

Lấy đạo hàm hai vế (**), ta có:

 1  

1

k x x x x

y  e xe ke x k e

      (đpcm)

2) Ta có:

   

'' ' x x x

y  y y x e  x e xe 0 (đpcm)

Ví dụ 10 Tính đạo hàm cấp n hàm số yln 2 x1

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Giao thông Vận tải, 1996) Giải

Ta coù:

  1

2

' 2

2

y x

x



  



    2

'' 2

y x 

  

  3

''' 1.2 2

y x 

 

 

   

4 1 1.2.3 2 1 .24

y x 

  

Suy ra:

 n  1n 1. 1 ! 2  1 n.2n

y  n x 

    (*)

(*) với n1, 2,3

Giả sử (*) n k , nghĩa là:

 

 1k 1. ! 2  1 k.2

k k

y  k x 

    (**)

Ta chứng minh (*) với n k 1, tức là:

k 1  1 ! 2k  1 k 1.2k

y  k x   

  

Lấy đạo hàm hai vế (**), ta được:

 

       

1

1 k ! k 2.2

k k

y   k k x  

    

 1 ! 2k k  x 1k1.2k1

Ví dụ 11 Cho hàm số  

2

5 20

2

x x

f x

x x

 



 

Tính đạo hàm cấp n f x (không phải chứng minh).

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y Hà Nội, 2000) Giải

Ta coù:  

2

5 20

2

x x

f x

x x

 



 

7

5

2

x

x x

  

 

   

7

5

1

x

x x

  

 

3

5

1

x x

  

 

Do đó:  

 2  2

3

'

1

f x

x x

 

 

 

 3  3

3.2 4.2

''

1

f x

x x

 

 

 

 4  4

3.2.3 4.2.3

'''

1

f x

x x

 

 

 

 

   

4

5

3.2.3.4 4.2.3.4

1

f x

x x

 

 

Suy ra:

 

   

   

3

1 !

1

n n

n n

f x n

x  x 

 

    

 

 

 

Ví dụ 12 Tính đạo hàm cấp n hàm số

sin

y x, từ suy đạo hàm cấp n hàm số

cos y x

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y Hà Nội, 1999) Giải

Ta coù: ' sin

y  x

'' 2cos 2sin

2

y  x  x 

 

2

''' cos 2 sin 2

2

y   x   x  

   

 4 2 cos 23 2. 2 sin 23 3.

2

y   x    x  

   

Suy ra:

 

 

1

2 sin

2

n n

y   x n 

    

  (*)

  2 1sin 2  1

2

k k

y   x k 

    

  (**)

Ta chứng minh (*) n k 1, nghĩa là:

 1

2 sin

2

k k

y   x k 

   

 

Lấy đạo hàm hai vế (**), ta có:

 1 2 2cos 21  1 2 sin

2

k k k

y    x k  x k 

        

   

Vaäy:   2 1sin 2  1

2

n n

y   x n 

    

 

Suy đạo hàm cấp n hàm số

cos y  x: Ta coù: 2

sin xcos x1

Lấy đạo hàm cấp n hai vế, ta có: sin2 x n cos2 x n 0

 

Suy ra: cos2   sin2   2 1sin 2  1

n n n

x x   x n 

     

 

B BAØI TẬP Bài 1. Cho hàm số yxcosx Chứng minh:

'' 2sin y  y x Baøi Cho hàm số y exsinx

 Chứng minh: '' '

y  y  y

Bài 3. Cho hàm số yxlnx Chứng minh rằng:

2 '' ' 0

x y  xy y Bài Tính đạo hàm hàm số:

 

1

1 cos

0

x

f x x

x x

 



 

 



với với

Đáp số: Do lim0    0

x f x   f nên không tồn f ' 0 

Bài Cho hàm số:  

 

ln cos

0

0

x

x

f x x

x



 



 



với với

Tính đạo hàm hàm số x0

Đáp số: ' 0 

f 

Bài Hãy tính f ' 0 , biết:  

34 8 8 4

khi

sin

0

x x

x

f x x

x

   

 



 

Đáp số: ' 0 

f 

Bài Tính đạo hàm hàm số:  

2

ln

2

0

x x

x x

f x

x



 

 

 



neáu neáu

Đáp số: f ' 0   Bài Cho hàm số:

 

2 2 8

2

2

x x

x

f x x

a x

  

 

 

 



neáu

nếu

Xác định a để hàm số có đạo hàm x2 Tính f ' 2 

Đáp số: a6, f ' 2  1 Bài Tìm a để hàm số sau có đạo hàm x0:

  2

1

x

e khi x

f x

x ax khi x

 

 

  

 

Đáp số: a1 Bài 10 Cho hàm số:

 

3

2

0

2

x bx cx x

f x

x cx x

   

 

 

 

neáu

neáu

Xác định b c để f x  có đạo hàm x0

Đáp số: b, c0 Bài 11 Cho hàm số:

 

2

2

1

x khi x

f x

x bx c khi x

    

 

  

 

Tìm giá trị b c để hàm số f x  có đạo hàm x1

Đáp số: b3,c3 Bài 12. Tính đạo hàm cấp n hàm số y sin 52 x



Đáp số:   5.10 sin 101  1

2

n n

y   x n 

    

 

Bài 13 Tính đạo hàm cấp n hàm số

 

1

f x x





Đáp số:  

  1   2  1  2  1 !

n n n

n

f x  x   x   n

    

 

Bài 14. Chứng minh hàm số 22

3

2

x x

y

x x

 



  có đạo hàm cấp n bằng:

 

   

1

1

2

1 !

2 1

n n

n n

n

x x



 

 

   

 

 

 

Câu 483 Choy 1 x2 Tính y'(x)

A 2 ;

1

x x





B ' 2 ;

2

x y

x

 



C 2 ;

x x



D 2 ;

x x



Caâu 484 Cho ysin 32 x Tính y'(x) A 3sin 6x

B sin 6x C 2sin 3x D 6sin 3x

Caâu 485 Cho y x22xex e



 Tính y'(0) A 1

B C

D Các câu khác sai

Caâu 486 Cho yln(3 ) x2 Tính y'(1) A

5 B C

5 D

Caâu 487 Tìm y x'( ), biết yln(3x1)

A

3x1 B 3(3x1) C

3x

 

D 3x1

Caâu 488 Tìm y'(1), biết y(x22)e3 1x A 11e4

B 8e4

C 5e4

Câu 489 Cho ycos 22 x Tính y'(x) A 2sin 4x

B  sin 4x C sin 4x D 2sin 4x

Câu 490 Đạo hàm hàm số ysin cos 2x x A 3cos cos 2x x 2sin sin 3x x

B 3cos cos 2x x2sin sin 3x x C cos cos 2x x sin sin 3x x D Các câu khác sai

Câu 491 Đạo hàm hàm số y = sinx(1+cosx) A cosx + cos2x

B cosx - cos2x C cosx + D cosx + sin2x

Câu 492 Đạo hàm hàm số y (x2 1)3

x

  laø

A 3(x3 1) (224 x3 1)

x

 

B 3(x2 1)2

x



C 3(x321)2

x



D 3(x2 1) (22 x 1)

x

 

Caâu 254 cho y = cos(x2) Tính y’ x / 4



 laø : A

2





B 2 

C 2

D - /

Caâu 255 Cho y tg x2

 Tính y’

x laø :

A B C 1/4 D

Câu 3 Hàm số y 12tgx có đạo hàm x = /4

A

3 ) (   

y .

B

3 )

( 

 

C ) 21

( 



y .

D )

4

( 



y .

Câu 4 Hàm số y = sin4x + cos4x có đạo hàm x =

/4 laø

A B C D –1

Câu 9 Tính đạo hàm hàm số 11   

x x

y taïi x = laø A –1/

B 1/

C D

Câu 12 Tính đạo hàm y =x3cosx

A 3x2cosx - x3sinx.

B –3x2sinx.

C 3x2sinx.

D x2cosx.

Câu 13 Nếu hàm số

1

3

  

x x

y có đạo hàm 2

2

) (

    

x

b ax x

y (a,b) bằng

A (3,-3) B (2,-3) C (2,3) D (0,2)

Caâu 14 Cho y = sin(x2) Tính y’

A 2x.cos(x2).

B -2x.cos(x2).

C cos(x2).

D cos(x2).

Câu 15 Cho y = sin2x Tính y’

A sin2x B 2x.cos2x.

C cos2x D 2x.sin2x

Câu 30 Nếu đồ thị hàm số yx3ax2bx9 qua điểm M(1;10) y'' 0 thì:

A a3 b3

B a1 b3