Thông tin tài liệu
Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 GIẢI CHI TIẾT HỌC SINH GIỎI LỚP 11-NGHỆ AN NĂM HỌC 2018-2019 MƠN TỐN TIME: 180 PHÚT ĐỀ BÀI Câu a Cho phương trình ( sinx − cosx ) ( sin2x − 3) − sin2x − cos2x +1 = 2sinx − Hỏi phương trình có nghiệm thuộc khoảng b.Tùy theo giá trị tham số lim x → −∞ Câu ( ( 2018π ;2019π ) ? m , tính giới hạn x3 + x + − x + x + + mx ) a Cho n số nguyên dương thỏa mãn Cn ; Cn ; Cn số hạng thứ nhất, thứ thứ 15 cấp số cộng Chứng minh rằng: (C ) +(C ) +(C ) 2 n +1 2 n +1 n +1 + … + ( C22nn+1 ) = C4263 b Cho lưới vng hình vẽ, có kiến di chuyển từ điểm A đến điểm B cách di chuyển cạnh để qua điểm nút lưới (điểm nút đỉnh hình vng nhỏ), bước di chuyển xuống di chuyển sang phải để đến điểm nút gần Biết đến điểm C kiến bị ăn thị Gỉa sử kiến di chuyển cách ngẫu nhiên khơng biết C gặp nguy hiểm Tính xác suất để kiến đến điểm B S ABCD có đáy hình chữ nhật tâm O , cạnh M , N trung điểm cạnh SA, BC Biết Câu Cho hình chóp tứ giác AB = a, AD = 2a Gọi SA = SB = SC = SD góc đường thẳng MN mặt phẳng ( ABCD ) 60° a Tính diện tích tam giác b Tính SBM theo a sin góc đường thẳng MN mặt phẳng Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! ( SBD ) Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Câu a Cho dãy số Đặt S n = u1 + u2 giới hạn 2 Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 ( un ) u1 = 2un u = , n ≥ 1, n ∈ ¥ n + u + + thỏa mãn n + u32 + + un Chứng minh dãy ( Sn ) b Cho tam giác có giới hạn hữu hạn tính ABC Tìm giá trị lớn biểu thức P = sin A + sin B + 12 sin C Hết HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT huunv92@gmail.com; Câu (5.0 điểm) a Cho phương trình ( sinx − cosx ) ( sin2x − 3) − sin2x − cos2x +1 = 2sinx − Hỏi phương trình có nghiệm thuộc khoảng b Tùy theo giá trị tham số lim x → −∞ ( ( 2018π ;2019π ) ? m , tính giới hạn x3 + x + − x + x + + mx ) Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Hữu ; Fb: Nguyễn Văn Hữu a Xét phương trình: ( sinx − cosx ) ( sin2x − 3) − sin2x − cos2x +1 = 2sinx − ( 1a ) π x ≠ + k 2π 2sinx − ≠ ⇔ sin x ≠ ⇔ (k , l ∈ ¢ ) π x ≠ + l 2π Điều kiện: Khi ( 1a ) trở thành: (sin x − cos x)(sin x − 3) − sin x − cos2 x + = ⇔ (sin x − cos x)(sin x − 3) − 2sin x ×cos x + 2sin x = ⇔ (sin x − cos x)(sin x − 3) + 2sin x(sin x − cos x) = ⇔ (sin x − cos x)(sin x + 2sin x − 3) = sin x − cos x = ( 2a ) ⇔ sin x + 2sin x − = ( 3a ) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Phương trình ( 2a ) ⇔ sin x − đầu ta được: Phương trình Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 x= π π ÷ = ⇔ x = + kπ Dựa vào điều kiện 4 5π + k 2π (k ∈ ¢ ) ( 3a ) ⇔ sin x + 2sin x = Vì − ≤ sin2x ≤ − ≤ sinx ≤ nên Dấu “ ” xảy = − ≤ sin x + 2sin x ≤ π π x = + k π x = + kπ ⇔ ⇔ x∈∅ sin x = ⇔ x = π + l 2π x = π + l 2π sin x + 2sin x = ⇔ 2 sin x = x= Vậy Mà Do b Tính 5π + k 2π (k ∈ ¢ ) x ∈ (− 2018π ;2019π ) ⇔ − 2018π < k∈ ¢ nên lim x → −∞ ( Nếu 5π + k 2π < 2019π ⇔ − 2018 < + 2k < 2019 4 k ∈ { − 1009, − 1008,… ,1008} ) suy ta có 2018 nghiệm x3 + x + − x + x + + mx m = −3 lim x → −∞ ( ( x + x + − x + x + − 3x ) ( ) = lim x3 + x + − x − x →−∞ ( ) x2 + x + + x ) ) ( 2 3 x + x + − x x + x + − x ( ) = lim − x →−∞ x2 + x + − x x3 + x + + x ×3 x + x + + x x3 + x + − x3 4x2 + 2x + − 4x2 = lim − x →−∞ 3 3 2 x × + + − x x + x + + x × x + x + + x x x2 x2 + x 2+ x x = lim − x → −∞ 2 x + ×1 x + x + + ×1 x + x3 + 1 − x + x + x + ( ) ) ( ( ( ) ) ( ( ) = + Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X ) Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC = Nếu m< −3 lim x → −∞ ( Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 x3 + x + − x + x + + mx ) ( ( = lim x3 + x + − x − x → −∞ = +∞ Nếu m > −3 lim x → −∞ ( = lim x → −∞ = −∞ ( ) ) x + x + + x + (m + 3) x x3 + x + − x + x + + mx x3 + x + − x − ) ( ) ) x + x + + x + (m + 3) x Conghanh.tn.1995@gmail.com Câu 2 a Cho n số nguyên dương thỏa mãn Cn ; Cn ; Cn số hạng thứ nhất, thứ thứ 15 cấp số cộng Chứng minh rằng: (C ) +(C ) +(C ) 2 n +1 2 n +1 n +1 + … + ( C22nn+1 ) = C4263 b Cho lưới vng hình vẽ, có kiến di chuyển từ điểm A đến điểm B cách di chuyển cạnh để qua điểm nút lưới (điểm nút đỉnh hình vng nhỏ), bước di chuyển xuống di chuyển sang phải để đến điểm nút gần Biết đến điểm C kiến bị ăn thị Gỉa sử kiến di chuyển cách ngẫu nhiên khơng biết C gặp nguy hiểm Tính xác suất để kiến đến điểm B Lời giải Tác giả: Nguyễn Công Hạnh, Fb: Nguyễn Công Hạnh Cn2 − Cn1 Cn3 − Cn1 ⇒ = a Theo giả thiết ta có Cn = Cn + 4d ; Cn = Cn + 14d 14 ⇔ 7( C − C ) = 2( C − C n n n ⇔ 2n2 − 27n + 55 = Với n ) ⇔ 2C − 7C + 5C = ⇔ n n n n(n − 1)(n − 2) n(n − 1) −7 + 5n = n = 11 ⇔ n = ( L) n = 11 , thử lại thỏa mãn cấp số cộng Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 (C ) +(C ) +(C ) Ta cần chứng minh 23 2 23 n xn (C ) +(C ) +(C ) +(C ) Do n n lẻ n + + ( Cnn−1 ) = C2nn với n lẻ 2 n n đẳng thức ta có … + ( Cnn ) = C2nn (1) n −1 n n −1 n C = C ; C = C ; ; C n n n n C + C + C + C Nên ( ) ( ) ( ) ( ) n 2 n (1 + x)2 n = (1 + x) n ( x + 1) n = ( Cn0 + Cn1 x + … + Cnn x n ) ( Cn0 x n + Cn1 x n− + … + Cnn ) Đồng hệ số n + + ( C2322 ) = C4623 (C ) +(C ) +(C ) Ta chứng minh tổng quát Xét khai triển 23 n 2 n n =C ( ) … + ( Cnn ) = ( Cn0 ) + ( Cn2 ) + ( Cn4 ) + … + ( Cnn −1 ) (C ) +(C ) +(C ) Thay vào (1) ta có n n +1 n 2 n n 2 2 + … + ( Cnn −1 ) = C2nn (đpcm) Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 b Kiến muốn đến B bắt buộc phải qua D m số cách từ A đến D Gọi n số cách từ D đến B Gọi Gọi k số cách từ D đến B mà không qua C Ta có số cách từ A đến B đến B mà không qua C m.n mk ; số cách từ A Ta có xác suất mà kiến đến B p= mk k = mn n Các cách từ D đến B mà có qua C : DCEFB; DCIFB; DCIKB; suy số cách từ D đến B mà có qua C Vì tính đối xứng lưới ô vuông 2x2 nên số cách từ D đến B mà không qua C Suy k = 3, n = Do p= k = n Tientuan194@gmail.com S ABCD có đáy hình chữ nhật tâm O , cạnh M , N trung điểm cạnh SA, BC Biết Câu Cho hình chóp tứ giác AB = a, AD = 2a Gọi SA = SB = SC = SD góc đường thẳng MN mặt phẳng ( ABCD ) 60° a Tính diện tích tam giác SBM theo a b Tính sin góc đường thẳng MN mặt phẳng Lời giải Tác giả: Đỗ Tiến Tuấn ; Fb: Đỗ Tiến Tuấn Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! ( SBD ) Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Vì SA = SC nên SO ⊥ AC Vì SB = SD nên SO ⊥ BD Do SO ⊥ ( ABCD ) SAC , MH ⊥ AC ( H ∈ AC ) ⇒ MH // SO ⇒ MH ⊥ ( ABCD ) Trong tam giác Theo giả thiết Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 · MNH = 60° a HQ = a ; QN = Kẻ HQ //AB Ta có 2 3a NH = HQ + QN = ÷ 4 Do 2 MH = NH tan 60° = 2 a 13a a 13 + ÷ = NH = 16 Suy 2 a 39 a 39 SO = 2MH = suy 1 39a 2 a 43 2 S = S = SK AB; SK = SO + KO = +a = Ta có ∆ SMB ∆ SAB 4 a 43 S = SK AB = Suy ∆SMB b Gọi P trung điểm SD , ta có tứ giác MPCN MN //CP Gọi α góc đường thẳng góc đường thẳng Kẻ hình bình hành suy CP MN mặt phẳng mặt phẳng ( SBD ) ` ( SBD ) , ta thấy α · CI ⊥ BD ⇒ CI ⊥ ( SBD ) ⇒ α = CPI Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tam giác BCD vng C có Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 CI đường cao, suy 1 1 2a = 2+ = + = ⇒ CI = 2 CI CB CD 4a a 4a Ta có sin α = CP = MN = NH = a 13 CI = CP 65 dangngocsangthd@gmail.com Câu 4a Cho dãy số u1 = 2un u = , n ≥ 1, n ∈ ¥ n +1 5un + + thỏa mãn Đặt ( un ) Sn = u12 + u22 + u32 + + un Chứng minh dãy ( Sn ) có giới hạn hữu hạn tính giới hạn Lời giải Tác giả: Đặng Ngọc Sáng ; Fb: dang ngoc sang Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh un Ta có: u n +1 = 2un = 5un + + ( 25u n+1 + 20un+1 + = 20un + ⇔ u 2n+1 = Do đó: ) ⇔ 5u 5un + − n +1 > 0, ∀ n ∈ ¥ + = 5un + ( un − un+1 ) Sn = u12 + u2 + u32 + + un = u12 + ( u1 − un ) = − un 5 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Chứng minh Thật vậy: uk +1 = Vì ( ( un ) dãy giảm u2 = ( ) uk +1 Ta chứng minh uk +1 > uk +2 ( Sn ) )⇒ 5uk +1 + − ( un ) dãy giảm mà un > 0, ∀ n ∈ ¥ Do dãy Đề HỌC SINH GIỎI TỐN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 uk +1 > uk +2 nên tồn lim un = l ( l ≥ l hữu hạn) có giới hạn hữu hạn Lấy giới hạn vế đẳng thức 5un+ + = 5un + ta có: 5l + = 5l + ⇔ l = Vậy lim Sn = b Cho tam giác ABC Tìm giá trị lớn biểu thức P = sin A + sin B + 12 sin C Lời giải Tác giả: Đặng Ngọc Sáng ; Fb: dang ngoc sang Ta có: ( ) sin A + sin B ≤ ( sin A + sin B ) = 4sin ⇒ sin A + sin B ≤ cos A+ B A− B C A− B C cos = 4cos cos ≤ 4cos 2 2 C ⇒ P ≤ cos C + sin C ≤ 2 cos C + sin C ÷ ÷ 2 Ta lại có: 2 C 3 3 1 2C cos + sin C ÷÷ ≤ cos + sin C ÷ = + cos C + ( − cos C ) = − cos C − ÷ ≤ 2 2 3 ⇒ cos C + sin C ≤ 2 ⇒ P≤2 = 24 3 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Vậy giá trị lớn biểu thức Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 P 24 Dấu "= " xảy khi: A = B C = arccos -Hết Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 10 Mã đề X
Ngày đăng: 02/05/2021, 14:54
Xem thêm:
