Tính khoảng cách giữa AM và B’C’ theo a.. Viết phương trình các cạnh AB, AC.[r]
(1)Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc ĐỀ THI KHẢO SÁT CHUYÊN ĐỀ LẦN I Trường THPT Bình Xuyên
- MƠN: TỐN; KHỐI 12 Năm học 2010 – 2011
Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian phát đề
ĐỀ BÀI Câu 1(3,0 điểm)
Cho hàm số y = x3 - 3mx2 - 3x + (Cm).
1 Khảo sát vẽ đồ thị (C0) hàm số m = Chứng minh qua điểm Mo 28;0
27
kẻ ba tiếp tuyến với (C0) có hai tiếp tuyến vng góc với
3 Tìm điều kiện m để (Cm) cắt đường thẳng (): y = - 3x +1 ba điểm phân biệt
Câu 2(2,0 điểm)
1 Giải phương trình: 8x3 2x x x 4 0
2 Giải phương trình: cos x2 cos3x 4sin x 2sin x cosx sin 6x 0 Câu 3(1,0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y = 2x2 + cos2x ;2 . Câu 4(2,0 điểm)
Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có AB =AD = a, AA’ = 2a Trên DD’ lấy M cho AM B’C
1 Tính khoảng cách AM B’C’ theo a Tính thể tích tứ diện MA’CD theo a
Câu 5(1,0 điểm)
Trong hệ trục Oxy cho ABC: A(1;2), phương trình đường trung tuyến BM
cạnh BC tam giác ABC tương ứng là: x -3 = 7x + 2y - 31 =
Viết phương trình cạnh AB, AC Câu 6(1,0 điểm)
Cho x, y, z > x + y + z = Chứng minh xy yz xz 27xyz
3 xyz
-Hết -Lưu ý: Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm.
Họ tên thí sinh: ………Số báo danh:……… …
(2)ĐÁP ÁN
CHẤM THI KHẢO SÁT CHUYÊN ĐỀ LẦN I - MƠN TỐN; KHỐI 12
Câu ý Đáp án Điểm
Câu I (3,0)
1 (1,0)
1/ Khi m =0 y x3 3x 2
Tập xác định: R Chiều biến thiên: y' 3x2 3
y’ = x = x = -1
lim yx ,
xlim y
Bảng biến thiên: 0,5
+ Hàm số đồng biến (; -1); (1; +); nghịch biến (-1;1)
+ Hàm số có cực đại x = -1, yCĐ = 4; cực tiểu x = 1, yCT =0 0,25 Đồ thị:
Đồ thị giao với Ox (1;0) (-2; 0); giao với Oy (0; 2)
0,25
2
(1,0) 2/ Phương trình đường thẳng qua điểm Mo
28;0 27
có hệ số góc k là: y k x 28
27
đường thẳng tiếp tuyến (Co)
3
3
2
28
x 3x k x 28
x 3x 3x x
27
27
3x k
0,25
(x - 1)(18x2 - 10x - 10) = x1 =1, x2 205, x3 205
18 18
Vậy có ba tiếp điểm thuộc (Co) với hồnh độ tìm qua Mo ta
0,5 x
y’ y
- -1 1 +
4
0 -
+
2
0
-1
-2 x
y
1
0 0 +
(3)-kẻ ba tiếp tuyến với đồ thị
Giả sử (d1),(d2), (d3) ba tiếp tuyến có hệ số góc tương ứng k1,k2 ,k3 Khi x1 =1 k1 =0 tiếp tuyến (d1) y =0 (trục Ox) (d2) (d3)
không thể vng góc với (d1)
k2 k3 = 2 2
2 3 3
3x 3x 9 x x x x 2x x 1
=
2
10 10 10
9 1
18 18 18
Vậy (d2) (d3) vuông góc
0,25
3 (1,0)
3/ (Cm) cắt đường thẳng (): y = -3x +1 ba điểm
g(x) = x3 - 3mx2 + = có ba nghiệm phân biệt
g(x) = x3 - 3mx2 + có cực đại cực tiểu gCĐ.gCT <
0,5 g’(x) = 3x2 - 6mx = 0 x
x 2m
Điều kiện toán 3
m m
m
g(0).g(2m) 4m
0,5
Câu II (2,0)
1 (1,0)
1/ Điều kiện x -3.(*)
Phương trình (2x)3 + 2x =
3
x 3 x 3 (1) 0,25
Đặt f(x) = x3 + x , f’(x) = 3x2 +1 > x R f(x) đồng biến /R.
Từ (1): f (2x) f x 3 2x x 3 0,25
2
x x 0
x
4x x
2x x
thỏa mãn (*) Vậy nghiệm phương trình x =
0,5
(1,0) 2/ Đặt t =cosx, điều kiện Phương trình t2 - [cos3x.(3 - 4sint 1 (*) 2x) + 2sinx].t + sin6x = (1). Phương trình dạng t2 - (a +b).t + ab = t a
t b
cos x 2sin x(2) (1)
cos x cos3x.(3 4sin x)(3)
0,25
+ (2) cosx = 2sinx cotx = x = arccot2 + k, k Z 0,25
+ (3) cosx = cos3x(3 - 4sin2x)
Nếu sinx =0 (cosx =1, cos3x =1) (cosx =-1, cos3x = -1)
không thỏa mãn (3)
Nếu sinx (3) sin2x = sin6x
(4)k
x ,k 2n 1,n Z
2
k
x ,k Z
8
Vậy nghiệm phương trình là: x = arccot2 + k; x = …
Câu III (1,0)
(1,0)
Ta thấy y = 2x2 + cos2x hàm chẵn R ta xét biến thiên hàm số [0; 2]
y’ = 4x - 2sin2x, y’’ = - 4cosx x [0; 2]
y’ đồng biến [0; 2] , y’(0) =
Vậy y’ x [0; 2] hàm số đồng biến [0; 2]
Vì hàm số chẵn hàm số nghịch biến [-2; 0] [- ; 0]
Hàm số có cực tiểu x =0
0,5
Ta có y(-) = 22 + 1, y(0) =1, y(2) = 82 +1
Vậy ;2 Maxy = 82 +1 x = 2
miny =1 x =0
0,5
Câu IV (2,0)
1 (1,0)
1/
Vì ABCDA’B’C’D’ hình hộp chữ nhật (ADD’A’)//(BCC’B’)
khoảng cách chúng AB = a
0,5
AM (ADD’A’), B’C’(BCC’B’) khoảng cách AM B’C’
là khoảng cách (ADD’A’) (BCC’B’) a 0,5
2 (1,0)
2/ Do A’D // B’C AM B’C AM A’D A’AD ADM (g,c,g)
2
AA' AD AD a a
DM
AD DM AA' 2a 2
0,25 Thể tích V(MA’CD) = V(CA”D’D) – V(CA’D’M) 0,25
A
B C
D A’
B’ C’
D’
M
y’ y’’ x
8
+
0 2
2a
a
(5)V(CA”D’D)
3
1 1 a
A'D'.D'D.CD a.2a.a
3
V(CA’D’M)
3
1 1 3a a
A'D'.D'M.CD a .a
3
V(MA’CD) =V(CA”D’D) – V(CA’D’M)
3 3
a a a
3 12
0,5
Câu V
(1,0) (1,0)
B giao BM BC B(3; 5) AB (2;3) , nAB (3; 2)
Phương trình AB: 3(x - 1) - 2(y - 2) = 3x - 2y +1 = 0,5
Giả sử C(xC,yC): C BC 7xC + 2yC - 31 =
Trung điểm AC BM C C C
1 x
3 x y
2
, C(5; -2)
AC (4; 4) nAC (1;1)
Phương trình AC: 1(x - 1) + 1(y - 2) = hay x + y - =
0,5
Câu VI (1,0)
(1,0)
27xyz xy yz xz
3 xyz
(1)
Ta có xy yz xz (xyz) (Cơxi)3
Đặt t 3 xyz 0 , = x +y +z 3 xyz3 t
3
0,25
(1) chứng minh
3
3
27t 3t
3 t
với <
1 t
3
(2) 0,25
Ta có (2) + t3 > 9t f(t) = t3 - 9t +3 >0
f’(t) = 3t2 - <
<t
nên f(t) nghịch biến 0;1
1
0 t
1
f (t) f (t) f
3 27
(đpcm)
0,5
… Hết… Lưu ý: Đáp án có trang.
Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa theo thang điểm cho.