Như chúng ta đã biết có nhiều trường hợp giải một phương trình vô tỷ mà ta biến đổi tương đương sẽ ra một phương trình phức tạp , có thể là bậc quá cao ...Có lẽ phương pháp hữu hiệu nhấ[r]
(1)Ta xét qua số ví dụ nhé! Bài tốn:
a/ Hãy tìm ƯCLN BCNN 34 56
b/ Hãy tìm ƯCLN có của Câu a câu áp dụng phép chia Euclid: Ta có:
Suy
Câu b áp dụng phép chia Euclid nhiên phức tạp chút có chứa ẩn số k Ta thực phép chia bình thường, giống chia đa thức
Vậy khi (với
)
Bài toán cịn giải theo cách khác:
Đặt Ta có
Lời giải thật ngắn gọn, nhiên làm phải xác định trường hợp k Trong trường hợp này, phải giải phương trình nghiệm nguyên sau: Tìm k cho: đến kết tương tự cách
Ta rút toán tổng quát: Cho số nguyên tố Tìm tất giá trị
có thể có của:
Bằng ý tưởng cách Ta đặt Ta có:
hoặc Cả trường hợp xảy phương trình cho ta nghiệm theo Trong trường hợp , trường hợp lại ta thu
được:
(2)Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình vơ tỷ A Lời đầu
Qua viết muốn giới thiệu cho bạn số kĩ đặt ẩn phụ giải phương trình vơ tỷ Như biết có nhiều trường hợp giải phương trình vơ tỷ mà ta biến đổi tương đương phương trình phức tạp , bậc cao Có lẽ phương pháp hữu hiệu để giải vấn đề đặt ẩn phụ để chuyển phương trình đơn giản dễ giải
Có bước phương pháp : - Đặt ẩn phụ gán điều kiện cho ẩn phụ
- Đưa phương trình ban đầu phương trình có biến ẩn phụ
Tiến hành giải phương trình vừa tạo Đối chiếu với điều kiện để chọn ẩn phụ thích hợp
Trường Quốc học Huế :
a Tìm số thực u, v biết b Giải phương trình :
2 Cho đường trịn (O) có đường kính BD = 2R , dây AC O vng góc với BD H Gọi P, Q, R, S theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ H đến AB, AD, CD, CB
a Chứng minh :
b Chứng minh tứ giác PQRS tứ giác nội tiếp c Chứng minh :
3
a Đặt Chứng tỏ :
b Chứng tỏ :
với số thực x, y, z Suy a, b, c số dương ta ln có :
c Phân chia số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 thành nhóm tùy ý nhóm có số Gọi tích số nhóm thứ , tích số nhóm thứ hai thứ ba Hỏi tổng = ?
4 Một thùng sắt đậy kín hình lập phương Biết thùng chứa khối có dạng hình cầu bán kính làm băng chất liệu rắn
(3)5 Chứng minh :
- Giải phương trình cho ẩn phụ vừa tìm kết luận nghiệm * Nhận xét :
- Cái mấu chốt phương pháp bước Lí định đến tồn lời giải hay, dở , ngắn hay dài toán
- Có phương pháp đặt ẩn phụ mà chúng tơi muốn nêu viết :
+ PP Lượng giác hoá
+ PP dùng ẩn phụ không triệt để + PP dùng ẩn phụ đưa dạng tích + PP dùng ẩn phụ đưa hệ
Sau viết :
B Nội dung phương pháp I Phương pháp lượng giác hố
1 Nếu ta đặt
Ví dụ :
Lời giải : ĐK : Đặt Phương trình cho trở thành :
cos( )( ) =
Kết hợp với điều kiện t suy : Vậy phương trình có nghiệm : Ví dụ :
Lời giải : ĐK : Khi VP > Nếu
Nếu
(4)( ) ( ) = Vậy nghiệm phương trình Ví dụ :
Lời giải : ĐK : Đặt
phương trình cho trở thành :
Vậy phương trình có nghiệm Ví dụ (TC THTT):
HD :
Nếu : phương trình khơng xác định Chú ý với ta có :
vậy để giải phương trình (1) ta cần xét với Đặt
khi phương trình cho trở thành : Nếu ta đặt :
Ví dụ : Lời giải : ĐK : Đặt
(5)kết hợp với điều kiện t suy Vậy phương trình có nghiệm : TQ :
Ví dụ : Lời giải : ĐK : Đặt
phương trình cho trở thành :
(thỏa mãn) TQ :
với a,b số cho trước :
3 Đặt để đưa phương trình lượng giác đơn giản :
Ví dụ : (1)
Lời giải :
Do khơng nghiệm phương trình nên :
(1) (2)
Đặt
Khi (2) trở thành :
Suy (1) có nghiệm :
Ví dụ : Lời giải : ĐK : Đặt
(6)Kết hợp với điều kiện su : Vậy phương trình có nghiệm :
4 Mặc định điều kiện : sau tìm số nghiệm số nghiệm tối đa phương trình kết luận :
Ví dụ : Lời giải :
phương trình cho tương đương với : (1)
Đặt :
(1) trở thành :
Suy (1) có tập nghiệm :
Vậy nghiệm phương trình cho có tập nghiệm S II Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để
* Nội dung phương pháp :
Đưa phương trình cho phương trình bậc hai với ẩn ẩn phụ ẩn phương trình cho :
Đưa phương trình dạng sau : :
Đặt Phương trình viết thành :
Đến giải t theo x Cuối giải phương trình sau đơn giản hóa kết luận :
Ví dụ 10 : (1)
(7)Lúc : (1)
Phương trình trở thành : Giải phương trình với ẩn t , ta tìm :
Do nên khơng thỏa điều kiện Với :
( thỏa mãn điều kiên Ví dụ 11 :
Lời giải : ĐK :
Đặt
phương trình cho trở thành :
* Với , ta có :
(vơ nghiệm : )
* Với , ta có :
Do khơng nghiệm phương trình nên :
Bình phương hai vế rút gọn ta : (thỏa mãn) TQ :
Ví dụ 12 : Lời giải :
Đặt
Phương trình cho viết thành :
Từ ta tìm Giải :
(8)phương pháp cụ thể ví dụ Ở dừng lại với việc chọn ẩn phụ khơng dễ để giải trọn vẹn Vấn đề việc kheo léo biến đổi phần lại để làm biến hệ số tự , việc gải t theo x thực dễ dàng
ví dụ 13 : Lời giải : ĐK :
Đặt
phương trình cho trở thành :
Giải : (loại)
* ta có :
Vậy nghiệm phương trình cho ví dụ 14 :
Lời giải : ĐK : Đặt
Phương trình cho trở thành :
Phương trình đơn giản !!!!!!!
FONT=Times New Roman]III Phương pháp dùng ẩn phụ đưa dạng tích[/font] Dùng ẩn phụ
Ví dụ 15 : (1)
Lời giải : ĐK :
Đặt
phương trình (1) trở thành :
(2) giải đựoc cách áp dụng phương pháp I :
Đặt để đưa dạng :
TQ :
Với a hắng số cho trước
Ví dụ 16 : (1)
(9)Viết lại (1) dạng :
(2)
Đặt
Khi (2) trở thành :
Do * Ta có :
* Ta có :
Vậy phương trình cho có nghiệm : Ví dụ 17 :
Lời giải : ĐK : (1)
Đặt (2)
phương trình cho trở thành : (3)
Đối chiếu với hai điều kiện (1) (2) thay vào giải : Ví dụ 18 :
Lời giải : ĐK : (1) Đặt
Khi :
phương trình cho trở thành :
Vì nên :
t^2 + t - 1003 <
(10)Do (thỏa (1)) Dùng ẩn phụ Ví dụ :
Lời giải : Đặt
* *
Ví dụ 20 : (1)
Lời giải : ĐK : (*)
Đặt ta có :
(1) trở thành :
(Do )
Tìm x ta giải :
(Thỏa (*)) Vậy (1) có nghiệm : Ví dụ 21 :
Lời giải : ĐK :
Chuyển vế bình phương hai vế phương trình : (2)
Đặt
(11)* ta có :
* ta có :
Giải ta nghiệm thỏa mãn : Ví dụ 22 :
lời giải : ĐK : Đặt :
Từ phương trình ta :
( Do )
từ ta giải nghiệm : Dùng ẩn phụ
Ví dụ 23 : Lời giải :
Đặt ta có :
(1)
Mặt khác : (2)
Từ (1) (2) ta có : Nên :
từ dễ dàng tìm nghiệm phương trình :
Ví dụ 24 : (1)
(12)Suy :
khi từ (1) ta có :
Giải ví dụ 23 suy nghiệm phương trình :
III Phương pháp dùng ẩn phụ đưa hệ
1 Dùng ẩn phụ đưa hệ đơn giản giải phép rút gọn theo vế a Dùng ẩn phụ
Ví dụ 25 : Lời giải :ĐK :
Đặt Ta có :
TQ :
b Dùng ẩn phụ * ND :
* Cách giải : Đặt :
(13)Ví dụ 26 : (1) Lời giải : ĐK :
Đặt Khi : (1)
(Do hệ : : vơ nghiệm )
hoặc
Đến việc thay vào để tìm nghiệm phương trình ban đầu Ví dụ 27 :
Lời giải : ĐK : Đặt :
Với : (*) Như ta hệ :
Giải (1) : (1)
( )
(14)Ví dụ 28 : Lời giải : Đặt :
(2) (1)
2 Dùng ẩn phụ đưa hệ đối xứng Dạng :
CG : Đặt ta có hệ :
Ví dụ 29 : Lời giải :
Đặt : ta có :
(1)
(2) : Vô nghiệm
(15)Dạng : CG : ĐẶt PT
Ví dụ 30 : Lời giải : ĐK :
Đặt : (1)
PT
Lấy (3) trừ (2) ta :
(1)
(Do )
Dạng : Chọn ẩn phụ từ việc làm ngược : Ví dụ 31 :
Lời giải : ĐK :
Đặt
Chọn a, b để hệ :
( ) (*)
là hệ đối xứng
Lấy ta hệ :
Giải hệ ta :
Đối chiếu với điều kiện hệ (*) ta nghiệm phương trình :
Dạng :
Nội dung phương pháp :
Cho phương trình : Với hệ số thỏa mãn :
(16)Đặt
Ví dụ 32 : Lời giải : ĐK : PT
- Kiểm tra : Đặt :
(1)
Mặt khác : (2)
Từ (1) (2) ta có hệ :
Đây hệ đỗi xứng loại II biết cách giải Ví dụ 33 :
Lời giải : PT
- Kiểm tra : Đặt :
(1)
Mặt khác : (2)
Từ (1) (2) ta có hệ :
Ví dụ 34 : Lời giải : PT
- Kiểm tra : Đặt :
(17)Mặt khác : (2) Từ (1) (2) ta có hệ :