Hàm số - Tóm tắt lý thuyết và công thức hỗ trợ

1 fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 HÀM SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC HỖ TRỢ Tiến Nhanh biên soạn sưu tầm Bản demo soạn LATEX Nhắc lại kiến thức 1.1 Quy tắc cơng thức tính đạo hàm Cho u = u(x); v = (x); k số • Tổng, hiệu: (u ± v)0 = u0 ± v0 • Tích: (u.v)0 = u0 v + u.v0 • Thương:  u 0 v u0 v − u.v0 ; (v 6= 0) ⇒ = v2  0 k k =− v v • Hàm hợp: Nếu y = y(u); u = u(x) ⇒ y0x = y0u u0x • Bảng công thức đạo hàm Đạo hàm hàm sơ cấp C0 = (C số) (xα )0 = α.xα−1  0   1 = − , (x 6= 0) x x √ ( x) = √ x (sin x) = cos x (cos x)0 = − sin x (tan x)0 = = tan2 x + cos2 x
(cot x)0 = − = − cot2 x + sin x (ex )0 = ex (ax )0 = ax ln(a) (ln |x|)0 = x (loga |x|) = x.ln(a) Đạo hàm hàm hợp (uα )0 = α.uα−1 u0  0  0 u = − , (u 6= 0) u u √ u0 ( u) = √ u (sin u) = u0 cos u (cos u)0 = −u0 sin u u0 (tan u)0 = cos2 u0 u (cot u)0 = − sin u (eu )0 = u0 eu (au )0 = u0 au ln(a) u0 (ln |u|)0 = u u0 (loga |u|) = u.ln(a) fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 • Đạo hàm cấp 2: f 00 (x) = [ f (x)]0 Ý nghĩa: Gia tốc tức thời chuyển động s = f (t) thời điểm to a(to ) = f 00 (to ) • Cơng thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức  ax + b cx + d 0  0 ad − bc ax + bx + c (ae − bd).x2 + 2(a f − dc).x + (b f − ce) ; = = (cx + d)2 dx2 + ex + f (dx2 + ex + f )2 1.2 Dấu tam thức bậc Cho tam thức bậc 2: y = ax2 + bx + c với a 6= Ta cần nhớ kết sau: f (x) > 0, ∀x ∈ R khi:  a>0 ∆ 0, ∀x ∈ (α; +∞) khi:   a" > f (x) = vô nghiệm   f (x) = có nghiệm x1 ≤ x2 ≤ α ( a>0 ⇔ ∆0    ∆ ≥  a f (α) ≥    S/2 ≤ α ( a>0 ⇔ ∆0    ∆ ≥  a f (α) ≥    S/2 ≥ α f (x) > 0, ∀x ∈ (−∞; α) khi:   a" > f (x) = vô nghiệm   f (x) = có nghiệm α ≤ x1 ≤ x2 Tương tự cho điều kiện f (x) < 0, f (x) ≥ 0, Tính đơn điệu hàm số 2.1 Định nghĩa Hàm số y = f (x) xác định (a; b) • y = f (x) đồng biến (tăng) (a; b) ⇔ ∀x1 < x2 ∈ (a; b) ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) • y = f (x) nghịch biến (giảm) (a; b) ⇔ ∀x1 < x2 ∈ (a; b) ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) 3 fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 2.2 Định lí Hàm số y = f (x) xác định (a; b) • y = f (x) đồng biến (a; b) ⇔ f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) Dấu ” = ” xảy số hữu hạn điểm ∈ (a; b) • y = f (x) nghịch biến (a; b) ⇔ f (x) ≤ 0, ∀x ∈ (a; b) Dấu ” = ” xảy số hữu hạn điểm ∈ (a; b) • Nếu y = f (x) đồng biến [a; b] Min f (x) = f (a) Max f (x) = f (b) [a;b] [a;b] • Nếu y = f (x) nghịch biến [a; b] Min f (x) = f (b) Max f (x) = f (a) [a;b] [a;b] 2.3 Chú ý: Dấu đa thức bậc n: f (x) = an xn + + a1 x + a0 • Mỗi đa thức đổi dấu nghiệm đơn bội lẻ Tại nghiệm bội chẵn đa thức khơng đổi dấu • Dấu vùng cuối (là vùng từ nghiệm lớn đến +∞) dấu với hệ số bậc cao an 2.4 Bài tốn: Tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu ∇ Tìm m để hàm số đồng biến ( tương tự nghịch biến) (a; b)  f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) Ta có: hàm số y = f (x) đồng biến (a; b) ⇔ Dấu ” = ” xảy hữu hạn điểm Đối với hàm đa thức bậc n liên tục (a; b) • Bỏ điều kiện dấu "=" • Giải điều kiện y0 ≥ – Dùng tam thức bậc 2, (∗) – Hoặc giải bất phương trình nghiệm – Hoặc rút m vế, xét hàm số( áp dụng cho tất loại hàm số mà có m đồng bậc) 4 fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 Hàm số bậc Hàm số y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, (a 6= 0) ⇒ f (x) = 3ax2 + 2bx + c Hàm số đồng biến R     a>0 ⇔ f (x) ≥ ⇔    4≤0 Hàm số nghịch biến R     a0 (∗) a 6= • Bước 3: Hàm số đơn điệu khoảng có độ dài l: ⇔ |x1 − x2 | = l ⇔ (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 = l ⇔ S2 + 4P = l (∗∗) • Bước 4: Giải (∗) (∗∗) ta giá trị m cần tìm fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 Cực trị hàm số 3.1 Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) liên tục K xo ∈ K • Nếu có (a; b) ∈ K xo ∈ (a; b) cho ∀x ∈ (a; b) : x 6= xo ⇒ f (x) < f (xo ) hàm f đạt cực đại xo Lúc đó: + xo gọi điểm cực đại hàm f + f (xo ) gọi giá trị cực đại hàm f Kí hiệu f (xo ) = ymax (6= Max y) + Điểm (xo ; f (xo ) gọi điểm cực đại đồ thị hàm số • Nếu thay f (x) < f (xo ) thành f (x) > f (xo ) ta có khái niệm cực tiểu • Điểm cực đại, điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị hàm số • Nhắc lại: – Ta có: f (xo ) hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số f điểm có hồnh độ xo – Đồ thị hàm f bị đứt điểm hàm f gián đoạn hồnh độ điểm – Đồ thị hàm f bị gãy điểm hàm f khơng có đạo hàm hồnh độ điểm Suy ra:  Nếu hàm f đạt cực trị xo f (xo ) = f (xo ) không tồn 3.2 Định lí 1: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm xo Nếu hàm f đạt cực trị xo f (xo ) = Nếu f (xo ) = chưa hàm f đạt cực trị xo 3.3 Định lí 2: Cho hàm y = f (x) liên tục (a; b) xo ∈ (a; b): • Khi x qua xo hàm f đổi dấu từ dương sang âm hàm f đạt cực đại xo • Khi x qua xo hàm f đổi dấu từ âm sang dương hàm f đạt cực tiểu xo fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 3.4 Cực trị hàm đa thức bậc ba Hàm số y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, (a 6= 0) ⇒ f (x) = 3ax2 + 2bx + c • Nếu ∆0 = b2 − 3ac > hàm số có hai điểm cực trị • Nếu ∆0 = b2 − 3ac ≤ hàm số khơng có cực trị • Hàm số có hai cực trị trái dấu: ⇔ phương trình y0 = có hai nghiệm phân biệt trái dấu ⇔ ac < • Hàm số có hai cực trị dấu: ⇔ phương trình  y = có hai nghiệm phân biệt    ∆0 = b2 − 3ac > y dấu ⇔    P = x1 x2 = c > a • Hàm số có hai cực trị dấu dương: ⇔ phương trình y có hai nghiệm phân biệt    ∆0y0 = b2 − 3ac >     b dấu dương ⇔ S = x1 + x2 = − >  a     c   P = x1 x2 = > a • Hàm số có hai cực trị dấu âm: ⇔ phương  trình y0 có hai nghiệm phân biệt    ∆0y0 = b2 − 3ac >     b dấu âm ⇔ S = x1 + x2 = − <  a     c   P = x1 x2 = > a • Hàm  số có hai cực trị x1 ; x2 thỏa α < x1 < x2    (x1 − α)(x2 − α) > ⇔    x1 + x2 > 2α     x1 x2 − α(x1 + x2 ) + α > ⇔    x1 + x2 > 2α • Hàm  số có hai cực trị x1 ; x2 thỏa x1 < x2 < α    (x1 − α)(x2 − α) > ⇔    x1 + x2 < 2α     x1 x2 − α(x1 + x2 ) + α > ⇔    x1 + x2 < 2α • Hàm số có hai cực trị x1 ; x2 thỏa x1 < α < x2 ⇔ (x1 − α)(x2 − α) < ⇔ x1 x2 − α(x1 + x2 ) + α < •Phương trình bậc có ba nghiệm lập thành −b cấp số cộng có nghiệm x = , có 3a r d nghiệm lập thành cấp số nhân x = − a • Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số bậc ba:   2c 2b2 bc g(x) = − x+d − 9a 9a • Đồ thị hàm số ln cắt trục hồnh tai điểm nhận điểm uốn (xo ; y(xo )) làm tâm đối xứng, với y00 (xo ) = • Điều kiện để đồ thị hàm số bậc ba có hai điểm cực trị nằm phía, khác phía với đườn thẳng 7 fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 Tổng quát: Cho đường thẳng d : ax + by + c = hai điểm A(xA ; yA ), B(xB , yB ) • Nếu (axA + byA + c) (axB + byB + c) > hai điểm A, B nằm phía so với d • Nếu (axA + byA + c) (axB + byB + c) < hai điểm A, B nằm hai phía so với d • Hai điểm cực trị nằm phía Oy ⇔ Hàm số có hai cực trị dấu • Hai điểm cực trị nằm hai phía Oy ⇔ Hàm số có hai cực trị trái dấu • Hai điểm cực trị nằm phía Ox ⇔ Hàm số có hai cực trị yCĐ yCT > • Hai điểm cực trị nằm hai phía Ox ⇔ Hàm số có hai cực trị yCĐ yCT < • Hai điểm cực trị nằm phía trục Ox     yCĐ yCT > ⇔ Hàm số có hai cực trị    yCĐ + yCT > • Hai điểm cực trị nằm phía trục Ox     yCĐ yCT > ⇔ Hàm số có hai cực trị    yCĐ + yCT < fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 3.5 Cực trị hàm bậc bốn trùng phương Hàm số y = f (x) = ax4 + bx2 + c, (a 6= 0) ⇒ f (x) = 4ax3 + 2bx • Hàm số có cực trị ⇔ ab ≥ • Hàm số có cực trị ⇔ ab < • Hàm  số có cực trị cực trị cực tiểu    a>0 ⇔    b≥0 • Hàm  số có cực tiểu cực đại    a0 • Hàm  số có cực trị cực trị cực đại    a0 ⇔    b  y =0 c Hàm số có cực đại ⇔ hệ sau có nghiệm thuộc D: y00 <  a Hàm số có cực trị ⇔ hệ sau có nghiệm thuộc D: Chú ý: Nếu xét dấu y0 , ta nên sử dụng điều kiện có cực trị dựa thay đổi dấu y0 fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ hàm số 4.1 Định nghĩa: Cho hàm số y = f (x) xác định D  f (x) ≤ M, ∀x ∈ D • Nếu Max f (x) = M(GT LN) ∃ xo ∈ D cho f (xo ) = M x∈D  f (x) ≥ m, ∀x ∈ D • Nếu Min f (x) = m(GT NN) ∃ xo ∈ D cho f (xo ) = m x∈D 4.2 Định lý Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm [a; b]:  f (xo ) = • Max f (x) = Max f (a), f (b), f (x0 ) với xo ∈ [a; b] [a;b]  f (xo ) = • Min f (x) = Min f (a), f (b), f (xo ) với x [a;b] o ∈ [a; b] 4.3 Chú ý • Với u cầu tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số ta lập BBT kết luận   ax + b d • Hàm số y = xét R\ − khơng tồn GTLN-GTNN cx + d c • Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d với a 6= xét R khơng tồn GTLN-GTNN • Hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c R: – Khi a < hàm số đạt GTLN Giá trị cực đại hàm số – Khi a > hàm số đạt GTNN Giá trị cực tiểu hàm số 10 fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 11 Tiệm cận đồ thị hàm số 5.1 Định nghĩa • Đường thẳng x = a TCĐ đồ thị hàm số y = f (x) điều kiện sau thỏa mãn: lim y = ±∞ lim y = ±∞ x→a− x→a+ • Đường thẳng y = b TCN đồ thị hàm số y = f (x) điệu kiện sau thỏa mãn: lim y = b lim y = b x→+∞ x→−∞ 5.2 Chú ý • Đối với hàm phân thức y = ax + b d a ln có TCĐ x = − TCN y = cx + d c c • Hàm phân thức có bậc tử nhỏ bậc mẫu có TCN • Hàm phân thức có nghiệm mẫu khơng nghiệm tử có TCĐ p p p • Hàm thức dạng: y = f (x) − g(x) y = f (x) − g(x) có TCN (Dùng liên hợp) 12 fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 Khảo sát hàm số 6.1 Hàm số bậc ba Hàm số y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, (a 6= 0) Trường hợp a>0 a0 a ad − bc < y y x O O x Nhận xét: Đồ thị hàm số hyperbol nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng 6.4 Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối • Dạng 1: Từ đồ thị (C) : y = f (x) vẽ đồ thị (C0 ) : y = | f (x)| Ta có:  y = | f (x)| = f (x) f (x) ≥ − f (x) f (x) < Cách vẽ đồ thị (C0 ) từ đồ thị (C): • Giữ nguyên phần đồ thị phía Ox (C) : y = f (x) • Lấy đối xứng phần đồ thị phía Ox qua Ox, bỏ phần đồ thị phía Ox (C) • Dạng 2: Từ đồ thị (C) : y = f (x) vẽ đồ thị (C0 ) : y = f (|x|) Ta có:  y = f (|x|) = f (x) x ≥ f (−x) x < Cách vẽ đồ thị (C0 ) từ đồ thị (C): • Giữ nguyên phần đồ thị phía bên phải Oy (C) : y = f (x) • Bỏ phần đồ thị phía bên trái Oy (C), lấy đối xứng phần đồ thị phía bên phải Oy qua Oy, fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 15 Tương giao đồ thị Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C1 ) g(x) có đồ thị (C2 ) Phương trình f (x) = g(x) (∗) gọi phương trình hồnh độ giao điểm C1 C2 Ta có: • Số giao điểm (C1 ) (C2 ) với số nghiệm phương trình (∗) – Phương trình (∗) vơ nghiệm ⇒ (C) khơng cắt (C0 ) – Phương trình (∗) có n nghiệm (đơn phân biệt) ⇒ (C) cắt (C0 ) n điểm – Phương trình (∗) có nghiệm kép ⇒ (C) tiếp xúc (C0 ) điểm có hồnh độ xo • Nghiệm xo phương trình (∗) hồnh độ xo giao điểm • Tung độ yo giao điểm f (xo ) g (xo ) • Điểm M (xo ; yo ) giao điểm (C1 ) (C2 ) 7.1 Chú ý ∇ Giao điểm hàm bậc ba: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d với a 6= chứa tham số m có đồ thị (C) (C) cắt Ox điểm phân biệt ⇔ ax3 + bx2 + cx + d = 0, (1) có nghiệm phân biệt
• Tìm nghiệm đặc biệt xo phương trình Khi phương trình có dạng (x − xo ) Ax2 + Bx +C = (∗) (∗) có nghiệm phân biêt ⇔ Ax2 + Bx +C = có nghiệm phân biệt 6= xo • (1) khơng có nghiệm đặc biệt mà có m đồng bậc rút m để đưa (1) dạng m = g(x) Lập BBT ⇒ điều kiện để y = m cắt g(x) điểm phân biệt • (1) khơng có nghiệm đặc biệt khơng có m đồng bậc (Hàm số bậc khơng đầy đủ)  y có hai cực trị (1) có nghiệm phân biệt ⇔ yMax yMin < ∇ Giao điểm hàm số y = ax + b cx + d ax + b ax + b hai điểm M, N Với kx + b = cho ta phương trình có cx + d cx + d dạng Ax2 + Bx +C = 0, (cx + d 6= 0) có ∆ = B2 − 4AC r k2 + ∗ MN = ∆, MN ngắn tồn Min∆ k = const A2
∗ 4OMN cân O: (x1 + x2 ) + k2 + 2km = Giả sử d : y = kx + m cắt đồ thị y = 16 fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 Sự tiếp xúc hai đồ thị 8.1 Điều kiện tiếp xúc Cho hai đồ thị hàm số (C) : y = f (x) (C0 ) : y = g(x)  f (x) = g(x) • Đồ thị (C) (C ) tiếp xúc ⇔ f (x) = g0 (x) • (C) (C0 ) tiếp xúc M ⇒ M tiếp điểm • Nghiệm hệ hồnh độ tiếp điểm • Số nghiệm hệ số tiếp điểm 8.2 Các dạng tiếp tuyến • Tiếp tuyến điểm M(xo ; yo ) y = f (xo ) (x − xo ) + yo • Tiếp tuyến qua điểm: y = k (x − xo ) + yo , k ẩn
• Tiếp tuyến tiếp xúc với (C)  f (x) = k (x − xo ) + yo Có nghiệm f (x) = k Với k = f (xo ) hệ số góc tiếp tuyến Các dạng biểu diễn hệ số góc k: • Dạng trực tiếp k = ±1, ±2, ± , • Tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox góc α ⇒ k = tan α • Tiếp tuyến song song với đường thẳng δ : y = ax + b ⇒ k = a k−a = tan α • Tiếp tuyến tạo với đường thẳng δ : y = ax + b góc α ⇒ + ka Bài tốn tìm điểm cố định ∇ Bài tốn: Tìm điều kiện để đồ thị (Cm ) : y = f (x; m) qua điểm A (xo ; yo ) cho trước • Giả sử (Cm ) qua A (xo ; yo ) ⇔ yo = f (xo ; m) (1) • Để (Cm ) qua A (1) phải có nghiệm Từ suy điều kiện cần tìm ∇ Bài tốn: Cho (Cm ) đồ thị hàm số y = f (x; m) Hãy tìm điểm cố định họ đường (Cm ) • Giả sử A (xo ; yo ) điểm cố định (Cm ): • Ta có: y = f (x; m) ⇔ yo = f (xo ; m) , ∀m 17 fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 ⇔ αm + β = 0, ∀m αm2 + β m + γ = 0, ∀m    α =0 α =0 β = (∗) (∗) ⇔ β =0  γ =0
• Giải hệ (∗) tìm điểm cố định (Cm ) 10 Tâm trục đối xứng • Đối xứng qua trục tung: Đồ thị (C) nhận trục tung làm trục đối xứng miền xác định nó, hàm f (x) hàm chẵn f (−x) = f (x) • Đối xứng qua trục hồnh: Hàm số chẵn theo y đồ thị đối xứng qua trục hồnh, • Đối xứng qua gốc tọa độ: Đồ thị (C) hàm số y = f (x) đối xứng qua gốc tọa độ O miền xác định nó, f (x) hàm lẽ: f (−x) = − f (x) ... + c R: – Khi a < hàm số đạt GTLN Giá trị cực đại hàm số – Khi a > hàm số đạt GTNN Giá trị cực tiểu hàm số 10 fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 11 Tiệm cận đồ thị hàm số 5.1 Định nghĩa... trị hàm đa thức bậc ba Hàm số y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, (a 6= 0) ⇒ f (x) = 3ax2 + 2bx + c • Nếu ∆0 = b2 − 3ac > hàm số có hai điểm cực trị • Nếu ∆0 = b2 − 3ac ≤ hàm số khơng có cực trị • Hàm. .. https://www.facebook.com/NhanhTien0694 3.5 Cực trị hàm bậc bốn trùng phương Hàm số y = f (x) = ax4 + bx2 + c, (a 6= 0) ⇒ f (x) = 4ax3 + 2bx • Hàm số có cực trị ⇔ ab ≥ • Hàm số có cực trị ⇔ ab < • Hàm  số có cực trị cực trị