Đang tải... (xem toàn văn)
Đường tròn tâm I là đường tròn bàng tiếp trong góc A và tiếp xúc với BC tại F tiếp xúc với AB tại N.[r]
(1)TRƯỜNG THCS ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TRỰC THUẬN NĂM HỌC: 2010 - 2011
MƠN: TỐN - LỚP 9
Thời gian làm 120 phút không kể thời gian giao đề Câu 1:(4đ) Cho biểu thức:
2 x -9 x +3 x +1
A = -
-x -5 -x + x -2 3- x 1) Rút gọn biểu thức A
2) Tìm giá trị x để A <
3) Tính giá trị biểu thức A với x = 29 +12 - 29 -12 5 4) Tìm giá trị nguyên x A số nguyên
Câu 2:(3đ) Giải phương trình sau: 1) x +1 + 2(x +1) = x -1+ 1- x + 1- x2 2) x -4x +5 +2 1x - x +5 = -4x +16x -122
4
Câu 3:(3,5đ) Chứng minh bất đẳng thức sau:
1) Cho a > c, b > c, c > Chứng minh c(a -c) + c(b -c) ab
2) Cho a > 0, b > Chứng minh ab ab a + b
Câu 4:(7,5đ) Cho tam giác ABC Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC
tại D với AB M Đường trịn tâm I đường trịn bàng tiếp góc A tiếp xúc với BC F tiếp xúc với AB N Vẽ đường trịn đường kính DE
1) Chứng minh rằng: AO OE= AI IF
2) Chứng minh rằng: A, E, F thẳng hàng
3) Gọi h ,h ,ha b c đường cao vẽ từ A, B, C r bán kính đường trịn nội tiếp S diện tích, p nửa chu vi tam giác ABC Chứng minh:
a) S = p.r
c) h1 +h1 +h1 =1r
a b c
Câu 5: (2đ) Tìm giá trị lớn biểu thức:
2 P = 2x + 1- 4x - x
- Hết
(2)Đ
ÁP ÁN :
Câu 1: Cho biểu thức:
2 x -9 x +3 x +1
A = -
-x -5 -x + x -2 3- x 1)(1đ) Rút gọn biểu thức A
ĐK: x 0, x 4, x
2 x -9 x +3 x +1
A = -
-x -5 -x + x -2 3- x x -9 x +3 x +1
= - +
( x - 2)( x -3) x - x -3 0,5đ x -9-( x +3)( x -3) + (2 x +1)( x - 2)
=
( x - 2)( x -3) x -9 - x +9 + 2x - x + x -
=
( x - 2)( x -3)
x - x - ( x - 2)( x +1) x +1
= = =
( x - 2)( x -3) ( x - 2)( x -3) x -3 0,5đ 2)(1đ) Tìm giá trị x để A <
Với x 0, x 4, x để A < khi: x +1 <1
x -3 0,5đ x +1-1< 0 < 0 x -3 < 0 x < 9
x -3 x -3
0,5đ
Vậy x < 9 x 4, x A <
3)(1đ) Tính giá trị biểu thức A với x = 29 +12 - 29 -12 5
+
2
x = 29 +12 - 29 -12 = (3+ 5) - (3- 5)
= 3+ - 3- = 3+ - = 0,5đ Vậy A = +1 ( +1)( +3) +3 + +3 -9- 6= = 6-9 = 3
6 -3 ( -3)( +3) 0,5đ 4)(1đ) Tìm giá trị nguyên x A số nguyên
Với x 0, x 4, x để A số nguyên khi: x +1
A
x -3
số nguyên
1+
x -3
số nguyên
x -3
số nguyên 0,5đ 4 chia hết cho x -3
hay x -3 Ư(4) mà Ư(4) = ±1;±2;±4 0,5đ Vậy x = 1;16;25;49 A số nguyên
