2, THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

CHỦ ĐỀ 7: THỂ TÍCH KHỐI CHĨP I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM S h Cơng thức tính thể tích khối chóp: V = Trong đó: S diện tích đáy h chiều cao khối chóp II CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Thể tích khối chóp có đường cao sẵn có Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy, đường thẳng SC tạo với đáy góc 60� Thể tích khối chóp S.ABC bằng? a3 a3 a3 3a A B C D Lời giải: Chú ý: Nếu tam giác ABC cạnh a độ dài đường trung tuyến a m = � � Ta có: SA  ( ABC ) � (SC; (ABC))  SCA  60� SA a2 ް ް �tan � 60 SA AC tan 60 a 3,S ABC AC 1 a a � V  SA.S ABC  a  3 4 Chọn B Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm cạnh AD, cạnh bên SB hợp với đáy góc 60� Tính theo a thể tích V khối chóp S.ABCD a 15 a 15 a3 a 15     18 A V B V C V D V Lời giải AD � AH  ( ABCD ) Gọi H trung điểm a �a � BH  � � a  �2 � Ta có: a a 15 SH  BH tan 60� 3 2 1 a 15 a 15 VS ABCD  SH S ABCD  a  3 Chọn B Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, SA  ( ABC ) Biết mặt phẳng ( SBC ) tạo với đáy góc 60� Thể tích khối chóp S.ABC a3 a3 a3 a3 A 24 B C D 18 Lời giải: AM  a Gọi M trung điểm BC � AM  BC Lại có: � �  60� BC  SA � BC  ( SMA) � (( SBC ); ( ABC ))  SMA Khi SA  AM tan 60� Thể tích khối chóp là: V 3a a2 ,S ABC  a3 SA.S ABC  Chọn B Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B có AB=a, BC= a Hình chiếu đỉnh S mặt phẳng đáy trùng với trung điểm cạnh AC Biết SB tạo với đáy góc 30� Thể tích khối chóp S.ABC là: a3 a3 a3 a3 A B C D Lời giải: Gọi H trung điểm AC � AH  ( ABC ) � � Khi ( SB); ( ABC ))  SBH Ta có: AC  AB  BC  2a Tam giác ABC có đường trung tuyến BH ứng với cạnh huyền nên AC �  30�� SH  HB tan 30� a SBH BH   a Do Lại có: Suy ra: S ABC  VS ABC a2 BA.BC  2 1 a a2 a3  SH S ABC   3 Chọn D Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AB= 2a, AD= a , cạnh bên SA vng góc với đáy, gọi M trung điểm cạnh CD Biết SM tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 60�, tính thể tích V khối chóp S.ABCD 3 3 A V= 2a B V= 4a C V= 12a D V= 4a Lời giải: � � Do SA  ( ABCD) � ( SM ; ( ABCD))  SMA  60� 2 Ta có: AM  AD  DM  2a � SA  AM tan 60  2a Mặt khác S ABCD  AB AD  2a VS ABCD  2a 3.2a  4a 3 Chọn D Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt đáy, SD tạo với mặt phẳng (SAB) góc 30�.Tính thể tích V khối chóp S.ABCD 6a 6a 3a 3 A V= 18 B V= 3a C V= D V= Lời giải: �AD  AB � AD  ( SAB) � AD  SA � Ta có: � �  30� SD ;( SAB)  DSA Khi đó: suy SA tan 30� AD � SA  a   a3 VS ABCD  SA.S ABCD  3 Chọn D Do Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD có AB= 2a Hình chiếu vng góc đỉnh S xuống mặt đáy trung điểm AB Biết SA= a mặt phẳng (SCD) tạo với đáy góc 60� Thể tích khối chóp là: 4a A 2a 3 B 2a C 4a 3 D Lời giải: Ta có: SH  SA  HA  a �HK  CD � Dựng HK  CD ta có: �SH  CD 2 � Suy CD  ( SHK ) � SKH  60� a HK tan 60� SH � HK   a  AD Khi 4a S ABCD  2a 2 � V  SH S ABCD  3 Khi Chọn D Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B có AD = 2AB= 2CD= 2a SA  (ABCD) Biết SA tạo với (SCD) góc 30� Thể tích khối chóp S ABCD là: a3 6 A a3 B a3 C Lời giải: a3 D 2 Ta có: AC  AB  BC  a Gọi I trung điểm AD � ABCI hình vng cạnh AD a � CI   a � ACD vuông C CD  SA � � CD  ( SAC ) � CD  AC � Khi đó:   � AN  SC � SA ;( SCD)  � ASN  � ASC  30� Dựng Suy SA  AC cot 30� a AD  BC 3a AB  2 Lại có: a3 VS ABCD  SA.S ABCD  Chọn D Do Ví dụ 9: Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình vng có cạnh a, SA vng góc với đáy SC tạo với mặt phẳng (SAB) góc 30� Tính thể tích V khối chóp cho S ABCD  2a B V= 6a 3 A V= C V= Lời giải: 2a D V= 2a 3 �BC  AB � BC  ( SAB) � BC  SA � Ta có: � �  30� SC ;( SAB)  SCB Do Khi đó:   SB  BC.cot 30� a � SA  SB  AB  a 2 Mặt khác S ABCD  a � VS ABCD a3  Chọn D Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng đáy trùng với tâm H tam giác ABC, biết mặt phẳng (SDC) tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 60� Thể tích khối chóp S.ABCD là: a3 a3 a3 a3 A B C D 12 Lời giải:  ABC Ta có cạnh a nên H trực tâm tam giác ABC � CH  AB � CH  BC �  60� � CD  ( SHC ) � SCH Ta có: a a � BD  a � HB  HC  OB  3 a a2 SH  tan 60� a,S ABCD  S ABC  Khi đó: OB  a a3 VS ABCD  a  Chọn A Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC tam giác vng B có AB= a, BC= a , biết góc hai mặt phẳng (SAC) (SBC) 60� Tính thể tích khối chóp S.ABC a3 a3 a3 a3 A 12 B C 12 D Lời giải: Dựng BH  AC � BH  ( SAC ) � Dựng HK  SC � ( HKB)  SC � HKB  60� a a BH  == � BK sin 60 BK a 2 Ta có: BC  AB � � BC  SB � Do �BC  SA Khi SBC vng B nên ta có: 1 a   � SB  a � SA  SB  AB  2 SB BC BK 2 a a3 VS ABCD  a 3 2 12 Chọn A Ví dụ 12: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng ABCD tâm O cạnh 4a, M điểm thuộc cạnh AB cho MA=3MB, hình chiếu vng góc H lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm cạnh OM Biết góc hai mặt phẳng (SBC) đáy 60� Thể tích khối chóp S.ABCD là: 3 a 3 A 4a B C 8a D 4a Lời giải: Dựng HE  BC , OF  BC � Ta có (SHE)  BC � SEH  60� Mặt khác ME đường trung bình hình thang MOFB MB  OF 3a � ME   2 3a SH  HE tan 60� Ta có: V S ABCD 3a  16a  8a 3 Chọn C Ví dụ 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy nửa lục giác cạnh a, AD= 2a, SA  ( ABCD) Mặt phẳng (SCD) tạo với đáy góc 45� Thể tích khối chóp S.ACD là: a3 A a3 B 3a C Lời giải: D a Gọi O trung điểm AD dễ thấy OC  AB  a  AD � ACD vuông C CD  AC � � CD  ( SAC ) � CD  SA � Khi � Do SCA  45� Lại có tam giác ACD vuông C nên AC  AD  CD  a � SA  a 3.tan 45� a �  CD.sin 60� a d (C ; AD )  CD sin CDA Ta có: AD  BC a 3a S ABCD   2 Do Vậy VS ABCD 3a  SA.S ABCD  Chọn C Dạng 2: Thể tích khối chóp có mặt bên vng góc với đáy Phương pháp giải: Giả sử hình chóp S.ABC có mặt phẳng ( SAB)  (ABC) Ta dựng SH  AB (trong trường hợp SAB cân S H trung điểm AB) � ( SAB )  (ABC) � SH  AB � SH   ABC  � �AB  SAB � ABC     Khi � Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vng B có AB= a , BC= a Tam giác SAC o cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy, mặt phẳng (SAB) tạo với đáy góc 60 Thể tích khối chóp S.ABC là: a3 a3 a3 3 A B C D 2a Lời giải: Gọi H trung điểm AC ta có SH  AC SAC    ABC  SH   ABC  Mặt khác  suy Dựng HE  AB HE đường trung bình tam giác ABC BC a HE   2 Do đó: �AB  HE �  60� � AB  ( SHE ) � SEH � AB  SH Mặt khác: � a AB.BC a a3 ,S ABC   VS ABC  SH S ABC  2 � Chọn B Do Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC có AB= AC= 2a BC= 2a , gọi M trung điểm BC Tam giác SAM cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Khoảng cách từ A đến mặt a phẳng (SBC) Thể tích khối chóp S.ABC là: SH  HE.tan 60� a3 A 3a B Gọi H trung điểm AM ta có SH  AM SAM    ABC  SH   ABC  Mặt khác  nên a3 C a3 D Lời giải: 2 Ta có: BM  MC  a � AM  AB  BM  a � S ABC  AM BC  a Dựng HK  SM � HK   SBC  d  A;  SBC    2d  H ;  SBC    HK Khi a 1 a � HK  �   � SH  2 SH HK HM S ABC  a a3 VS ABC  SH S ABC  3 Chọn D Do Ví dụ 3: Cho khối chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông A, tam giác SAB vuông S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Biết SA= a , SB= a AC= 2a Thể tích khối chóp S.ABC là: A a B 3a a3 C Lời giải: a3 D SAB    ABC  Dựng SH  AB Mặt khác  suy 2 SH   ABC  Ta có: AB  SA  SB  3a Áp dụng hệ thức SA2 HA   2a AB lượng tam giác vng SAB ta có: AB AC � SH  SA2  HA2  a 2,S ABC   3a 2 VS ABC  SH S ABC  a 3 Khi Chọn A Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC), SAB tam giác cạnh a , BC= a ,đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60� Thể tích khối chóp S.ABC bằng: a3 a3 a3 A B 2a C D Lời giải: � �  60� SC ;  ABC   � SC ; AC   SCA Ta có � BH   SAC  Gọi H trung điểm AB mà ABC cân Gọi K trung điểm SA mà SAB � BK  SA SA   BHK  � SA  HK Suy mà HK PSC � SA  SC Tam giác SAC vng S, có �  60�� SC  SH  AC  a SCA a2 S ABC  AB AC  2 Diện tích tam giác ABC 2 Tam giác ABH vng H, có BH  AB  AH  a Vậy a3 V  BH.SABC  Chọn thể tích khối chóp S.ABC D Ví dụ 5: Cho khối chóp S.ABC có đáy tam giác Tam giác SAC cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy, đường thẳng SB tạo với đáy góc 60� Biết khoảng cách từ S đến mặt đáy (ABC) h Thể tích khối chóp tính theo h là: h3 h3 h3 h3 A B C 27 D 18 Lời giải: Gọi H trung điểm AC ta có SH  AC SH   ABC  nên � Khi SH= h Mặt khác SBH  60� h HB tan 60� h � HB  Do Mặt khác  SAC    ABC  a � HB  a h 2h a h2 h3  �a S ABC   � VS ABC  SH S ABC  Do 27 Đặt AB= Chọn C Ví dụ 6: Cho khối chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Gọi M trung điểm BC Tam giác a SAM vuông S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Biết SA= , thể tích khối chóp S.ABC là: a3 A a3 B 12 a3 C 18 Lời giải: a3 D 24 SAM    ABC  Dựng SH  AM ta có  nên SH   ABC  Mặt khác AM  a a Suy SA.SM a SH   SA2  SM Lại có: a3 VS ABC  SH S ABC  24 Chọn D Vậy SM  AM  SA2  Ví dụ 7: Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD Tam giác SAB cạnh 2a thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Đường thẳng SC tạo với đáy góc 30� Thể tích khối chóp S.ABCD là: 4a 2a 4a 4a 3 A B C D Lời giải: Gọi H trung điểm AB ta có SH  AB SAB    ABC  Mặt khác  nên SH   ABC  , SH  a Đường thẳng SC tạo với đáy góc 30� Do HC tan 30� SH � HC  3a 2 Khi BC  HC  HB  2a 4a VS ABCD  SH S ABCD  3 Chọn A Do Ví dụ 8: Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật Tam giác SAB vuông S thuộc mặt phẳng đáy Biết SA= SB= 4, mặt phẳng (SCD) tạo với đáy góc 60� Thể tích khối chóp S.ABCD là: 16 16 16 A 15 B C D Lời giải: SAB    ABC  Dựng SH  AB ta có  nên 2 SH   ABC  Mặt khác AB  SA  SB  SA.SB 12 SH   SA2  SB Khi đó: Dựng HK  CD ta có: CD  SH � � CD   SHK  � CD  HK � � 60 HK tan 60 SH Do SKH � SH � HK  AD   tan 60� 16 VS ABCD  SH S ABCD  Chọn D Vậy Ví dụ 9: Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình thoi ABCD có AC= 2a , BD= 2a Tam giác SAC cân 2a 15 S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Biết khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAB) Thể tích khối chóp S.ABCD là: 3 3 A 2a 15 B 4a C 2a D 2a Lời giải: SH  AC Gọi H trung điểm AC ta có Mặt khác  SAC    ABC  nên SH   ABC  Ta có: DB  2HB d D; SAB    2d  H ;  SAB   Do   Dựng HE  AB ; HF  SE Khi a 15 HF  d  H ;  SAB    d  D;  SAB    1   2 HE SH Lại có: HF 1 1 1  2 2 2� 2   � SH  a 2 HE HA HB 3a SH HF HE 3a Mặt khác AC.BD S ABCD   2a � VS ABCD  SH S ABCD  2a 3 Chọn D Ví dụ 10: Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình thang ABCD vng A D có AB= BC= 2a , AD= 3a Tam giác SAB cân A thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M trung điểm CD Đường thẳng SM tạo với đáy góc 60� Thể tích khối chóp S.ABCD là: 25a 3 A 25a 3 B Gọi H trung điểm AB ta có SH  AB SAB    ABC  SH   ABC  Mặt khác  nên � � SM ;  ABCD   60�� SMH  60� Do AD  BC 5a HM   2 Lại có �  HM tan 60� � SH  HM tan SMH Ta có S ABCD  VS ABCD AD  BC AB  5a 2 5a 3 C 12 5a 3 D Lời giải: 5a 25a 3  SH S ABCD  Chọn A Ví dụ 11: Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình thang ABCD vng A B có AB= a , AD= 3a , BC= a Tam giác SBD cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Đường thẳng SA tạo với đáy góc Thể tích khối chóp S.ABCD là: 2a 3a 3 A 6a B C D 2a Lời giải: Gọi H trung điểm BD ta có SH  BD SBD    ABC  SH   ABC  Mặt khác  nên 2 Lại có BD  AB  AD  2a � AH  BD  a Do SA tạo với đáy góc �  45�� SH  a 45�� SAH AD  BC S ABCD  AB  2a � VS ABCD  SH S ABCD  2a 3 Mặt khác Chọn D Ví dụ 12: Cho khối chóp S.ABCD có đáy nửa lục giác đường kính AD= 2a Tam giác SAD cân a S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) Thể tích khối chóp S.ABCD là: 3a 3 a3 a3 a3 A B C D Lời giải: SH  AD Gọi H trung điểm AD ta có SAD    ABC  SH   ABC  Mặt khác  nên AD  HD � d  A;  SCD    2d  H ;  SCD   Do Dựng HE  CD, HF  SE a d  A;  SCD    Mặt khác HCD tam giác cạnh a nên E trung điểm a CD HE= � d  H;  SCD    HF  a 1 a3 SH  VS ABCD  SH S ABCD  SH 3S HCD  � 3 Suy Chọn B Dạng 3: Thể tích khối chóp Phương pháp giải: Khối chóp khối chóp có đáy đa giác cạnh bên  Khối chóp tam giác Khối chóp tam giác khối chóp có đáy tam giác cạnh bên Nếu cho khối chóp S.ABC ta có: - Tam giác ABC tam giác cạnh bên SA=SB=SC - Hình chiếu vng góc đỉnh S xuống mặt đáy trùng với trọng tâm G (cũng trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp) tam giác ABC tức SG  (ABC) - Các cạnh bên tạo với đáy góc - Các mặt bên tam giác cân mặt phẳng bên tạo với đáy góc Tứ diện tứ diện có tất cạnh Như khối tứ diện trường hợp đặc biệt khối chóp tam giác Khối tứ diện khối chóp tam giác có cạnh bên cạnh đáy  Khối chóp tứ giác Khối chóp tứ giác khối chóp có đáy hình vng cạnh bên Nếu cho khối chóp S.ABCD ta có: - Tứ giác ABCD hình vng cạnh bên SA = SB = SC = SD 1 a3 5a � VS ABC  SA.S ABC  a a  � VA.BCNM  VS ABC  3 54 Chọn A    qua M Ví dụ 14: Cho hình chóp S.ABCD, cạnh SA lấy điểm M cho SM  AM Mặt phẳng song song với mặt phẳng đáy cắt SB, SC, SD N, P, Q Kí hiệu V1 V2 thể tích V1 khối chóp S.MNPQ S.ABCD Tính tỉ số V2 V1  A V2 16 V1  V B V1  V C Lời giải V1  D V2 24 Ta có N, P, Q trung điểm SB, SC, SD VS MNP SM SN SP 1 1    SA SB SC 2 Tỉ số VS ABC VS MPQ Tỉ số VS ACD  SM SP SQ 1 1   SA SC SD 2 1 � VS MNPQ  VS MNP  VS MPQ  VS ABC  VS ACD  VSABCD 8 V 1 � V1  V2 �  V2 V1 �SM �  � � V �SA � Chọn B Hoặc áp dụng cơng thức Ví dụ 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, với AB  a, AD  a Cạnh SA  2a vng góc với mặt phẳng đáy Mặt phẳng  qua A vng góc với SC cắt SB, SC, SD H, I, K Tính theo a thể tích V khối chóp S.AHIK A V  4a 3 35 B V  6a 3 35 C V  8a 3 35 Lời giải Ta có SC   AHIK  � SC  AI , SC  AH � AH  SC �BC  AB � BC   SAB  � BC  AH � AH  BC � BC  SA � Lại có �AH  SC � AH   SBC  � AH  SB, � AH  BC � Như tương tự AK  SD D V  12a 3 35 2 2 Cạnh SB  SA  AB  4a  a  a SA2 4a 4a SB   �  SB a SH � SH  Mà SA  2a � SA  AC � SAC vuông cân A � I trung điểm cạnh SC  SI SC � SA SC SB SD SD    �  SK Do SA SI SH SK Áp dụng cơng thức, ta được: VS AHIK  VS ABCD Do 2 4  12 35 4.1 .2 4 1 VS AHIK  12 8a 3 SA.S ABCD  2a.a.a  35 35 35 Chọn C � ,� ASC  120� Mặt Ví dụ 16: Cho hình chóp S.ABC có SA  6, SB  2, SC  4, AB  10 SBC  90� phẳng  P qua B trung điểm N SC đồng thời vng góc với mặt phẳng k M Tính tỉ số thể tích A k  SAC  , cắt cạnh SA VS BMN VS ABC B k C Lời giải k D k Gọi D thuộc SA cho SA  3.SD � SD  Xét SBC vng B, có �  cos BSC SB �  60�  � BSC SC 2 2 � Và AB  SA  SB � SAB vuông S � ASB  90� � �  60� �  120� , BSN , DSN Xét tứ diện S.BND có DSB  90� � BD  BN  DN � BDN vuông B  BDN  trùng Mà SB  SN  SD � hình chiếu S mặt phẳng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN Gọi H trung điểm  DN � SH   BDN  �  SDN    BDN    BDN    SAC  Hay k Vậy mp  P   BDN  M D VS BMN SN SM 1    VS ABC SC SD Chọn C Ví dụ 17: Cho khối tứ diện ABCD có AB, AC, AD đơi vng góc với AB  2a , AC  AD  4a Gọi H, K hình chiếu A lên BC BD Thể tích khối tứ diện ABHK 16a A 75 Ta có BD  32a B 75  2a  AB  AD  2a C Lời giải 3a D   4a   a 2 2 BK �AB � � 2a � AB  BK BD �  � � � � BD BD a � � � � Và BH  Tương tự, BC 16 a VB ACD  VD ABC  4a.4a.2a  Lại có VB AKH BK BH 1 1 16a 16 a    � VABHK   V BD BC 5 25 25 75 B ACD Vậy Chọn A SC   ABC  Ví dụ 18: Cho hình hộp S.ABC có SC  2a Đáy ABC tam giác vng cân B có AB  a Mặt phẳng    qua C vuông góc với SA,    cắt SA, SB D, E Tính thể tích khối chóp S.CDE 4a A 2a B 2a C Lời giải a3 D �SC  AB � AB   SBC  � CE  AB � BC  AB � Ta có Mà SA     � SA  CE suy CE   SAB  � CE  SB Tam giác ABC vuông cân B � AC  AB  2a Suy SC  AC � SAC cân C � SD  DA � CE  Tam giác SBC vng C, có Do SE  SC  CE  SC BC SC  BC  SD  SA 2 3a 6a SE 6a �� �  :a  SB 3 VS CDE SD SE 1 AB 2a   � VS CDE  SC  V SA SB 3 S CAB Khi Chọn C Ví dụ 19: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, AC AD đơi vng góc Các điểm M, N, P trung điểm đoạn thẳng BC, CD, BD Biết AB  4a, AC  6a, AD  a Tính thể tích khối tứ diện AMNP A V  a B V  28a C V  14a Lời giải D V  21a Tứ diện ABCD có cạnh AB, AC AD đơi vng góc �� �VABCD  Ta có S MNP  AB AC AD  28a 1 S BCD , VAMNP  VA.BCD  7a 4 suy Chọn A Ví dụ 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm SB G trọng tâm tam giác SBC Gọi V , V �lần V lượt thể tích khối chóp M.ABC G.ABD Tính tỉ số V � V  A V � V  B V � V  C V � V  D V � Lời giải Gọi H K hình chiếu M G Suy MH / / GK �� � mp  ABCD  MH CM   GK CG 1 MH S ABC S V ABCD 3    V� 2 GK S ABD S ABCD Ta có Chọn D Ví dụ 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành I nằm cạnh SC cho IS  IC Mặt phẳng  P , V thể tích khối chóp chứa cạnh AI cắt cạnh SB, SD M, N Gọi V � V� S.AMIN S.ABCD Tính giá trị nhỏ tỷ số thể tích V A 5 B 54 C 15 Lời giải D 24 Gọi O tâm hình bình hành ABCD Gọi H  SK �AI , qua H kẻ d / / BD cắt SB, SD M, N IS AC OH OH SH 1�  �  SC SC Xét tam giác SAC, có IC OC SH Mà MN / / BD �� � SM SN SH    SB SD SO VS AMI SM SI SM V SM   � S AMI  SB SC SB VS ABCD SB Ta có VS ABC VS ANI V SN SI SN SN   � S ANI  VS ABCD SD Và VS ACD SD SC SD V � �SM SN � �4 �  �  � �  � Suy V �SB SD � �5 � 15 Chọn C Ví dụ 22: Cho điểm M nằm cạnh SA, điểm N nằm cạnh SB khối chóp tam giác S.ABC cho SM SN  ;     qua MN song song với SC chia khối chóp thành phần Gọi V1 MA NB Mặt phẳng V1 thể tích khối đa diện chứa A, V2 thể tích khối đa diện cịn lại Tính tỉ số V2 ? V1  A V2 V1  B V2 V1  C V2 Lời giải Kẻ NP / / SC  P �BC  , Khi đó, mặt phẳng Vì NP / / SC � S CPQ Ta có S CBA   kẻ MQ / / SC  Q �SC  cắt hình chóp theo thiết diện MNPQ CP CQ  ; MQ / / SC �  CB CA CP CQ 2   � SCPQ  SABC CB CA 3 9 2V d  N ;  ABC    d  S ;  ABC   � VN CPQ  VS ABC  27 27 Và S AMQ Lại có S ASC  AM AQ 2   � S SMQC  S SAC SA AC 3 9 10 10 d  N ;  SAC    d  B;  SAC   � VN SMQC  VS ABC  V 27 27 Và Do V2  VSCMNPQ  VN CPQ  VN SMQC  2V 10 4V 5V  V  � V1  27 27 9 V1  D V2 V1 5V 4V  :  9 Chọn B Vậy V2 Ví dụ 23: Thị xã Từ Sơn xây dựng tháp đèn lộng lẫy hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên SA  12m � ASB  30� Người ta cần mắc đường dây điện từ điểm A đến trung điểm K SA gồm AE, EF, FH, HK hình vẽ Để tiết kiệm chi phí người ta cần thiết kế chiều dài đường từ A đến K ngắn Tính tỉ số A k k B HF  HK EA  EF k C Lời giải k D k Giả sử tháp làm bìa nên ta cắt tháp theo đường SA, AB, BC, CD, DA Và trải mặt bên SAB, SBC, SCD, SDA lên mặt phẳng � � � � Vì ASB  BSC  CSA  DSA  30�nên trải mặt phẳng ta thu tam giác cân SAA có góc đỉnh S$  4.30� 120�như hình vẽ bên Để độ dài đoạn gấp khúc AE  EF  FH  HK nhỏ A, E, F, H, K thẳng hàng Vì K trung điểm SA � F  SC �AK � F trọng tâm tam giác SAA Vậy tỉ số k HF  HK FK   EA  EF AF Chọn B Ví dụ 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích V Gọi M điểm MA  x,  x     qua M song song với  SBC  chia khối cạnh AB cho MB Biết mặt phẳng V chóp S.ABCD thành hai phần phần chứa điểm A tích 27 Tính giá trị biểu thức P 1 x 1 x A B C Lời giải D Kẻ MN / / BC  N �CD  , NP / / SC  P �SD  , MQ / / SB  Q �SA  � mp    cắt chóp S.ABCD theo thiết diện MNPQ MA AQ ND SQ SP   x�   1 x SA SD Ta có AB SA CD Mặt khác AMN  ADN x x2 � VQ AMN  VP ADN  x.VS AMN  VS AMND  V 2 Và VN APQ  x   x  �VN SAD  Do x2   x  V VAQM DPN  VQ AMN  VP AND  VN APQ 1 x � � P�  3x  x3 �  �V  V � x  x  0�x  x �x  � 27 Vậy 27 Chọn A Ví dụ 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tích Trên cạnh SC lấy điểm E cho SE  EC Tính thể tích V khối tứ diện SEBD V  A V  B V  C Lời giải D V  VS EBD SE 2 1   � VS EBD  VS BCD  S ABCD   3 3 Chọn C Ta có VS BCD SC Ví dụ 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC tam giác cạnh a, SA vng góc với mặt đáy Gọi M trung điểm BC Mặt phẳng  P qua A vng góc với SM cắt SB, SC E, F Biết VS AEF  VS ABC Tính thể tích V khối chóp S.ABC A V  a3 B V  a3 C Lời giải V  2a Dựng AH  SM , dựng đường thẳng qua H song song với BC cắt SB, D V  a3 12 SC E, F Khi EF / / BC  SM � mp  AEF   SM SE SF SH VS AEF  VS ABC �    SB SC SM Lại có: Do SAM vuông cân A � SA  SM  a a3 VS ABC  SA.S ABC  Chọn B Vậy Ví dụ 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành, gọi M, P trung điểm SA SC SN  k  MNP  cắt khối chóp theo thiết diện tứ giác MNPQ Điểm N thuộc cạnh SB cho SB Mặt phẳng VS MNPQ Biết VS ABCD  , 15 giá trị k là: �1 � k �� ; � �3 A �1 � k �� ; � �3 B �2 � k �� ; � �3 C Lời giải �3 � k �� ; � �5 D SM SN SP SQ  x;  y;  z;  t SB SC SD Ta có SA 1 1     xz mà x z y t Ta có: Áp dụng cơng thức nhanh ta có: VS MNPQ VS ABCD  xyzt �1 1 � yt �    � 2.4  �x z y t � 16 15 �y  t � 4 yt  � � � yt � 15 � yt  �� �� 15 �yt  �yt  16 � � 15 15 � � X  � 16 �2 � X  X  0�� � k �� ; � 15 15 �5 � X  � � Khi y, t nghiệm phương trình Chọn C Ví dụ 28: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  1, AD  2, SA vng góc với mặt phẳng đáy  ABCD   MBC  chia khối chóp S.ABCD thành hai SA  Điểm M cạnh SA cho phần tích Tính diện tích S tam giác MAC A S 5 B S C Lời giải S N � N � MBC  Qua M kẻ đường thẳng d / / BC , cắt SD SA SD k� k SN Đặt SM SA SB SC SD    VS MBCN k 1  SM SB SC SN  SA SB SC SD VS ABCD 2k SM SB SC SN Khi VS MBCN k 1 1  �  �k � MA   V 2 2 k S ABCD Theo bài: Diện tích tam giác MAC S 1 5 MA AC    2 Chọn A   D S 5 Ví dụ 29: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, M thuộc cạnh SA, P thuộc cạnh SC    chứa MP, chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện Gọi cho SM  AM , SP  PC Mặt phẳng V1 , V thể tích khối đa diện chứa đỉnh S thể tích khối chóp S.ABCD Giá trị nhỏ biểu V1 thức V A 12 B 25 Giả sử mặt phẳng  C 15 Lời giải D 25 chứa MP, cắt đường thẳng SB, SD N, Q SA SC SB SD    �   x  y � x  y  SM SP SN SQ Khi VS MNPQ VS ABCD Và Ta có SA SB SC SD    SM SN SP SQ x  y  x  y      SA SB SC SD 4.3.x.2 y 24 xy 12 xy SM SN SP SQ xy = � x y  =  25���� 12  xy 75 12 xy 75 15 V1 Vậy tỉ số V đạt giá trị nhỏ 15 Chọn C Ví dụ 30: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, M điểm thuộc cạnh SB, N điểm  AMN  chia khối chóp S.ABCD thành hai khối thuộc cạnh SD cho SB  3BM , SN  ND Mặt phẳng V1 đa diện Gọi V1 , V2 thể tích khối đa diện chứa đỉnh S đỉnh C Tính tỉ số V2 A B Giả sử mặt phẳng  AMN  C Lời giải D cắt đường thẳng SC P SA SC SB SD SC 3 SC    � 1   � 2 SP 2 SP Khi SA SP SM SN VS AMPN VS ABCD Và Mà SA SB SC SD 3    1   2   �V  SA SM SP SN  S ABCD  3V1 SA SB SC SD 3 18 4.1 .2 SA SM SP SN 2 VS ABCD  VS AMPN  VAMPN BCD  V1  V2  3V1 � V2  2V1 � V1  V2 Chọn D  Dạng 2: Tỉ số thể tích khối lăng trụ ���� ABD Hệ thức Ví dụ 1: Gọi V thể tích hình lập phương ABCD A B C D ,V1 thể tích tứ diện A� sau đúng? A V  6V1 B V  4V1 C V  3V1 Lời giải D V  2V1 V  S ABD AA� � Ta có V  S ABCD AA Mà S ABD  V S ABCD �� � 6 V1 Suy V  6V1 Chọn A B C Gọi D trung điểm AC Tính tỉ số thể tích khối tứ diện Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC A��� B� BAD thể tích khối lăng trụ cho A B C 12 Lời giải D VB�BAD  S BAD BB � � V  S BB BC ABC Ta có ABC A��� Mà S BAD  V 1 SABC �� � k  B�BAD  VABC A��� Chọn B BC B C Đường thẳng qua trọng tâm tam giác ABC song song Ví dụ 3: Cho khối lăng trụ ABC A��� với BC cắt cạnh AB, AC M, N Mặt phẳng MN   A� chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích (phần bé chia phần lớn) chúng A B 23 C Lời giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC Gọi E trung điểm BC � AG  AE Qua G kẻ đường thẳng d / / BC , cắt AB, AC M, N � AM AN AG    AB AC AE (định lí Talet) � AM  AB � � �� � S AMN  S ABC �AN  AC � (1) VA� AMN  S AMN AA ' V  S AA ' BC ABC Ta có ABC A��� Từ (1) (2) � VA� AMN  (2) 23 VABC A��� VABC A��� B C � VBMNC , A��� BC  BC 27 27 D 27 23 :  Vậy tỉ số cần tìm 27 27 23 Chọn B B C có đáy ABC tam giác vng cân A, AC  2 Biết AC � Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ ABC A��� tạo với mặt phẳng  ABC  A  Tính thể tích khối đa diện ABCC �� B góc 60�và AC � B C Lời giải Gọi H hình chiếu A mặt phẳng 16 D BC   A��� BC   A��� Suy HC �là hình chiếu AC �trên mặt phẳng AC � ;  ABC    � AC � ; HC � AHC �  60� � � Do sin � AC � H 2 Tam giác AHC � , có AH  AC � Diện tích tam giác Suy Ta có AC 4 VABC A��� B C  S ABC AH  VA A��� BC  Suy S ABC  1 SA��� VABC A��� B C AH  BC  3 VABCC �B� VABC A��� B C  VA A��� BC  16 3 Chọn D B C D tích V Các điểm M, N, P thuộc cạnh Ví dụ 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A���� AC , AB � , AD �sao cho AM  AC , AN  AB � , AP  AD � Tính thể tích khối tứ diện AMNP theo V A VAMNP  8V Ta có Mà B VAMNP  4V C VAMNP  6V Lời giải V  VAB��� D C   VAA��� B D  VCC � B�� D  VD � DAC  VB� BAC  VAA��� B D  VCC � B �� D  VD� DAC  VB� BAC  Suy VAB��� DC  V V AB � AC AD �  ;  ;  Từ gia thiết, ta có AN AM AP VA.B��� AB �AD �AC DC   AN AP AM 24 Ta có VA NPM �� �VA NPM  24VA.B��� D C  24 V  8V Chọn A D VAMNP  12V Nhận xét: Công thức giải nhanh: Thể tích khối tứ diện (4 đỉnh nằm hai đường chéo hai mặt đối diện) tích khối lăng trụ tam giác BC   ABC  30� B C có góc hai mặt phẳng  A� Ví dụ 6: Cho lăng trụ tam giác ABC A��� B Điểm M nằm cạnh AA� Biết cạnh AB  a 3, thể tích khối đa diện MBCC �� 3a A 3a 3 B 3a C Lời giải 2a D BC Gọi V thể tích khối lăng trụ ABC A��� Do AA� / / BB � � VM BCB�� C  V A� BCC � B� V  VA� ABC  V  V 2V  3 AA�  BC � BC   A� HA  Dựng AH  BC mà Do Khi A� BC  ;  ABC   � A� HA  30�� AH  � AA�  AH tan 30� AB 3a  2 a 9a � V  AA� S ABC  V 3a VM BCC �B�  Chọn A Vậy thể tích cần tính B C tích V Các điểm M, N, P thuộc cạnh Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ ABC A��� AM BN CP  ;   AA� , BB � , CC �sao cho AA� BB � CC � Tính thể tích khối đa diện ABC.MNP V�  V A B V�  V 16 C Lời giải V�  20 V 27 D V�  11 V 18 �m  n  p � AM BN CP VABC MNP  � V m ,n  ,p � � � với AA� BB � CC � Công thức giải nhanh Áp dụng với: m 2 11 ;n  ; p  , VABC MNP  V 3 ta 18 Chọn D B C D cạnh 2a, gọi M trung điểm BB �và P thuộc cạnh Ví dụ 8: Cho hình lập phương ABCD A���� DD � cho A V  2a DP  DD �  AMP  cắt CC �tại N Thể tích khối đa diện AMNPBCD Mặt phẳng B V  3a C Lời giải V  11a 3 D V  Áp dụng công thức tính nhanh, ta VAMNPBCD �BM DP � �1 � 3  �   �  � �� �VAMNPBCD   2a   3a � VABCD A���� �BB � DD � � �2 � BCD Chọn B 9a B C D Gọi M điểm thuộc CC �thỏa mãn CC �  4CM Mặt phẳng Ví dụ 9: Cho hình hộp ABCD A���� M  AB � k tỉ số A k chia khối hộp thành hai phần tích V1 V2 Gọi V1 phần thể tích có chứa điểm B Tính V1 V2 32 B k C ,  CDD �� Trong mặt phẳng kẻ 16 C Lời giải MN / / C � D Suy CN  k 25 D k 25 32 CD NCM V1 khối đa diện ABB � Ta chia khối hộp thành hai phần (như hình vẽ) Khi VABB� NCM  VABB�CM  VMACN  VABB�CM  0 1 �1 � V � V � ABC A��� BC  12 �2 � 1 �1 � VMACN  VC � ADC  � VADC A���  V DC � 4 16 96 � �  Vậy V1  VABCMB� VMACN  V 25 V �� �V2  �� �  32 32 V2 25 Chọn C 1 VMACN  VC � ADC 4 Nhận xét: Ta có diện tích giảm lần chiều cao giảm lần B , N trung điểm B C D cạnh a Gọi M trung điểm A�� Ví dụ 10: Cho hình lập phương ABCD A���� BC Tính thể tích khối tứ diện ADMN a3 V  A a3 V  12 B a3 V  C Lời giải VADMN  VM ADN  d  M ;  ABCD   S AMD Ta có Lại có d  M ;  ABCD    d  A� ;  ABCD    AA� 1 SAMD  S ABCD  S ABN  SCDN  S ABCD  S ABCD  S ABCD 2 Và V 1 a3 BCD VADMN  AA� S ABCD  AA� S ABCD  ABCD A����  6 Do Chọn C a3 V  D B C D có AB  a, AD  2a Diện tích tam giác A� DC Ví dụ 11: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A���� a 13 BCC �� B theo a Tính thể tích khối chóp A� A a B 2a C 3a Lời giải D 6a CD  DD � � � CD   ADD � A� D  � CD  A� � CD  AD � Ta có a 13 SA�CD  A� D.CD  �� � A� D  a 13 2 Suy Do AA�  A� D  AD   a 13    2a   3a B C D V  AA� AB AD  6a3 Thể tích khối hộp ABCD A���� 1 VA� BCC �B� VABCD A���� 6a  2a3 BCD  3 Lại có Chọn B D B C D Gọi M thuộc cạnh AB cho MB  MA Mặt phẳng  MB �� Ví dụ 12: Cho khối hộp ABCD A���� chia khối hộp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần A 12 B 17 13 C 41 Lời giải D 17 Lý thuyết bổ sung: B C có chiều cao h, S1 diện tích tam giác ABC, S2 diện tích tam giác Cho hình chóp cụt ABC A���  V  h S1  S2  S1 S A��� B C Thể tích khối chóp cụt ABC A��� B C Qua M kẻ đường thẳng d / / BD, cắt AD N Suy thiết diện cắt mặt phẳng D  MB �� MND �� B B C D  VAMN A��� B D  VB��� C D MBCDN Khi VABCD A���� � �VABCD A���� B C D  S h Đặt AA  h; S ABCD  S �� Áp dụng cơng thức tính thể tích chóp cụt, ta có VAMN A��� BD    AA� SAMN  SA��� S AMN SA��� BD  BD S AMN AM AN 1 S   � S AMN  SABD  AB AD 9 18 Mà SABD SA��� BD  Và S �S S S S �� �VAMN A��� h�   BD  � 18 18 � � 13 � � 54 V �  13 � 13 � 13 :�  � Vậy tỉ số thể tích cần tính 54 � 54 � 41 Chọn C  chia , mặt phẳng  DIC � B C D Gọi I trung điểm BB � Ví dụ 13: Cho hình lập phương ABCD A���� khối lập phương thành phần có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn A B C 17 Lời giải D 12 Tham khảo hình vẽ đây: � �VABCD A���� B C D  S h Đặt AA  h; S ABCD  S �� Nối IC �cắt BC F; nối FD cắt AB M Suy mp  DIC �  chia khối lập phương thành hai khối IBM C � CD IMAA�� B C � DD � Vì M trung điểm AB mà Ta có BI / / CC � � BM / / CD � FB  FC IB FB 1   � S IBM  S BAB� S ABB�A� CC � FC Áp dụng cơng thức tính thể tích chóp cụt, ta VIBM C � CD  1 �S S BC S IBM  S C � SIBM SC � h �   CD  CD  3 � �8   B C � DD �là Do đó, thể tích khối IMAA�� VIMAA�� B C � DD� V  S S � � � 24 Sh � 17 V  V 24 24 17 :  Vậy tỉ số cần tính 24 24 17 Chọn C B C tích Gọi M, N trung điểm đoạn Ví dụ 14: Cho khối lăng trụ ABC A��� A�tại P, đường thẳng CN cắt đường thẳng C �� B thẳng AA�và BB � Đường thẳng CM cắt đường thẳng C � MPB � NQ bằng: Q Thể tích khối đa diện lồi A� A 1 B 1 VC ABNM  VC ABB�A� VABC A��� BC  2 3 Ta có: C Lời giải D ... CC � � �BB DD � �  Chia khối đa diện ABCD.MNPQ thành hai khối đa diện ABC.MNP ACD.MPQ ; Làm tương tự với thể tích khối lăng trụ tam giác; � Cộng thể tích hai khối đa diện VABC MNP  VABC A���... với B qua D Mặt phẳng  MNE  chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, khối đa diện chứa đỉnh A tích V Tính V A V  2a 216 B V  11 2a 216 Thể tích khối tứ diện ABCD cạnh a C Lời giải VABCD...   � �x y z t � Tỉ số thể tích khối lăng trụ a Lăng trụ tam giác  Kết 1: Gọi V thể tích khối lăng trụ, V1 thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ, V2 thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh