Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 môn Toán phần hình học

(Người với sách, Trường Athena củaRafaeln) .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com (O) (O; R) ABC SABC (ABC) a, b, c ha, hb, hc ma, mb, mc la, lb, lc R, r ra, rb, rc đpcm 2p CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG CHUYÊN ĐỀ : Đường trịn tâm O : Đường trịn tâm O, bán kính R : Tam giác ABC : Diện tích ABC : Đường trịn ngoại tiếp ABC : Độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C ABC : Độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A, B, C ABC : Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A, B, C ABC : Độ dài đường phân giác xuất phát từ đỉnh A, B, C ABC : Bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác : Bán kính đường tròn bàng tiếp đối diện với đỉnh A, B, C ABC : Điều phải chứng minh abc : Chu vi tam giác (p = nửa chu vi) n a k = a1 + a + + a n : Tổng n số hạng từ a1 đến an = a1a a n : Tích n số hạng từ a1 đến an k=1 n a k k=1 TỔNG KẾT KIẾN THỨC Đường thẳng: Định nghĩa: Một đường thẳng hiểu đường dài (vô tận), mỏng (vô cùng) thẳng tuyệt đối Tiên đề Ơ'Clit: Qua hai điểm ta ln xác định đường thẳng đường thẳng Kí hiệu: Người ta thường dùng chữ in thường a, b, c, , m, n, p để đặt tên cho đường thẳng dùng hai chữ in hoa hay hai chữ in thường để đặt tên cho đường thẳng Ví dụ: AB, xy, y x A B Điểm không thuộc đường thẳng: Điểm A không nằm đường thẳng a, điểm A không thuộc đường thẳng a (hay nói cách khác đường thẳng a khơng qua điểm A) Kí hiệu: A  a Đoạn thẳng: Định nghĩa: Đoạn thẳng AB hình gồm điểm A, điểm B tất điểm nằm A B B A Hai điểm A B gọi hai đầu mút (hay gọi hai mút) đoạn thẳng AB Lưu ý: Điểm M nằm A B AM + MB = AB A, M, B thẳng hàng A M B Tia: Tia hình gồm điểm O phần đường thẳng bi chia điểm O gọi tia gốc O (có hai tia Ox Oy hình vẽ) Biên soạn: Trần Trung Chính .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: x y O Hai tia có chung góc O tạo thành đường thẳng gọi hai tia đối (hai tia Ox Oy hình vẽ hai tia đối nhau) Điểm: Để kí hiệu điểm, người ta dùng chữ in hoa A, B, C, Bất hình tập hợp điểm Trung điểm đoạn thẳng: Trung điểm M đoạn thẳng AB điểm nằm hai điểm A, B cách hai điểm A B M B A Trung điểm M đoạn thẳng AB cịn gọi điểm đoạn thẳng AB Lưu ý: Điểm hai điểm khác với điểm nằm hai điểm Mặt phẳng: Nửa mặt phẳng bờ a: Hình gồm đường thẳng a phần mặt phẳng bị chia a gọi nửa mặt phẳng bờ a a Mặt phẳng hai nửa mặt phẳng hợp lại theo phương (phương vectơ) định u d P Q Góc: Góc nhọn Góc vng Góc bẹt Góc tù B A Góc phản Biên soạn: Trần Trung Chính Góc đầy Góc khối B A Đường phân giác .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com R R Chia đơi góc compa thước kẻ Góc ngồi tam giác Góc đối đỉnh Góc tâm đường trịn (1) Hai góc phụ hai góc có tổng số đo 900 x y O z  góc yOz  hai góc phụ Góc xOy (2) Hai góc bù hai góc có tổng số đo 1800 y O x z  góc yOz  hai góc bù Góc xOy (3) Hai góc so le trong: Cho hai đường thẳng a //b đường thẳng c cắt a, b A, B c A a b 2 B Khi đó:  B  A  B  A 1 2 (4) Hai góc đồng vị: Cho hai đường thẳng a //b đường thẳng c cắt a, b A, B Khi đó: =B , A  B , A  B , A  B  A 1 2 3 Biên soạn: Trần Trung Chính .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: A a b c 4 B Tam giác: 7.1 Kí hiệu: Tam giác ABC kí hiệu ABC Một tam giác ABC có ba đỉnh (góc) A, B, C ba cạnh AB, BC, CA 7.2 Các đường tam giác: Đường cao: Là đoạn thẳng nối đỉnh vuông góc với cạnh đối diện đỉnh Một tam giác có ba đường cao Giao điểm ba đường cao gọi trực tâm tam giác Trong ABC, có đường cao AH, BK, CF A K F B C H Đường trung tuyến: Là đường thẳng kẻ từ đỉnh qua trung điểm cạnh đối diện với đỉnh Một tam giác có ba đường trung tuyến Giao điểm ba đường trung tuyến gọi trọng tâm tam giác A M B N G P C Trong ABC, có đường trung tuyến AP, BN, CM Độ dài đường trung tuyến: BG AG CG = = = BN AP CM GN GP GM = = = BN AP CM GN GP GM = = = GB GA GC Đường trung trực: Là đường thẳng vng góc với cạnh trung điểm Một tam giác có ba đường trung trực Giao điểm ba đường trung trực gọi tâm đường ngoại tiếp tam giác Biên soạn: Trần Trung Chính .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com d B A Đường thẳng (d) đường trung trực đoạn thẳng AB A O B C Điểm O giao điểm ba đường trung trực Đường phân giác: Là đường thẳng chia góc thành hai góc có số đo Một tam giác có ba đường phân giác Giao điểm ba đường phân giác gọi tâm đường nội tiếp tiếp tam giác Trong ABC có: OM = ON = ON A N P C M Đường trung bình: Là đường thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác Một tam giác có ba đường trung bình Tam giác tạo ba đường trung bình đồng dạng với tam giác cho B A M B N C MN gọi đường trung bình tam giác Ta có: MN // BC MN  BC 7.3 Phân loại tam giác: Tam giác nhọn: Là tam giác có ba góc nhọn (số đo ba góc < 900) Biên soạn: Trần Trung Chính .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: A B C Tam giác đều: Là tam giác có ba cạnh ba góc Trong tam giác đều, đường cao đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực A 600 600 600 B C Tam giác cân: Là tam giác có hai cạnh hai góc đáy A B C Tam giác vuông: Là tam giác có góc vng (bằng 90 ) Trong tam giác vng, cạnh đối diện với góc vuông gọi cạnh huyền cạnh lớn   900 BC2 = AB2 + AC2 Đây hệ thức hệ thức Pitago Cho ABC, có A B A C Định lý PITAGO: Định lý thuận: Trong tam giác vng, bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vng BC2 = AB2 + AC2 Định lý đảo: Tam giác có tổng bình phương cạnh tổng bình phương hai cạnh cịn lại tam giác vuông Nếu tam giác ABC thỏa mãn BC2 = AB2 + AC2 ABC tam giác vng A Biên soạn: Trần Trung Chính .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com 7.4 Tính chất cạnh góc tam giác: Tính chất 1: Cho tam giác ABC, tổng ba góc:  B  C   1800 A Tính chất 2: Độ dài cạnh lớn hiệu độ dài hai cạnh nhỏ tổng độ dài chúng AB + BC > AC > |AB - BC| Tính chất 3: Trong hai cạnh tam giác, cạnh đối diện với góc lớn cạnh lớn Góc đối diện với cạnh lớn góc lớn  B   C  BC  AC  AB  A 7.5 Diện tích tam giác: (1) Cơng thức tính diện tích tam giác: S  b.h b độ dài cạnh h độ dài đường cao ứng với cạnh b h (2) Công thức Heron: S  p  p  a  p  b  p  c  b b  a  b  c  nửa chu vi tam giác Đường tròn: 8.1 Khái niệm: Đường tròn tâm O bán kính R (với R > 0) hình gồm điểm cách điểm O cho trước khoảng khơng đổi R p  R O Kí hiệu: (O; R), ta có kí hiệu (O) Lưu ý: - Qua ba điểm không thẳng hàng ta xác định đường tròn - Một đường trịn có tâm đối xứng tâm đường trịn - Một đường trịn có vơ số trục đối xứng đường kính đường trịn D C A B O 8.2 Đường kính dây cung: Định lý 1: Trong dây đường trịn, dây lớn đường kính AB đường kính, CD dây cung AB > CD Định lý 2: Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây Nếu OH  AB H AH = HB Định lý 3: Trong đường tròn, đường kính qua trung điểm O dây khơng qua tâm vng góc với dây 8.3 Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây: Định lý 1: Trong đường tròn: A B H Hai dây cách tâm Nếu AB = CD OM = ON C Hai dây cách tâm A A Nếu OM = ON AB = CD O O Định lý 2: Trong hai dây đường tròn: N Dây lớn dây gần tâm M C M N Nếu AB > CD OM < ON Dây gần tâm dây lớn D B D B Nếu OM < ON AB > CD Biên soạn: Trần Trung Chính .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: 8.4 Khoảng cách đường thẳng đường tròn: Gọi R bán kính đường trịn d khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a Ta có: O O O a H a a H (d > R) H (d = R) Đường thẳng đường trịn khơng giao Đường thẳng đường tròn tiếp xúc (d < R) Đường thẳng đường tròn cắt hai điểm (giao nhau) Định lý 1: A Nếu đường thẳng tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm O Nếu a tiếp tuyến với (O) H O H a  OH Định lý 2: a Tiếp tuyến với đường tròn: Nếu hai H tiếp tuyến đường tròn cắt B điểm điểm cách hai tiếp điểm AH = BH Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến  HO tia phân giác góc AHB Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm  OH tia phân giác góc AOB 8.5 Đường trịn nội tiếp đường trịn bàng tiếp: Đường tròn nội tiếp: - Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác đường tròn nội tiếp tam giác - Tâm đường tròn nội tiếp giao điểm ba đường phân giác góc tam giác Đường tròn ngoại tiếp: - Đường trịn tiếp xúc ngồi với ba cạnh tam giác đường tròn ngoại tiếp tam giác - Tâm đường tròn ngoại tiếp giao điểm ba đường phân giác góc ngồi tam giác 8.6 Vị trí tương đối hai đường trịn: Nếu gọi bán kính (O) R (O') r ta có: - Hai đường trịn có hai điểm chung gọi hai đường tròn cắt Hai điểm chung A, B gọi giao điểm Đoạn thẳng AB nối hai điểm gọi dây chung Biên soạn: Trần Trung Chính .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com A A O O' O O O' O' A B (R - r < OO' < R + r) (R + r = OO') Hai đường cắt O Hai đường tiếp xúc (R - r = OO') Hia đường tròn nhau, O' (OO' > R + r) Hai đường 8.7 Góc với đường trịn: Góc tâm: Định nghĩa: Góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn gọi góc tâm m B A Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung   AOB  s®AmB Số đo cung lớn hiệu số 3600 số đo cung nhỏ   360  s® AnB  s® AmB Số đo nửa đường tròn 1800   α O n 8.8 Liên hệ cung dây cung: Định lý 1: Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: Hai cung căng hai dây Hai dây căng hai cung Định lý 2: Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường O tròn nhau: Cung lớn căng dây lớn Cung nhỏ căng dây nhỏ 8.9 Góc nội tiếp: O Định nghĩa: Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường trịn hai cạnh chứa hai dây cung dường tròn Định lý: Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp nửa số đo A cung bị chắn   s® AB  AOB Hệ quả: Trong đường tròn: Biên soạn: Trần Trung Chính B ....:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com (O) (O; R) ABC SABC (ABC) a, b, c ha, hb, hc ma, mb, mc la, lb, lc R, r ra, rb, rc đpcm 2p CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG CHUYÊN ĐỀ : Đường trịn... tích hình trịn, hình quạt trịn: - Diện tích hình trịn: S = R2 - Diện tích hình quạt trịn: S R n lR hay S  360 R O n0 l R O n0 Hình học khơng gian: l Hình trụ - diện tích xung quanh hình trụ:... cầu) Biên soạn: Trần Trung Chính 12 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHỦ ĐỀ NHẬN BIẾT VÀ TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA MỘT HÌNH Kiến thức bản: 1.1 Tam giác cân: