DS_C7_THE TICH KHOI CHOP

CHỦ ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A KIẾN THỨC CƠ BẢN a HÌNH HỌC PHẲNG Các hệ thức lượng tam giác vuông: Cho tam giác ABC vuông A , AH đường cao, AM đường trung tuyến Ta có: B A B  BC = AB + AC  AH BC = AB AC  AB = BH BC , AC = CH CB C M H 1 = + , AH = HB HC AH AB AC  2AM = BC  Các tỉ số lượng giác góc nhọn tam giác vng:   Cạnh huyền Cạnh đối      Cạnh kề   Chọn Chọn góc góc nhọn nhọn  cạn nh hđ đố ố đii � cạ ii � �ñ � sin   sin ;;� � � � cạn nh hh huyề uyề n� hoọcïc� cạ n h � � cạn nh hkkề ề � hô ng g� cạ kkhô n � � cos   cos ;;� � � � cạn nh hh huyề uyề n� hưư � cạ n �h � cạn nh hđ đố ố đoà oà n� cạ ii � đ n � � tan   tan ;;� � � � caïn nh hkkề ề � t� cạ tá �kkeế � cạn nh hkkề ề � ế cạ tt � �kkế � cot    cot ;;� � � � caïn nh hđ đố ố đoà oà n� cạ ii � đ n � � Các hệ thức lượng tam giác thường: a Định lý cosin: A b2 + c2 - a2 2bc a2 + c2 - b2 2 * b = a + c - 2ac cosB � cosB = 2ac a + b2 - c2 * c2 = a2 + b2 - 2ab cosC � cosC = 2ab * a2 = b2 + c2 - 2bc cosA � cosA = b c a B C b Định lý sin: A c b (R bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC) R B a C Trang 1/35 c Cơng thức tính diện tích tam giác: A c 1 b = ch c  SD ABC = a.ha = bh 2  1 SDABC = absinC = bc sin A = ac sin B 2 abc , SD ABC = pr  SD ABC = 4R  p  p  p  a  p  b  p  c b B C a p - nửa chu vi r - bán kính đường tròn nội tiếp d Cơng thức tính độ dài đường trung tuyến: A K N B AB + AC BC 2 2 BA + BC AC 2 * BN = * AM = C M * CK = CA2 + CB AB 2 Định lý Thales: A M B AM AN MN = = =k AB AC BC � � AM � � =� � = k2 � � � �AB � * MN / / BC � N * C SDAMN SDABC (Tỉ diện tích bằng tỉ bình phương đồng dạng) Trang 2/35 B Diện tích đa giác: a.Diện tích tam giác vng: � SD ABC = AB.AC bằng ½ tích  Diện tích Ctam giác vuông A cạnh góc vuông b.Diện tích tam giác đều: � B 32  Diệ n tích tam� giá u:a(cạnh) S c đề= � �D ABC � � � SD = � a h � h= � �  Chiều C cao tam u: (cạnh) �giác đề a A hD A = c Diện tí ch hình vuông và hình chữ B nhật: � SHV = a2 a Diện tích hì�nh�����AC vuông bằn= ga cạn = BD 2h bình O D � phương C  Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân  Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng d.Diện tích hình thang:  SHình Thang = (đáy lớn + đáy bé) x chiều cao A D �S = B e.Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc: b C H B C� SH Thoi chéoA  Diện tích tứ giác có hai đường vng góc bằng ½ tích hai đường chéo  Hình thoi có hai đường chéo vuông góc tại trung điểm của mỗi đường ( AD + BC ) AH = AC BD D CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng : Trang 3/35 d �(a) � � �  d P d� � �� d P (a) (Định lý 1, trang 61, SKG HH11) � d� �(a)� � �  ( b) P (a)� �� d P (a) � d �(b) � � � (Hệ 1, trang 66, SKG HH11) d ^ d '� � �  (a) ^ d '� �� d P (a) (Tính chất 3b, trang 101, SKG HH11) � d �(a) � � � Chứng minh hai mặt phẳng song song: (a) �a,a P (b)� � �  (a) �b,b P (b) � �� (a ) P (b) (Định lý 1, trang 64, SKG HH11) � � a �b = O � �  (a) P (Q)� �� (a) P (b) (Hệ 2, trang 66, SKG HH11) � (b) P (Q) � � (a) �(b)� � �  (a) ^ d � �� (a ) P (b) (Tính chất 2b, trang 101, SKG HH11) � (b) ^ d � � � Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng một các định lí sau  Hai mặt phẳng (a),( b) có điểm chung S và lần lượt chứa đường thẳng song song a,b thì giao tuyến chúng qua điểm S song song với a,B S �(a) �( b) � � � (a) �a,( b) �b� �� (a) �( b) = Sx ( P a Pb) (Hệ trang 57, SKG HH11) � � a Pb � �  Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (a) Nếu mặt phẳng (b) chứa a cắt (a) theo giao tuyến b b song song với a a P (a),a �( b) � � �� b P a (Định lý 2, trang 61, SKG HH11) (a) �( b) = b � � �  Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó � (a) P (b) �� (P ) �(b) =d �� ,d P d (Định lý 3, trang 67, SKG HH11) � (P ) �(a) = d� �  Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với Trang 4/35 d �d�� � � d ^ (a) � �� d ^ d �(Tính chất 1b, trang 101, SKG HH11) � d�^ (a)� � �  Sử dụng phương pháp hình học phẳng: Đường trung bình, định lí Talét đảo, … Chứng minh đường thẳngvng góc với mặt phẳng:  Định lý (Trang 99 SGK HH11) Nếu đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng d ^ a �(a)� � � d ^ b �(a) � �� d ^ ( a ) � a �b = {O}� � �  Tính chất 1a (Trang 101 SGK HH11) Cho hai đường thẳng song song Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng d Pd� � �� d ^ a � ( ) d�^ (a)� �  Tính chất 2a (Trang 101 SGK HH11) Cho hai mặt phẳng song song Đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( a ) P ( b) � � �� d ^ ( a ) d ^ ( b) � � �  Định lý (Trang 109 SGK HH11) Nếu hai mặt phẳng cắt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba ( a) ^ ( P ) � � � ( b) ^ ( P ) � �� d ^ ( P ) � � ( a ) �( b) = d� � �  Định lý (Trang 108 SGK HH11) Nếu hai mặt phẳng vng góc đường thẳng nào nằm mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến vuông góc với mặt phẳng kiA ( a) ^ ( P ) � � � a = ( a ) �( P ) � �� d ^ ( P ) � � d �( a ) ,d ^ a� � � Chứng minh hai đường thẳng vng góc: �  Cách 1: Dùng định nghĩa: a ^ b � a,b = 90 r r rr r r r r Hay a ^ b � a ^ b � a.b = � a b cos a,b = ( ) ( )  Cách 2: Nếu đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song phải vng góc với đường b//c � �� a ^ b � a ^ c� � Trang 5/35  Cách 3: Nếu đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng a ^ ( a)� � �� a ^ b b �( a ) � � �  Cách 4: (Sử dụng Định lý Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng b nằm mặt phẳng ( P ) a đường thẳng không thuộc ( P ) đồng thời khơng vng góc với ( P ) Gọi a’ hình chiếu vng góc a ( P ) Khi b vng góc với a b vng góc với a’ a ' = hcha (P )� �� b ^ a � b ^ a ' � � b �( P ) � �  Cách khác: Sử dụng hình học phẳng (nếu được) Chứng minh mp( a ) ^ mp( b) : �  Cách 1: Theo định nghĩa: ( a ) ^ ( b) � ( a ) , ( b) = 900 Chứng tỏ góc giữa hai ( ) mặt phẳng bằng 90�  Cách 2: Theo định lý (Trang 108 SGK HH11): c HÌNH CHÓP ĐỀU 1.Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy Nhận xét: S  Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng  Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng A 2.Hai hình chóp đều thường gặp: C O a.Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC Khi đó: B Đáy ABC là tam giác đều Các mặt bên là các tam giác cân tại S Chiều cao: SO � = SBO � = SCO � Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO �  Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO      Tính chất: AO = AH , OH = AH , AH = AB 3 Lưu ý: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều  Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều  Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy b.Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S.ABCD  Đáy ABCD là hình vuông S A I D O B C Trang 6/35  Các mặt bên là các tam giác cân tại S  Chiều cao: SO � = SBO � = SCO � = SDO �  Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO �  Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO d THỂ TÍCH KHỚI ĐA DIỆN S 1.Thể tích khới chóp: V = B h D B : Diện tích mặt đáy hA : Chiều cao của khối chóp O B C A C A C B tích khối lăng B 2.Thể trụ: V = B h A’ B : Diện tích mặt đáy C’ A’ h : Chiều cao của khối chóp C’ B’ Lưu ý: Lăng trụ đứnB’ g có chiều cao cũng là cạnh bên c a3.Thể tích hình hộp chữ nhậ a t: a b V = abc a � Thể tích khối lập phương: V = a3 Tỉ số thể Stích: VS A ��� BC VS ABC = A ’ SA �SB �SC � SA SB B SC ’ C BC 5.Hình chóp cụt’ ABC A��� A ( B ) h V = B + B� + BB � , h là diệnC tích hai đáy và Với B, B � chiều cao Trang 7/35 B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên lần độ dài đường cao không đổi thể tích S ABC tăng lên lần? A B C D Câu Có khối đa diện đều? A B C D Câu Cho khối đa diện  p; q , số p A Số cạnh mặt B Số mặt đa diện C Số cạnh đa diện D Số đỉnh đa diện Câu Cho khối đa diện  p; q , số q A Số đỉnh đa diện C Số cạnh đa diện Câu Tính thể tích khối tứ diện cạnh a B Số mặt đa diện D Số mặt đỉnh a3 a3 a3 B C a D � � � 12 Câu Cho S ABCD hình chóp Tính thể tích khối chóp S ABCD biết AB  a , SA  a A a3 a3 a3 C D Câu Cho hình chóp S ABC có SA   ABC  , đáy ABC tam giác Tính thể tích A a B khối chóp S ABC biết AB  a , SA  a a3 a3 3 B C a D Câu Cho hình chóp S ABCD có SA   ABCD  , đáy ABCD hình chữ nhật Tính thể a3 A 12 tích S ABCD biết AB  a , AD  2a , SA  3a a3 � Câu Thể tích khối tam diện vng O ABC vng O có OA  a, OB  OC  2a A a B 6a B 2a D 2a a3 a3 B � C D 2a � � Câu 10 Cho hình chóp S ABC có SA vng góc mặt đáy, tam giác ABC vuông A, SA  2cm , AB  4cm, AC  3cm Tính thể tích khối chóp A 12 24 24 cm cm cm B C D 24cm3 Câu 11 Cho hình chóp S ABCD đáy hình chữ nhật, SA vng góc đáy, AB  a, AD  2a A Góc SB đáy 450 Thể tích khối chóp A a3 � B 2a � C a3 � D a3 � Câu 12 Hình chóp S ABCD đáy hình vng, SA vng góc với đáy, SA  a 3, AC  a Khi thể tích khới chóp S ABCD là A a3 � B a3 � C a3 � D a3 � Trang 8/35 Câu 13 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B Biết SAB tam giác thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng  ABC  Tính thể tích khối chóp S ABC biết AB  a , AC  a A a3 � 12 B a3 � C a3 � D Câu 14 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi Mặt bên a3 �  SAB  tam giác vuông cân S thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng  ABCD  Tính thể tích khối chóp S ABCD biết BD  a , AC  a a3 a3 a3 C D � � � 12 Câu 15 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A Hình chiếu S A a B lên mặt phẳng  ABC  trung điểm H BC Tính thể tích khối chóp S ABC biết AB  a , AC  a , SB  a a3 a3 a3 a3 B C D � � � � 6 Câu 16 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu S lên A mặt phẳng  ABCD  trung điểm H AD Tính thể tích khối chóp S ABCD biết SB  A a3 � 3a B a C a3 � Câu 17 Hình chóp S ABCD đáy hình vng cạnh a, SD   ABCD  D 3a � a 13 Hình chiếu S lên trung điểm H AB Thể tích khối chóp a3 a3 a3 B C a 12 D � � � 3 � Câu 18 Hình chóp S ABCD đáy hình thoi, AB  2a , góc BAD 1200 Hình chiếu A vng góc S lên  ABCD  I giao điểm đường chéo, biết SI  a Khi thể tích khối chóp S ABCD là a3 a3 a3 a3 B C D � � � � 9 3 Câu 19 Cho hình chóp S ABC , gọi M , N trung điểm SA, SB Tính tỉ số A VS ABC VS MNC 1 � C D � , C� Câu 20 Cho khối chop O ABC Trên ba cạnh OA, OB, OC lấy ba điểm A’, B� A B  OA, 4OB�  OB, 3OC �  OC Tính tỉ số cho 2OA� VO A ' B 'C ' VO ABC Trang 9/35 1 C D 24 16 32 Câu 21 Cho hình chóp S.ABC Gọi    mặt phẳng qua A song song với BC    A 12 B cắt SB , SC M , N Tính tỉ số SM biết    chia khối chóp thành SB phần tích 1 1 A B C D 2 2 Câu 22 Thể tích khối lăng trụ tam giác có tất cạnh a là: a3 a3 a3 a3 B C D � � � � 3 Câu 23 Cho lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' có ABCD hình chữ nhật, A ' A  A ' B  A ' D Tính A thể tích khối lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' biết AB  a , AD  a , AA '  2a A 3a B a C a 3 D 3a 3 Câu 24 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có ABC tam giác vng A Hình chiếu A ' lên  ABC  trung điểm BC Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' biết AB  a , AC  a , AA '  2a a3 3a B C a 3 D 3a 3 � � 2 Câu 25 Cho lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' có ABCD hình thoi Hình chiếu A ' lên A  ABCD  trọng tâm tam giác ABD Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' biết AB  a , � ABC  1200 , AA '  a A a B a3 � Câu 26 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' Tính tỉ số C a3 � D a3 � VABB 'C ' VABCA ' B 'C ' 1 � B � C � D 3 Câu 27 Cho khối lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có tất cạnh a Thể tích khối tứ diện A’BB’C’ A a3 a3 a3 a3 B C D � � � � 12 12 B C có đáy tam giác cạnh a , góc cạnh bên Câu 28 Lăng trụ tam giác ABC A��� A mặt đáy 300 Hình chiếu A�lên  ABC  trung điểm I của BC Thể tích khối lăng trụ a3 a3 a3 a3 B C D � � � � 12 Câu 29 Lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông A, BC  2a, AB  a A Mặt bên  BB’C’C  hình vng Khi thể tích lăng trụ A a3 B a C 2a 3 D a 3 Trang 10/35 Hướng dẫn giải: Gọi H trung điểm BC � A ' H   ABC  ABC tam giác vuông A � BC  AB  AC  2a � AH  BC  a A ' AH vuông H � A ' H  AA '2  AH  a S ABC  a2 AB AC  2 3a VABCA ' B 'C '  A ' H S ABC  Câu 25 Cho lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' có ABCD hình thoi Hình chiếu A ' lên  ABCD  trọng tâm tam giác ABD Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' biết AB  a , � ABC  1200 , AA '  a a3 � Hướng dẫn giải: Gọi H trọng tâm tam giác ABD � A ' H   ABCD  A a B a3 � C D a3 � A' B' C' D' �  1800  � Ta có: BAD ABC  600 �  600 Tam giác ABD cân có BAD nên tam giác ABD ABD tam giác cạnh a A B H a � AH  C D A ' AH vuông H � A ' H  AA '2  AH  a a2 a2 a3 ; VABCDA ' B ' C ' D '  A ' H S ABC   2 VABB 'C ' Câu 26 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' Tính tỉ số VABCA ' B 'C ' S ABCD  2S ABD  A � B � � Hướng dẫn giải: Ta có: BB ' C ' C hình bình hành 1 S BB ' C 'C � VA BB 'C '  VA BB 'C 'C 2 Ta có: VA A ' B ' C '  VABCA ' B 'C ' � VA BB ' C 'C  VABCA ' B 'C '  VA A ' B ' C '  VABCA ' B 'C ' C D C' A' B' � S BB 'C '  A C B Trang 21/35 V 1 � VABB 'C '  VABCA ' B 'C ' � ABB ' C '  VABCA ' B 'C ' Câu 27 Cho khối lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có tất cạnh a Thể tích khối tứ diện A’BB’C’ A a3 � 12 B a3 � a3 � Hướng dẫn giải: C D A' h  BB� a � � � a2 �S A��� BC  � a3 � 12 C' B' a3 � � VA�BB��  BB S  C A��� BC 12 A C B B C có đáy tam giác cạnh a , góc cạnh bên Câu 28 Lăng trụ tam giác ABC A��� mặt đáy 300 Hình chiếu A�lên  ABC  trung điểm I của BC Thể tích khối lăng trụ A a3 � B a3 � a3 � 12 Hướng dẫn giải: C D a3 � � a 3 a I  AI tan  300   �  �A� � � a �S ABC  � � � VABC A’ B’C ’  A� I S ABC  a3 Câu 29 Lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng A, BC  2a, AB  a Mặt bên  BB’C’C  hình vng Khi thể tích lăng trụ A a3 B a C 2a 3 D a 3 Hướng dẫn giải: h  BB�  2a � � � 2 �AC  BC  AB  a a2 � S ABC  AB AC  2 � VABC A’ B’C ’  BB� S ABC  a 3 C' A' B' A C B Câu 30 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' Gọi M , N trung điểm CC ' BB ' Tính tỉ số VABCMN VABC A ' B 'C ' Trang 22/35 A B Hướng dẫn giải: C Ta có: BB ' C ' C hình bình hành D A' B' S BB 'C ' C � VA BCMN  VA.BB 'C 'C Ta có: VA A ' B ' C '  VABCA ' B 'C ' � S BCMN  C' M � VA BB ' C 'C  VABCA ' B 'C '  VA A ' B 'C '  VABCA ' B 'C ' V 1 � VA BCMN  VABCA ' B 'C ' � A.BCMN  VABCA ' B ' C ' N A B C B C Tỉ số thể tích khối chóp A� ABC khối lăng Câu 31 Cho khối lăng trụ ABC A��� trụ 1 1 A B C D Hướng dẫn giải: C' A' B' 1 VA�ABC  AA� S ABC  VABC A��� BC 3 VA�ABC �  VABC A��� BC A C B B C D Tỉ số thể tích khối A� ABD khối lập Câu 32 Cho khối lập phương ABCD A���� phương là: 1 1 A B C D Hướng dẫn giải: A' D' VA’ ABD  AA� S ABD C ' B' 1  AA� AB AD  AA� S ABCD D A  VABCD A’ B’C ’ D’ B C VA’ ABD �  VABCD A’ B’C ’ D’ VẬN DỤNG THẤP Câu 33 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có chiều cao h , góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( ABCD)  Tính thể tích khối chóp S ABCD theo h  A 3h3 tan  B 4h tan  C 8h tan  D 3h3 tan  Trang 23/35 Hướng dẫn giải: S Gọi O tâm mặt đáy SO  mp  ABCD  Từ đó, SO đường cao hình chóp.Gọi M trung điểm đoạn CD Ta có: h CD  SM �(SCD ) � � �  CD  OM �( ABCD ) � SMO � � CD  (SCD ) �( ABCD ) � A  O D M B C V = SABCD.SO; B = SABCD = AB ; Tìm AB: AB = 2OM SO h h � OM = Tam giác SOM vng tại O, ta có: tan  = = OM OM tan  2h 4h � AB = Suy ra: B = SABCD = SO = h tan  tan  4h 4h Vậy VS.ABCD = h = tan  tan  Câu 34 Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh , cạnh vuông S ABCD ABCD 2a SB góc với đáy mặt phẳng  SAD  tạo với đáy góc 60� Tính thể tích khối chóp S ABCD A V  3a 3 Hướng dẫn giải: B V  3a C V  8a 3 3 D V  4a �AD  AB � AD  (SAB) � Ta có: � S �AD  SB AD  SA �  600 � SAB SABCD = 4a2 A D Xét tam giác SAB vng B, ta có:  SB  AB tan 600  2a 2a a B C Vậy V = 4a2 2a = 3 Câu 35 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông B , BC  a , mặt phẳng  A ' BC  tạo với đáy góc 30�và tam giác A ' BC có diện tích a Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' a3 Hướng dẫn giải: A B 3a 3 C 3a 3 D 3a 3 Trang 24/35 V= Bh = SABC.A’B’C’.AA’ �BC  AB � BC  A� B Do � �BC  AA� �BC  AB �( ABC ) � BC ) Và �BC  A ' B �( A� �BC  ( ABC ) �( A ' BC ) �    A’ C’ B’  � (� ABC ), ( A ' BC )  � AB, A ' B  � ABA ' A Ta có: C 30o a A� B.BC B 2.S A�BC 2.a � A� B   2a BC a � � AB  A� B.cos � ABA�  2a 3.cos 300  3a; AA�  A� B.sin ABA  2a 3.sin 30  a S A�BC  1 3a 3 VABC A ' B 'C '  B.h  S ABC AA�  AB.BC AA� 3a.a.a  2 Câu 36 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy chiếu vng góc A '  AA ' C ' C  ABC  ABC  tam giác cạnh a Hình trung điểm AB Mặt phẳng tạo với đáy góc 45� Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A V  3a 16 B V  3a C V  3a D V  3a Hướng dẫn giải: A’ Gọi H, M, I lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, AC, AM VABC A ' B 'C '  S ABC A ' H a2 S ABC  Ta có IH là đường trung bình tam giác AMB , MB là trung tuyến tam giác ABC �IH // MB � IH  AC Do đó: � �MB  AC B ’ C ’ H A I B a M C �AC  A ' H � AC   A ' HI  � AC  A ' I � �AC  IH �AC  IH �( ABC ) � Mà: �AC  A ' I �( ACC ' A ') � � A ' IH góc gữa hai mặt phẳng  AA ' C ' C  � ( ABC ) �( ACC ' A ')  AC �  ABCD  � � A ' IH  45� Trong tam giác A ' HI vuông tại H, ta có: tan 45� A' H � A ' H  IH tan 45o HI Trang 25/35 a a a 3a Vậy  IH  MB  V  4 16 Câu 37 Cho hình chóp S ABC , góc mặt bên mặt phẳng đáy 600 , khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng  ABC  3a Thể tích của khối chóp S ABC theo a a3 16 Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm của BC Trong mp(SAM), Kẻ MH  SA, ( H �SA) �BC  AM � BC   SAM  � BC  MH Ta có: � �BC  SO A a3 12 B a3 18 C D a3 24 Do MH đường vng góc chung SA BC 3a �  600 Suy MH  Ta có: SM  BC � � SBC  ,  ABC    SMA  OM  x � AM  3x, OA  x Đặt � SO  OM tan 600  x SA   x 3 S   2x  x Trong VSAM ta có: SA.MH  SO AM 3a a � x  x 3.3 x � x  Khi đó: AM  x  a  H C A O a � AB  a N B 1 a2 a a2 VS ABC  S ABC SO   3 24 Câu 38 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O , AC  3a , BD  2a , hai mặt phẳng  SAC   SBD  vng góc với mặt phẳng a O đến mặt phẳng  SAB  Tính thể tích của khới chóp S ABCD theo a  ABCD  Biết khoảng cách từ điểm a3 Hướng dẫn giải Ta có tam giác ABO vuông A a3 16 B a3 18 C D a3 12 S O AO  a , BO  a Do I AO   tan 600 � � ABO  600 BO Suy ABD D 2a C A O B Trang 26/35 Ta có: �  SAC    ABCD  �  SBD    ABCD  � SO   ABCD  � �  SAC  � SBD   SO � Trong tam giác ABD , gọi H trung điểm AB, K trung điểm BH, suy DH  AB DH  a ; OK / / DH OK  Suy OK  AB � AB   SOK  a DH  2 Gọi I hình chiếu O lên SK, ta có: OI  SK ; AB  OI � OI   SAB  � OI  d � O;  SAB  � � � 1 a   � SO  2 OI OK SO 1 1 a VS ABCD  SABCD SO  4.S ABO SO  .OA.OB.SO  3 3 Câu 39 Cho hình chóp tứ giác S ABCD , O giao điểm AC BD Biết mặt bên hình chóp tam giác khoảng từ O đến mặt bên a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a Tam giác SOK vuông O, OI đường cao: A 2a 3 B 4a 3 C 6a 3 Hướng dẫn giải: D 8a 3 Gọi M là trung điểm của CD , SOM kẻ đường cao OH � OH   SCD  � OH  a Đặt A CM  x Khi OM  x , SM  x , SO  A SM  x  x Ta có: SM OH  SO.OM � x 3.a  x 2.x � x  a M � CD  a 6, SO  a 1 VS ABCD  S ABCD SO  CD SO  6a a  2a 3 3 Câu 40 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SA   ABCD  ABCD hình thang vng A B biết AB  2a AD  3BC  3a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a biết góc  SCD   ABCD  600 A 6a B 6a C 3a Hướng dẫn giải: D 3a Trang 27/35 Dựng AM  CD M �  600 Ta có: SMA S ABCD  CD  S AD  BC AB  4a 2  AD  BC   AB  2a AB.BC  a 2  S ABCD  S ABC  3a A S ABC  S ACD D M C B 2S AM CD � AM  ACD  a CD �  a VS ABCD  SA.S ABCD  6a Ta có: SA  AM tan SMA Câu 41 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SA   ABCD  , ABCD hình thang vng A B biết AB  2a AD  3BC  3a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a , S ACD  biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD) a A 6a B 6a C 3a D 3a Hướng dẫn giải: Dựng AM  CD M Dựng AH  SM H S Ta có: AH  a AD  BC S ABCD  AB  4a 2 CD  S ABC S ACD  AD  BC   AB  2a H A  AB.BC  a 2  S ABCD  S ABC  3a D M B C 2S S ACD  AM CD � AM  ACD  a CD 1 AH AM   � AS   a Ta có: 2 AH AM AS AM  AH VS ABCD  SA.S ABCD  6a 3 Câu 42 Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có BB '  a , góc giữa đường thẳng BB ' và �  60� Hình chiếu  ABC  bằng 60�, tam giác ABC vuông tại C và góc BAC vuông góc của điểm B ' lên  ABC  trùng với trọng tâm của ABC Thể tích của khối tứ diện A ' ABC theo a A 13a 108 B 7a 106 15a 108 Hướng dẫn giải: C D 9a 208 Trang 28/35 Gọi M , N là trung điểm của AB, AC G là trọng tâm của ABC � �' BG  600 B ' G   ABC  � BB ',  ABC   B   1 VA ' ABC  SABC B ' G  AC.BC.B ' G 60� �' BG  600 Xét B ' BG vuông tại G , có B � B 'G  60� a (nửa tam giác đều) �  600 Đặt AB  x Trong ABC vuông tại C có BAC AB � tam giác ABC là nữa tam giác đều � AC   x, BC  x 3 3a Do G là trọng tâm ABC � BN  BG  Trong BNC vuông tại C : BN  NC  BC 3a � �AC  13 9a x 9a 3a � �   3x � x  �x �� 16 52 13 �BC  3a � 13 � 2 3a 3a a 9a  Vậy, VA ' ABC  13 13 208 Câu 43 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' , biết đáy ABC tam giác cạnh a a Khoảng cách từ tâm O tam giác ABC đến mặt phẳng  A ' BC  Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A 3a B 3a 28 3a Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm của BC , ta có  A ' AM    A ' BC  theo giao C D A' 3a 16 C' tuyến A ' M Trong  A ' AM  kẻ OH  A ' M ( H �A ' M ) B' � OH   A ' BC  Suy ra: d  O,  A ' BC    OH  a a2 S ABC  Xét hai tam giác vuông A ' AM � chung nên chúng OHM có góc M đồng dạng A C H O M B Trang 29/35 a OH OM  �  Suy ra: A ' A A ' M A' A a �  A' A A ' A2  AM �a � A' A  � � �2 � a a a 3a Thể tích: VABC A ' B ' C '  S ABC A ' A   4 16 VẬN DỤNG CAO Câu 44 Cho hình chóp tam giác S ABC có M trung điểm SB , N điểm cạnh SC cho NS  NC Kí hiệu V1 ,V2 thể tích khối � A' A  chóp A.BMNC S AMN Tính tỉ số A V1  V2 B V1  V2 V1 V2 C V1  V2 D V1  V2 Hướng dẫn giải VS AMN SM SN  �  � ; VS ABC SB SC 3 VS AMN  VA BMNC  VS ABC Suy ra, VA.BMNC  VS AMN Câu 45 Cho hình chóp tam giác S ABC có M trung điểm SB , N điểm cạnh SC cho NS  NC , P điểm cạnh SA cho PA  PS Kí hiệu V1 ,V2 thể tích khối tứ diện BMNP SABC Tính tỉ số A V1  V2 B V1  V2 C V1  V2 D V1 V2 V1  V2 Hướng dẫn giải � d ( N , ( SAB )) � S BMP VN BMP  ; VC SAB � d (C, ( SAB)) � S SAB d ( N ,( SAB)) NS   d (C, ( SAB)) CS , S BPM  1 S BPS  � S SAB 2 VN BMP 1  � Suy ra, V C SAB Trang 30/35 Câu 46 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy 2a , góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( ABCD) 45�, M , N P trung điểm cạnh SA, SB AB Tính thể tích V khối tứ diện DMNP A V  a3 B V  a3 C V  a3 12 D V  a3 Hướng dẫn giải Ta có: S SMN SM SN  �  S SAB SA SB Tương tự, Suy định S BNP S AMP  ,  S SAB S SAB S MNP  (có thể khẳng S SAB S MNP  nhờ hai tam giác S SAB MNP BAS hai tam giác đồng dạng với tỉ số k  ) VD.MNP  (1) VD.SAB  VS DAB  VS ABCD (2) Do VD.SAB 1 4a (3) Từ (1), (2) (3): VS ABCD  SO.S ABCD  OP.tan 45� S ABCD  3 1 4a a VDMNP   B C có đáy ABC tam giác vng cân B , AC  2a ; Câu 47 Cho lăng trụ ABC A��� cạnh bên AA�  2a Hình chiếu vng góc A� mặt phẳng ( ABC ) BC trung điểm cạnh AC Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A��� a 2a A V  a B V  C V  a D V  3 Hướng dẫn giải Vì ABC tam giác vng cân B nên trung tuyến BH đường cao nó, HB  HA  HC  AC  a A� H  A� A2  AH  2a  a  a � S ABC  A� VABC A��� H � BH � AC  a BC  A H � Câu 48 Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, AC AD đơi vng góc với Gọi G1 , G2 , G3 G4 trọng tâm mặt ABC , ABD, ACD BCD Biết AB  6a, AC  9a , AD  12a Tính theo a thể tích khối tứ diện G1G2G3G4 Trang 31/35 A 4a B a C 108a Hướng dẫn giải D 36a Trong trường hợp tổng quát, ta chứng minh VG1G2G3G4  VABCD 27 Thật vậy, ta có (G2G3G4 ) P(CBA) VG2G3G4 ) : VCBA (tỉ số đồng dạng k  ) Từ đó: SG2G3G4 SCBA  k2  d (G1 , (G2G3G4 ))  d (G4 ,( ABC )) 1  d ( D, ( ABC )) (do G4 M  DM ) 3 VG1G2 G3G4 d (G1 , (G2G3G4 )) SG2G3G4 1  �  � Suy VABCD d ( D, ( ABC )) SCBA 27 1 VABCD  � AB.AC AD  4a 27 27 ABCD Câu 49 Cho tứ diện có AB  CD  11m , BC  AD  20m , BD  AC  21m Tính thể tích khối tứ diện ABCD A 360m3 B 720m3 C 770m3 D 340m3 Hướng dẫn giải Dựng tam giác MNP cho C, B, D trung điểm cạnh MN, MP, NP Do BD đường trung bình tam giác MNP nên � VG1G2G3G4  1 MN hay AC  MN 2 Tam giác AMN vuông A (do có trung tuyến nửa cạnh tương ứng), hay AM  AN Tương tự, AP  AN AM  AP 1 1 Ta có S MBC  S MNP , S NCD  S MNP , S BPD  S MNP Suy S BCD  S MNP 4 4 BD  Từ đó, VABCD  VAMNP �x  y  4.202 �2 AM AN AP 2 ,y ,z  Đặt x  Ta có �y  z  4.21 , m m m �x  z  4.112 � Trang 32/35 �x  160 �2 1 suy �y  1440 � xyz  1440 � VABCD  VAMNP  360m �z  324 � (AM, AN, AP đôi vuông góc nên VAMNP  AM AN AP ) (a  b2  c )(a  b  c )( a  b  c ) 12 V Câu 50 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy vuông; mặt bên ( SAB ) tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Biết khoảng cách từ điểm a Tính thể tích V khối chóp S ABCD A đến mặt phẳng ( SCD) 3 3a 3 V  a V  a A B V  a C D V  3 Hướng dẫn giải Gọi H trung điểm AB, suy SH chiều cao khối chóp cho Kí hiệu x độ dài cạnh đáy 3 x VS ABCD  x Kẻ HK  CD ( K �CD) ; Kẻ HL  SK (L �SK ) Ta có SH  Suy HL  ( SCD) d ( A, ( SCD))  d ( H , ( SCD))  HL  HS � HK  21 x HS  HK 21 7a 3 3 Theo gt, x � x  a Suy VS ABCD  x  (a 3)3  a 7 6 Câu 51 Cho tứ diện S ABC , M N điểm thuộc cạnh SA SB cho MA  2SM , SN  NB , ( ) mặt phẳng qua MN song song với SC Kí hiệu 2 ( H1 ) ( H ) khối đa diện có chia khối tứ diện S ABC mặt phẳng ( ) , đó, ( H1 ) chứa điểm S , ( H ) chứa điểm A ; V1 V2 thể tích ( H1 ) ( H ) Tính tỉ số D Hướng dẫn giải Kí hiệu V thể tích khối tứ diện SABC Gọi P , Q giao điểm ( ) với đường thẳng BC , AC Ta có NP //MQ //SC Khi chia khối ( H1 ) mặt phẳng (QNC ) , ta hai A B V1 V2 C khối chóp N SMQC N QPC Trang 33/35 VN SMQC Ta có: VB ASC  d ( N , ( SAC )) SSMQC � ; d (B, ( SAC )) S SAC d ( N , ( SAC )) NS   ; d (B, ( SAC )) BS S AMQ S ASC S �AM �  � � � SMQC  S ASC �AS � Suy VN QP C VS ABC  VN SMQC VB ASC 10  � 27 d ( N , (QP C )) SQPC � d (S,(A BC )) S ABC NB CQ CP 1 2 � �  ��  SB CA CB 3 27 V V1 VN SMQC VN QP C 10 V1      �  � 5V1  4V2 �  V2 V VB ASC VS ABC 27 27 V1  V2  Câu 52 Cho hình chóp S ABC có chân đường cao nằm tam giác ABC ; mặt phẳng ( SAB ) , ( SAC ) ( SBC ) tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc Biết AB  25 , BC  17 , AC  26 ; đường thẳng SB tạo với mặt đáy góc 45� Tính thể tích V khối chóp S ABC A V  408 B V  680 C V  578 D V  600 Hướng dẫn giải Gọi J chân đường cao hình chóp S.ABC; H, K L hình chiếu J cạnh AB, � , SLJ � SKJ � BC CA Suy ra, SHJ góc tạo mặt phẳng ( ABC ) với mặt phẳng (S AB) , ( SBC ) ( SAC ) Theo giả thiết, ta �  SLJ �  SKJ � , suy tam có SHJ giác vng SJH , SJL SJK Từ đó, JH  JL  JK Mà J nằm tam giác ABC nên J tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Áp dụng công thức Hê-rông, ta tính diện tích S tam giác ABC S  204 Kí hiệu p nửa chu vi tam giác ABC, r bán kính đường trịn nội S 204  6 p 34 Đặt x  BH  BL , y  CL  CK , z  AH  AK tiếp ABC Ta có r  Trang 34/35 �x  y  17 � Ta có hệ phương trình �x  z  25 �y  z  26 � Giải ( x; y; z )  (8;9;17) JB  JH  BH   82  10 �  ( SB � Ta có SBJ , ( ABC ))  45�, suy SJB tam giác vuông cân J SJ  JB  10 Thể tích V khối chóp S.ABC V  SJ S ABC  680 Trang 35/35 ... ABC , gọi M , N trung điểm SA, SB Tính tỉ số A VS ABC VS MNC 1 � C D � , C� Câu 20 Cho khối chop O ABC Trên ba cạnh OA, OB, OC lấy ba điểm A’, B� A B  OA, 4OB�  OB, 3OC �  OC Tính tỉ... Hướng dẫn giải: S M VS ABC SA SB  4 VS MNC SM SN N A C B OA , OB , OC , C� Câu 20 Cho khối chop O ABC Trên ba cạnh lấy ba điểm A’, B�  OA, 4OB�  OB, 3OC �  OC Tính tỉ số cho 2OA� A