nhiÒu ph¬ng ph¸p gi¶i cho bµi to¸n, ph¸t triÓn bµi toµn díi nhiÒu h×nh thøc kh¸c nhauB. Gi¶I quyÕt vÊn ®Ò.[r]
(1)A Đặt vấn đề I)Lời mở đầu.
Để bồi dỡng lực t độc lập ,t tích cực t sáng tạo học sinh, trớc tiên phải trang bị cho em có kiến thức phổ thơng vững trắc, có khả giải dạng tập Muốn ngời giáo viên phả vận dụng phơng pháp khác nhau, hớng em vào môi trờng hoạt động tích cực, xem học tập q trình tự khám phá liên tục Học tập phải thực nhu cầu, mang đậm tính tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh Ngời thầy giáo phải giúp học sinh xem xét toán dới nhiều góc độ khác nhau, kích thích liên tởng, kết nối kiện yêu cầu của toán Giữa toán cha biết cách giải với toán quen thuộc biết cách giải Biết phân tích, tổng hợp, so sánh, trờng hợp riêng lẻ để đem đến chung mang tính chân lý Từ vận dụng phơng pháp tốn học để giải toán đặt ra.
Với lý tơi chọn đề tài “ Phơng pháp giải tốn ngun hàm
tÝch ph©n theo h
ớng phát triển t sáng tạo cho
häc sinh “
II)Thực trạng vấn đề cần nghiên cứu. 1) Thực trạng:
Trong chơng trình giải tích 12, kiến thức nguyên hàm tích phân chiếm một phần quan trọng Tuy nhiên tốn ngun hàm, tích phân ch a nhiều dừng lại toán đơn giản, cha có nhiều phơng pháp Học sinh giải tốn theo hớng định Do bài tốn ngun hàm, tích phân cha khai thác hết đợc, cha phát huy đợc tính sáng tạo, khám phá học sinh.
Tôi nhận thấy việc khai thác phơng pháp giải tốn ngun hàm, tích phân để học sinh tìm tịi, phát huy tính sáng tạo, hình thành nhiều cách giải khác điều quan trọng.
2) KÕt qu¶:
Khi tơi đợc phân công giảng dạy lớp 12, kiến thức giải tích học sinh lớp tơi đợc phân cơng cịn hạn chế,các tốn ngun hàm, tích phân cịn ít nên việc vận dụng phơng pháp giải chậm cịn bế tắc trong cách định hìnhphơng pháp giải.
Tơi dần hình thành phơng pháp giải, phát triển từ toán bản đến tốn mức độ khó hơn.
(2)nhiều phơng pháp giải cho toán, phát triển toàn dới nhiều hình thức khác nhau.
B GiảI vấn đề. I) Giải pháp thực hiện.
1. Các yêu cầu giải toán nguyên hàm tích phân.
Hc sinh nm vng định nghĩa nguyên hàm – tích phân, tính chất cơ bản phơng pháp chủ yếu để tính nguyên hàm tích phân.
Häc sinh có kĩ giải toán nguyên hàm tích phân b»ng nhiỊu ph¬ng
pháp khác nhau, nắm vững ý nghĩa hình học tích phân để số tr-ờng hợp ta tính tích phân phơng pháp đơn giản hơn thông thờng.
Học sinh đợc phát triển t thuật giải q trình tính ngun hàm, tích phân theo quy trình xác định, đợc rèn luyện tính linh hoạt , khả sáng tạo trình giải tốn.
Trong chơng trình mơn tốn trờng phổ thông trung học, nội dung kiến thức mà học sinh học nguyên hàm tích phân lớp 12 gm cỏc vn sau õy:
- Định nghĩa nguyên hàm Các tính chất nguyên hàm Bảng các
nguyên hàm bản.
- Định nghĩa tích phân Các tính chất tích phân Các phơng pháp
tính tích phân, ứng dụng tích phân để tính diện tích, thể tích. 1.Các phơng pháp xác định nguyên hàm – tích phân
Xác định nguyên hàm định nghĩa Ví dụ : Chứng minh hàm số:
( ) 2
1
x
e x F x
x x khi x
lµ mét nguyên hàm hàm số:
( )
2
x
e x f x
x khi x
R.
Giải:
tớnh o hm hàm số F(x) ta xét hai trờng hợp sau:
- Víi x 0, ta cã: '( )
2
x e x F x
x khi x
(3)lim
) ( ) ( lim ) ( '
1
lim
) ( ) ( lim ) ( '
0
0
0
0
x e e x
F x F F
x e x x x
F x F F
x x x
x x
Nhận xét F (0’ -) = F (0’ +) = F (0) = 1, có nghĩa hàm số F(x)’ có đạo hàm điểm x = 0.
Tãm l¹i : '( ) ( )
2
x e x
F x f x
x khi x
Vậy F(x) nguyên hàm hàm số f(x) R. Xác định tích phân phơng pháp phân tích.
Phơng pháp phân tích thực chất việc sử dụng đồng thức để biến đổi biểu thức dới dấu tích phân thành tổng nhân tử mà nguyên hàm nhân tử nhận đợc từ bảng nguyên hàm chỉ bằng phép biến đổi đơn giản biết.
Phơng pháp chung:
B
c 1: Bin đổi f(x) dạng:
f(x) = n
i i i f x
) (
với fi(x) có nguyên hàm bảng công thức i số.
B
ớc 2: Khi đó:
n
i
i i i
n
i
i f x dx f x dx
dx x f
1
) ( )
( )
(
VÝ dơ: TÝnh tÝch ph©n :
x
e dx I
1 .
Giải: Sử dụng đồng thức: = (1 + ex) – ex
Ta đợc:
x x x
x
x x x
x x x
e e d dx dx e e I
e e e
e e e
1 1
1
1 1
1
1
= x - ln(1 + ex) + C.
Xác định tích phânbằng phơng phápđổi biến số
(4)Định lý1:
b Nu f(x)dx = F(x) + C u = (x) hàm số có đạo hàm thì: f(u)du = F(u) + C.
c Nếu hàm số f(x) liên tục đặt x = (t) (t) với đạo hàm (t) hàm số liên tục, ta đ’ ợc:
f(x)dx = f[(t)]. (t)dt.’
Phơng pháp đổi biến số để tính tích phân xác định có hai dạng cơ bản dựa nh lý sau:
Định lý 2:
a Nu f(x)dx = F(x) + C u = (x) hàm số có đạo hàm khoảng [a,b] thì:
) (
) ( )
(
) (
) ( )
(
b a b
a
u F du u f
.
b Nếu f(x) hàm số xác định liên tục đoạn [a,b], hàm số x = (t) xác định liên tục đoạn [, ] thoả mãn điều kiện sau: (i) Tồn đạo hàm (t) liên tục đoạn [’ , ].
(ii). () = a vµ ( ) = b.
(iii). Khi đó:
b
a
dt t t f dx x f
( ) '( )
) (
Tuy nhiên khó phơng pháp cách chọn hàm x = (t) hay u = (x) cho phù hợp với toán cụ thể
Lu ý: C¸c dÊu hiƯu dÉn tíi viƯc lùa chän Èn phơ:
DÊu hiƯu C¸ch chän
2
2 x
a
t t a x
t t
a x
0 , cos
2
, sin
2
2 a
x
2 , , , cos
0 , , ,
sin
t t
t a x
t t
t a x
x a
x a x a
x a
, xacos2t
x ab x x= a + (b – a)sin2t
Hµm cã mÉu sè t lµ mÉu sè
(5)Hµm f(x) =
xaxb
1 t = xa xb
VÝ dô 1: TÝnh tÝch ph©n:
x x dx I .
Giải: Đổi biến số:
t x2 1 t2 x21 tdtxdx
Ta cã: C x x C t t dt t t t dt t t tdt x x xdx x x dx I 1 1 ln 1 ln 1 1 1 1 2 2 2
VÝ dơ 2: TÝnh c¸c tÝch ph©n:
8
3x x2 dx I Giải: Đặt: 1 2 t x t x x tdt dx t xdx dx x x dt x t Khi đó:
t t t dt dt t t tdt x x tdt x x dx 1 1 1 1
1 2 2
2 ln 1 ln 1 ln ln 1 1 3 t t t t dt t t I
Tính tích phân phơng pháp tích phân tõng phÇn
Phơng pháp tích phân phần đợc sử dụng thơng dụng trong q trình xác định nguyên hàm hàm số Phơng pháp cụ thể nh sau:
Cho u, v hàm số có đạo hàm liên tục thì: udv = uv - vdu.
(6)
b
a
b
a b
a vdu
uv udv
Dựa vào cơng thức tính tích phân phần,để tính tích phân I=f(x)dx ta tiến hành theo bớc sau:
- Bớc 1: Biến đổi tích phân ban đầu dạng:
I = f(x)dx = f1(x).f2(x)dx.
- Bớc 2: Đặt: u = f1(x), dv= f2(x)dx du,v
- Bíc 3: I = uv - vdu.
Chúng ta cần ý, sử dụng phơng pháp tích phân phần để tính nguyên hàm cần tuân thủ nguyên tắc sau:
- Lựa chọn phép đặt dv cho v đợc xác định cách dễ dàng. - Tích phân vdu đợc xác định cách dễ dàng so với I.
Ta dùng P(x) đa thc.
- Khi gặp tích phân có dạng:
P(x)axdx, P(x)sinxdx, P(x)cosxdx
nên dùng tích phân phần để tính với cách đặt: u = P(x).
- Khi gặp tích phân có dạng:
P(x)logaxdx
nên dùng tích phân phần để tính với cách đặt: u = P(x).
- Khi gặp tích phân có dạng:
eaxsinbxdx, eaxcosbxbx
nên dùng tích phân phần hai lần để tính với cách đặt: u = eax.
Sau ví dụ nhằm minh hoạ cho tính phổ biến tiện lợi ph-ơng pháp này:
Ví dụ : Tính tích phân:
1 ) ln(
2
dx x
x x x
I
Giải: Ta viết lại I díi d¹ng:
1 )
1 ln(
2
2 dx
x x x
x
I
(7)Đặt:
1
1 . 1 1 1
1 1 ln
2
2
2
2
x v
x dx dx x x
x x du dx x
x dv
x x u
Khi đó:
1
ln
1 ln
1
2
2
C x x
x x
xdx x
x x
I
Xác định tích phân phơng pháp dùng nguyên hàm phụ.
Phơng pháp xác định nguyên hàm hàm số f(x) kỹ thuật dùng hàm phụ xuất phát từ ý tởng chủ đạo tìm kiếm hàm g(x) sao cho nguyên hàm hàm số f(x) g(x) dễ xác định hơn, từ suy ra nguyên hàm F(x) hàm số f(x).Để xác định nguyên hàm hàm số f(x) theo phơng pháp này, ta tiến hành thực theo bớc sau:
- Bớc 1: Tìm kiếm hàm số g(x).
- Bớc 2: Xác định nguyên hàm hàm số f(x) g(x), tức
lµ:
' ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) (
C x B x G x F
C x A x G x F
- Bớc 3: Từ hệ ta nhận đợc: F(x) = 21 [A(x) + B(x)] + C.
Đối với phơng pháp này, điều khó cách tìm hàm số g(x) nh thế nào để cho việc giải toán dễ dàng
Ví dụ : Tìm nguyên hàm hµm sè: f(x) =
x x
x
cos sin
sin
.
Gi¶i: Chän hµm sè phơ: g(x) =
x x
x
cos sin
cos
.
Gäi F(x) vµ G(x) theo thø tù lµ nguyên hàm hàm số f(x),
g(x) Ta cã: f(x) + g(x) =
x x
x x
cos sin
cos sin
(8)
x x x C
x F C
x x G x F
C x x
x G x F
C x dx x
G x F
x x
x x
x g x f
C x x
x x
x x
d dx x x
x x
x G x F
cos sin
ln 2 1 ) ( '
) ( ) (
cos sin
ln ) ( ) (
' )
( ) (
1 cos sin
cos sin
) ( ) (
cos sin
ln cos
sin
) cos (sin
cos sin
cos sin
) ( ) (
Xác định tích phân hàm số lợng giác.
Để xác định tích phân hàm số lợng giác, ta thờng sử dụng các phơng pháp sau:
a) Sử dụng nguyên hàm bản.
b) Cỏc hàm phân thức hữu tỉ hàm lợng giác.
c) Sử dụng phép biến đổi lợng giác đa nguyên hàm bản. d) Phơng pháp đổi biến.
Đối với dạng tích phân: I = R(sinx, cosx)dx, ta giải cách đổi biến lựa chọn hớng sau:
- Hớng 1: Nếu R( - sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) sử dụng phép đổi
biÕn t = cosx.
- Hớng 2: Nếu R(sinx, - cosx) = -R(sinx, cosx) sử dụng phép đổi
biÕn t = sinx.
- Hớng 3: Nếu R(-sinx, - cosx) = R(sinx, cosx) sử dụng phép đổi
biÕn t = tgx.
- Hớng 4: Mọi trờng hợp đa tích phân hàm hữu tỉ
bằng phép đổi biến t = tg
x
. e) Phơng pháp tích phân phần. f) Sử dụng nguyên hàm phụ.
Ví dụ : TÝnh:
0
2
2
sin
2 sin
dx x x I
(9) ) cos , (sin sin ) cos ( sin sin cos sin sin 2 sin ) cos ,
(sin 2 2 2
x x R x x x x x x x x x x R
Từ nhận xét giúp ta định hớng đợc phép biến đổi. Đặt: t = sinx, dt = cosxdx.
§ỉi cËn: x = t = 0; x =
2
t = -1.
Khi đó:
2ln2 2 2 ln 2 2 2 2 2 2 1 2 t t t d t t dt t t t tdt I
TÝch ph©n cđa hàm số hữu tỉ
xỏc nh tớch phân hàm số hữu tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn một trong phơng pháp sau:
1 Phơng pháp tam thức bậc hai. 2 Phơng pháp phân tích.
3 Phng phỏp i bin.
4 Phơng pháp tích phân phần.
5 S dụng phơng pháp khác nhau: kết hợp việc dùng công thức đổi biến số với kĩ thuật phân tích số hạng đơn giản tích phân tng phn.
Tuy nhiên, chọn cách sử dụng phơng pháp cần phải vào dạng toán cụ thể.
Ví dụ : Tính tÝch ph©n:
3 4 x x dx I
Giải: Biến đổi:
1 1 2 2
4 x x x x x
x Khi đó: 1
2 1 3
2 x dx x dx I .
(10)Đặt x = tgt, 2
t
;
Suy ra:
dt
t tg
dt t tg x
dx dt t tg
dx
2
2
2
1 1 &
§ỉi cËn: x = t = 0;
x = t =
.
Khi đó:
4
0
4
4
t dt I
+) Ta xác định tích phân
1
0 2
3
x dx
I .
Đặt x = 3 tgt,
2
t ;
Suy ra: dt
t tg
dt t tg x
dx dt t tg dx
3 ) (
1 3 &
3 2
2
2
.
§ỉi cËn: x = t = 0; x = t =
6
. Khi đó:
3
1
1
0
0
dt t
I
Từ ta có:
I =
Nhận xét: Nh vậy, ta kết hợp nhiều phơng pháp lại với để giải ví dụ trên, cụ thể ví dụ ta sử dụng đồng thời hai phơng pháp là phơng pháp phân tích phơng pháp i bin.
Tích phân hàm số vô tØ.
Để xác định tích phân hàm số vô tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn một phơng pháp sau:
- Sử dụng dạng nguyên hàm bản. - Phơng pháp đổi biến
(11)- Kết hợp phơng pháp khác nhau.
Ví dụ : Tính tích phân:
1 2
x x
xdx I
Giải: Biến đổi I dạng:
1
1 x2 x2
xdx I
Thực phép i bin:
Đặt: 2
x t x
t
Suy ra:
tdt = xdx vµ t tdt t dt t
x x
xdx
1 1
1 2
Khi đó:
2 1
1
2 C
x C
t t
dt
I
Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.
§Ĩ tÝnh tÝch ph©n :
b
a
dx m x f
I ( , ) ta thùc hiƯn theo c¸c bíc sau:
- Bớc 1: Xét dấu biểu thức f(x,m) đoạn [a, b] Từ phân đoạn [a,
b] thành đoạn nhỏ mà đoạn f(x, m) có dấu xác định, giả sử:
[a, b] = [a, c1] [c1, c2] … [ck, b].
- Bớc 2: Khi ta có:
2 1
) , (
) , ( )
, (
c
c
b
c c
a k
dx m x f dx
m x f dx m x f I
VÝ dơ : TÝnh tÝch ph©n:
0
dx a x x
I (a > 0).
Gi¶i: Ta xét trờng hợp sau:
Trng hp 1: Nu a 1, ta có:
3 2
3 )
(
1
0
0
x x a dx x ax a
I
(12)
3 3
2
3
) ( )
(
3 3
3
1
0
1
0
a a a a a a
a
ax x ax
x
dx a x x dx a x x I
a a
a a
II, Các biện pháp để tổ chức thực hiện
1.H×nh thøc lun tập lớp có hớng dẫn thầy giáo.
- Thực phạm vi số buổi chữa tập buổi học chính khố với tập mức độ vừa phải Thầy giáo đa phơng pháp giải và hệ thống tập, Học sinh nêu lời giải có đợc tốn Sau đó cho học sinh tìm tòi, phát số vấn đề xung quanh toán mức độ đơn giản.
- Thực số buổi công tác bồi dỡng học sinh khá hơn mức độ toỏn cao hn.
2 Hình thức tự nghiên cứu toán có hớng dẫn thầy giáo.
Hình thức cần đợc thực liên tục trình học tập của học sinh, làm cho khả t duy, sáng tạo học sinh ngày đợc tăng lên.
C KÕt LUËN 1 Kết nghiên cứu.
Sau tụi thc hin dạy số tiết lớp 12A2, 12A8 số buổi bồi dỡng cho tiến hành kiểm tra khả tiếp thu kiến thức học sinh. Kết đạt đợc lớp 12A2 có 40/45 (89%) lớp 12A8 có 25/35(71%) học sinh đạt yêu cầu.
2 Kiến nghị, đề xuất.