Đề thi chuyen đề 12 lần 1

Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc ĐỀ THI KHẢO SÁT CHUYÊN ĐỀ LẦN I Trường THPT Bình Xuyên -------------------- MÔN: TOÁN; KHỐI 12 Năm học 2010 – 2011 Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian phát đề ĐỀ BÀI Câu 1(3,0 điểm) Cho hàm số y = x 3 - 3mx 2 - 3x + 2 (C m ). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C 0 ) của hàm số khi m = 0. 2. Chứng minh rằng qua điểm M o 28 ;0 27    ÷   kẻ được ba tiếp tuyến với (C 0 ) trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. 3. Tìm điều kiện của m để (C m ) cắt đường thẳng (∆): y = - 3x +1 tại ba điểm phân biệt. Câu 2(2,0 điểm) 1. Giải phương trình: ( ) 3 8x 2x x 3 x 4 0 + − + + = . 2. Giải phương trình: ( ) 2 2 cos x cos3x 3 4sin x 2sin x cosx sin6x 0   − − + + =   . Câu 3(1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = 2x 2 + cos2x trên [ ] ;2 −π π . Câu 4(2,0 điểm) Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có AB =AD = a, AA’ = 2a. Trên DD’ lấy M sao cho AM ⊥ B’C. 1. Tính khoảng cách giữa AM và B’C’ theo a. 2. Tính thể tích tứ diện MA’CD theo a. Câu 5(1,0 điểm) Trong hệ trục Oxy cho ∆ABC: A(1;2), phương trình đường trung tuyến BM và cạnh BC của tam giác ∆ABC tương ứng là: x -3 = 0 và 7x + 2y - 31 = 0. Viết phương trình các cạnh AB, AC. Câu 6(1,0 điểm) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Chứng minh rằng 27xyz xy yz xz 3 xyz + + > + . ---------Hết-------- Lưu ý: Thí sinh không sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh: …………………………………Số báo danh:……………… … ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN CHẤM THI KHẢO SÁT CHUYÊN ĐỀ LẦN I - MÔN TOÁN; KHỐI 12 Câu ý Đáp án Điểm Câu I (3,0) 1. (1,0) 1/ Khi m =0 3 y x 3x 2= − + Tập xác định: R. Chiều biến thiên: 2 y' 3x 3= − → y’ = 0 ↔ x = 1 hoặc x = -1 x lim y →∞ = ∞ , x lim y →−∞ = −∞ Bảng biến thiên: 0,5 + Hàm số đồng biến trên (∝; -1); và (1; +∝); nghịch biến trên (-1;1). + Hàm số có cực đại tại x = -1, y CĐ = 4; cực tiểu tại x = 1, y CT =0. 0,25 Đồ thị: Đồ thị giao với Ox tại (1;0) và (-2; 0); giao với Oy tại (0; 2). 0,25 2. (1,0) 2/ Phương trình đường thẳng qua điểm M o 28 ;0 27    ÷   có hệ số góc k là: 28 y k x 27   = −  ÷   đường thẳng là tiếp tuyến của (C o ) ↔ ( ) 3 3 2 2 28 x 3x 2 k x 28 x 3x 2 3x 3 x 27 27 3x 3 k    − + = −     ÷ → − + = − −     ÷    − =  0,25 ↔ (x - 1)(18x 2 - 10x - 10) = 0 ↔ x 1 =1, 2 3 5 205 5 205 x ,x 18 18 − + = = Vậy có ba tiếp điểm thuộc (C o ) với hoành độ tìm được → qua M o ta 0,5 x y’ y -∞ +∝ -1 1 4 0 -∝ +∝ 2 4 0 1 -1-2 x y 1 0 0 ++ - kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị. Giả sử (d 1 ),(d 2 ), (d 3 ) là ba tiếp tuyến có hệ số góc tương ứng k 1 ,k 2 ,k 3 Khi x 1 =1→ k 1 =0 tiếp tuyến (d 1 ) y =0 (trục Ox) →(d 2 ) và (d 3 ) không thể vuông góc với (d 1 ). k 2 .k 3 = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3x 3 3x 3 9 x x x x 2x x 1   − − = − + + +   = 2 2 10 10 10 9 2. 1 1 18 18 18       − − + = −    ÷  ÷       . Vậy (d 2 ) và (d 3 ) vuông góc nhau. 0,25 3. (1,0) 3/ (C m ) cắt đường thẳng (∆): y = -3x +1 tại ba điểm ↔ g(x) = x 3 - 3mx 2 + 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt ↔ g(x) = x 3 - 3mx 2 + 1 có cực đại cực tiểu và g CĐ .g CT < 0 0,5 g’(x) = 3x 2 - 6mx = 0 x 0 x 2m. =  ↔  =  Điều kiện bài toán ↔ 3 3 m 0 m 0 1 m . g(0).g(2m) 0 4m 1 0 4  ≠ ≠  ↔ ↔ >   < − + <   0,5 Câu II (2,0) 1. (1,0) 1/ Điều kiện x ≥ -3.(*) Phương trình ↔ (2x) 3 + 2x = ( ) 3 x 3 x 3 + + + (1) 0,25 Đặt f(x) = x 3 + x , f’(x) = 3x 2 +1 > 0 ∀x ∈R →f(x) luôn đồng biến /R. Từ (1): ( ) f (2x) f x 3 2x x 3 = + ↔ = + 0,25 ( ) 2 2 x 0 x 0 x 1 4x x 3 0 2x x 3 ≥  ≥   ↔ ↔ ↔ =   − − = = +    thỏa mãn (*). Vậy nghiệm phương trình x = 1. 0,5 2. (1,0) 2/ Đặt t =cosx, điều kiện t 1 ≤ (*). Phương trình ↔ t 2 - [cos3x.(3 - 4sin 2 x) + 2sinx].t + sin6x = 0 (1). Phương trình dạng t 2 - (a +b).t + ab = 0 t a t b =  ↔  =  . 2 cosx 2sin x(2) (1) cosx cos3x.(3 4sin x)(3) =  ↔  = −  0,25 + (2) ↔ cosx = 2sinx ↔ cotx = 2 ↔ x = arccot2 + kπ, k ∈Z. 0,25 + (3) ↔ cosx = cos3x(3 - 4sin 2 x) Nếu sinx =0 → (cosx =1, cos3x =1) hoặc (cosx =-1, cos3x = -1) không thỏa mãn (3) Nếu sinx ≠ 0 khi đó (3) ↔ sin2x = sin6x k x ,k 2n 1,n Z 2 k x ,k Z 8 4 π  = = + ∈  ↔  π π  = + ∈   0,5 Vậy nghiệm của phương trình là: x = arccot2 + kπ; x = … Câu III (1,0) (1,0) Ta thấy y = 2x 2 + cos2x là hàm chẵn trên R ta xét sự biến thiên của hàm số trên [0; 2π]. y’ = 4x - 2sin2x, y’’ = 4 - 4cosx ≥ 0 ∀x ∈[0; 2π] → y’ đồng biến trên [0; 2π] , y’(0) = 0. Vậy y’≥ 0 ∀x ∈[0; 2π] → hàm số đồng biến trên [0; 2π]. Vì hàm số chẵn → hàm số nghịch biến trên [-2π; 0] ⊃ [- π; 0]. Hàm số có cực tiểu tại x =0. 0,5 Ta có y(-π) = 2π 2 + 1, y(0) =1, y(2π) = 8π 2 +1. Vậy trên [ ] ;2 −π π Maxy = 8π 2 +1 khi x = 2π miny =1 khi x =0. 0,5 Câu IV (2,0) 1. (1,0) 1/ Vì ABCDA’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật →(ADD’A’)//(BCC’B’) và khoảng cách giữa chúng bằng AB = a. 0,5 AM ⊂(ADD’A’), B’C’⊂(BCC’B’) → khoảng cách giữa AM và B’C’ là khoảng cách giữa (ADD’A’) và (BCC’B’) bằng a 0,5 2. (1,0) 2/ Do A’D // B’C và AM ⊥B’C → AM ⊥A’D → ∆A’AD ∼∆ADM (g,c,g) ↔ 2 2 AA' AD AD a a DM AD DM AA' 2a 2 = ↔ = = = 0,25 Thể tích V (MA’CD) = V (CA”D’D) – V (CA’D’M) 0,25 V (CA”D’D) 3 1 1 1 a . A'D'.D'D.CD a.2a.a 3 2 6 3 = = = . V (CA’D’M) 3 1 1 1 3a a . A'D'.D'M.CD a. .a 3 2 6 2 4 = = = . 0,5 A B C D A’ B’ C’ D’ M x y’’ y’ 0 + 0 2π 8π 2a a a 2 V (MA’CD) =V (CA”D’D) – V (CA’D’M) 3 3 3 a a a . 3 4 12 = − = Câu V (1,0) (1,0) B là giao của BM và BC → B(3; 5). AB (2;3)= uuur , AB n (3; 2)= − r . Phương trình AB: 3(x - 1) - 2(y - 2) = 0 ↔ 3x - 2y +1 = 0 0,5 Giả sử C(x C ,y C ): C∈ BC ↔ 7x C + 2y C - 31 = 0. Trung điểm AC∈ BM C C C 1 x 3 0 x 5 y 2 2 + ↔ − = ↔ = → = − , C(5; -2) AC (4; 4) = − uuur AC n (1;1) ↔ = r . Phương trình AC: 1(x - 1) + 1(y - 2) = 0 hay x + y - 3 = 0. 0,5 Câu VI (1,0) (1,0) 27xyz xy yz xz 3 xyz + + > + . (1) Ta có 2 3 xy yz xz 3 (xyz) (Côxi) + + ≥ Đặt 3 t xyz 0= > , 1 = x +y +z 3 3 xyz≥ → 1 t 3 ≤ 0,25 (1) được chứng minh nếu 3 2 3 27t 3t 3 t > + với 0 < 1 t 3 ≤ . (2) 0,25 Ta có (2) ↔ 3 + t 3 > 9t ↔ f(t) = t 3 - 9t +3 >0 vì f’(t) = 3t 2 - 9 < 0 ∀ 0 < 1 t 3 ≤ nên f(t) nghịch biến trên 1 0; 3       . → 1 0 t 3 1 1 f (t) minf (t) f 0 3 27 < ≤   ≥ = = >  ÷   (đpcm). 0,5 … Hết… Lưu ý: Đáp án có 4 trang. Học sinh làm theo cách khác đúng cho điểm tối đa theo thang điểm đã cho. 3 4 . Vĩnh Phúc ĐỀ THI KHẢO SÁT CHUYÊN ĐỀ LẦN I Trường THPT Bình Xuyên -------------------- MÔN: TOÁN; KHỐI 12 Năm học 2 010 – 2 011 Thời gian làm bài: 18 0 phút. 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3x 3 3x 3 9 x x x x 2x x 1   − − = − + + +   = 2 2 10 10 10 9 2. 1 1 18 18 18       − − + = −    ÷  ÷      