SKKN tich phan

TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SÁNG TẠO BÀI TOÁN TÍCH PHÂN MỚI TỪ MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN CƠ BẢN A- MỞ ĐẦU: 1. Lý do chọn đề tài: Trong chương trình Toán phổ thông ,Tích phân là một trong những phần quan trọng của môn Giải tích lớp 12. Các bài toán tích phân rất đa dạng và phong phú, thường có mặt trong các kì thi tốt nghiệp , thi tuyển sinh Đại học và Cao đẳng. Đây là những bài tập gây cho học sinh không ít khó khăn dẫn đến tâm lý sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình. Chương trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo Quyết định số 16/2006/QĐ- BGDĐT ngày 5/6/2006 của Bộ trưởng Bộ GD&ĐT đã nêu: “Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc trưng bộ môn, đặc điểm đối tượng học sinh , điều kiện của từng lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác ; rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập của học sinh”. Trong quá trình giảng dạy, người thầy cần nâng cao được tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh, rèn luyện cho học sinh có khả năng phát hiện ra những bài toán mới từ những bài toán đã có; cần khơi dậy và phát triển tiềm năng sáng tạo còn tiềm ẩn trong mỗi học sinh. Bài viết này tôi xin đưa ra một biện pháp được áp dụng trong khi dạy chủ đề tự chọn Nguyên hàm-Tích phân lớp 12 là “sáng tạo bài toán tích phân mới từ một số bài toán tích phân cơ bản”, nhằm giúp các em học sinh có kiến thức sâu , rộng về tích phân; có thêm nhiều bài tập để rèn luyện kỹ năng , và giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo. 2. Đối tượng nghiên cứu: - Học sinh lớp 12 trường THPT Diễn Châu 4. - Kiến thức về Nguyên hàm và Tích phân; Kỹ năng tìm Nguyên hàm và tính Tích phân. -Giải pháp giúp học sinh lớp 12 học tốt Tích phân. 3. Phạm vi của đề tài: Đề tài được nghiên cứu, thử nghiệm trong phạm vi lớp 12C3,12C4;12C13 trường THPT Diễn Châu 4,vào các tiết tự chọn thuộc chủ đề Nguyên hàm-Tích phân. 4. Phương pháp nghiên cứu: a) Nghiên cứu tài liệu: Giáo Viên: Trần Quang Lực 1 TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến đề tài: - Sách giáo khoa Giải tích lớp 12 . - Tài liệu tham khảo. b) Điều tra: - Thực dạy và kết quả kiểm tra: Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tôi đã tiến hành thực dạy các lớp 12: +Năm học 2012-2013: Lớp 12: thực nghiệm. - Dự giờ: Thường xuyên dự giờ để biết được mức độ hiểu biết và khả năng giải toán tích phân của học sinh và cách giải quyết vấn đề của đồng nghiệp, từ đó để đánh giá chính xác kết quả phương pháp của mình. - Đàm thoại: + Trao đổi với đồng nghiệp để có kinh nghiệm và phương pháp dạy phù hợp với phân môn. + Trao đổi với các em học sinh về các bài toán tích phân mới để biết được cách tìm ra hướng giải bài toán của các em, từ đó có cách dạy tốt hơn. c)Giả thuyết khoa học: Nếu học sinh tìm ra được bài toán mới thì các em cảm thấy hăng say, tích cực , tự tin , và kết quả kiểm tra cho thấy các lớp thực nghiệm vẫn cao hơn. B-NỘI DUNG : 1.Cơ sở lí luận: Có nhiều bài tập tích phân và ví dụ trong SGK khi giải xong học sinh vẫn chưa hiểu tại sao lại giải như vậy, và những bài toán như thế nào thì vận dụng phương pháp giải đó. Và khi gặp bài toán có một số điểm tương tự với bài toán đã giải là học sinh cứ mặc nhiên vận dụng mà không phát hiện ra sự nhầm lẫn của mình. Nhiều giáo viên đã đưa ra được nhiều phương pháp giải quyết vấn đề đó có hiệu quả như: Phân dạng bài tập theo phương pháp giải và giải nhiều bài tập cho học sinh ghi nhớ . Theo phương pháp này đôi khi học sinh cảm thấy sợ vì phải ghi nhớ quá nhiều; thậm chí có học sinh tưởng mình biết tất cả các phương pháp giải rồi dẫn đến không còn hứng thú trong giải các bài toán tích phân mới. 2. Cơ sở thực tiễn: a) Thực trạng việc dạy của giáo viên: Có một số giáo viên đã vận dụng phương pháp dạy học sáng tạo nhưng thường dừng lại ở mức độ nhỏ lẻ như khai thác những bài toán tương tự, tìm và giải bài toán tổng quát. b) Thực trạng việc học của học sinh: Giáo Viên: Trần Quang Lực 2 TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đa số học sinh chỉ biết giải các bài tập tích phân tương tự với những bài mà mình đã giải rồi, và bế tắc khi gặp bài toán tích phân mới. Nhiều học sinh không hề có chút suy nghỉ tìm lời giải khi gặp những bài toán tích phân mới. Chất lượng thực tế qua khảo sát chất lượng năm 2012-2013: Lớp Số lượng Đạt yêu cầu Không đạt yêu cầu Số lượng % Số lượng % 12C3 46 40 87 6 13 c)Sự cần thiết của đề tài: Qua phân tích thực trạng việc học của học sinh và việc dạy của giáo viên, tôi nhận thấy đề tài cần thiết đối với giáo viên trực tiếp giảng dạy nhằm giới thiệu những kinh nghiệm và phương pháp phù hợp để nâng cao hiệu quả dạy tích phân cho học sinh lớp 12. 3. Nội dung vấn đề: a)Vấn đề được đặt ra: Hiện nay cách dạy mới là làm sao phát huy được tính tích cực , chủ động và sáng tạo của học sinh trong học tập và rèn luyện. Để phát huy điều đó, chúng ta cần phải đưa ra được những phương pháp dạy học hợp lí nhằm tạo cho học sinh có hứng thú trong học tập, để đem lại kết quả trong học tập tốt hơn ,và hiệu quả giảng dạy cao hơn . b)Sơ lược quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm: Để hoàn thành đề tài, tôi đã tiến hành các bước sau: Chọn đề tài; Điều tra thực trạng; Nghiên cứu đề tài; Xây dựng đề cương và lập kế hoạch;Tiến hành nghiên cứu; Thống kê so sánh; Viết đề tài. c)Các bước sáng tạo bài toán tích phân mới từ một số bài toán tích phân cơ bản: Trước tiên ta bắt đầu từ bài toán tích phân của một hàm số thường gặp mà không có trong bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp của sách giáo khoa Giải tích 12 : Bài toán 1: Tính tích phân : 1 ln e I xdx= ∫ . Giải: Đặt 1 lnu x du dx x dv dx v x  = =   ⇒   =   =  , ta có : 1 1 1 ( ln ) ( ln ) 1 e e e I x x dx x x x= − = − = ∫ . 1.1)Một số tích phân dạng ln ( ) b a u x dx ∫ ( với ( )u x là một trong các hàm số thường gặp), Ví dụ: 1) 1 0 ln(3 1)I x dx= + ∫ ; 2) 1 2 0 ln( 3 2)I x x dx= + + ∫ ; Giáo Viên: Trần Quang Lực 3 TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 3) 1 2 0 ln( 1)I x x dx= + + ∫ ; 4) 2 4 1 ln( 1)I x dx= + ∫ ; 5) [ ] 2 4 ln(sin ) cotI x x x dx π π = + ∫ ; 6) [ ] 4 0 ln(cos ) tanI x x x dx π = − ∫ ; 7) 1 0 ln( 1) 1 x x x I e dx e   = + −   +   ∫ ; 8) 1 ln(ln ) ln e e I x dx x   = +     ∫ ; 9) 3 6 ln(tan ) tan tan x I x x x dx x π π   = + +     ∫ ; 10) 4 0 ln(1 tan )I x dx π = + ∫ ; 11) 1 0 ln(1 )I x dx= + ∫ ; 12) 4 2 0 ln( 9)I x x dx= + + ∫ ; 13) 5 2 2 ln( 1)I x x dx= + − ∫ ; 1.2) Tìm một số tích phân dạng ( ).ln b a f x xdx ∫ ( với ( )f x là một trong các hàm số thường gặp), Ví dụ: 1) 1 .ln ( 1) e I x xdx α α = ≠ − ∫ ; 2) 2 1 (3 2 5).ln e I x x xdx= + + ∫ ; 3) 1 1 .ln e I xdx x = ∫ ; 4) 1 1 ( ).ln e I x xdx x = + ∫ ; 5) 2 1 1 (ln ) x I e x dx x = + ∫ ; 6) 2 6 sin cos ln x I x x dx x π π   = +     ∫ ; 7) 2 3 cos sin ln x I x x dx x π π   = −     ∫ ; 8) 3 2 4 ln tan cos x x I dx x x π π   = +     ∫ ; 9) 2 2 4 ln cot sin x x I dx x x π π   = −     ∫ ; 10) 3 6 ln(cos ) tan ln x I x x dx x π π   = −     ∫ ; 1l) 3 6 ln(sin ) cot ln x I x x dx x π π   = +     ∫ ; 12) 2 1 ln e I xdx= ∫ . 1.3Một số tích phân dạng '( )ln ( )u x u x dx ∫ ( với ( )u x là một trong các hàm số thường gặp), Ví dụ: Giáo Viên: Trần Quang Lực 4 TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM a) 1 2 0 ln( 1)I x x dx= + ∫ ; b ) 2 6 cos ln(sin )I x x dx π π = ∫ ; c) 3 0 sin ln(cos )I x x dx π = ∫ ; d) 1 0 ln( 1) x x I e e dx= + ∫ ; e) ln(ln ) e e x I dx x = ∫ ; g) 3 2 6 ln(tan ) cos x I dx x π π = ∫ ; h) 3 2 6 ln(cot ) sin x I dx x π π = ∫ ; i) 3 2 0 ln(1 1)I x x dx= + + ∫ . 1.4)Một số tích phân dạng (ln ) b a f x dx x ∫ ( với ( )f x là một trong các hàm số thường gặp), Ví dụ: a) ln ( 1) e e x I dx x α α = ≠ − ∫ ; b) 1 ln e e I dx x x = ∫ ; ( ( ) 2 1 ln ln e e x x I dx x x + = ∫ ); 1 2ln 3 (ln 4) e x I dx x x + = + ∫ ; 2 1 1 (ln 4) e I dx x x = − ∫ ; c) 1 3ln 1 1 e x I e dx x + = ∫ ; d) 2 1 1 (1 ln ) e I dx x x = + ∫ ; 2 1 1 ln e x I dx x − = ∫ ; e) 2 1 1 1 ln e I dx x x = + ∫ ; 2 1 1 ln e x I dx x + = ∫ ; g) 1 ln(1 1 ln ) e x I dx x + + = ∫ ; 2 1 ln(ln 1 ln ) e x x I dx x + + = ∫ ; h) 2 2 4 ln 1 (ln 1) e e x I dx x x + = + ∫ ; 2 2 4 ln 1 (ln 1) e e x I dx x x − = + ∫ ; 2 4 1 (ln 1) e e I dx x x = + ∫ . 1.5)Một số tích phân dạng log a xdx β α ∫ , log ( ) a u x dx β α ∫ , ( ).log a f x xdx β α ∫ , '( )log ( ) a u x u x dx β α ∫ và (log ) a f x dx x β α ∫ (với ( )u x , ( )f x là một trong các hàm số thường gặp), Ví dụ: Giáo Viên: Trần Quang Lực 5 TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM a) 2 2 1 logI xdx= ∫ ; 1 2 0 log (3 1)I x dx= + ∫ ; 1 2 2 0 log ( 1)I x dx= + ∫ ; 1 2 2 0 log ( 3 2)I x x dx= + + ∫ ; b) 2 2 1 log ( 1)I x xdx α α = ≠ − ∫ ; 2 2 2 1 (3 2 5)logI x x xdx= + + ∫ ; c) 1 2 2 0 log ( 1)I x x dx= + ∫ ; 2 2 6 cos log (sin )I x x dx π π = ∫ ; 2 2 6 sin log (cos )I x x dx π π = ∫ ; 3 2 2 6 log (tan ) cos x I dx x π π = ∫ ; 3 2 2 6 log (cot ) sin x I dx x π π = ∫ ; 2 log (ln ) e e x I dx x = ∫ . d) 4 2 2 2 log (1 log 1) x I dx x x = + − ∫ ; 16 2 1 2 4log 1 (2 2log 1) x I dx x x − = + + ∫ ; 4 2 3 2 1 2 2 log 8 ( log 2 2) x I dx x x − = + − ∫ . Do học sinh không được làm quen với cách đặt cosx a t= hoặc sinx a t= trong những bài toán giải phương trinh vô tỉ có chứa biểu thức a x+ , a x− và 2 2 a x− nên còn khó hiểu khi giải bài toán sau đây: Bài toán 2.Tính các tích phân sau: (Bài tập SGK) a) ∫ −= 1 0 2 1 dxxI ; b) 2 2 2 0 1 a I dx a x = − ∫ ( với 0a > ). Giải: a)Đặt sinx t = , với [0; ] 2 t π ∈ , ta có : cosdx tdt = và với 0x = thì 0t = , với 1x = thì 2 t π = . Ta được: 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 1 1 1 sin .cos cos (1 cos2 ) ( sin 2 ) 2 2 2 4 I t tdt tdt t dt t t π π π π π = − = = + = + = ∫ ∫ ∫ . b)Đặt sinx a t = , với [0; ] 6 t π ∈ , ta có : cosdx a tdt = Giáo Viên: Trần Quang Lực 6 TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM và với 0x = thì 0t = , với 2 a x = thì 6 t π = .Ta được: 6 6 6 0 2 0 0 1 .cos 6 1 sin I tdt dt t t π π π π = = = = − ∫ ∫ . Sau khi giảng giải cho học sinh hiểu một cách tường minh bài toán trên là tại sao lại chọn cách đặt đó mà không lựa chọn cách đặt khác . Thì ta có thể bắt đầu với các bài toán mới như sau : 2.1)Qua bài toán trên ta thấy xuất hiện các biểu thức lượng giác sin t và cost thay thế vị trí của biến x và 2 2 a x− ; và bài toán tích phân hàm số vô tỉ được chuyển thành bài toán tích phân hàm số lượng giác. Chính vì thế mà ta nghĩ ngay đến việc thay thế các biểu thức sin t và cost trong các bài toán tích phân hàm số lượng giác đơn giản bởi biến x và 2 2 a x− để được các bài toán tích phân mới ,ví dụ : 1) a) ∫ −+ = 1 0 2 11 1 dx x I ; b) 1 2 0 1 1 4 I dx x = − − ∫ ; 2) a) ∫ −+ = 1 0 2 1 1 dx xx I ; b) 1 2 0 1 4 I dx x x = − − ∫ ; c) 2 2 0 1 a I dx x a x = + − ∫ ( 0a > ); d) 2 2 2 0 1 a I dx x a x = − − ∫ ( 0a > ). 3) a) 1 2 0 2 1 x I dx x x = + − ∫ ; b) 1 2 0 4 x I dx x x = − − ∫ ; c) 2 2 2 0 a x I dx x a x = + − ∫ ( 0a > ). 4)a) 1 4 2 0 4 x I dx x = − ∫ ; b) ( ) ( ) 2011 2 1 2012 2012 2 0 1 1 x I dx x x − = + − ∫ ; c)Cho 1 2012 2 2012 0 . 1I x x dx= − ∫ . Lập hệ thức giữa 2012 I và 2014 I . 5) Cho ( ) 2 2012 2 2012 2013 2 0 1 x I dx x = − ∫ . Lập hệ thức giữa 2012 I và 2014 I . 6) a) 1 3 0 1 3 4I x x dx= + − ∫ ; b) 1 3 0 4 3 1I x x dx= − + ∫ ; c) 1 5 3 0 16 20 5 1I x x x dx= − + + ∫ . Lưu ý: Nếu đặt sinx a t = thay vào các bài toán tích phân có chứa biểu thức 2 2 a x− thì ta có thể chọn một trong các giá trị của cận tương ứng trong bảng Giáo Viên: Trần Quang Lực 7 TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM t 0 6 π 4 π 3 π 2 π x 0 2 a 2 2 a 3 2 a a Theo cách trên ta đã đưa ra được một loạt các bài tập tương tự với bài toán đã cho (bài toán 2). Ta tiếp tục với việc tìm kiếm bài toán ẩn chứa trong đó là bài toán 2) như sau: 2.2)Vì hàm số 2 2 ( )f x a x= − là một hàm số chẵn nên ta nghĩ ngay đến bài toán ∫∫ = + − αα α 0 )( 1 )( dxxfdx a xf x (với 0,0 >> α a và )(xf là hàm số chẵn trên đoạn [ ; α α − ] ) (Chứng minh xem bài toán 5), và chọn một số hàm số chẵn đơn giản có chứa biểu thức 2 2 a x− để tạo ra các tích phân mới : a) 2 2 1 a x a a x I dx a − − = + ∫ (với 0a > ) ; b) 2 2 2 2 4 2 1 x x I dx − − = + ∫ ; c) 2 2 1 e e x e e x I dx e − − = + ∫ ; d) 2 2 . 1 a x x a a a x J dx a − − = + ∫ (với 0a > ) ; e) 1 2 2 1 2 . 4 1 2 x x x J dx − − = + ∫ ; f) 2 2 . 1 e x e x e e e x J dx e − − = + ∫ . 2.3)Kết hợp với bài toán: ∫∫ =+ − αα α 0 )()1ln()( dxxxfdxexf x (với 0 > α , )(xf là hàm số lẻ trên đoạn [ ; α α − ])(Chứng minh xem bài toán 5.7), ta chọn một số hàm số lẻ đơn giản có chứa biểu thức 2 2 a x− , ta được các tích phân mới : a) 2 2 ln( 1) a x a I x a x e dx − = − + ∫ (với 0a > ); 1 2 1 1 1 ln( 1) x I x x e dx − = − + ∫ ; 2 2 2 2 4 ln( 1) x I x x e dx − = − + ∫ ; b) 2 2 2 2 ln( 1) a x a x e J dx a x − + = − ∫ ( với 0a > ); 1 2 2 1 ln( 1) 4 x x e J dx x − + = − ∫ ; 2 2 2 2 ln( 1) e x e e x e J dx e x − + = − ∫ . 2.4)Nếu thay thế biểu thức 2 2 a x− bởi cặp biểu thức a x+ và a x− ta có các tích phân mới , ví dụ : a) 2 0 a a x I dx a x − = + ∫ ( với 0a > ); 1 2 1 0 1 1 x I dx x − = + ∫ ; 1 2 0 2 2 x I dx x − = + ∫ ; Giáo Viên: Trần Quang Lực 8 TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM b) 2 0 a a x J dx a x + = − ∫ ( với 0a > ); 1 2 1 0 1 1 x J dx x + = − ∫ ; 1 2 0 2 2 x J dx x + = − ∫ ; c) 0 1 a I dx a x a x = + + − ∫ ( với 0a > ); 1 1 0 1 1 1 I dx x x = + + − ∫ ; 2 2 0 1 2 2 I dx x x = + + − ∫ ; d) 2 1 a a J dx a x a x = + − − ∫ ( với 0a > ); 1 1 1 2 1 1 1 J dx x x = + − − ∫ ; 2 2 1 1 2 2 J dx x x = + − − ∫ ; 2.5)Từ các bài toán tích phân 2.4) ta đưa ra các bài toán tích phân có chứa một trong các biểu thức a x+ , a x− nhưng giải được theo phương pháp đặt t a x= + ( hoặc t a x= − ) , để ghép vào như : a) 2 0 a x a x I dx a x + − = + ∫ ( với 0a > ); 1 2 1 0 1 1 x x I dx x + − = + ∫ ; 1 2 0 2 2 x x I dx x + − = + ∫ ; b) 2 0 a x a x I dx a x + + = − ∫ ( với 0a > ); 1 2 1 0 1 1 x x I dx x + + = − ∫ ; 1 2 0 2 2 x x I dx x + + = − ∫ ; c) 2 0 a a x e a x I dx a x + + − = + ∫ (với 0a > ); 1 1 2 1 0 1 1 x e x I dx x + + − = + ∫ ; 2 2 2 0 2 2 x e x I dx x + + − = + ∫ ; d) 1 0 2 ln( 2 1) 2 x x I dx x − + + − = + ∫ . 2.6)Từ các bài toán tích phân trên ta thấy cặp biểu thức a x+ và a x− quá quen thuộc nên ta tìm cách thay đổi cặp biểu thức đó , ví dụ thay t a x= − ( với 0a > ) vào các tích phân trong bài 2.4) ta có các tích phân : a) 2 2 a a x I dx a x = − ∫ ( với 0a > ); 1 1 1 2 2 x I dx x = − ∫ ; 2 2 1 4 x I dx x = − ∫ ; Giáo Viên: Trần Quang Lực 9 TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM b) 2 2 a a a x I dx x − = ∫ ( với 0a > ); 1 1 1 2 2 x I dx x − = ∫ ; 2 2 1 4 x I dx x − = ∫ ; c) 0 1 2 a I dx a x x = − + ∫ ( với 0a > ); 1 1 0 1 2 I dx x x = − + ∫ ; 2 2 0 1 4 I dx x x = − + ∫ ; d) 2 0 1 2 a J dx a x x = − − ∫ ( với 0a > ); 1 2 1 0 1 2 J dx x x = − − ∫ ; 1 2 0 1 4 J dx x x = − − ∫ ; 2.7) Từ các tích phân trong bài 2.4) và 2.6) ta đưa ra các tích phân mới có chứa cặp biểu thức a x+ và b x− dạng a x I dx b x β α + = − ∫ hoặc b x J dx a x β α − = + ∫ bằng cách đặt 2 a b a x t + + = + hoặc sin 2 2 a b a b a x u + + + = + hay sin 2 2 a b a b x u − + + = , và ta có thể chọn một trong các giá trị của cận tương ứng trong bảng u 0 6 π 4 π 3 π 2 π x 2 b a− 3 4 b a− 2( ) 4 2 a b a b+ − − 3( ) 4 2 a b a b+ − − b ví dụ : a) 5 2 1 2 1 3 x I dx x − = − ∫ ; 5 2 1 2 3 1 x J dx x − = − ∫ ; 3 2 1 3 5 x I dx x + = − ∫ ; 3 2 1 5 3 x J dx x − = + ∫ ; b) 5 2 1 2 1 3 x x I dx x + − = − ∫ ; 5 2 1 2 3 1 x x J dx x + − = − ∫ ; 3 2 1 3 5 x x I dx x + + = − ∫ ; 3 2 1 5 3 x x J dx x + − = + ∫ ; c) 3 3 1 5 3 x e x I dx x + + − = + ∫ ; 3 1 5 ln( 3 1) 3 x x I dx x − + + − = + ∫ ; d) 3 4 1 b b a J dx a x b x − = + − − ∫ ; 3 1 5 2 1 1 3 J dx x x = − − − ∫ ; 5 1 3 1 3 5 J dx x x = + − − ∫ ; e) 2 1 b b a J dx a x b x − = + + − ∫ ; 3 1 2 1 1 3 J dx x x = − + − ∫ ; 5 1 1 1 3 5 J dx x x = + + − ∫ ; 2.8)Hoặc dạng ( )( )a x b x dx β α + − ∫ , ví dụ : a) ( ) 3 2 1 2 1 3I x x dx= − + − ∫ ; b) ( ) 3 2 2 1 1 3I x x dx= + + − ∫ ; c) ( ) 5 2 4 1 3 5I x x dx= + + − ∫ . 2.9)Ta xét thêm tích phân : Giáo Viên: Trần Quang Lực 10