Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy và SB = 2a.. Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài giải Do hai mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với mặt đáy A
Trang 1Chuyê n đê 11 THỂ TÍ CH KHỐ Í CHỐ P
I Tóm tắt lí thuyết
Công thức thể tích khối chóp: 1
3
B: diện tích đáy
h: độ dài chiều cao
II Bài tập
Dạng 1 CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
Bài 1 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,
SA vuông góc với đáy và SB = 2a Tính thể tích khối chóp S.ABC
Bài giải
Ta có: . 1
3
S ABC ABC
a 32 4
ABC
S
4a a 3a
3
SA a
Bài 2 Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
SA vuông góc với đáy Biết AB = 3a, AC = 5a, SAC vuông cân Tính thể tích khối chóp
Bài giải
Trang 2Ta có: . 1
3
S ABC ABC
+) Tính SABC
25a 9a 16a
BC = 4a
2
1 . 13a.4a 6a
ABC
+) Tính SA Tam giác SAC vuông cân SA = AC = 5a
Vậy, . 1 5a.6a 10a2 3
3
S ABC
Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ̂ Cho SA vuông góc với đáy và SC = 2a Tính thể tích hình chóp S.ABCD
Bài giải
3
S ABC ABC
+) Tính SABCD
Do ̂ nên ̂ ABD đều
a 3 a 3
ABC AB
S
+) Tính SA
60 0
D
C A
B
Trang 32
SA SC AC
SA a
Vậy,
D
1 a 3. 3
S ABC
a
Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang cân (AB//CD) với AC = 20cm, BC = 15cm, AB = 25cm Cho SA vuông góc với đáy và SA = 8cm Tính thể tích của khối chóp
Bài giải
Thể tích khối chóp: . D 1 D
3
S ABC ABC
Chỉ cần tính SABCD
Ta có:
AB2 = 625
AC2 + BC2 = 400 + 225 = 625
AC2
+ BC2 = AB2 Tam giác ABC vuông tại C
Gọi CH là đường cao trong ABC
25
AC BC
AB
2
25
BC
AB
Do hình thang ABCD cân nên CD = AB – 2HB = 25 – 2.9 = 7 (cm)
2 D
( D) (25 7)12 192
ABC
AB C CH
3
S ABC
Bài 5 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy Mặt bên
25
15 20
H
Trang 4SBC là tam giác đều cạnh a Cho ̂ = 1200
Tính thể tích khối chóp
Bài giải
Thể tích khối chóp: . 1
3
S ABC ABC
+) Tính S ABC
Gọi M là trung điểm của BC Do tam giác SBC đều nên SM BC
Ta có:
BC SM
BC SAM
BC SA
BC AM
Tam giác ABC có AM vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên nó cân tại A Do góc BAC bằng 1200 nên góc MAB bằng 600
Ta có:
2 3 tan
AM
MAB
2
ABC
a
S AM BC a
+) Tính SA
3 2
a
S
a
A SM AM SA
Vậy,
.
1 2 a. 2
3 3 4 3 36
S ABC
Bài 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy, SC =
a
M
B S
a 2
600
A
Trang 5a√ Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Bài giải
Do hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD) nên giao tuyến của chúng cũng vuông góc với (ABCD)
Ta có
SA SAB SA SA ABC
3
S ABC ABC
+)
Vậy,
3 2
S ABC
a
Bài 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a SA vuông góc với đáy và SC = 2a Tính VS.ABCD
Bài 8 Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA bằng a, đáy là tam giác vuông cân có AB = BC = a Gọi B’ là trung điểm của SB, C’ là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC
a Tính thể tích khối chóp S.ABC
b Chứng minh SC vuông góc với (AB’C’)
c Tính thể tích khối chóp S.AB’C’
Bài 9 Cho hình chóp tam giác O.ABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = 2a, OC = 3a
a Tính VO.ABC và đường cao OH
b Tính diện tích tam giác ABC
Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân
(AB//CD), AB = 4a, DC = 8a và ̂ = 600
Cho (SD) (ABCD) Tính VS.ABCD
Dạng 2 CẠNH BÊN KHÔNG VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
C
A
B
D S
Trang 6
hối chóp đều
)
Đáylà đagiácđều Chânđườngcaotrùngvớitâmcủađáy
Diện tích tam giác đều cạnh a: S a 32
4
Diện tích hình vuơng cạnh a: S a 2
Bài 11 Cho hình chĩp đều tam giác S.ABC với tam giác ABC cĩ
tâm là O và cạnh bằng a, SO = 2a Tính thể tích khối chĩp S.ABC
Bài giải
Do S.ABC đều nên SO là đường cao
.
1 . 3
S ABC ABC
Ta cĩ:
a 32 4
ABC
S
Thể tích khối chĩp:
1 . 1.2a.a 3 a 32 3
V SO S
Bài 12 Cho khối chĩp đều tứ giác S.ABCD cĩ cạnh đáy bằng a và
cạnh bên bằng a 3 Tính thể tích khối chĩp đĩ
Bài giải
Ta cĩ: SABCD = a2 Gọi O là tâm của đáy ABCD thì
SO (ABC Do đĩ D)
1 . 3
S ABC ABC
Ta cĩ: S = a2
Trang 7+) Tính SO
Ta có: AC = √
√
D
.a
S ABC
a V
Bài 13 Tính thể tích của khối tứ diện đều SABC cạnh a
Bài giải
Gọi O là tâm của mặt phẳng (ABC) thì SO là đường cao của hình chóp
.
1 . 3
S ABC ABC
4
ABC
SO2 SM2 OM2
3 1. 3
a SO
Vậy thể tích khối chóp cần tìm là:
.
1. 2 a 3. 2
S ABC
Bài 14 Cho hình chóp đều tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác
đều cạnh a Cạnh bên hợp với đáy góc 600
Tính VS.ABC
O
M
B S
Trang 8Bài giải
Gọi O là tâm của đáy Khi đó
SO (ABC) Suy ra:
.
1 . 3
S ABC ABC
0
60
SA ABC SA AO SAO SAO
4
ABC
.tan600 2. 3 3
3 2
a
Vậy
.
1 a 3. 3
S ABC
a
Bài 15 Cho hình chóp đều tứ giác S.ABCD có cạnh đáy bằng a
Cạnh bên hợp với đáy một góc 450 Tính Tính VS.ABCD
Bài 16 Tính thể tích khối chóp đều tứ giác S.ABCD có cạnh đáy
bằng a và góc ̂ 600
Bài giải
Gọi O là tâm của đáy thì
SO (ABC)
.
1 . 3
S ABC ABC
+)
2
a 3 4
ABC
+) Tính SO
Do tam giác SAB cân và có góc bằng 600 nên là tam giác đều
SA = AB = a
60 0
O
M
B S
O
B S
Trang 92
Vậy,
.
1. 2 a 3. 2
S ABC
Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm
O, AB = 6a, BC = 8a Các cạnh bên bằng nhau và bằng 13a Tính
VS.ABCD
Bài giải
Gọi O là chân đường cao hạ từ S lên mặt đáy (ABCD) Khi đó
OA, OB, OC, OD lần lượt là các hình chiếu của các cạnh bên SA,
SB, SC, SD lên mặt đáy
Do các cạnh bên bằng nhau nên:
OA = OB = OC = OD
O là tâm của đường tròn ngoại tiếp mặt đáy
Vì mặt đáy là hình chữ nhật nên O là giao của 2 đường chéo AC và
BD
1 . 3
S ABC ABC
D
SABC AB BC 6a.8a 48a
AC2 = AB2 + BC2 = 36a2 + 48a2 = 84a2 AC = 2a√
AO = a√
SO2 = SA2 – AO2 = 169a2 – 21a2 = 148a2 SO = 2a√
Vậy . D 1.2a 37.48a 32a 372 3
3
S ABC
Bài 18 Cho hình chóp đều tứ giác S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh
a, các cạnh bên tạo với đáy một góc 600 Tính thể tích khối chóp
O
C
D
B
A
S
Trang 10S.ABCD
Bài giải
Gọi O là chân đường cao hạ từ đỉnh
S lên (ABCD) Khi đó các góc OAS,OBS OCS ODS lần lượt là , , các góc hợp bởi giữa các cạnh bên
SA, SB, SC, SD với đáy Theo giả thiết suy ra:
0 OASOBS OCS ODS 60
O là tâm của hình vuông ABCD
1 . 3
S ABC ABC
ABC
.tanOAS 2 .tan600 6
Vậy,
3 2
D
1. 6 .a 6
S ABC
Bài 19 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a Các
cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một góc 600 Tính thể tích của khối chóp S.ABC
Bài 20 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy ABC là
tam giác vuông tại B, AB = √ , AC = 2a Góc giữa hai mp (SBC)
và (ABC) bằng 600 Gọi M là trung điểm của AC Tính VS.BCM và khoảng cách từ M đến (SBC)
Bài 21 Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a , CA
= 7a Các mặt bên (SAB), (SBC) và (SCA) tạo với đáy một góc 600 Tính thể tích khối chóp đó
O
C
D
B
A
S
Trang 11Dạng 3 TỈ SỐ THỂ TÍCH
Bài 22 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành
Gọi M là trung điểm SC Mặt phẳng (ADM) cắt SB tại N Tính tỷ
số thể tích của hai khối chóp S.ADMN và S.ABCD
Bài 23 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành
Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC Mặt phẳng (ADG) cắt SB tại
N và cắt SC tại M Tính tỷ số thể tích của hai khối chóp S.ADMN
và S.ABCD
Bài 24 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành
tâm O M là trung điểm của cạnh SC Mặt phẳng (P) qua AM và song song với BD cắt SB tại B’ và cắt SD tại D’ Tính tỷ số của hai khối chóp S.AB’MD’ và S.ABCD
Bài 25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành
tâm O I là trung điểm của SO Mặt phẳng (Q) qua AI và song song với BD cắt SB tại B’, cắt SC tại C’ và cắt SD tại D’ Tính tỷ số của hai khối chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD
Bài 26 Cho điểm M trên cạnh SA, điểm N trên cạnh SB của khối
chóp tam giác S.ABC sao Mặt phẳng (P) qua MN
và song song với SC chia khối chóp thành hai phần Tìm tỷ số thể tích của hai phần đó
CÁC BÀI TOÁN THI TỪ NĂM 2006 ĐẾN NAY
(ĐH – Khối B – 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
chữ nhật với AB = a, AD = 2a , SA = a và SA vuông góc với mặt
là giao điểm của BM và AC Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB
(ĐH – Khối D – 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC
là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng
Trang 12(ABC) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC Tính thể tích của khối chóp A.BCNM
(ĐH – Khối A – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông
cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC,
CD Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP
(ĐH – Khối B – 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là
hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của
SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC Chứng minh
MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC
(ĐH – Khối D – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,
BA = BC = a, ̂ ̂ , AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB Chứng minh tam giác SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳ
(ĐH – Khối A - 2008) Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên
bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 3a và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA', B'C'
(ĐH – Khối B – 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh 2a, SA = a, SB = 3a và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN
(ĐH – Khối D – 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là
tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' = 2a Gọi M là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C'
và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C
Trang 13(CĐ – Khối A, B, D – 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD
là hình thang, ̂ ̂ , AB = BC = a, AD = 2a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a
(TNTHPT - 2009) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác
đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Biết góc ̂
= 1200, tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a
(TNBT - 2009) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác
vuông tại B, AB = a và AC = a√ ; cạnh bên vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a√ Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a
(ĐH – Khối A - 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 Gọi I là trung điểm của cạnh
AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
(ĐH – Khối B - 2009) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’ = a Góc
giữa đường thẳng BB’ và mp(ABC) bằng 600 Tam giác ABC vuông tại C và ̂ = 600
Hình chiếu vuông góc của B’ lên mp(ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’.ABC
(ĐH – Khối D - 2009) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC
là tam giác vuông tại B, AB = a, AA' = 2a, A’C = 3a M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C Tính thể tích khối tứ diện IABC theo a và khoảng cách từ A đến mp(IBC)
(CĐ – Khối A, B, D - 2009) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, AB
= a, SA = a√ Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB và
CD Chứng minh rằng MN vuông góc với SP Tính thể tích khối tứ diện AMNB theo a
(TNTHPT 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 600 Tính thể tích khối chóp
Trang 14S.ABCD theo a
(ĐH – Khối A 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh a Gọi M và N lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a√ Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
DM và SC theo a
(ĐH – Khối B 2010) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’
có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600 Gọi
G là trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a
(ĐH – Khối D 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình
chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH = Gọi CM là đường cao của tam giác SAC Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo
a
(CĐ – Khối A, B, D 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy,
SA = SB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 450 Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD