TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY KHẢO SÁT LẦN TOÁN Năm học 2019-2020 Mơn: TỐN (Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề) Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức A x 3 x x 7 x 2 x 3 B với x 0; x x 1 x x 6 x 3 2 x a) Tính giá trị A x 16 x 1 x 3 c) Cho biểu thức M A.B Tìm giá trị nguyên x để M nhận giá trị nguyên (2,5 điểm) 1) Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình Hai vịi nước chảy vào bể cạn sau 36 phút đầy bể Nếu mở vòi thứ 30 phút sau mở tiếp vịi thứ hai sau bể đầy Hỏi vòi mở bể đầy? 2) Khi quay hình vng xung quanh cạnh hình trụ có diện tích xung b) Chứng minh B Câu quanh diện tích hình trịn đường kính a Hỏi cốc nước hình trụ có kích thước giống hình trụ chứa mililit nước biết a 8cm 3,14 Câu (2,0 điểm) 2 x y 1) Giải hệ phương trình 3 x 4 y 1 2) Cho phương trình x 3m 1 x 2m a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 x2 Câu b) Tìm m để hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức x1 x2 (3,0 điểm) Cho điểm A cố định thuộc đường tròn O; R , đường kính AK cố định, hai điểm B C thuộc O; R cho tam giác ABC nhọn AB AC Kẻ AH vng góc với BC ( H thuộc BC ) Gọi E F chân đường vng góc hạ từ H xuống AB, AC Gọi M giao điểm hai đường thẳng EF BC , gọi N giao điểm MA với O; R a) Chứng minh tứ giác AEHF tứ giác nội tiếp b) Chứng minh tam giác AEF tam giác ACB đồng dạng Từ suy MH MB.MC HDedu - Page c) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF Chứng minh AK vng góc EF Q HI qua điểm cố định B C thay đổi (nhưng thỏa mãn giả thuyết ban đầu) Câu (0,5 điểm) Cho số thực dương x , y thỏa mãn T 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 4x 2 y 1 4x 1 y 1 HẾT HDedu - Page HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ KHẢO SÁT LẦN TOÁN TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức A x 3 x x 7 x 2 x 3 B với x 0; x x 1 x x 6 x 3 2 x a) Tính giá trị A x 16 x 1 x 3 c) Cho biểu thức M A.B Tìm giá trị nguyên x để M nhận giá trị nguyên b) Chứng minh B Lời giải a) Thay x 16 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta 16 13 13 A 16 b) Với x 0; x , ta có B x x 7 x 2 x 3 x x 6 x 3 2 x x x 7 x 3 x 2 x 2 x 3 x 3 x 2 x 3 x 2 x x 7 x x 7 x 3 x 3 x 2 x 2 x 2 x 2 x4 x 3 x 2 x x 3 x 3 x 3 x9 x 2 x 3 x x x 4 x 9 x 3 x 2 x x 7 x4 x9 x 3 x 3 x 1 x 2 x 2 x 2 x x 2 x 3 x 2 x 1 (Điều phải chứng minh) x 3 c) Ta có x 3 x 1 x 3 x 96 x 1 x x 3 x 3 + Xét x M Vậy x thỏa mãn M A.B + Xét x , x + Xét x x 3 M M x 3 x x 3 6 x 3 x 3 x 3 x Mà Ư(6) 1; 2; 3; 6 x Ư(6) x với x 0; x nên x 3;6 HDedu - Page +) Nếu x x x (Thỏa mãn) +) Nếu x x x (Thỏa mãn) Vậy x 0; 3; 9 M nhận giá trị nguyên Câu ((2,5 điểm) 1) Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Hai vịi nước chảy vào bể cạn sau 36 phút đầy bể Nếu mở vòi thứ 30 phút sau mở tiếp vịi thứ hai sau bể đầy Hỏi vịi mở bể đầy? 2) Khi quay hình vng xung quanh cạnh hình trụ có diện tích xung quanh diện tích hình trịn đường kính a Hỏi cốc nước hình trụ có kích thước giống hình trụ chứa mililit nước biết a 8cm 3,14 Lời giải 1) Gọi x, y thời gian vòi vòi chảy đầy bể (đơn vị: giờ; điều kiện x, y 18 ) 36 18 30 (giờ) (giờ); 30 phút 60 60 1 Khi vòi chảy (bể), vòi chảy (bể) x y Do vòi chảy vào bể sau 36 phút đầy bể nên hai vòi chảy 18 1 1: (bể) nên ta có phương trình (1) 18 x y 18 Vòi chảy 30 phút sau vịi chảy đầy bể nên ta có phương trình 1 1 (2) x x y x y Đổi 36 phút Từ (1) (2) ta có hệ phương trình 1 3 3 1 x x y 18 x y x x 1 (thỏa mãn điều kiện) y 1 y x y 18 x x y y Vậy vịi chảy đầy bể giờ; vịi chảy đầy bể b) Gọi cạnh hình vng x (điều kiện x , cm) Khi quay hình vng xung quanh cạnh hình trụ có diện tích xung S xq 2 r.l 2 x.x 2 x HDedu - Page a a2 Diện tích hình trịn đường kính a S a2 a (do x ) 2 a Khi chiều cao bán kính hình trụ h R x Theo đề bài, ta có 2 x x Thể tích hình trụ V R h Câu a3 83 64 200,96 cm 8 (2,0 điểm) 2 x y 1) Giải hệ phương trình 3 x 4 y 1 2) Cho phương trình x 3m 1 x 2m a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 x2 b) Tìm m để hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức x1 x2 Lời giải 1) Điều kiện: x 1; y u x Đặt ( u 0; v ) v y 1 Thay vào hệ phương trình ta được: 2u v 4u 2v 10 7u 14 u (thỏa mãn) 3u 2v 3u 2v 2u v v Thế vào phép đặt: x x 1 x y x 1 y x y y 1 y 1 y Vậy hệ phương trình có nghiệm x ; y 5; ; 5; 2) Ta có: 3m 1 4.1 2m m 6m Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 m2 6m m 1 m HDedu - Page m m m m m 7 m m m 7 m m 7 Vậy m m 7 phương trình có hai nghiệm x1 x2 1 x1 x2 3m b) Theo định lý Vi-ét: x1 x2 2m Điều kiện: x1 1 x2 1 x1 x1 x2 x1 x2 x2 x1 1 x2 1 x1 x2 2m2 3m m 2 3m Ta có: x1 x2 x1 x1 x2 x1 x2 x2 3m 2m 3m 1 2m 3m 10 3m 10 3m 2 4 2m 3m 100 60m 9m 10 m m2 48m 92 10 m m 46 ( L) m (TM ) m 3 Từ 1 , , 3 suy m thỏa mãn yêu cầu toán Câu (3,0 điểm) Cho điểm A cố định thuộc đường tròn O; R , đường kính AK cố định, hai điểm B C thuộc O; R cho tam giác ABC nhọn AB AC Kẻ AH vng góc với BC ( H thuộc BC ) Gọi E F chân đường vng góc hạ từ H xuống AB, AC Gọi M giao điểm hai đường thẳng EF BC , gọi N giao điểm MA với O; R a) Chứng minh tứ giác AEHF tứ giác nội tiếp b) Chứng minh tam giác AEF tam giác ACB đồng dạng Từ suy MH MB.MC HDedu - Page c) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF Chứng minh AK vng góc EF Q HI qua điểm cố định B C thay đổi (nhưng thỏa mãn giả thuyết ban đầu) Lời giải M B N E H J A P O K Q F C a) Có : HE AB AEH 90 Ta lại có HF AC AFH 90 Xét tứ giác AEHF có : AEH + HFA 90 90 180 Mà góc vị trí đối nên tứ giác AEHF tứ giác nội tiếp b) Xét tam giác AHB vng H có: HE đường cao ( giả thiết) AH AE AB ( hệ thức lượng tam giác vuông) (1) Xét AHB vng H có: HF đường cao ( giả thiết) AH AF AC ( hệ thức lượng tam giác vuông) (2) Từ (1) (2) ta có: AH AF.AC AE.AB AE AF ( tính chất tỉ lệ thức) AC AB Xét AEF ACB có: A chung AE AF AC AB Nên AEF ∽ ACB c.g c + Ta có: ANK 90 (Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Mà AEHF thuộc đường trịn tâm J , đường kính AH ( J trung điểm AH ) Và AEF ∽ ACB (chứng minh trên) Nên AEF ACB (hai góc tương ứng) Do EFCB tứ giác nội tiếp (dhnb) Áp dụng phương tích ta có: MB.MC ME.MF (1) + Xét MEH MHF có: M chung MHE MFH (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn EH ) HDedu - Page MEH ∽ MHF MH ME MH ME.MF (2) MF MH Từ (1) (2) suy MH MB.MC (đpcm) c) Vì MB.MC MA.MN (phương tích điểm M với đường trịn tâm O ) Mà MH MB.MC MH MN MA Do ta có MHA tam giác vuông H , nhận HN đường cao NH MA Mà ANK 90 ( Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Nên N , H , K thẳng hàng Đường tròn ngoại tiếp CEF đường trịn ngoại tiếp tứ giác CFEB Mặt khác AEQ ACB ( chứng minh trên) ACK 90 ACB BCK ACB BAK AEQ BAK 90 EQA 90 EF AK Từ J kẻ đường thẳng song song AK cắt HK P Ta có JP / / AK (cách dựng) mà EF AK (cmt) JP EF Lại có JE JF AH (tính chất đường trung tuyến thuộc cạnh huyền tam giác vuông) JP đường trung trực EF (1) Xét AHK có JP / / AK (cách dựng) mà JA JH ( J tâm đường trịn đường kính AH ) Do JP đường trung bình AHK PH PK Mà OA OK R OP đường trung bình AHK OP / / AH mà AH BC (gt) Câu OP BC Lại có OB OC R OP trung trực BC (2) Từ (1) (2) suy P tâm đường tròn ngoại tiếp EFC Mà theo đề I tâm đường tròn ngoại tiếp EFC I P Mặt khác HP qua điểm K (cách dựng) HI qua điểm K cố định (điều phải chứng minh) (0,5 điểm) Cho số thực dương x , y thỏa mãn T 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 4x 2 y 1 4x 1 y 1 Lời giải Đặt a 1 4x 4x a HDedu - Page b 1 y a b 1;0 a ;0 b 1 y 1 b Khi T 1 1 a b a 2b 1 a b 4 2 3 1 a 2b 1 a b 9 3 3 3 a b 2 1 a b a Dấu “=” xảy x y 1 a b a b b a b Vậy giá trị nhỏ biểu thức T x y HDedu - Page ... 90 Ta lại có HF AC AFH 90 Xét tứ giác AEHF có : AEH + HFA 90 90 180 Mà góc vị trí đối nên tứ giác AEHF tứ giác nội tiếp b) Xét tam giác AHB vng H có: HE đường cao ( giả thi? ??t)... 2m 3m 100 60m 9m 10 m m2 48m 92 10 m m 46 ( L) m (TM ) m 3 Từ 1 , , 3 suy m thỏa mãn yêu cầu toán Câu (3,0 điểm) Cho điểm... trị nhỏ biểu thức 4x 2 y 1 4x 1 y 1 HẾT HDedu - Page HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ KHẢO SÁT LẦN TOÁN TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức A x 3 x x 7 x 2 x 3 B với x 0; x