SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2019 - 2020 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) - Câu (1,75 điểm) 1) Giải phương trình x − x + = 2 x − y = − 2) Giải phương trình 3x + y = 18 3) Giải phương trình x + x − 18 = Câu (2,25 ñiểm) 1) Vẽ ñồ thị hai hàm số y = −1 x , y = x − mặt phẳng tọa độ 2) Tìm tham số thực m ñể hai ñường thẳng y = (m2 + 1) x + m y = x − song song với 3) Tìm số thực x ñể biểu thức M = 3x − − x2 − xác ñịnh Câu ( điểm) 1) Cho tam giác MNP vng N có MN = a , NP = a với < a ∈ ℝ Tính theo a diện tích xung quanh hình nón tạo tam giác MNP quay quanh ñường thẳng MN 2) Cho x1 , x2 hai nghiệm phương trình x − 3x + = Hãy lập phương trình bậc hai ẩn 2 có hai nghiệm 2x1 − (x2 ) 2x2 − (x1 ) 3) Bác B vay ngân hàng 100 triệu ñồng ñể sản xuất thời hạn năm Lẽ ñúng năm sau bác phải trả tiền vốn lẫn tiền lãi, song bác ñã ñược ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm năm nữa, số tiền lãi năm ñầu ñược gộp vào với tiền vốn để tính lãi năm sau lãi suất cũ Hết năm bác B phải trả tất 121 triệu ñồng Hỏi lãi suất cho vay ngân hàng phần trăm năm? Câu ( ñiểm) a + a a − a + 1) Rút gọn biểu thức P = ( với a ≥ a ≠ ) + a a − 4x − xy = 2) Tìm số thực x y thỏa mãn y − xy = − Câu (2,5 ñiểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) có hai đường cao BD CE cắt trực tâm H , ABC , BCA góc nhọn Biết ba góc CAB 1) Chứng minh bốn điểm B, C , D, E thuộc đường trịn 2) Chứng minh DE vng góc với OA 3) Cho M , N trung ñiểm hai ñoạn BC , AH Cho K , L giao ñiểm hai ñường thẳng OM CE , MN BD Chứng minh KL song song với AC Câu (0,5 ñiểm) Cho ba số thực a , b , c Chứng minh rằng: ( a2 − bc) 3 + (b − ca) + (c − ab) ≥ ( a − bc )(b − ca)(c − ab) HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ðỀ THI VÀO 10 MƠN TỐN – TỈNH ðỒNG NAI Câu (1,75 ñiểm) 1) Giải phương trình x − x + = 2 x − y = − 2) Giải phương trình 3x + y = 18 3) Giải phương trình x + x − 18 = Lời giải 1) Giải phương trình: x − x + = Ta có: ∆ = b − ac = (−7 ) − 4.2.6 = > x1 = + = 2.2 ⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt: − x = = 2.2 3 Vậy tập nghiệm phương trình là: S = ; 2 2 2 x − y = − 2) Giải hệ phương trình : 3x + y = 18 17 y = 51 y = 2 x − 3y = −5 6x − y = −15 x = ⇔ ⇔ ⇔ 3y − ⇔ − 3.3 x = x = y = 3x + y = 18 6x + 8y = 36 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm nhất: (x ; y ) = (2; 3) 3) Giải hệ phương trình: x + x − 18 = ðặt x = t (t ≥ ) Khi ta có phương trình ⇔ t + t − 18 = (1) Ta có: ∆ = + 4.18 = 121 > t1 = −7 + 121 = −7 + 11 = (tm) 2 ⇒ (1) có hai nghiệm phân biệt: t = −7 − 121 = −7 − 11 = −9 ( ktm) 2 Với t = ⇒ x = ⇔ x = ± { } Vậy phương trình cho có tập nghiệm: S = − ; Câu ( 2,25 ñiểm): 1) Vẽ ñồ thị hai hàm số y = −1 x , y = x − mặt phẳng tọa độ 2) Tìm tham số thực m ñể hai ñường thẳng y = (m2 + 1) x + m y = x − song song với 3) Tìm số thực x ñể biểu thức M = 3x − − xác ñịnh x −4 Lời giải 1) Vẽ ñồ thị hai hàm số y = −1 x , y = x − mặt phẳng tọa ñộ +) Vẽ ñồ thị hàm số y = − x 2 Ta có bảng giá trị: x -4 -2 y = − x2 -8 -2 -2 -8 Vậy ñồ thị hàm số y = − x ñường cong ñi qua ñiểm (−4; −8) , (−2; ) , (0; ) , (2; −2 ) , ( 4; −8) nhận trục Oy làm trục ñối xứng +) Vẽ ñồ thị hàm số y = x − Ta có bảng giá trị: x y = 2x − -1 -2 -5 Vậy ñường thẳng y = x − ñường thẳng ñi qua hai điểm: (0; −1) , (−2; −5) 2) Tìm tham số thực m ñể hai ñường thẳng y = (m2 + 1) x + m y = x − song song với Hai ñường thẳng y = (m2 + 1) x + m y = x − song song với m = 2 m + = m = ⇔ ⇔ ⇔ m = −1 ⇔ m = m ≠ −1 m ≠ −1 m ≠ −1 Vậy m = thỏa mãn tốn 3) Tìm số thực x ñể biểu thức M = 3x − − xác ñịnh x2 − 5 3x − ≥ 3x ≥ ≥ x x≥ ⇔ ⇔ Biểu thức M ñã cho xác ñịnh ⇔ ⇔ x − ≠ x ≠ x ≠ ±2 x ≠ Vậy biểu thức M xác ñịnh x ≥ , x ≠ Câu 3( ñiểm) (VD): 1) Cho tam giác MNP vng N có MN = a , NP = a với < a ∈ ℝ Tính theo a diện tích xung quanh hình nón tạo tam giác MNP quay quanh ñường thẳng MN 2) Cho x1 , x2 hai nghiệm phương trình x − 3x + = Hãy lập phương trình bậc hai ẩn 2 có hai nghiệm 2x1 − (x2 ) 2x2 − (x1 ) 3) Bác B vay ngân hàng 100 triệu ñồng ñể sản xuất thời hạn năm Lẽ ñúng năm sau bác phải trả tiền vốn lẫn tiền lãi, song bác ñã ñược ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm năm nữa, số tiền lãi năm ñầu ñược gộp vào với tiền vốn ñể tính lãi năm sau lãi suất cũ Hết năm bác B phải trả tất 121 triệu ñồng Hỏi lãi suất cho vay ngân hàng phần trăm năm? Lời giải 1) Cho tam giác MNP vuông N có MN = a , NP = a với < a ∈ ℝ Tính theo a diện tích xung quanh hình nón tạo tam giác MNP quay quanh ñường thẳng MN Khi xoay tam giác MNP vng N quanh đường thẳng MN ta hình nón có chiều cao h = MN = a bán kính đáy R = NP = 3a Áp dụng định lí Pytago tam giác vng MNP ta có: 2 MP = MN + NP = ( 4a) + (3a) = 25a2 ⇒ MP = 25 a = a ( Do a > ) Do hình nón có độ dài đường sinh l = MP = 5a Vậy diện tích xung quanh hình nón S xq = π Rl = π.3 a.5 a = 15π a 2) Cho x1 , x2 hai nghiệm phương trình x − 3x + = Hãy lập phương trình bậc hai ẩn 2 có hai nghiệm 2x1 − (x2 ) 2x2 − (x1 ) x + x = Phương trình x − 3x + = có nghiệm x1 , x2 ( gt) nên áp dụng định lí Vi-ét ta có: x x = Xét tổng tích sau: 2 S = x1 − (x2 ) + x2 − (x1 ) = (x1 + x2 ) − (x12 +22 ) = ( x1 + x2 ) − (x1 + x2 ) − x1 x2 = 2.3 − 32 − 2.1 = −1 2 P = x1 − (x2 ) x2 − (x1 ) = 4x1 x2 − x13 − x23 + (x1 x2 ) = 4x1 x2 − (x13 + x23 ) + (x1 x2 ) = 4.1 − 33 − 3.1.3 + 12 = −31 Ta có S2 = (−1) = ≥ 4P = −124 2 ⇒ x1 − ( x2 ) 2x2 − (x1 ) nghiệm phương trình X − SX + P = ⇔ X + X − 31 = 3) Bác B vay ngân hàng 100 triệu ñồng ñể sản xuất thời hạn năm Lẽ ñúng năm sau bác phải trả tiền vốn lẫn tiền lãi, song bác ñã ñược ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm năm nữa, số tiền lãi năm ñầu ñược gộp vào với tiền vốn để tính lãi năm sau lãi suất cũ Hết năm bác B phải trả tất 121 triệu ñồng Hỏi lãi suất cho vay ngân hàng phần trăm năm? Gọi lãi suất cho vay ngân hàng x ( %/năm) ( ðK: x > ) Số tiền lãi bác B phải trả sau năm gửi 100 triệu ñồng 100x% = x ( triệu ñồng) ⇒ Số tiền bác B phải trả sau năm 100 + x ( triệu ñồng) Do số tiền lãi năm ñầu ñược tính gộp vào với tiền vốn để tính lãi năm sau nên số tiền lãi bác B phải trả (100 + x) x sau năm (100 + x ) x% = ( triệu ñồng) 100 Hết năm bác B phải trả tất 121 triệu ñồng nên ta có phương trình: 100 + x + (100 + x ) x 100 = 121 ⇔ 10000 + 100 x + 100 x + x = 12100 ⇔ x + 200 x − 2100 = ⇔ x − 10 x + 210 x − 2100 = ⇔ x ( x − 10 ) + 210 (x − 10 ) = ⇔ (x − 10 )( x + 210 ) = x = 10 (tm) x − 10 = ⇔ ⇔ x + 210 = x = −210 ( ktm) Vậy lãi suất cho vay ngân hàng 10%/ năm Câu ( ñiểm) a + a a − a + ( với a ≥ a ≠ ) 1) Rút gọn biểu thức P = + a a − 4x − xy = x y 2) Tìm số thực thỏa mãn y xy − = − Lời giải a + a a − a + ( với a ≥ a ≠ ) a − + a 1) Rút gọn biểu thức: P = Với a ≥ a ≠ thì: ( ) a 1+ a a−2 a − a + a + a a − a + = P = + a a − 1+ a a −2 = a = a ( a ( ) ( a −2 − a −2 a −2 ) = a ( )( a −1 a −2 ) a −2 ) a −1 = a− a Vậy P = a − a 4x − xy = x y 1) Tìm số thực thỏa mãn y xy − = − 4x − xy = (1) y − 3xy = −2 ( ) Lấy (1) cộng (2 ) vế với vế ta ñược: x − xy + y − 3xy = ⇔ x − xy + y = ⇔ ( x − y) = ⇔ x − y = ⇔ y = x Thay y = x vào (2 ) ta ñược: ⇔ − x = −2 ⇔ x = ⇔ x = ±1 Với x = y = 2.1 = Với x = −1 y = 2.(−1) = −2 Vậy hệ có nghiệm (x ; y ) ∈ {(1; ) , (−1; −2 )} Câu (2,5 ñiểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) có hai đường cao BD CE cắt trực tâm H Biết ba , ABC , BCA ñều góc nhọn góc CAB 2) Chứng minh bốn điểm B, C , D, E thuộc đường trịn 3) Chứng minh DE vng góc với OA 4) Cho M , N trung ñiểm hai ñoạn BC , AH Cho K , L giao ñiểm hai ñường thẳng OM CE , MN BD Chứng minh KL song song với AC Lời giải Phương pháp: 1) Chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh góc 2) Kẻ tiếp tuyến Ax chứng minh Ax / /DE Cách giải: = 90° BD ⊥ AC ⇒ BDC 1) Ta có: CE ⊥ AB ⇒ CEB = 90° Tứ giác BEDC có BD C = BE C = 90° nên tứ giác nội tiếp ( tứ giá có hai đỉnh kề nhua nhìn cạnh góc nhau) Suy bốn ñiểm B , D , C , E thuộc đường trịn 2) Kẻ tiếp tuyến Ax với đường trịn (O) A Khi Ax ⊥ AO ( tính chất tiếp tuyến) Ta có: C Ax = CB A ( góc tạo tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung AC ) (1) = EDA ( góc ngồi đỉnh góc đối diên ñỉnh ñó) (2 ) Do tứ giác BEDC nội tiếp (cmt) ⇒ CBA ( ) = EDA = CBA Từ (1) (2 ) suy CAx Mà hai góc vị trí so le nên DE / /Ax Mà Ax ⊥ AO (cmt) nên DE ⊥ AO (ñpcm) Câu (0,5 ñiểm) Cho ba số thực a , b , c Chứng minh rằng: ( a2 − bc) 3 + (b − ca) + (c − ab) ≥ ( a − bc )(b − ca)(c − ab) Lời giải Phương pháp: - ðặt x = a − bc , y = b − ca , z = c − ab ñưa bất ñẳng thức cần chứng minh x + y + z ≥ 3xyz - Chứng minh ñẳng thức x + y + z3 − 3xyz = (x + y + z)(x + y + z2 − xy − yz − zx) - Từ đánh gái hiệu x + y + z − 3xyz kết luận ðặt x = a − bc , y = b − ca , z = c − ab Bất ñẳng thức cần chứng minh trở thành : x + y + z ≥ 3xyz Ta có: x + y + z3 − 3xyz = (x + y ) − 3xyz + z3 = (x + y) − 3xy (x + y) − 3xyz + z3 = ( x + y) + z3 − 3xy (x + y + z) = (x + y + z) (x + y ) − (x + y ) z + z2 − 3xy ( x + y + z) = (x + y + z) x + 2xy + y − xz − yz + z2 − 3xy = ( x + y + z)(x + y + z2 − xy − yz − zx) Dễ thấy: x + y + z − xy − yz − zx = = (x − xy + y + y − yz + z2 + z2 − zx + x ) 1 2 ( x − y ) + ( y − z) + ( z − x ) ≥ 0, ∀x , y , z Do ta ñi xét dấu x + y + z Ta có: x + y + z = a − bc + b − ca + c − ab = a2 + b + c − ab − bc − ca = 1 2 ( a − b) + (b − c ) + (c − a) ≥ 0, ∀a , b , c Suy x + y + z ≥ ⇒(x + y + z)(x + y + z2 − xy − yz − zx) ≥ 3 ⇒ x + y + z ≥ 3xyz hay ( a − bc ) + (b − ca) + (c − ab) ≥ ( a − bc )(b − ca)(c − ab) (ñpcm) Dấu “ =” xảy a = b = c ... 2100 = ⇔ x − 10 x + 210 x − 2100 = ⇔ x ( x − 10 ) + 210 (x − 10 ) = ⇔ (x − 10 )( x + 210 ) = x = 10 (tm) x − 10 = ⇔ ⇔ x + 210 = x = − 210 ( ktm) Vậy lãi suất cho vay ngân hàng 10% /... trả (100 + x) x sau năm (100 + x ) x% = ( triệu ñồng) 100 Hết năm bác B phải trả tất 121 triệu đồng nên ta có phương trình: 100 + x + (100 + x ) x 100 = 121 ⇔ 100 00 + 100 x + 100 x + x = 1 2100 ... B phải trả sau năm gửi 100 triệu ñồng 100 x% = x ( triệu ñồng) ⇒ Số tiền bác B phải trả sau năm 100 + x ( triệu ñồng) Do số tiền lãi năm đầu tính gộp vào với tiền vốn để tính lãi năm sau nên số