Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 của Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội năm 2018 - 2019

Người ta điền vào mỗi ô vuông của bảng 1 số nguyên tùy ý sao cho hiệu hai số được điền ở hai ô chung cạnh bất kỳ đều có giá trị tuyệt đối không vượt quá 1.. Chứng minh rằng tồn tại mộ[r]

SỞ GD&ĐT HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP THÀNH PHỐ LỚP NĂM HỌC 2018-2019

MƠN TỐN Bài

a) Giải phương trình: 2  x x1

b) Cho 2

2.3 3.4 2020.2021

S        

    là tích 2019 thừa số

Bài

a) Biết a b, số nguyên dương thỏa mãn a2 abb2chia hết cho Chứng minh avà bđều chia hết cho

b) Tìm số nguyên dương nsao cho 9n 11là tích k k  ;k2số tự nhiên liên tiếp

Bài

a) Cho , ,x y zlà số thực dương nhỏ

Chứng minh số 1 ;1 ;1

4 4

x  y y z z xln ln tồn số lớn

b) Với số thực dương a b c, , thỏa mãn a2 b2 c2 2abc1 Tìm GTLNcủa biểu thức Pab bc caabc

Bài Cho tam giác ABCvuông A AB  AC.Đường tròn  I nội tiếp tam giác ABCtiếp xúc với cạnh BC CA AB, , D E F, , Gọi Slà giao điểm AI DE

a) Chứng minh IAB EAS

b) Gọi Klà trung điểm AB,O trung điểm BC.Chứng minh ba điểm , ,

K O Sthẳng hàng

c) Gọi M giao điểm KIvà AC.Đường thẳng chứa đường cao AHcủa tam giác ABCcắt đường thẳng DEtại N Chứng minh AM AN

ĐÁP ÁN Bài

a) ĐKXĐ: x1.Đặt

3 3 2 1 1 a b

x a x a

a b x b x b b a                                 

Do : 3 2 3  2   

0

1 1

2 a

a b a a a a a a

a                    

1: 2( )

1

2

2 : 1( )

1

2

3 : 10( )

1 x

TH a b x tm

x x

TH a b x tm

x x

TH a b x tm

x                                      

Vậy S 1;2;10

b) Với n *ta có:

       

2 1 2

2

1

1 1

n n

n n

n n n n n n

 

 

  

   Thay n2;3 ;2020ta có:

   

1.2.3 2019 4.5.6 2022  

1.4 2.5 3.6 2019.2022 2022 337

2.3 3.4 4.5 2020.2021 2.3.4 2020 3.4.5 2021 2020.3 1010

S    

Bài

a) Ta có : a2 ab b 2 94a2ab b 2 93a b  2  ab2 9(*)

  2 2    2

3 a b a b a b a b

 

         Từ (*) ta lại suy ra:

 2  2  

3 a b 9 a b 9 a b Do  

 

3 3

2

3

a b a

a b a b           

b) Nhận xét : tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho

Đặt 11a a 1với anguyên dương Ta có

 

9n  11 a a 1 4.9n 454a 4a1

 2  2   

2a 2.3n 45 2a 2.3n 2a 2.3n 45

         

Vì a n, nguyên dương nên 2a 1 2.3n 9.Ta có trường hợp sau:

2 2.3

1: 14 11 12 0( )

2 2.3

2 2.3 15

2 : 18 11 20 1( )

2 2.3

2 2.3 45

3 : 46 11 11 132 121( )

2 2.3

n n n n n n n n n n a

TH a a n ktm

a a

TH a a n tm

a a

TH a a ktm

a                                                            

Vậy n1,k 2thỏa mãn tốn Bài

a) Ta có : 1 0;1 0;1

4 4

x  y  y z  z  x  Áp dụng BĐT Bunhia ta có:

 

2

1 1 1

36

4 4

1 1 1

4 4

4 4

x y y z z x

x y y z z x

x y y z z x

x y y z z x

                                       

1 1 1

3

4 4

x y y z z x

     

       

    

    ; Do số

1

; x   y

1

4 y  z ;1

4

z  xluôn ln tồn số lớn b) Ta có

    2 2 2  2

2P2 ab bc ca 2abc2 ab bc ca a b c  1 a b c 1 Mặt khác : a2 b2  c2 2abc 1 a b2 2abcc2  1 a2 b2 a b2

 2  2 2 2 2 2  2

1

2 2

a b

a b a b

ab c a b     ab c   c  

          

Do    

2

1 5

2

2 2 4

a b a b

a  b c        P    P Vậy GTLNcủa Plà

8 Đạt

1 a  b c Bài

a) Ta có

0

0 180

180 180 90

2 2

BAC ABC C C

AIB         AIB AES

Và EAS IABnên IAB EAS

b) Ta có IAB EASASEIBAIBDdo tứ giác IBDSnội tiếp

90 ISB IDB

   mà IAB450nên ASBvng cân S có KAKBnên SKlà trung trực AB

Mặt khác ABCvuông có OBOCnên OA OB suy Ođường trung trực AB Hay ba điểm , ,K O Sthẳng hàng

H

N

M

O K

S D E F

I A

B

c) Vì IAlà phân giác AMKnên

AM  IM Áp dụng định lý Talet hệ ta

có: IK FK AK FK AK AM (1)

IM  FA  AM  FA  FK  FA Mặt khác , (2)

AN SA AK ID  SI  FK Từ (1) (2) suy AM AN

FA  ID mà FAIDnên AM  AN Bài

Ta thấy vng hai góc hình vng 10 10 xa Gọi số điền vào vng

1; 2; ; 19

a a a Ta có:

1 1 1;

a a     a a   a a  ;

18 19

; ; 1 a a 1, cộng vế theo vế ta có

1 19 19

18 a a 18 a a 18

      

Vậy a a1; 2; ;a19là số nguyên nên có tối đa 19 số nguyên khác điền vào bảng Có 100 vng bảng, nên theo ngun lý Dirichle có số xuất bảng

100

1 19

   

 

  lần