(3)1) (1,5đ) x +1 + 2(x +1) = x -1+ 1- x + 1- x2 ĐK: 1 x
2 x +1 + 2(x +1) = x -1+ 1- x +3 1- x
x +1- 1- x + x +1 x +1- 1- x 1- x x +1- 1- x =
x +1- 1- x 1+ x +1 1- x = 0
(0,75)đ
x +1- 1- x =
1+ x +1 1- x =
x +1 = 1- x
x = 24
25
x =
x +1=1- x
x =
Vậy phương trình có nghiệm x = 0, x = 2425 0,75đ 2)(1,5đ) x -4x +5 +2 1x - x +5 = -4x +16x -122
4
Ta có: VT = x - 4x +5 +2 1x - x +52
4
2
2
= x - +1 + x -1 + 4
(0,5)đ
Dấu “ =” xẩy x =
VP = -4x +16x -12 = 4- x - 4x + = 4- x - 22 24 (0,5)đ Dấu “ =” xẩy x =
Vậy x = nghiệm phương trình (0,5)đ
Câu 3:(3,5đ) Chứng minh bất đẳng thức sau:
1)(2đ) Cho a > c, b > c, c > Chứng minh c(a -c) + c(b -c) ab
Ta có:
:
c(a -c) + c(b -c) ab c(a -c) + c(b -c) ab
c(a -c) + c(b -c) + 2c (a -c)(b -c) ab
c - 2c (a -c)(b -c) + (a -c)(b -c)
c - (a -c)(b -c)20
(luôn với a > c, b > c, c > ) 2)(1,5đ) Cho a > 0, b > Chứng minh ab ab
a + b Với a > 0, b > theo BĐT Cosi ta có: a + b 2 ab
1
a + b 2 ab
2 ab ab
a + b 2 ab
2 ab ab
a + b
(4)Vậy ab ab
a + b với a > 0, b > Câu 4: (7,5đ)
1) (2đ)Ta có đường trịn (O) (I) tiếp xúc với AB M N nên AB tiếp tuyến (O) (I)
Suy ra: OMAB IN AB ( tính chất tiếp tuyến) OM // IN ( theo quan hệ từ vng góc đến song song) AO OM=
AI NI ( theo định lí Talet)
mà OM = OE, NI = IF ( bán kính đường trịn) Vậy AO OE=
AI IF
2) (2đ)Lại có đường trịn (O) (I) tiếp xúc với BC D F nên BC tiếp tuyến (O) (I)
Suy ra: OD BC FI BC( tính chất tiếp tuyến) OE // FI ( theo quan hệ từ vng góc đến song song) AOE = AIF (dh)
Xét AOE AIF:
AO OE=
AI IF (cmt)
AOE = AIF(cmt)
Suy ra: AOE đồng dạngAIF(c-g-c) OAE = IAF ( hai góc tương ứng) Vậy A, E, F thẳng hàng
3) a)(1đ)
Ta có SABC= SAOB + SAOC + SBOC = 21r.AB + 12r.AC + 12r.BC= 12r(AB + BC +AC) = p.r
b)(2,5đ)
Ta có: SSOBC = r
ABC ;
S r
OAC = SABC hb ;
S r
OAB = SABC hc Suy SOBC
SABC + SOACSABC + SOABSABC r =
hb + har + hcr = SABC
SABC h1 +h1 +h1 =1r
a b c
Câu 5: (2đ) Tìm giá trị lớn biểu thức:
2 P = 2x + 1- 4x - x
ĐK:
0 1- 4x - x
2 x +
-2- x +
0,5đ
Ta có:
hc
N
E M
F
D C
B A
I O
b
(5)2 P = 2x + 1- 4x - x
2 P + = 2(x + 2) + 1- 4x - x
Áp dụng bất đẳng thức Bu - nhi - a – cốp –xki ta có (1,5đ)
2
2 2
P + +1 x + + 1- 4x - x = 25 P
Vậy giá trị lớn P =
Dấu “=” xẩy khi: x + = 1- 4x - x2
x =